Praktische Informatik I Der Imperative Kern Einführung Rekursion

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1 Praktische Informatik I Der Imperative Kern Einführung Rekursion Prof. Dr. Stefan Edelkamp Institut für Künstliche Intelligenz Technologie-Zentrum für Informatik und Informationstechnik (TZI) Am Fallturm 1, Bremen +49-(0) Stefan Edelkamp (IAI) PI 1 Imperativer Kern October 8, / 16

2 Outline 1 Willkommen in Rekursien 2 Achtung Rekursion! 3 Fraktale 4 Rekursion auf Zahlen 5 Rekursion auf Strings Stefan Edelkamp (IAI) PI 1 Imperativer Kern October 8, / 16

3 Zielstellung der Einheit Sie sollen das Prinzip Rekursion verstehen und die Mächtigkeit sowie Eleganz der Methode in der Informatik erkennen. Dabei werden die intuitive Problemlösung, deren Selbstbezüglichkeit sowie die Aufteilung in Teilprobleme vermittelt. Sie lernen, wie häufig Rekursion in der Informatik auftritt. Der Unterschied zwischen rekursiven und iterativen Programmen wird Ihnen deutlich. Sie setzen ihre Erkenntnisse in lauffähige Programme um. Als längerfristiges Ziel verstehen Sie Rekursion als wesentlichen Bestandteil einer modernen Programmiersprache und wenden rekursive Problemlösungen bevorzugt an. Sie entwickeln ein inneres Verständnis von der Komplexität eines Programms, die sich in der Anzahl der rekursiven Aufrufe niederschlägt. Stefan Edelkamp (IAI) PI 1 Imperativer Kern October 8, / 16

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5 Selbstbezüge Rekursive Definitionen sind z.b. GNU: Abkürzung von GNU s not UNIX oder Mise en abyme Illustrationen, z.b. Weitere Beispiel sind Endloslieder und Geschichten, wie Ja, Ja der alte Oberförster, Hugo war sein Name... ; Illustrationen von M.C. Escher (s. Bild); Bücher, wie Die Unendliche Geschichte ; Filme, wie Matrix,... Stefan Edelkamp (IAI) PI 1 Imperativer Kern October 8, / 16

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7 Immerschöne Bilder Fraktale sind Beispiele von rekursiven Konstruktionen, ein Beispiel ist die sogennannte Julia-Menge Wie wurden die Darstellungen der Rekursion in diesen zwei Bildern (vermutlich) verwirklicht? Stefan Edelkamp (IAI) PI 1 Imperativer Kern October 8, / 16

8 Apfelmännchen Die Mandelbrotmenge ist eine Menge von Punkten, deren iterierte Auswertung einer Berechnungsvorschrift nicht gegen unendlich läuft. Nach Benoit Mandelbrot ist es eine Menge von komplexe Zahlen c, für die die Folge z n+1 = z 2 n c mit z 0 = 0 konvergiert Mit der Darstellung von komplexen Zahlen durch Real- und Imaginärteil (r 0, i 0 ) = (0, 0) und geeignetem (c r, c i ) verweist sie auf die wiederholte Berechnung von r n+1 = r 2 n i 2 n + c r und i n+1 = 2r n i n + c i. Das Programm 1 ist nicht rekursiv, sondern iterativ die Definition der Menge ist jedoch rekursiv! Es ist erstaunlich, wie viel wenig Zeilen Programmtext bewirken können. Stefan Edelkamp (IAI) PI 1 Imperativer Kern October 8, / 16

9 Programm 1: Programm zur Darstellung der Mandelbrot-Menge. public class Mandelbrot { public void fractal() { int k = 2; double y= 16; // x,y are coordinates String magic = new String(".: ;!/>) iiho +"); while (y++<15) { // r,i are updated String row = new String(); for (double x=0;x<84;x++) { row = row + magic.charat(k&15); k = 0; double imag = 0.0; double real = 0.0; double j; do { j = real real imag imag 2 + x/25.0; imag = 2 real imag + y/10; real = j; while(j j+imag imag<11 && k++<111); System.out.println(row); Stefan Edelkamp (IAI) PI 1 Imperativer Kern October 8, / 16

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11 Gemeinsames Sparen Anstatt x = 2 k Euro alleine zu sparen, empfiehlt sich rekursiv zwei Freunde zu bemühen, die den halben Geldbetrag sparen. Das Programm 2 folgt einem mächtigen Designprinzip für Algorithmen dem Divide-and-Conquer zu Deutsch: Teile-und-Herrsche Programm 2: Teilen und Herrschen. public class CollectMoney { int total; void dac(int a) { // recursive collect function if (a<=1) // if less than one Euro left total += a; // increase total amount else { dac(a/2); dac(a/2); // recursive calls int collect(int a) { total = 0; dac(a); return total; Stefan Edelkamp (IAI) PI 1 Imperativer Kern October 8, / 16

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13 Rückwärtsbotschaften und Palindrome Rekursion wirkt nicht nur auf Zahlen, sondern auch auf Zeichenketten! Das Spiegeln einer Zeichenkette durch das Prinzip der Rekursion in Programm 3 liefert für die Eingabe hallo. die Ausgabe.ollah Nutzen Sie Namen aus Ihrem Freundeskreis, um sie als Rückwärtsbotschaft zu lesen. Spiegeln Sie ein gespiegeltes Wort Musikalische Rückwärtsbotschaften sind sehr beliebt, z.b. im Lied von Queen Another One Bites the Dust Durch marginale Erweiterung des Programms 3 entsteht ein Palindrom Dadurch lautet die Ausgabe hallo.ollah Stefan Edelkamp (IAI) PI 1 Imperativer Kern October 8, / 16

14 Programm 3: Umkehrung und Palindromerstellung einer Zeichenkette. public class Reversal { / Printing a input string in reverse s string to be i current index position (start with 0) / public void reverse(string s, int i) { if (s.charat(i)!=. ) reverse(s,i+1); System.out.print(s.charAt(i)); / Printing a input string as s string to be i current index position (start with 0) / public void palindrome(string s, int i) { System.out.print(s.charAt(i)); if (s.charat(i)!=. ) palindrome(s,i+1); System.out.print(s.charAt(i)); Stefan Edelkamp (IAI) PI 1 Imperativer Kern October 8, / 16

15 Hintergrund Zum Test auf syntaktische Korrektheit werden für den Compiler in vielen Programmiersprachen rekursive Regeln festgelegt. Merke: Rekursion entsteht durch Selbstbezug. Für die Endlichkeit sind Verkleinerungen des Problems sowie Abbruchkriterien notwendig. Rekursion ist der Prozess, in dem eine Funktion sich selbst als Teilfunktion aufruft. Dies erlaubt, die Funktion mehrfach zu wiederholen. Funktionen, die Rekursion beinhalten, werden rekursiv genannt. Rekursion ist eine effektive Methode, da sie üblicherweise wenig Programmtext erfordert. Allerdings muss sie vorsichtig implementiert werden, da sie sonst zu viele Aufrufe tätigt und nicht endet. Stefan Edelkamp (IAI) PI 1 Imperativer Kern October 8, / 16

16 Diskussion Was ist der Unterschied zwischen unendlich und rekursiv? Warum gelten Fraktale als rekursiv, obwohl Programme keinen rekursiven Aufruf tätigen? Wie könnten Sie mit einem Programm ein Wort auf Palindromeigenschaft prüfen? Stefan Edelkamp (IAI) PI 1 Imperativer Kern October 8, / 16