Algorithmen in Zellularautomaten

Transkript

1 Algorithmen in Zellularautomaten Algorithmen in Zellularautomaten 2. Berechnungsmächtigkeit von Zellularautomaten Thomas Worsch Fakultät für Informatik Karlsruher Institut für Technologie Sommersemester / 20

2 Überblick Überblick Simulation von Schaltwerken 2 / 20

3 Simulation von Schaltwerken Überblick Simulation von Schaltwerken 3 / 20

4 Simulation von Schaltwerken Beispiel WIREWORLD 4 / 20

5 Simulation von Schaltwerken Beispiel WIREWORLD Elektronen laufen über Drähte von einem Gatter zum nächsten 4 / 20

6 Simulation von Schaltwerken 2.3 Satz Es gibt einen Zellularautomaten (nämlich WIREWORLD) mit R = Z 2, N = M (2) 1, Q = 4 und geeignetem δ, mit dem man jeden endlichen Automaten (mit beliebig großer Zustandsmenge und beliebiger Überführungsfunktion) simulieren kann. Beachte hier keine Präzisierung des Begriffes Simulation ein Zellularautomat für alle endlichen Automaten sonst wäre es trivial... Kodierung des EA in der Anfangskonfiguration 5 / 20

7 Simulation von Schaltwerken 2.4 Beweisidee endlichen Automaten aus WIREWORLD Gattern zusammensetzen Problem: Timing (insbesondere: Inverter!) Lösung: Gatter einbetten in normierte Module: Größe Laufzeit Eingang Ausgang: 48 Takte 1-Bit: Zeitintervall der Länge 24 mit einem Elektron 0-Bit: Zeitintervall der Länge 24 ohne ein Elektron 6 / 20

8 Simulation von Schaltwerken 2.4 Beweisidee endlichen Automaten aus WIREWORLD Gattern zusammensetzen Problem: Timing (insbesondere: Inverter!) Lösung: Gatter einbetten in normierte Module: Größe Laufzeit Eingang Ausgang: 48 Takte 1-Bit: Zeitintervall der Länge 24 mit einem Elektron 0-Bit: Zeitintervall der Länge 24 ohne ein Elektron alternative Konstruktion 6 / 20

9 Simulation von Schaltwerken 2.4 Beweisidee endlichen Automaten aus WIREWORLD Gattern zusammensetzen Problem: Timing (insbesondere: Inverter!) Lösung: Gatter einbetten in normierte Module: Größe Laufzeit Eingang Ausgang: 48 Takte 1-Bit: Zeitintervall der Länge 24 mit einem Elektron 0-Bit: Zeitintervall der Länge 24 ohne ein Elektron alternative Konstruktion ein logischer Draht zwei physikalische Drähte 1-Bit: Elektron auf dem einen phys. Draht 0-Bit: Elektron auf dem anderen phys. Draht Inverter Kreuzung physikalischer Drähte 6 / 20

10 Simulation von Schaltwerken Eine ganze CPU und weitere Hinweise findet man auf der Seite z. B. einen Ansatz, wie man das ganze auch unempfindlich gegenüber Verzögerungen auf Leitungen machen kann, fand man auf Auf findet man noch Teile einer Version von April / 20

11 Simulation von Schaltwerken 2.5 Bemerkungen Mit WIREWORLD kann man sogar einen programmgesteuerten Universalrechner simulieren. Problem: Speicherplatz Größe nicht beschränkbar in der Anfangskonfiguration unendlich viel Draht Aber: Diese Anfangskonfiguration ist endlich beschreibbar! 8 / 20

12 Simulation von Schaltwerken 2.5 Bemerkungen Mit WIREWORLD kann man sogar einen programmgesteuerten Universalrechner simulieren. Problem: Speicherplatz Größe nicht beschränkbar in der Anfangskonfiguration unendlich viel Draht Aber: Diese Anfangskonfiguration ist endlich beschreibbar! Alternativen BANKS und LIFE gleiches Prinzip, kompliziertere Details verbesserter ZA von Banks: Erzeugung zusätzlicher Drähte möglich endliche Anfangskonfiguration reicht 8 / 20

13 Überblick Simulation von Schaltwerken 9 / 20

14 Definition (Turingmaschine, 1 Band, 1 Kopf) 10 / 20

15 Definition (Turingmaschine, 1 Band, 1 Kopf) Bestandteile endliche Zustandsmenge Q endliches Bandalphabet B Überführungsfunktion δ : Q B Q B { 1, 0, 1} Konfiguration einer TM c = (s,b,p) Q B Z Z 10 / 20

16 Definition (Schritt einer TM) Konfigurationsüberführungsfunktion durch δ : Q B Q B { 1, 0, 1} induziert : Q B Z Z Q B Z Z Für c = (s,b,p) ist (c) = (s,b,p ) mit s = δ(s,b(p))[1], { δ(s,b(p))[2] falls i = p für alle i Z ist b (i) = b(i) falls i p p = p + δ(s,b(p))[3]. 11 / 20

17 Satz Zu jeder TM T = (Q T, B T, δ T ) existiert ein eindimensionaler ZA C = (Q C, δ C, H (1) 1 ), der T ohne Zeitverlust schrittweise simuliert. 12 / 20

18 Beweisskizze: Idee 13 / 20

19 Beweisskizze: Idee C 13 / 20

20 Beweisskizze: Idee C 13 / 20

21 Beweisskizze: Idee a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 C a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 13 / 20

22 Beweisskizze: Idee s C a 1 a 2 a s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 3 a 4 a 5 13 / 20

23 Beweisskizze: Idee s C a 1 a 2 a s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 3 a 4 a 5 setze Q C = (Q T {_ }) B T repräsentiere c T = (s,b,p) durch c C c C : Z Q { C (s,b(p)) falls i = p i (_,b(i)) falls i p 13 / 20

24 Beweisskizze: lokale Überführungsfunktion Setze (unter anderem) δ C ((_, a l ), (_, a m ), (_, a r )) = (_, a m ) 14 / 20

25 Beweisskizze: lokale Überführungsfunktion Setze (unter anderem) δ C ((_, a l ), (_, a m ), (_, a r )) = (_, a m ) { (s δ C ((s, a l ), (_, a m ), (_, a r )) =, a m ) falls δ T (s, a l ) = (s, a l, 1) (_, a m ) sonst 14 / 20

26 Beweisskizze: lokale Überführungsfunktion Setze (unter anderem) δ C ((_, a l ), (_, a m ), (_, a r )) = (_, a m ) { (s δ C ((s, a l ), (_, a m ), (_, a r )) =, a m ) falls δ T (s, a l ) = (s, a l, 1) (_, a m ) sonst { (s δ C ((_, a l ), (s, a m ), (_, a r )) =, a m) falls δ T (s, a m ) = (s, a m, 0) (_, a m) falls δ T (s, a m ) = (s, a m, ±1) { (s δ C ((_, a l ), (_, a m ), (s, a r )) =, a m ) falls δ T (s, a r ) = (s, a r, 1) (_, a m ) sonst 14 / 20

27 Verallgemeinerungen Das eben war der einfache Fall eines Bandes und eines Kopfes. Man simuliere ohne Zeitverlust eine TM mit zwei Bändern (und je einem Kopf darauf) eine TM mit zwei Köpfen (auf einem Band) eine TM mit 19 Bändern und verschieden vielen Köpfen darauf 15 / 20

28 Verallgemeinerungen Das eben war der einfache Fall eines Bandes und eines Kopfes. Man simuliere ohne Zeitverlust eine TM mit zwei Bändern (und je einem Kopf darauf) eine TM mit zwei Köpfen (auf einem Band) eine TM mit 19 Bändern und verschieden vielen Köpfen darauf Ideen: 15 / 20

29 Verallgemeinerungen Das eben war der einfache Fall eines Bandes und eines Kopfes. Man simuliere ohne Zeitverlust eine TM mit zwei Bändern (und je einem Kopf darauf) eine TM mit zwei Köpfen (auf einem Band) eine TM mit 19 Bändern und verschieden vielen Köpfen darauf Ideen: verschiebe nicht die Köpfe, sondern die Bänder 15 / 20

30 Verallgemeinerungen Das eben war der einfache Fall eines Bandes und eines Kopfes. Man simuliere ohne Zeitverlust eine TM mit zwei Bändern (und je einem Kopf darauf) eine TM mit zwei Köpfen (auf einem Band) eine TM mit 19 Bändern und verschieden vielen Köpfen darauf Ideen: verschiebe nicht die Köpfe, sondern die Bänder warte nicht, bis alles verschoben, sondern / 20

31 Verallgemeinerungen Das eben war der einfache Fall eines Bandes und eines Kopfes. Man simuliere ohne Zeitverlust eine TM mit zwei Bändern (und je einem Kopf darauf) eine TM mit zwei Köpfen (auf einem Band) eine TM mit 19 Bändern und verschieden vielen Köpfen darauf Ideen: verschiebe nicht die Köpfe, sondern die Bänder warte nicht, bis alles verschoben, sondern simuliere den nächsten Schritt, sobald alle benötigten Informationen verfügbar 15 / 20

32 Übung Man implementiere für eine Richtung das Herholen des Bandabschnitts, i. e. das Wegschieben einer Lücke das Wegschieben eines Bandabschnitts 16 / 20

33 Band- statt Kopfverschiebung bei einem Band (1)... s a b c d e f g h... δ T (s, d) = (s, x, 1)... s a b c e f g h x s a b c x f g h e s a b c x e g h f s a b c x e f h g...

34 Band- statt Kopfverschiebung bei einem Band (2)... s a b c d e f g h... δ T (s, d) = (s, x, 1)... s a b c e f g h x s a b c x f g h... δ T (s, c) =... e... (s, y, 1)... s a b x e g h y f s a b y e f h x g...

35 Band- statt Kopfverschiebung bei einem Band (3)... s a b c d e f g h... δ T (s, d) = (s, x, 1)... s a b c e f g h x s a b c x f g h... δ T (s, c) =... e... (s, y, +1)... s a b x e g h y f s a y x e f h b g...

36 Zusammenfassung Es gibt Zellularautomaten, die einen klassischen Universalrechner simulieren können. 20 / 20

37 Zusammenfassung Es gibt Zellularautomaten, die einen klassischen Universalrechner simulieren können. Zellularautomaten können jede Funktion berechnen, die Turingmaschinen berechnen können. 20 / 20

38 Zusammenfassung Es gibt Zellularautomaten, die einen klassischen Universalrechner simulieren können. Zellularautomaten können jede Funktion berechnen, die Turingmaschinen berechnen können. Und umgekehrt? 20 / 20