Ina Kersten Analytische Geometrie und Lineare Algebra 1. L A TEX-Bearbeitung von Stefan Wiedmann

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Ina Kersten Analytische Geometrie und Lineare Algebra 1. L A TEX-Bearbeitung von Stefan Wiedmann"

Transkript

1 Ina Kersten Analytische Geometrie und Lineare Algebra 1 L A TEX-Bearbeitung von Stefan Wiedmann Universitätsverlag Göttingen 2005

2 Voraussetzungen 11 1 Einige Grundbegriffe Die komplexen Zahlen Der n-dimensionale Raum K n Lineare Gleichungssysteme in zwei Unbekannten Körper Gruppen Übungsaufgaben Vektorraumtheorie 22 2 Vektorräume Definition und Rechenregeln Beispiele für Vektorräume Untervektorräume Beispiele und Gegenbeispiele Der von einer Teilmenge aufgespannte Teilraum Erzeugendensysteme Summen von Vektorräumen Übungsaufgaben Basis und Dimension Lineare Unabhängigkeit Kriterium für lineare Abhängigkeit Definition einer Basis und Beispiele Eindeutigkeit der Basisdarstellung Charakterisierende Eigenschaften einer Basis Existenzsatz Basisergänzungssatz Austauschsatz Folgerung aus dem Austauschsatz Dimension eines K-Vektorraums 42

3 3.11 Weitere Folgerungen aus dem Austauschsatz Dimension eines Untervektorraums Dimensionssatz Übungsaufgaben Lineare Abbildungen Definitionen Beispiele Existenz- und Eindeutigkeitssatz Eigenschaften von linearen Abbildungen Isomorphismen von K-Vektorräumen Klassifikationssatz für endlich dimensionale Vektorräume Dimensionsformel Folgerung aus der Dimensionsformel Beispiele für unendlich dimensionale Vektorräume Rechenregeln für lineare Abbildungen Übungsaufgaben 20 und Matrizenkalkül 56 5 Matrizen und lineare Abbildungen Matrizen Produkt von Matrizen Transponierte Matrix Die Matrix Mg(/) einer linearen Abbildung / Die Dimension von Homx(V,W) Die Darstellungsmatrix M^(/ 09) Invertierbare Matrizen Basiswechsel in V Basiswechsel und Darstellungsmatrix Eine geschickte Basiswahl Die Standardabbildung zu einer Matrix Faktorisierung einer linearen Abbildung Rang einer Matrix Rang und Invertierbarkeit Zeilenrang einer Matrix Übungsaufgaben Lineare Gleichungssysteme Beispiele Lösbarkeitskriterien Die Menge der Lösungen Elementare Umformungen einer Matrix Elementare Umformungen und die Lösungsmenge Gaußscher Algorithmus (m = n = rang A) 81

4 6.7 Verfahren zur Inversion einer Matrix Gaußscher Algorithmus Übungsaufgaben Die Determinante einer n x n-matrix Definition der Determinante Eigenschaften der Determinante Beweis der Eindeutigkeitsaussage in Laplacescher Entwicklungssatz Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix Kriterium für invertierbare Matrizen Determinante der transponierten Matrix Multiplikationssatz für Determinanten Kästchenregel Methode zur Berechnung der inversen Matrix Cramersche Regel Die spezielle lineare Gruppe Die Determinante eines Endomorphismus Zur Bedeutung der Determinante Übungsaufgaben Eigenwertprobleme Ähnliche Matrizen und Diagonalisierbarkeit Eigenwerte und Eigenvektoren Kriterium für Diagonalisierbarkeit Wann sind Eigenvektoren linear unabhängig? Einschub über Polynome Charakteristisches Polynom Eigenräume Hauptsatz über Diagonalisierbarkeit Rechenschritte zur Diagonalisierung Trigonalisierbarkeit Übungsaufgaben Vektorräume mit geometrischer Struktur Euklidische und unitäre Vektorräume Involution auf K Metrik auf V Die zu einer Metrik s gehörende Matrix M ß (s) Basiswechsel Skalarprodukt Standardskalarprodukt Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Winkel 132

5 9.9 Orthonormalbasen Selbstadjungierte Endomorphismen Spektralsatz Hermitesche und symmetrische Matrizen Hauptachsentransformation ,«Übungsaufgaben Orthogonale und unitäre Abbildungen Metrische Abbildungen Die Matrix M (/) einer Isometrie / Lineare Gruppen Bestimmung der orthogonalen 2 x 2-Matrizen Orthogonale und unitäre Endomorphismen Orthogonale und unitäre Matrizen Spiegelungen Drehungen von R Fixpunkte orthogonaler Abbildungen Drehungen von R Übungsaufgaben Abbildungsverzeichnis 159 Literaturverzeichnis 160 Index 162

Jürgen Hausen Lineare Algebra I

Jürgen Hausen Lineare Algebra I Jürgen Hausen Lineare Algebra I 2. korrigierte Auflage Shaker Verlag Aachen 2009 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation

Mehr

Inhaltsverzeichnis. I Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1. Vorwort

Inhaltsverzeichnis. I Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1. Vorwort Vorwort V I Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1 1 Der Begriff des Körpers 3 1.1 Mengen 3 1.2 Köiperaxiome 3 1.3 Grundlegende Eigenschaften von Körpern 5 1.4 Teilkörper 7 1.5 Aufgaben 8 1.5.1 Grundlegende

Mehr

Lineare Algebra II. Inhalt und Begriffe. Lineare Algebra II p. 1

Lineare Algebra II. Inhalt und Begriffe. Lineare Algebra II p. 1 Lineare Algebra II Inhalt und Begriffe Lineare Algebra II p. 1 Inhaltsverzeichnis Kapitel II Grundlagen der Linearen Algebra... Lineare Algebra II p. 2 Inhaltsverzeichnis Kapitel II Grundlagen der Linearen

Mehr

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen Orthonormalisierung Wie schon im Falle V = R n erwähnt, erhalten wir durch ein Skalarprodukt eine zugehörige Norm (Länge) eines Vektors und in weiterer Folge eine Metrik (Abstand zwischen zwei Vektoren).

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie

Lineare Algebra und analytische Geometrie Max Koecher Lineare Algebra und analytische Geometrie Mit 35 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo 1983 Inhaltsverzeichnis Teil A. Lineare Algebra I Kapitel 1. Vektorräume 1 1. Der

Mehr

a b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2,

a b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2, Aufgabe I Es sei Q die folgende Teilmenge von C 2 2 : { ( ) a b Q a, b C b a Hier bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation Zeigen Sie: (a) Mit den üblichen Verknüpfungen + und für Matrizen ist

Mehr

Höhere Mathematik für Ingenieure Band II

Höhere Mathematik für Ingenieure Band II Teubner-Ingenieurmathematik Höhere Mathematik für Ingenieure Band II Lineare Algebra Bearbeitet von Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille, Andreas Meister 1. Auflage 2012. Taschenbuch. xvii, 417 S.

Mehr

Lehr- und Übungsbuch Mathematik für Informatiker

Lehr- und Übungsbuch Mathematik für Informatiker Lehr- und Übungsbuch Mathematik für Informatiker Lineare Algebra und Anwendungen Bearbeitet von Wolfgang Preuß, Günter Wenisch 1. Auflage 1996. Buch. 328 S. Hardcover ISBN 978 3 446 18702 3 Format (B x

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2

Mehr

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016,

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016, Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 6, 6.7.6 Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen und Sätze aus der Vorlesung korrekt zu formulieren

Mehr

Lineare Algebra I Zusammenfassung

Lineare Algebra I Zusammenfassung Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition

Mehr

Lineare Algebra II 8. Übungsblatt

Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 11 Prof. Dr. Kollross 1./9. Juni 11 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.

Mehr

Prüfung Lineare Algebra 2

Prüfung Lineare Algebra 2 1. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen: (1) Zwei reelle symmetrische Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie die gleiche Signatur haben. (2) Jede symmetrische Matrix ist kongruent zu einer Diagonalmatrix,

Mehr

Einführung 17. Teil I Zu den Grundlagen der linearen Algebra 21. Kapitel 1 Schnelleinstieg in die lineare Algebra 23

Einführung 17. Teil I Zu den Grundlagen der linearen Algebra 21. Kapitel 1 Schnelleinstieg in die lineare Algebra 23 Inhaltsverzeichnis Einführung 17 Zu diesem Buch 17 Konventionen in diesem Buch 17 Törichte Annahmen über den Leser 17 Wie dieses Buch aufgebaut ist 18 Teil I: Zu den Grundlagen der linearen Algebra 18

Mehr

Michael Artin. Algebra. Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin

Michael Artin. Algebra. Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin Michael Artin Algebra Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin INHALTSVERZEICHNIS Vorwort Hinweise viii x Kapitel 1 MATRIZEN 1 1. Matrizenkalkül 1 2. Zeilenreduktion

Mehr

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,

Mehr

Mathematik 2, SS 2015 Prof. F. Brock Zusammenfassung. Permutationen, Inversionen. Explizite Formel für die Determinante einer n n-

Mathematik 2, SS 2015 Prof. F. Brock Zusammenfassung. Permutationen, Inversionen. Explizite Formel für die Determinante einer n n- I. Lineare Algebra Mathematik 2, SS 2015 Prof. F. Brock Zusammenfassung 1. Determinanten (siehe Fischer/Kaul I, S.329-339) Matrix. Determinanten von 2 2- und 3 3-Matrizen. Alternierende Multilinearformen

Mehr

Analytische Geometrie und Lineare Algebra

Analytische Geometrie und Lineare Algebra Prof. Dr. Ina Kersten Analytische Geometrie und Lineare Algebra L A TEX-Bearbeitung von Stefan Wiedmann 2 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis 10 1 Einige Beispiele 12 1.1 Die komplexen

Mehr

4 Lineare Abbildungen Basisdarstellungen

4 Lineare Abbildungen Basisdarstellungen 4 Lineare Abbildungen Basisdarstellungen (4.1) Seien V,W endlich dimensionale K-Vektorräume, und sei T : V W linear. Sei {v 1,...,v } Basis von V und {w 1,...,w M } Basis von W. Sei T (v j ) = M a kj w

Mehr

Lineare Algebra 2 (SS 13) Blatt 13: Musterlösung

Lineare Algebra 2 (SS 13) Blatt 13: Musterlösung Prof. Dr. B. Hanke Dr. J. Bowden Lineare Algebra 2 (SS ) Blatt : Musterlösung Aufgabe. Es sei C (R) der R-Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf R und : C (R) C (R), f f die Abbildung,

Mehr

4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau

4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau 312 LinAlg II Version 0 20. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.3 Bilinearformen Bilinearformen wurden bereits im Abschnitt 2.8 eingeführt; siehe die Definition 2.8.1. Die dort behandelten Skalarprodukte sind

Mehr

i) ii) iii) iv) i) ii) iii) iv) v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - Für schreibt man auch.

i) ii) iii) iv) i) ii) iii) iv) v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - Für schreibt man auch. Abbildungen Rechnen Matrizen Rechnen Vektoren Äquivalenzrelation Addition: Skalarmultiplikation: Skalarprodukt: Länge eines Vektors: Vektorprodukt (im ): i ii i ii v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung):

Mehr

reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv, linaer konnex Kommutator, Kommutatorgrupe, Normalreihe, auflösbare Gruppe

reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv, linaer konnex Kommutator, Kommutatorgrupe, Normalreihe, auflösbare Gruppe 1 Lernliste 1.1 Relationen reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv, linaer konnex Äquivalenzrelation, Kongruenzrelation Klasseneinteilung Hauptsatz über Äquivalenzrelationen Jede

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung

Mehr

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die

Mehr

Lineare Algebra Zusammenfassung

Lineare Algebra Zusammenfassung Lineare Algebra Zusammenfassung Gruppen, Körper, Vektorräume Gruppen Def.: Eine Gruppe (G, )besteht aus einer nicht-leeren Menge G und einer Verknüpfung zwischen Elementen dieser Gruppe. Folgende Eigenschaften

Mehr

Übungen zur Linearen Algebra 1

Übungen zur Linearen Algebra 1 Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 2014/2015 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 10 Abgabetermin: Freitag, 16.01.2015, 11 Uhr Auf diesem

Mehr

DEUTSCHE SCHULE MONTEVIDEO BIKULTURELLES DEUTSCH-URUGUAYISCHES ABITUR ( AUF SPANISCH )

DEUTSCHE SCHULE MONTEVIDEO BIKULTURELLES DEUTSCH-URUGUAYISCHES ABITUR ( AUF SPANISCH ) Grundlegende Bemerkungen : Der Begriff des Vektors wurde in den vergangenen Jahren im Geometrieunterricht eingeführt und das mathematische Modell des Vektors wurde vor allem auch im Physikunterricht schon

Mehr

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben

Mehr

Skalarprodukt, Norm & Metrik

Skalarprodukt, Norm & Metrik Skalarprodukt, Norm & Metrik Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. Mai 2016 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai 2016 1 / 13 Gliederung 1

Mehr

LINEARE ALGEBRA I (LEHRAMT GYMNASIUM) WINTERSEMESTER 2015/16

LINEARE ALGEBRA I (LEHRAMT GYMNASIUM) WINTERSEMESTER 2015/16 LINEARE ALGEBRA I (LEHRAMT GYMNASIUM) WINTERSEMESTER 2015/16 CAROLINE LASSER Inhaltsverzeichnis 1. Vektorräume 2 1.1. Vektorräume und Unterräume (13.10.) 2 1.2. Lineare Unabhängigkeit (20.10.) 3 1.3. Basen

Mehr

Prüfung Lineare Algebra Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

Prüfung Lineare Algebra Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? 1. Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? A. Wenn n = 3 ist, sind mindestens zwei der drei Euler-Winkel einer Drehung kleiner oder gleich π. B. Wenn n = 2

Mehr

Theoretische Fragen zu ausgewählten Themen in Lineare Algebra

Theoretische Fragen zu ausgewählten Themen in Lineare Algebra Theoretische Fragen zu ausgewählten Themen in Lineare Algebra { Oren Halvani, Jonathan Weinberger } TU Darmstadt 25. Juni 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Determinanten................................................

Mehr

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung

Mehr

Bonusmaterial Euklidische und unitäre Vektorräume Geometrie in höheren Dimensionen

Bonusmaterial Euklidische und unitäre Vektorräume Geometrie in höheren Dimensionen Bonusmaterial Euklidische und unitäre Vektorräume Geometrie in höheren Dimensionen Orthogonale und unitäre Endomorphismen Wir untersuchen nun lineare Abbildungen in euklidischen und unitären Vektorräumen

Mehr

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte : und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b

Mehr

Eigenwerte und Diagonalisierung

Eigenwerte und Diagonalisierung Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende

Mehr

Lineare Algebra II. Prof. Christian Okonek FS Vorlesungsnotizen von Gideon Villiger. Aufbau:

Lineare Algebra II. Prof. Christian Okonek FS Vorlesungsnotizen von Gideon Villiger. Aufbau: Lineare Algebra II Prof. Christian Okonek FS 2012 Vorlesungsnotizen von Gideon Villiger Aufbau: 1. Matrizen und Gleichungssysteme 2. Determinanten und charakteristische Polynome 3. Normalformenprobleme

Mehr

Lineare Abbildungen und Matrizen

Lineare Abbildungen und Matrizen Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 31. Mai 2016 Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai 2016 1 / 16 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 25 J ai décidé d être heureux parce que c est bon pour la santé Voltaire Trigonalisierbare Abbildungen

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel Aufgabe. Welche der folgenden Matrizen 3 0 0 A = 0 4, B = 3, C = 0 0 0 6 0 0 0 sind über R und welche über C diagonalisierbar? Bestimmen Sie dazu

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

6 Hauptachsentransformation

6 Hauptachsentransformation 6 Hauptachsentransformation A Diagonalisierung symmetrischer Matrizen (6.1) Satz: Sei A M(n n, R) symmetrisch. Dann gibt es eine orthogonale n n-matrix U mit U t AU = D Diagonalmatrix Es folgt: Die Spalten

Mehr

Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014

Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014 Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................

Mehr

Lineare Algebra II. Sommersemester Wolfgang Ebeling

Lineare Algebra II. Sommersemester Wolfgang Ebeling Lineare Algebra II Sommersemester 2009 Wolfgang Ebeling 1 c Wolfgang Ebeling Institut für Algebraische Geometrie Leibniz Universität Hannover Postfach 6009 30060 Hannover E-mail: ebeling@mathuni-hannoverde

Mehr

Stichwortliste zur Vorlesung. Lineare Algebra II. Gabriela Weitze-Schmithüsen. Saarbrücken, Sommersemester 2016

Stichwortliste zur Vorlesung. Lineare Algebra II. Gabriela Weitze-Schmithüsen. Saarbrücken, Sommersemester 2016 Stichwortliste zur Vorlesung Lineare Algebra II Gabriela Weitze-Schmithüsen Saarbrücken, Sommersemester 2016 Kapitel I Jordansche Normalform Ziel: Wir möchten Matrizen bis aus Ähnlichkeit klassifizieren.

Mehr

Kapitel 1. Vektoren und Matrizen. 1.1 Vektoren

Kapitel 1. Vektoren und Matrizen. 1.1 Vektoren Kapitel 1 Vektoren und Matrizen In diesem Kapitel stellen wir die Hilfsmittel aus der linearen Algebra vor, die in den folgenden Kapiteln öfters benötigt werden. Dabei wird angenommen, dass Sie die elementaren

Mehr

Leitfaden 34. , dies ist eine reelle symmetrische Matrix, also diagonalisierbar.

Leitfaden 34. , dies ist eine reelle symmetrische Matrix, also diagonalisierbar. Leitfaden 34 5. Euklidsche und unitäre Räume (und selbstadjungierte, orthogonale, unitäre, normale Endomorphismen). 5.1. Reelle symmetrische Matrizen sind diagonalisierbar. Satz: Reelle symmetrische Matrizen

Mehr

B-P 11: Mathematik für Physiker

B-P 11: Mathematik für Physiker B-P 11: Mathematik für Physiker Status: freigegeben Modulziele Erwerb der Grundkenntnisse der Analysis, der Linearen Algebra und Rechenmethoden der Physik Modulelemente Mathematik für Physiker I: Analysis

Mehr

Lineare Algebra I Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß

Lineare Algebra I Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß Lineare Algebra I - 26. Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß Donnerstag 8.12.: 8:30 Uhr - Vorlesung 10:15 Uhr - große Übung / Fragestunde Klausur: Mittwoch, 14.12. 14:15 Uhr, A3 001 Cauchy-Schwarz

Mehr

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen 4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,

Mehr

EINFÜHRUNG IN DIE ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA

EINFÜHRUNG IN DIE ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA EINFÜHRUNG IN DIE ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA VON SIEGFRIED BREHMER UND HORST BELKNER MIT 146 A B B I L D U N G E N VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN 1966 INHALTSVERZEICHNIS

Mehr

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix 0 0 4 1 2 5 1 7 1 2 0 3 1 3 0 α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: 1 3 1 4 2 5 1 3 0 4 3 1. 3 1 5 2 3. Seien n 2

Mehr

MATRIZEN. und Determinanten. und ihre Anwendung in Technik und Ökonomie. von Dr. rer. nat. Günter Dietrich und Prof. Dr.-Ing.

MATRIZEN. und Determinanten. und ihre Anwendung in Technik und Ökonomie. von Dr. rer. nat. Günter Dietrich und Prof. Dr.-Ing. MATRIZEN und Determinanten und ihre Anwendung in Technik und Ökonomie von Dr. rer. nat. Günter Dietrich und Prof. Dr.-Ing. Henry Stahl 5., neubearbeitete Auflage Mit 63 Bildern und 133 Beispielen und Lösungen

Mehr

Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra

Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra Sommersemester 25 Aufgabe 2 2 Sei A 3 3 8 2 4 3 R4 5. 5 2 a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax b) Ist Ax b mit b lösbar? (Begründen

Mehr

3.3 Skalarprodukte 3.3. SKALARPRODUKTE 153

3.3 Skalarprodukte 3.3. SKALARPRODUKTE 153 3.3. SKALARPRODUKTE 153 Hierzu müssen wir noch die Eindeutigkeit (Unabhängigkeit von der Wahl der Basis bzw. des Koordinatensystems) zeigen. Sei hierzu β eine Bilinearform und q die entsprechende quadratische

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 009 Dienstag 3.6 $Id: quadrat.tex,v.4 009/06/3 4:55:47 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6.3 Quadratische Funktionen und die Hauptachsentransformation

Mehr

Mathematik für Ingenieure 1

Mathematik für Ingenieure 1 A. Hoff mann B. Marx W. Vogt Mathematik für Ingenieure 1 Lineare Algebra, Analysis Theorie und Numerik PEARSON btudiurn. ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don

Mehr

Bild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz

Bild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 23. Mai 2016 Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai 2016 1 / 11 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume 4 Basis

Mehr

Einleitung 19. Teil I Einführung 23. Kapitel 1 Motivation 25

Einleitung 19. Teil I Einführung 23. Kapitel 1 Motivation 25 Inhaltsverzeichnis Einleitung 19 Konventionen in diesem Buch 19 Törichte Annahmen über den Leser 20 Was Sie in diesem Buch finden 20 Was Sie in diesem Buch nicht finden 20 Wie dieses Buch aufgebaut ist

Mehr

Lineare Algebra - Zusammenfassung

Lineare Algebra - Zusammenfassung Lineare Algebra - Zusammenfassung Xiaojing George Zhang 15. Februar 2008 Zusammenfassung Eine Zusammenfassung basierend auf dem Skript Lineare Algebra für Ingenieure von Prof. H. Knörer und Lineare Algebra

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I 22. Februar 2008

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I 22. Februar 2008 KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I. Februar 008 MUSTERLÖSUNG Diese Klausur wurde je nach Sitzreihe in zwei verschiedenen Versionen geschrieben. Die andere Version unterscheidet sich von der vorliegenden jedoch

Mehr

9 Vektorräume mit Skalarprodukt

9 Vektorräume mit Skalarprodukt 9 Skalarprodukt Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 79 9 Vektorräume mit Skalarprodukt 9.1 Normierte Körper Sei K ein Körper. Definition: Eine Norm auf K ist eine Abbildung : K R 0, x x mit den folgenden

Mehr

1 Euklidische und unitäre Vektorräume

1 Euklidische und unitäre Vektorräume 1 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt betrachten wir reelle und komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt. Dieses erlaubt uns die Länge eines Vektors zu definieren und (im Fall eines reellen

Mehr

5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt

5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt 5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind und wann drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daß aber reale

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Aufgabe. Sei A R 3 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a Ist det(a =, dann ist A eine orthogonale Matrix. b Ist A eine orthogonale Matrix,

Mehr

Lineare Algebra. Teil III. Inhaltsangabe

Lineare Algebra. Teil III. Inhaltsangabe Teil III Lineare Algebra Inhaltsangabe 3 Lineare Algebra 22 3.1 Einführung.......................... 22 3.2 Matrizen und Vektoren.................... 23 3.3 Spezielle Matrizen...................... 24

Mehr

Technische Universität München

Technische Universität München Technische Universität München Michael Schreier Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Montag WS 2008/09 1 komplexe Zahlen Viele Probleme in der Mathematik oder Physik lassen sich nicht oder

Mehr

4.3 Affine Punkträume

4.3 Affine Punkträume 4.3. AFFINE PUNKTRÄUME 185 4.3 Affine Punkträume Es wird jetzt der Übergang von der linearen Algebra zur analytischen Geometrie beschrieben. 4.3.1 Definition (affiner Punktraum) Sei V ein K-Vektorraum,

Mehr

Lineare Abbildungen. i=0 c ix i n. K n K m

Lineare Abbildungen. i=0 c ix i n. K n K m Kapitel 4 Lineare Abbildungen In diesem Abschnitt lernen Sie erstmals eine Klasse von strukturerhaltenden Abbildungen kennen. Diese Konzept ist von zentraler Bedeutung in der Algebra. Grob gesagt geht

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr E Schörner SS 0 Blatt 9 9060 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach Lösungsvorschlag a Die gegebene Matrix

Mehr

Klausurähnliche Aufgaben

Klausurähnliche Aufgaben Sommersemester 2007/08 Lineare Algebra Klausurähnliche Aufgaben Aufgabe 1 Seien v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 die Vektoren in R 5 mit v 1 = (1, 2, 3, 1, 2), v 2 = (2, 4, 6, 2, 4), v 3 = ( 1, 1, 3, 0, 3),

Mehr

1.11 Eigenwertproblem Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren Lineare Rekursionen Lineare Differentialgleichungssysteme Bestimmung von

1.11 Eigenwertproblem Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren Lineare Rekursionen Lineare Differentialgleichungssysteme Bestimmung von 1.11 Eigenwertproblem Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren Lineare Rekursionen Lineare Differentialgleichungssysteme Bestimmung von Wachstumsraten Bestimmung von Maximal- und Minimalwerten von

Mehr

2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme

2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme Technische Universität München Florian Ettlinger Ferienkurs Lineare Algebra Vorlesung Dienstag WS 2011/12 2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme 2.1 Matrizenrechnung 2.1.1 Einführung Vor der

Mehr

10.2 Linearkombinationen

10.2 Linearkombinationen 147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition

Mehr

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I Wiederholungsprüfung MUSTERLÖSUNG. April 2008 Name: Studiengang: Aufgabe 2 3 4 5 6 Summe Punktzahl /50 Allgemeine Hinweise: Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen jeweils unter

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Arbeitsblatt 16 Die Pausenaufgabe Aufgabe 161 Zeige, dass zu einem K-Vektorraum V mit Dualraum V die Auswertungsabbildung

Mehr

MATHEMATIK II FÜR STUDIERENDE DER PHYSIK

MATHEMATIK II FÜR STUDIERENDE DER PHYSIK - 87 - MATHEMATIK II FÜR STUDIERENDE DER PHYSIK 21 Vektorräume mit Skalarprodukt Wir halten uns hier im Wesentlichen an das Buch G.Fischer : Lineare Algebra, 14. Auflage, Kap. 5. 21.1 Definition und Beispiele

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 29.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 13 Wiederholung Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich dem Spaltenrang der darstellenden

Mehr

44 Orthogonale Matrizen

44 Orthogonale Matrizen 44 Orthogonale Matrizen 44.1 Motivation Im euklidischen Raum IR n haben wir gesehen, dass Orthonormalbasen zu besonders einfachen und schönen Beschreibungen führen. Wir wollen das Konzept der Orthonormalität

Mehr

Lösungsskizzen zur Klausur

Lösungsskizzen zur Klausur sskizzen zur Klausur Mathematik II Sommersemester 4 Aufgabe Es seien die folgenden Vektoren des R 4 gegeben: b = b = b 3 = b 4 = (a) Prüfen Sie ob die Vektoren b b 4 linear unabhängig sind bestimmen Sie

Mehr

4 Lineare Abbildungen und Matrizen

4 Lineare Abbildungen und Matrizen Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4 Kern und Injektivität 4 Definition: Sei : V W linear Kern : {v V : v } ist linearer eilraum von V Ü68 und heißt

Mehr

V DETERMINANTEN In diesem Kapitel entwickeln wir die Theorie der Determinanten Die folgenden Beispiele sollen die Einfuhrung dieses Begries motivieren

V DETERMINANTEN In diesem Kapitel entwickeln wir die Theorie der Determinanten Die folgenden Beispiele sollen die Einfuhrung dieses Begries motivieren SKRIPTUM { LINEARE ALGEBRA II JB COOPER Inhaltsverzeichnis: x Determinanten x Eigenwerte x Euklidische Raume x8 Dualitat, Tensorprodukte, Alternierende Formen Anhang: ) Mengen, Abbildungen ) Gruppen )

Mehr

3.3 Das charakteristische Polynom

3.3 Das charakteristische Polynom LinAlg II Version 1 2. Mai 2006 c Rudolf Scharlau 209 3.3 Das charakteristische Polynom Wir setzen die im vorigen Abschnitt begonnene Untersuchung von Eigenvektoren und Eigenwerten fort und stellen den

Mehr

1 Linearkombinationen

1 Linearkombinationen Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Linearkombinationen Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch

Mehr

Einführung in die höhere Mathematik 2

Einführung in die höhere Mathematik 2 Herbert Dallmann und Karl-Heinz Elster Einführung in die höhere Mathematik 2 Lehrbuch für Naturwissenschaftler und Ingenieure ab 1. Semester Mit 153 Bildern Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig /Wiesbaden

Mehr

In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa. Unterraum,

In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa. Unterraum, 2 Vektorräume In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa Unterraum, Linearkombination, lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensystem.

Mehr

Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen

Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen KAPITEL 4 Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen 1. Lineare Abbildungen Definition 4.1 (Lineare Abbildungen). Seien V und W zwei Vektorräume über den selben Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 05.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 14 Linearkombinationen Definition Es sei V ein reeller Vektorraum. Es sei (v i ) i

Mehr

Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung

Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung Kapitel 2: Matrizen 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung 2.1 Matrizen M = n = 3 m = 3 n = m quadratisch M ij : Eintrag von M in i-ter

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag

Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr E Schörner WS / Blatt 6 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag Wir verwenden das Unterraumkriterium,

Mehr

Teil 2 LINEARE ALGEBRA II

Teil 2 LINEARE ALGEBRA II Teil 2 LINEARE ALGEBRA II 27 Kapitel VII Euklidische und unitäre Vektorräume Wir beschäftigen uns jetzt mit Vektorräumen, die noch eine zusätzliche Struktur tragen Der Winkel zwischen Vektoren im IR 2

Mehr

5. Übung zur Linearen Algebra II -

5. Übung zur Linearen Algebra II - 5. Übung zur Linearen Algebra II - en Kommentare an Hannes.Klarner@Fu-Berlin.de FU Berlin. SS 2. Aufgabe 7 5 A := 2. 3 2 (i) Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von A. (ii) Ist A diagonalisierbar?

Mehr

45 Eigenwerte und Eigenvektoren

45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.

Mehr

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016 Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Mehr

11 Eigenwerte und Eigenvektoren

11 Eigenwerte und Eigenvektoren 11 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir wissen bereits, dass man jede lineare Abbildung ϕ : K n K n durch eine n n-matri A beschreiben kann, d.h. es ist ϕ() = A für alle K n. Die Matri A hängt dabei von der

Mehr

Klausur Lineare Algebra I & II

Klausur Lineare Algebra I & II Prof. Dr. G. Felder, Dr. Thomas Willwacher ETH Zürich, Sommer 2010 D MATH, D PHYS, D CHAB Klausur Lineare Algebra I & II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Studiengang: Bitte nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte

Mehr

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema 1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und

Mehr

Matrizen und Determinanten, Lineare Gleichungssysteme, Vektorrechnung, Analytische Geometrie

Matrizen und Determinanten, Lineare Gleichungssysteme, Vektorrechnung, Analytische Geometrie Regina Gellrich Carsten Gellrich Matrizen und Determinanten, Lineare Gleichungssysteme, Vektorrechnung, Analytische Geometrie Mit zahlreichen Abbildungen, Aufgaben mit Lösungen und durchgerechneten Beispielen

Mehr