Statistische Methoden MMST-1 Beschreibung der Stichprobe

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1 Fak. Elektrotechnik & Informationstechnik Institut für Automatisierungstechnik Professur für Prozessleittechnik Statistische Methoden MMST-1 Beschreibung der Stichprobe VL MMS Wintersemester 2011 Professur für Prozessleittechnik L. Urbas, J. Ziegler

2 Evaluation mittels Stichprobe Beschreibende Statistik Stichprobenziehung Inferenzstatistischer Schluss Population Stichprobenmitglieder MMST (c) Urbas

3 Übersicht deskriptive Statistik Typen von Messgrößen, Skalenniveaus Nominal, Ordinal, Reell (Interval,Verhältnis,Absolut) Tabellarische & grafische Analyse Häufigkeitsverteilung diskreter Daten Empirische Verteilungsfunktion Klassifizierung/Kategorisierung stetiger Daten Verteilungsmaße zentrale Tendenz, Streuung, Schiefe Standardisierung Z-Standardisierung, Standardisierte Mittelwertsdifferenz Korrelation zweier intervallskalierter Merkmale MMST (c) Urbas

4 Rechenbeispiele in R R is a system for statistical computation and graphics. It consists of a language plus a run-time environment with graphics, a debugger, access to certain system functions, and the ability to run programs stored in script files. R has a home page at It is free software distributed under a GNU-style copyleft, and an official part of the GNU project ( GNU S ) MMST (c) Urbas

5 Einführung Messreihe (Stichprobe, Datensatz) X 1, X 2,, X n n: Stichprobenumfang Beschreibende Statistik: Übersichtliche Darstellung von Eigenschaften der Messreihe Explorative Statistik: Auffinden von unbekannten Strukturen der Messreihe MMST (c) Urbas

6 Fak. Elektrotechnik & Informationstechnik Institut für Automatisierungstechnik Professur für Prozessleittechnik Typen von Messgrößen / Skalen MMST (c) Urbas

7 Typen von Messgrößen (Skalen) Anzahl der auftretenden Ausprägungen x i Endlich oder abzählbar unendlich: diskret Alle Werte x eines Intervalls: stetig Struktur des Wertebereichs Abstandbegriff vorhanden? Ordnungsbegriff vorhanden? Abstand? Ordnung? Beispiel Reell Ja Ja Temperatur [K] Ordinal Nein Ja Schulnote 1..6 Zirkulär Ja Nein Uhrzeit Nominal Nein Nein Studiengang MMST (c) Urbas

8 Reelle Messgrößen Intervallskala Nullpunkt & Maßeinheit nicht eindeutig festgelegt Lineartransformation zwischen Intervallskalen: Beispiele: Temperatur in Celsius/Fahrenheit, Kalenderzeit Verhältnisskala Fester Nullpunkt Proportionale Transformation zw. Verhältnissk.: Beispiele: Absolutskala Länge, Masse, Dauer, Winkel, Preise, Temperatur in K y = b + 0 b1 x Einheit festgelegt: Häufigkeit, Anzahl Personen/Hörsaal 1 ; 1 > y = b x b MMST (c) Urbas

9 Fak. Elektrotechnik & Informationstechnik Institut für Automatisierungstechnik Professur für Prozessleittechnik Tabellarische & grafische Analyse MMST (c) Urbas

10 Häufigkeitsverteilung diskreter Daten Beispiel: Beobachtung eines Operators über 14 Tage Aufzeichnung der Fehler/Tag Urliste Häufigkeitstabelle Urliste Beobachtungstag x i Anzahl Fehler Nummerische Häufigkeitstabelle Kummulierte absolute Häufigkeit N i MMST (c) Urbas Kummulierte relative Häufigkeit F i Anzahl Fehler x i Anzahl Tage n(x i )=n i Anteil der Tage h(x i )=h i 0 3 0,21 3 0, ,29 7 0, , , , , , ,00 Summe 14 1

11 Häufigkeit der Merkmalsausprägung Stab/Balkendiagramm n i n i x i x i MMST (c) Urbas

12 Empirische Verteilungsfunktion Kummulierte relative Häufigkeit / relative Summenhäufigkeit Empirische Verteilungsfkt. Fn(x) ecdf(x) x MMST (c) Urbas

13 R: Häufigkeitstabelle, H.verteilung, empirische Verteilungsfkt. Was tun, wenn eine realisierbare Merkmalsausprägung nicht in den beobachteten vorkommt? MMST (c) Urbas

14 Häufigkeitsverteilung stetiger, mindestens intervallskalierter Merkmale Häufigkeitstabelle Aufteilung in k disjunkte Klassen n Tabellieren: Anzahl der Punkte der Messreihe, die in einer Klasse liegen Beispiel: Verkehrstote in UK MMST (c) Urbas

15 Verteilungsarten Symetrie Symetrisch (Körpergröße) Asymetrisch (Einkommen) Modalität unimodal (Einkommen BRD) bimodal (Einkommen in Stadt mit Armenviertel) multimodal Breite Schmalgipflig (Laufzeiten Profis) Breitgipflig (Laufzeiten untrainierte Personen) Schiefe linkssteil(rechtsschief) : Streckenlänge mit Auto, Bier/PartyTN rechtssteil(linksschief): Frage: WS dass GER gg. AUS gewinnt? MMST (c) Urbas

16 Fak. Elektrotechnik & Informationstechnik Institut für Automatisierungstechnik Professur für Prozessleittechnik Verteilungskennwerte MMST (c) Urbas

17 Verteilungskennwerte Kennzahlen sind häufig prägnanter als Grafiken Vergleich von Verteilungen zweier Stichproben mit dem Ziel statistische Entscheidungen zu treffen: Zeigen zwei Gruppen (z.b. mit altem/neuem UI) im Durchschnitt unterschiedliche Ausprägungen in einem abhängigen Merkmal (z.b. Leistung)? Maße der zentralen Tendenz (Mittelwerte) Zentrum einer Verteilung Maße der Streuung (Dispersion) Ausmaß an Unterschiedlichkeit in einer Verteilung Maße der Schiefe Symetrie der Verteilung MMST (c) Urbas

18 Maße für die zentrale Tendenz (1/2) Modus / Modalwert Merkmalsausprägung x i, die am häufigsten gemessen wird Wenig aussagekräftig bei multimodalen Verteilungen, Bereits für nominalskalierte Merkmale sinnvoll Median (50%-Wert, Zentralwert) Der Wert x i für den gilt, dass 50% aller Werte größer und 50% kleiner sind N ungerade: ((N+1)/2)-ter Wert der geordneten Reihe mod N ungerade : arith. Mittel (N/2)-ter, ((N+2)/2)-ter Mindestens ordinalskalierte Merkmale x = arg max h( x) x x i MMST (c) Urbas

19 Maße für die zentrale Tendenz (2/2) Arithmetisches Mittel ( Durchschnitt ) x = 1 n i= 1 Mindestens intervallskalierte Messwerte Eigenschaften n x i Summe der Abweichungen der Messwerte vom MW = 0 Summe der quadrierten Abweichungen = min Lineare Transformation der Einzelwerte führt zu gleicher Trafo bei arithm. Mittel MMST (c) Urbas

20 Beispiel: Fehler / Tag R hat keine Modus-Funktion selbst definieren modus(x) : 2 median(x) : 1.5 mean(x) : MMST (c) Urbas

21 Arithm. Mittel NICHT bei ordinalskalierten Daten einsetzen! Wie würden Sie die Fachkompetenz der folgenden Politiker einschätzen? 1=sehr niedrig, 2=eher hoch, 3=hoch, 4=sehr hoch Politiker PA PB mean(pa): 2.06, mean(pb): 2.03 Für beide zwischen eher hoch und hoch, obwohl PAs Fachkompetenz von mehr als der Hälfte der Befragten als sehr niedrig eingeschätzt wurde median(pa): 1, median(pb): MMST (c) Urbas

22 Arithm. Mittel und Ausreisser Beispiel: Monatliches Budget von 30 Studenten 29 mit Finanzbudget zwischen EUR, Mittelwert ~ 550 EUR Ein Student mit 5000 EUR Mittelwert über alle: 700 EUR Optimale Repräsentation nach Kriterium der kleinsten Quadrate, zur Schätzung der Einzelwerte jedoch nahezu nutzlos 29 Personen überschätzt, 1 Person drastisch unterschätzt Bessere Repräsentation durch Median Unbeeinflusst von Ausreißer! MMST (c) Urbas

23 Beschreibung der Streuung (1/2) mindestens ordinalskaliert Spannweite (Range) Informationsverlust bei Ausreissern Quartilabstand (Interquartilbereich) Q dif = Q 3 -Q 1 =P 75 -P 25 Box-and-Whisker-Plot Kombination Median, Interquartilbereich, Range Ausreißer: z.b. mehr als eine Box-Breite außerhalb Box (je nach Library) MMST (c) Urbas

24 Beschreibung der Streuung (1/2) mindestens intervallskaliert Mittlere absolute Abweichung x n MAD = ( x i x ) n i= 1 Stichprobenvarianz (mittl. quadratische Abweichung) s 2 = 1 n Streuung (Standardabweichung) 1 n i= 1 ( x i x) 2 s = 2 s MMST (c) Urbas

25 Beschreibung der Streuung (2/2) mindestens intervallskaliert Stichprobenvarianz s 2 = 1 n n i= 1 ( x i x) Schätzung der Varianz der Population aufgrund einer Stichprobe des Umfangs n 1 2 n 2 2 ˆ 2 σ = ( x i x) n 2 ˆ σ = s n 1 i= 1 n MMST (c) Urbas

26 Interpretation Beispiel Arithmetisches Mittel der Teilnehmer MMST: 176 cm Mittlere durchschnittliche Abweichung: 9 cm Aufgabe: Schätze im voraus die Größe des nächsten Seminarteilnehmers der den Raum betritt: 176 cm: beste Prognose nach Kriterium kleinster Fehlerquadrate! Interpretation MAD: Wir liegen fast immer falsch: Im Durchschnitt werden wir uns um 9cm verschätzen Streuung: Abweichung wird mit sich selbst gewichtet! Maß für Unterschiedlichkeit der Werte der Stichprobe MMST (c) Urbas

27 Fak. Elektrotechnik & Informationstechnik Institut für Automatisierungstechnik Professur für Prozessleittechnik Standardisierung MMST (c) Urbas

28 Vergleich verschiedener Merkmale Beispiel: Stichprobe Äpfel: x A =150g, s A =10g Stichprobe Birnen: x B =180g, s B =10g Common Sense: Ein Apfel mit 160g ist ein relativ schwerer Apfel Eine Birne mit 170g ist eine relative leichte Birne Standardisierung? MMST (c) Urbas

29 Z-Standardisierung Z-Wert: Wie viele Standardabweichungen und in welche Richtung weicht ein Messwert xi vom arithmetischen Mittel ab Lineartransformation: z i = 1 s x i x s = x x s Form der Verteilung wird nicht verändert! Für z gilt: mean(z): 0, sd(z)=1 i 1 x z = x = 0 s( z) = 1 s = 1 s s s MMST (c) Urbas

30 Standardisierte Mittelwertsdifferenz d Aufgabe: Vergleich von Mittelwertsdifferenzen aus unterschiedlichen Untersuchungen Effektstärke d Um wieviele Standardabweichungen unterscheiden sich zwei Mittelwerte? d = x A x B σ pooled Gepoolte Standardabweichung σ pooled = ( n 2 1) ˆ σ A + ( n ( n 1) + ( n A A 2 1) ˆ σ B 1) MMST (c) Urbas B B

31 Beispiel Fragestellung Unterscheiden sich ältere Nutzer (Stichprobe A) hinsichtlich ihrer Interaktion mit mobilen Geräten von jungen Nutzern (Stichprobe B). Gruppe ØAlter x σ² N A B Klas sifikation von Cohen (1988) d ~ 0.2: schwacher Effekt d ~ 0.5: mittlerer Effekt d ~ 0.8: starker Effekt MMST (c) Urbas

32 Schiefe einer Verteilung Differenz arithm. Mittel Median dif = x x med dif > 0: tendenziell linkssteil/rechtsschief dif < 0: tendenziell rechtssteil/linksschief dif ~ 0: tendenziell symetrisch Schiefe a = 1 n n i= 1 ( xi x) s( x) MMST (c) Urbas

33 Fak. Elektrotechnik & Informationstechnik Institut für Automatisierungstechnik Professur für Prozessleittechnik Lineare Korrelations- und Regresssionsanalyse MMST (c) Urbas

34 Zusammenhangssaussagen MMST-Fragen lassen sich häufig als Zusammenhangssaussagen (wenn dann, je desto) formulieren Beispiel 1: Mobile Interaktion ist für Kontext Instandhaltung sinnvoll Wenn ein mobiles Gerät genutzt wird, dann werden weniger Fehler gemacht Merkmal A: Mobiles Gerät vs. kein Mobiles Gerät Merkmal B: Anzahl Fehler Wenn ein bestimmtes mobiles Gerät genutzt wird, dann werden deutlich weniger Fehler gemacht Merkmal A: verschiedene mobile Geräte Merkmal B: Anzahl Fehler MMST (c) Urbas

35 Zusammenhangssaussagen Beispiel 2: Selbstwirksamkeitsüberzeugung korreliert mit Lerngeschwindigkeit Je höher die Selbstwirksamkeitsüberzeugung, desto schneller werden wenige bis keine Fehler gemacht Merkmal A: Selbstwirksamkeitsüberzeugung Merkmal B: Lerngeschwindigkeit In allen Beispielen werden Merkmale in Beziehung gesetzt Beispiel 1: nominal <-> intervall (nächste VL) Beispiel 2: intervall <-> intervall MMST (c) Urbas

36 Analysearten: Mittelwertvergleich: Unterscheiden sich Gruppen hinsichtlich der durchschnittlichen Ausprägung eines Merkmals? Zusammenhangsanalyse (Korrelationsanalyse): Gehen hohe/niedrige Werte in einem Merkmal mit hohen/niedrigen Werten eines anderen Merkmals einher? Regressionsanalyse: Wie lässt sich ein Merkmal X aus einem korrelierten Merkmal Y am besten vorhersagen? Welche Transformation der x-werte führt zu einer möglichst präzise Schätzung der y-werte? MMST (c) Urbas

37 Streudiagramm DriversK drivers front rear kms PetrolPr VanKille law MMST (c) Urbas

38 Korrelationsrechnung Gesucht: Maß für Stärke eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei Größen: Wie stark spiegeln sich Veränderungen in einem Merkmal in einem anderen wider? Ansätze: ( Fechners Korrelationsindex r F ) Kovarianz (zentrales Produktmoment) COV Pearsons Produkt-Moment-Korrelation r MMST (c) Urbas

39 Fechners Korrelationsindex F Einfaches und anschauliches Maß Abweichungsprodukt awp: awp k = Anzahl der Objekte mit awp >0 d = Anzahl der Objekte mit awp <0 Interpretation: i = ( xi x)( yi y) = xi yi F =-1 Nur gegengerichtete Objekte F =0 Gleich/gegengerichtet gleich häufig F =1 Nur gleichgerichtete Objekte Δy r F d k = n n k k + Δx n n d d d k MMST (c) Urbas

40 (Stichproben)Kovarianz Berücksichtigt auch Stärke der Abweichung vom Mittelwert pro Objekt: COV ( x, y) n n 1 1 = sxy = i i n i= 1 n i= 1 ( x x)( y y) = x y x y COV(x,y)<0 negativer linearer Zusammenhang COV(x,y)~0 Kein Zusammenhang COV(x,y)>0 positiver linearer Zusammenhang Wertebereich Kovarianz (Schwarz sche Ungleichung) [ COV ( x, y) ] sxsy sxsy sxy sxsy i i MMST (c) Urbas

41 COV variant ggü. Lineartranformation! COV ist kein eindeutiges Zusammenhangsmaß (z.b. Änderung Maßeinheit) Beispiel: Gewicht (X) in kg, Größe in m COV(x,y) : Größe in cm COV(x,y) : 102,67 Allgemein: p=b 01 +b 11 x; q=b 01 +b 12 y COV(p,q)=b 11 b 12 COV(x,y) data$gewicht data$größe MMST (c) Urbas

42 Pearsons Produkt-Moment-Korrelation r Standardisierung durch Produkt der Streuungen r = COV ( x, s x s y y) Invariant ggü. Lineartransformation Wertebereich r = -1 : perfekt negativ linearer Zusammenhang r ~ 0 : kein linearer Zusammenhang (X,Y müssen dennoch nicht unabhängig sein!) r =+1 : perfekt positiv linearer Zusammenhang MMST (c) Urbas

43 Effektstärke r Cohen (1988) gibt grobe Orientierung: r ~.1 : schacher Effekt r ~.3 : mittlerer Effekt r ~.5 : starker Effekt Vorsicht: Güte der Korrelation Stärke/Effekt Bewerberauswahl Sei Korrelation Bewerbungsgespräch/Berufseignung:.1 Alternative mit Korrelation.3 wäre sehr gut Pünktlichkeit von Zügen Korrelation Ankunftszeit/Fahrplan.99 kann sehr schlecht sein (Beispiel: ) MMST (c) Urbas

44 Lineare Regressionsanalyse X ist bekannt (Prädiktor) Y soll möglichst präzise geschätzt werden (Kriterium) Einfache lineare Regressionsanalyse Nur sinnvoll wenn X und Y korreliert sind Es soll lineare Funktion gefunden werden, die Zusammenhang zwischen X und Y optimal beschreibt yˆ i = b0 + b1 x i Methode der kleinsten Quadrate: QS Fehler ( b 0, b 1 ) = n i= ( y yˆ ) = ( y ( b + b x )) = min i MMST (c) Urbas i n i= 1 i 0 1 i!

45 Optimale Schätzung Regressionsgleichung nach Kriterium der kleinsten Quadrate liefert optimale Schätzung wenn: COV( x, y) VAR( x) yˆ i = b0 + b1 xi = y x + COV( x, y) VAR( x) x i MMST (c) Urbas

46 Abschließende Hinweise Ergebnisse der hier berichteten Verfahren haben nur Gültigkeit für die Stichprobe Beispiel: Experiment mit 10 Pbd UV: Gestaltungsalternative, AV: Leistung, r=0.3 Falsch: Gestaltung und Leistung korrelieren zu r =.3 Richtig: In dieser Untersuchung mit diesen Probanden korrelieren Gestaltung und Leistung zu r =.3 a. Wert für r wird sich in einer beliebigen anderen Gruppe nie wieder zeigen b. Wert kann in anderer Gruppe auch höher sein MMST (c) Urbas

47 Literaturhinweise Einführung in die Statistik Wirtz, M., Nachtigall, Ch. (2006). Weinheim.. Juventa, Bortz, J., Döring, N. (2006).. Springer, Berlin. Einführung R Dalgaard, P. (2008, 2nd. Ed).. Springer, Berlin. Adler, J. (2009). Weiterführendes Material. O Reilly, Sebastopol(CA). Cohen, J. (1992). A power primer., 112, MMST (c) Urbas