mehreren Präzisierungen des intuitiven Begriffs des Verfahren sein muss, so legt sich nahe, dass er Der Begriff der TURING-Maschine ist eine unter

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1 7\S*UDPPDWLNHQ 7\S6SUDFKHQ XQG 7XULQJPDVFKLQHQ 258

2 785,1*0DVFKLQH70 Der Begriff der TURING-Maschine ist eine unter mehreren Präzisierungen des intuitiven Begriffs des $OJRULWKPXV bzw. der %HUHFKHQEDUNHLW (FRPSXWDELOLW\ Nimmt man an, dass ein Algorithmus ein HIIHNWLYHV Verfahren sein muss, so legt sich nahe, dass er 1) durch eine HQGOLFKH9RUVFKULIW angebbar sein muss, 2) dass jeder Schritt des Verfahrens PHFKDQLVFK ausführbar sein muss. 259

3 $ODQ7XULQJ ("On computable numbers with an application to the Entscheidungsproblem". 3URF /RQGRQ0DWK6RF 1936) hat einen Präzisierungsvorschlag für den Begriff des Algorithmus bzw. des effektiven Verfahrens geliefert, der - in etwas abgewandelter Form - heute als Standard-Formalisierung gilt. 260

4 'DV%DVLVPRGHOOGHU70 Die TM besteht aus einem (LQJDEHEDQG das in =HOOHQoder )HOGHU unterteilt ist, sowie einem /HVH 6FKUHLENRSI der eine endliche Anzahl von =XVWlQGHQ annehmen kann. Jedes Feld kann höchstens eines Symbol eines endlichen $OSKDEHWV von %DQGV\PEROHQ aufnehmen, die vom Lese-Schreibkopf sowohl JHOHVHQ als auch JHVFKULHEHQwerden können. Š Š Š Š ŽœŽ Œ Ž 261

5 (LQVFKUlQNXQJ Aus technischen Gründen soll im Folgenden für das Eingabe- bzw. Rechenband folgende Einschränkung gelten: i. Es ist nach OLQNVEHJUHQ]W, so dass von der am weitesten links stehenden Zelle gesprochen werden kann, nach rechts hingegen XQEHJUHQ]W ii. Zu Beginn seien die ersten Zellen des Eingabebandes mit Symbolen des sog. (LQJDEHDOSKDEHWVbeschrieben, das eine Teilmenge des %DQGDOSKDEHWVdarstellt. iii. Die restlichen (unendlich vielen Zellen) seien mit einem speziellen Bandsymbol, dem %ODQN]HLFKHQ besetzt, das kein Eingabezeichen ist. 262

6 %HZHJXQJGHU70 Eine %HZHJXQJ der TM kann folgendes umfassen: 1. Zustandswechsel; 2. Ersetzung des gerade gelesenen Bandsymbols durch eine anderes; 3. Bewegung des Kopfes um eine Zelle nach links oder rechts 263

7 'HILQLWLRQGHV%HJULIIV70 'HILQLWLRQEine (deterministische, einseitige 1-Band) Turingmaschine (TM) ist ein 7-Tupel Σ Γ δ š, wobei eine endliche Menge von =XVWlQGHQ 2. Γ eine endliche Menge von %DQGV\PEROHQ ( Γ ) Γ das %ODQN]HLFKHQ 4. Σ Γ das Eingabealphabet (eine Teilmenge von Γ ohne ) 5. δ ist die %HZHJXQJVIXQNWLRQ, d.h. eine (partiell definierte) Abbildung von Γ Γ (δ muss also nicht für alle š Γdefiniert sein) š der 6WDUW]XVWDQG die Menge der (QG]XVWlQGH 264

8 ,QVWDQWDQHRXV 'HVFULSWLRQ,' Eine 6LWXDWLRQ oder LQVWDQWDQH %HVFKUHLEXQJ (LQVWDQWDQHRXV GHVFULSWLRQ,') ist ein Wort α šα mit š, α α Γ, wobei α α den Inhalt des Bandes bis zum am weitesten rechtsstehenden von verschiedenen Symbol, bzw. falls α ε, bis zum Symbol links vom Leseschreibkopf darstellt. 265

9 %HLVSLHOHLQHU7XULQJPDVFKLQH š š š š š δ š š δ š š š š š š š š š š š š š š š 266

10 %HLVSLHOHI U,'V š š š š š ist so zu verstehen: 1. befindet sich im Zustand T 2. liest die 1. Zelle ( also ) 3. Hinter folgen nur noch Blanks auf dem Eingabeband. Zwischen den,'v š und š besteht eine besondere Beziehung " " ("I KUWXQPLWWHOEDU ]X"): š š da δ š š 267

11 'HILQLWLRQYRQ I KUWXQPLWWHOEDU]X 1. Falls δ š, dann gilt für / š OLHVW Für, d.h. für Ausgangs-,' š gibt es mit δ š keine QlFKVWH,', da das Band links begrenzt ist. 2. Falls δ š, dann š 5 OLHVW Für ist ε 268

12 'HILQLWLRQYRQ I KUW]X ist die reflexive und transitive Hülle von d.h., falls entweder oder es gibt,,..., mit %HLVSLHOH š š denn es gilt š š wegen δ š š š š wegen δ š š š š wegen δ š š 269

13 'LHYRQ70 DN]HSWLHUWH6SUDFKH 'HILQLWLRQ Die von 70 akzeptierte Sprache Σ š α α û αα Γ d.h. die Menge der Wörter Σ, die in einen Endzustand ( ) übergehen lassen, falls von der Situation š ausgeht. Es soll gelten: KlOW in Endzuständen DQGKδ ist für undefiniert. 270

14 %HLVSLHO t š š š ersetze linkeste durch, š š š š und ersetze diese durch suche in Zustand š die nächste š š š š š š š š š š š š š š š š š š gehe in š auf Suche nach linkester, übergehe dabei und. Wenn rechtestes gefunden, beginne wieder in š Wenn alle 'en markiert, prüfe ob noch en da sind ( falls ja, verwerfe) falls nein, akzeptiere 271

15 UHNXUVLYDXI]lKOEDU UHNXUVLY 'HILQLWLRQ: ("rekursiv aufzählbar", Typ-0) ist UHNXUVLYDXI]lKOEDU oder vom 7\S Es gibt 70, die akzeptiert. 'HILQLWLRQ: ("rekursiv") ist UHNXUVLY (oder HQWVFKHLGEDU) Es gibt ein TM, so dass gilt: 1. akzeptiert (d.h. ) 2. hält für jede Eingabekette an 272

16 7XULQJPDVFKLQHQDOV (QWVFKHLGXQJVYHUIDKUHQ i. Aus den Definitionen ergibt sich: jede UHNXUVLYH Menge ist auch UHNXUVLYDXI]lKOEDU aber nicht umgekehrt. ii. Wie noch zu zeigen sein wird, gibt es Wortmengen, die zwar rekursiv aufzählbar, aber nicht rekursiv oder entscheidbar sind. iii. Für solche Wortmengen gibt es zwar Turingmaschinen 70, die sie akzeptieren; da diese Maschinen aber nicht für jeden Input anhalten, den sie QLFKW akzeptieren, können diese Maschinen nicht als Entscheidungsalgorithmen fungieren. 273

17 $EJHVFKORVVHQKHLWVHLJHQVFKDIWHQ 7KHRUHP: Das Komplement einer rekursiven Sprache ist rekursiv. %HZHLVEs sei Σ rekursiv und sei eine TM mit, die für jede ihrer Eingaben anhält. Zu zeigen ist: Es gibt für (Σ -) eine Turingmaschine mit Σ, die für jede Eingabe anhält. 274

18 .RQVWUXNWLRQHLQHU70 GLHGDV.RPSOH PHQW HLQHUUHNXUVLYHQ6SUDFKHDN]HSWLHUW Š Ž Š Ž 1. falls im Endzustand akzeptiert, dann hält ohne zu akzeptieren an; 2. Falls für anhält, ohne zu akzeptieren, geht in einen Endzustand über und hält an 275

19 $EJHVFKORVVHQKHLWE]JO9HUHLQLJXQJ 7KHRUHP: a) Die Vereinigung zweier rekursiver Sprachen ist rekursiv. b) Die Vereinigung zweier rekursiv aufzählbarer Sprachen ist rekursiv aufzählbar. %HZHLV a): Sei rekursiv und eine Turingmaschine mit, die stets anhält, ii. sei rekursiv und eine Turingmaschine mit, die ebenfalls für jede Eingabe anhält, 276

20 .RQVWUXNWLRQHLQHU70GLHGLH9HUHLQLJXQJ ]ZHLHUUHNXUVLYHU6SUDFKHQDN]HSWLHUW Š Š Š Ž Ž Š Ž d.h. falls akzeptierend anhält, so auch, Falls ablehnend anhält, dann akzeptiert genau dann wenn akzeptiert. hält also für jeden Input an und es gilt 277

21 .RQVWUXNWLRQHLQHU70I UGLH9HUHLQLJXQJ ]ZHLHUUHNXUVLYDXI]lKOEDUHU 6SUDFKHQ b) Es seien und rekursiv aufzählbar und es gelte und für zwei TM und..rqvwuxnwlrq: simuliert und auf 2 Bändern Š Š Š Š d.h. wenn auf (mindestens) einem der Bänder ein Endzustand erreicht wird, akzeptiert das Wort 278

22 .RQVWUXNWLRQHLQHU70I UGLH9HUHLQLJXQJ ]ZHLHUUHNXUVLYDXI]lKOEDUHU 6SUDFKHQ, 7KHRUHP 3: Ist sowohl als auch Σ rekursiv aufzählbar, so ist rekursiv. %HZHLV: Sei eine TM mit und eine TM mit Σ Konstruktion von mit, wobei für jede Eingabe anhält 0 Š Š Š Ž 279

23 .RQVWUXNWLRQHLQHU70I UGLH9HUHLQLJXQJ ]ZHLHUUHNXUVLYDXI]lKOEDUHU 6SUDFKHQ,, D.h. akzeptiert, wenn akzeptiert, und verwirft, wenn akzeptiert, wobei und auf separaten Bändern simuliert. Da Σ für alle Σ, gilt entweder RGHU d.h. mindestens eine der beiden TM, oder, hält für an, also auch 280

24 =XVDPPHQIDVVHQGH)ROJHUXQJHQ Aus Theorem 1 und 3 folgt: Falls Σ und Σ, also falls Komplement von ist, so gilt: (QWZHGHU und sind EHLGHUHNXUVLY RGHU LL ZHGHU QRFK sind UHNXUVLYDXI]lKOEDU RGHU ist UHNXUVLYDXI]lKOEDU aber nicht rekursiv, und ist QLFKWUHNXUVLYDXI]lKOEDU RGHU Ÿ ist UHNXUVLYDXI]lKOEDU aber nicht rekursiv, und ist QLFKWUHNXUVLYDXI]lKOEDU 281