Hier ist ein einfaches Turingprogramm. Außer dem Leerzeichen ist das Band nur mit. 1 belegt.

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1 Die Turingmaschine besteht aus der Steuereinheit, die verschiedene Zustände annimmt dem Band, welches unendlich ausgedehnt ist, aber nur auf einem endlichem Bereich mit Zeichen aus einem Alphabet beschrieben ist dem Lese-Schreib-Kopf der Übergangstabelle Hier ist ein einfaches Turingprogramm. Außer dem Leerzeichen ist das Band nur mit 1 belegt. vorher nachher Zustand Zeichen Zustand Zeichen Bewegung z 0 z 1 R z 1 1 z 1 1 R z 1 z 2 1 H Überlegen Sie, weshalb man sagt, diese Übergangstabelle realisiere Addition von 1 bei Unärdarstellung. Interaktive Simulation der Turingmaschine: In jedem Verarbeitungsschritt: wird das Zeichen unter dem Lese-Schreib-Kopf gelesen wird in der Übergangstabelle nach dem Eintrag gesucht, der dieses Zeichen und den aktuellen Zustand der Steuereinheit enthält, werden Zeichen und Zustand entsprechend der Angaben in der Übergangstabelle geändert und wird der Lese-Schreib-Kopf um eine Position nach links (L) oder rechts (R) weiterbewegt. Auch dies wird in der Übergangstabelle festgelegt. Der Lese-Schreib-Kopf kann auch angehalten werden (H). Die Verarbeitung ist dann beendet Modul Turingmaschine 258

2 7.1.2 Grenzen der Berechenbarkeit Es gibt Funktionen, die nicht berechenbar sind. Wegen der Church schen These heißt dies: die nicht mit einer Turingmaschine berechnet werden können. 1 Beispiel: Halteproblem Menge der Eingaben: alle möglichen Übergangstabellen U von Turingmaschinen Funktion f: 8 1 falls die Turingmaschine mit >< Übergangstabelle U für jede f(u) = Bandbelegung anhält, >: 0 sonst Es gibt keine Übergangstabelle für eine Turingmaschine, die f berechnet. Den Nachweis zu dieser Aussage können wir hier nicht führen. Die Berechnung von Funktionen, die nur die Werte 0 und 1 annehmen, nennt man auch (ja/nein)-entscheidungen. Man sagt deshalb: Das Halteproblem ist nicht entscheidbar. 2 Beispiel: Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik Die Prädikatenlogik baut auf der Aussagenlogik auf. Prädikate enthalten Variablen; für jede Belegung der Variablen nehmen sie den Wert wahr oder falsch an. Prädikate können wie Aussagen verknüpft werden, zusätzlich auch mit den Quantoren und. Genaueres wird hier nicht erläutert. Die Frage, ob eine prädikatenlogische Formel für jede Belegung der Variablen den Wert wahr annimmt, ist nicht entscheidbar. 3 Beispiel: Unentscheidbarkeit der Korrektheit Die Frage, ob ein Programm semantisch korrekt ist (d.h. es berechnet tatsächlich die spezifizierte Funktion), ist unentscheidbar. Auch für diese Beispiele ist ein Beweis weit jenseits von dem, was wir hier machen können

3 7.2 Komplexitätstheorie Komplexität von Algorithmen Wie genau kann man die Laufzeit T eines Algorithmus vorhersagen? T hängt ab von der jeweiligen Implementierung vom verwendeten Rechner von der jeweiligen Eingabe... 4 Beispiele: a) Euklidischer Algorithmus berechnet ggt(a, b) für a, b N. r := a mod b solange r 0 a := b b := r r := a mod b ggt := b Folgerung: T hängt insbesondere von der Größe n der Eingabe ab: T = T(n) Für festes n kann T(n) immer noch unterschiedlich sein. Wir verwenden für T(n) hier stets den worst case, also die längste Laufzeit bei festem n. Es ist nicht sinnvoll, T(n) zu genau bestimmen zu wollen. Es genügt, die Zahl der elementaren Schritte eines Algorithmus zu bestimmen. Eingabegröße: n = max{a, b}. Elementare Schritte: Zuweisung, Division mit Rest, Vergleich Laufzeit: solange-schleife wird höchstens log Θ n + 1 mal durchlaufen (Θ = ( 5 + 1)/2). Pro Durchlauf 3 Zuweisungen, 1 Vergleich und 1 Division mit Rest. Also T(n) C (2 + 5 (log Θ n + 1))

4 b) Sieb des Eratosthenes bestimmt alle Primzahlen n. Die t(n)-ausdrücke will man noch vereinfachen: p := 2 solange p 2 n s := 2 p {Aussieben mit Zahl p} solange s n streiche s {markieren} s := s + p setze p auf nächste, nicht gestrichene Zahl 5 Definition: Wir schreiben T(n) = O(g(n)) mit einer Funktion g : N R +, falls eine Konstante C > 0 und ein n 0 existieren, so dass gilt T(n) C g(n) für alle n n 0. Eingabegröße: n Elementare Schritte: Streichen (= Zugriff auf ein Feld und Markieren), Zuweisung, Addition, Multiplikation, Nächstes finden Laufzeit: die innere solange-schleife wird n/p-mal durchlaufen, die äußere für Primzahlen n. 0 T(n) + n X p=1, p Primzahl 1 n A. p 6 Beispiele: a) Euklidischer Algorithmus: ergibt T(n) C (2 + 5 (log Θ n + 1)). T(n) = O(log n). (Wegen log a n = log b n log a b braucht man die Basis des log in O-Termen nicht anzugeben!)

5 b) Sieb des Eratosthenes: 0 T(n) + n X p=1, p Primzahl 1 n A. p Es gibt höchstens n Primzahlen n, und n p n für alle solchen Primzahlen p. Also T(n) = O(n n) Probleme und Instanzen 7 Definition: Ein Problem ist eine zu berechnende Funktion P : D W mit zugehörigem Definitionsbereich D und Werten in W. Eine Instanz eines Problems P : D W ist ein Paar (P, S) mit S D. (O-Terme können sehr grob nach oben abschätzen.) 8 Beispiele: a) Problem größter gemeinsamer Teiler : P : N N N Instanz: (a, b) = (144, 54). b) Problem Primzahlen n : P : N Potenzmenge von N Instanz: n =

6 c) Problem des Handlungsreisenden : P : {L : L ist Liste von Städten mit Entfernungen} R + P(L) ist die Länge der kürzesten Rundtour, die alle Städte einmal besucht. Instanz: L = W RS SG K E DO W RS SG K E DO Komplexität von Problemen Wir werden jetzt Probleme in einfache und schwierige einteilen. Ein tragfähiges Konzept hierzu ist überraschend komplex. Ab jetzt schränken wir uns auf Entscheidungsprobleme ein, also P : D {0, 1}. Als Größe n einer Eingabe S D verwenden wir die Anzahl der bits bei geeigneter Binärcodierung. 9 Beispiel: Die Größe einer natürlichen Zahl k ist damit (Codierung als Binärzahl) n = O(log k). d) Teilsummenproblem : P : {M : M ist eine Menge reeller Zahlen} R {0, 1}. P(M, s) gibt an, ob es eine Teilmenge T von M gibt, bei der die Summe der Elemente gerade s ergibt. Instanz: M = { 0.2, 1, 2.3, 4.5}, s = 3.1. Folge: Die Größe der Eingabe beim Euklidischen Algorithmus ist n = O(log a + log b). Die Komplexität des Euklidischen Algorithmus wird O(n) statt O(log(max{a, b})). 10 Definition: Für ein (Entscheidungs-) Problem P : D W, ist die Komplexität t(n) des Problems P definiert als die Laufzeit des besten Algorithmus, welcher P berechnet. Hier genügt uns noch weniger als die Größenordnung O: 11 Definition: Die Klasse P ist die Menge aller Entscheidungsprobleme, für welche es eine Zahl k N gibt, so dass die Komplexität des Problems O(n k ) ist

7 P steht für polynomiale Komplexität. Probleme aus P nennt man auch effizient berechenbar. Warum ist P eine vernünftige Problemklasse? P ist weitestgehend unabhängig vom Maschinenmodell, also davon, was man als elemtare Schritte auffasst. Wir hatten auf den letzten Seiten ohne es explizit zu sagen das Random Access Memory (RAM) Modell verwendet. Verwendet man stattdessen z.b. das Modell der Turingmaschine, so ändert sich P nicht. P ist weitestgehend unabhängig von der gewählten Binärcodierung für die Eingabe. Für Probleme, die nicht in P liegen, wächst die Komplexität superpolynomial mit n. Für die Praxis sind solche Laufzeiten definitiv viel zu lang. 12 Beispiel: Das Problem Entscheide, ob k der ggt von a und b ist, liegt in P. Begründung: Es ist n = Länge einer Binärcodierung von k, a und b. Berechne ggt(a, b) mit dem Euklidischen Algorithmus (Laufzeit O(n)) und vergleiche das Ergebnis mit k (Laufzeit O(log(n)). Gesamtlaufzeit t(n) = O(n) + O(log(n)) = O(n). 269 Eine fundamentale Schwierigkeit: Zugehörigkeit eines Problems zu P kann man durch Angabe eines geeigneten Algorithmus nachweisen. Will man zeigen, dass ein Problem nicht zu P gehört, muss man zeigen, dass keine Algorithmen mit polynomialer Komplexität existieren. Dies ist sehr schwierig. Es ist noch für kein praktisch relevantes Problem gelungen zu zeigen, dass es nicht effizient berechenbar ist. Nicht effizient berechenbar ist deshalb keine günstige Art, schwierige Probleme zu charakterisieren. Alternative: Aus der eigenen Erfahrung wissen wir: Es ist in der Regel wesentlich schwieriger, eine Lösung zu bestimmen als nachzuprüfen, ob ein Lösungsvorschlag tatsächlich eine Lösung ist. Dies geht in die beiden nächsten Definitionen ein. 13 Definition: Gegeben ist ein Entscheidungsproblem P : D {0, 1} und eine Menge von Zertifikaten Z. Eine Funktion V : D Z {0, 1} verifiziert P, wenn es für jede Instanz (S, P) von P mit P(S) = 1 ein Zertifikat z = z(s) gibt mit V (S, z) = 1, und umgekehrt aus V (S, z) = 1 stets P(S) = 1 folgt. Die Größen n bzw. m von S bzw. z(s) müssen dabei m = O(n k ) erfüllen. (z darf höchstens polynomial in S wachsen.) 270

8 14 Beispiel: Das Problem Entscheide, ob p N keine Primzahl ist, wird verifiziert durch die Funktion V, welche jedem Paar (p, a) mit a {2,..., p} den Wert 1 zuordnet, wenn p durch a teilbar ist und 0 sonst. Es ist also Z = {2,..., p}. Ein Algorithmus für V ist die Division mit Rest mit anschließendem Test, ob der Rest 0 ist. Für p = 5529 ist z(p) = 57 ein Zertifikat mit V (5529, 57) = 1. Es ist leichter auszurechnen, dass 57 die Zahl 5529 teilt, als zu zeigen, dass 5529 keine Primzahl ist. 15 Definition: Die Klasse NP besteht aus all den (Entscheidungs-) Problemen, welche von einer Funktion verifiziert werden, für die es einen Algorithmus mit polynomialer Laufzeit gibt. Die Bezeichnung NP kommt daher, weil man die Klasse äquivalent charakterisieren kann als die Probleme, welche mit einem nichtdeterministischen Algorithmus in polynomialer Zeit berechnet werden können. 16 Satz: P NP Beweis Sei P : D {0, 1} aus P. Nehme eine beliebige Menge als Zertifikatmenge Z und setze V : D Z {0, 1} als V (S, v) = P(S). Der polynomiale Algorithmus, welcher P berechnet, berechnet auch V. Die Eingabe z wird dabei einfach ignoriert. Und die größte offene Frage der Theoretischen Informatik ist nun: Gilt P = NP? Die Frage ist ungeklärt, aber fast alle glauben dass die richtige Antwort Nein heißt, u.a. wegen des folgenden Resultates

9 17 Satz: Die Klasse der NP-vollständigen Probleme ist nicht leer. Diese Klasse besteht aus all den Problemen aus NP, für die gilt: Liegt P in P, so ist P = NP NP-vollständige Probleme Die folgenden Probleme sind alle als NP-vollständig nachgewiesen. Die Beweise können wir im Rahmen dieser Vorlesung nicht bringen. 18 Beispiel: a) Das Problem des Handlungsreisenden Hat man für ein NP-vollständiges Problem P gezeigt P P, so ist P = NP. Das hat bis jetzt noch niemand geschafft. Glaubt man P NP, so liegen NP-vollständige Probleme also nicht in P, sind also nicht effizient berechenbar. Merke: NP-vollständig bedeutet höchstwahrscheinlich in der Praxis nicht mit einem Algorithmus berechenbar b) Das Teilsummenproblem 19 Beispiel: Das Erfüllbarkeitsproblem: Gegeben ist eine aussagenlogische Formel mit n Aussageveriabeln. Gibt es eine Belegung der Variabeln, so dass die Formel den Wert true annimmt? Viele andere NP-vollständige Probleme beziehen sich auf Graphen. 20 Definition: Ein Graph ist eine Menge von Knoten, von denen einige durch Kanten verbunden sind

10 Beispiel: Haus vom Nikolaus 21 Beispiel: Das Hamilton-Kreis-Problem: Existiert in einem Graph ein Hamilton-Kreis, d.h. ein Rundweg über die Kanten, der jeden Knoten genau einmal besucht? 22 Beispiel: Das Cliquen-Problem: Gibt es eine Clique der Größe k in einem Graphen? Eine Clique ist eine Teilmenge von Knoten, von denen zwei verschiedene stets auf einer gemeinsamen Kante liegen. Die Größe der Clique ist die Anzahl ihrer Knoten. Mehr zu Komplexität und Rechnermodellen: Automaten, Sprachen, Berechenbarkeit (Master) 275