Die Berechnung der Triangulation eines Polygons in fast-linearer Zeit.

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1 Die Berechnung der Triangulation eines Polygons in fast-linearer Zeit. Ausarbeitung zum Vortrag von Adrian Polko Anhand des Papers von Raimund Seidel: A Simple and Fast Incremental Randomized Algorithm for Computing Trapezoidal Decompositions and for Triangulating Polygons Im Rahmen des Informatik A-Seminars WS 2001/2002 Algorithmische Geometrie und Bewegungsplanung für Roboter Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, Institut für Informatik I

2 1 1 Einführung Die Triangulation von Polygonen findet in vielen Bereichen Anwendung, deshalb war die Berechenbarkeit dieses Problems schon früher von großer Bedeutung. Trotzdem blieb diese Berechenbarkeit bis vor einem Jahrzehnt ungelöst. Das Problem kann wie folgt näher spezifiziert werden: Problem: Gegeben seien die Koordinaten von n aufeinander folgenden Ecken eines einfachen Polygons P. Gesucht werden n 3 Diagonalen, die P in n 2 Dreiecke teilen. Eine kurze Geschichte: 1978 veröffentlichte Garey ein Verfahren mit der Komplexität O(n log n), welches auf einem Sweep basierte. Vier Jahre später präsentierte Chazelle einen Algorithmus mit gleicher Komplexität. Die O(n log n) Grenze wurde dann von O(n log C P ) unterboten, wobei C P den shape Parameter beschreibt, der nicht größer als n ist und vom Polygon P abhängt. Tarjan und Van Wyk machten 1986 einen Durchbruch mit einem O(n log log n) Algorithmus. Drei Jahre später erreichte auch ein einfacheres Verfahren von Kirkpatrick diese Zeitschranke. Zwischenzeitlich präsentierte Clarkson einen randomisierten Algorithmus mit der erwarteten Laufzeit O(log n). Schließlich entdeckte Chazelle ein deterministisches Verfahren mit linearer Laufzeit, welches die Frage der Komplexität dieses Problems beantwortete. Diese Ausarbeitung stellt einen randomisierten Algorithmus mit der erwarteten Laufzeit O(n log n) vor. Die Tugend des Verfahrens liegt in der Einfachheit. Außerdem ist dieser Algorithmus praktisch und läßt sich leicht implementieren, was man von den meisten o.g. Algorithmen nicht behaupten kann. Wie die meisten Vorgänger, kann unserer Algorithmus ein Polygon P nicht direkt triangulieren. Zunächst wird eine Struktur berechnet, die als Trapezzerlegung von P bezeichnet wird. Fournier und Montuno stellten fest, dass sich die Triangulation von P aus dieser Struktur in linearer Zeit ableiten läßt.

3 2 2 Trapezzerlegung In diesem und folgenden Abschnitten arbeiten wir in der euklidischen Ebene mit dem üblichen x-y Koordinatensystem. Definition 1 Zwei Liniensegmente in der Ebene heißen kreuzungsfrei, falls ihre Schnittmenge leer ist, oder aus einem gemeinsamen Endpunkt besteht. Definition 2 Sei S eine Menge von n kreuzungsfreien und nicht-horizontalen Liniensegmenten in der Ebene. Für jedes Segment aus S und jeden Endpunkt p eines Liniensegments zeichnen wir zwei horizontale Strahlen, die sich nach rechts und links von p erstrecken, bis sie auf andere Liniensegmente in S stoßen. Für jeden Endpunkt p eines Liniensegments bezeichnen wir die zwei horizontalen Strahlen, die durch p verlaufen, als horizontale Erweiterung durch p. Definition 3 Die Liniensegmente in S bilden zusammen mit ihren horizontalen Erweiterungen einen planaren Graphen, den wir Trapezzerlegung von S, oder kurz T (S) nennen. Abbildung 1: Trapezzerlegung von 5 Liniensegmenten

4 3 Da jede Fläche von T (S) aus zwei horizontalen Seiten besteht, (wobei eine die Länge 0 haben kann - wie in der Abbildung 1 -) werden diese Flächen Trapeze genannt. Was ist die Komplexität von T (S)? Falls S aus n Liniensegmenten besteht, gibt es höchstens 2n verschiedene Endpunkte. Zu jedem Endpunkt gehört die horizontale Erweiterung, die höchtens zwei Knoten in T (S) verursacht. T (S) hat deshalb höchstens 6n Knoten. Außerdem ist dieser Graph planar und hat deshalb T (S) O(n) Kanten und Flächen. Unserer Algorithmus erfordert, dass jedes Trapez in T (S) höchstens mit jeweils zwei Trapezen oberhalb und unterhalb benachbart ist. Wir bezeichnen ein Trapez als nicht degeneriert, wenn seine Ober- bzw. Unterseite sich höchstens über zwei andere Trapezunter- bzw. oberseiten erstreckt. Diese Eigenschaft wird automatisch eingehalten, wenn die Endpunkte der Liniensegmente in S unterschiedliche y-koordinaten haben. Von nun an nehmen wir an, dass S diese Eigenschaft besitzt. Wie auch in [CTV] erwähnt, ist diese Eigenschaft keine Einschränkung der Allgemeinheit, da diese Eigenschaft durch eine kleine Drehung des Koordinatensystems erzielt werden kann. Die Drehung kann auch durch ein lexikoographische Anordnung simuliert werden: Haben zwei verschiedene Endpunkte gleiche y-koordinaten, dann liegt der Punkt mit der kleineren x-koordinate tiefer. Abbildung 2: Degenerierte Menge von Liniensegmenten Die degenerierte Menge von Liniensegmenten (Abbildung 2) kann durch Drehung des Koordinatensystems oder durch lexikographische Anordnung zu einem nicht degenerierten System umgewandelt werden (Abbildung 3). Abbildung 3: Degeneration wurde durch Drehung oder lexikographische Anordnung behoben.

5 4 Schließlich wollen wir noch die Beziehung zwischen der Trapezzerlegung und der Triangulation eines einfachen Polygons herstellen. Diese Beziehung wurde bereits in [FM] und [CI] entdeckt. Sei S = {s 0,s 1,...,s n 1 } eine Menge von Liniensegmenten, die eine geschlossene Polygonhülle bilden. Dabei haben s i und s i+1 einen gemeinsamen Endpunkt. Für zwei Liniensegmente s i,s j S gilt foldende Bedingung : s i s j =, falls i j > 1 (wir betrachten alle Indizes modulo n). Die Hülle bildet nun ein einfaches Polygon P mit n Ecken. Um P zu triangulieren, müssen wir n 3 kreuzugsfreie Diagonalen finden, die P in n 2 Dreicke teilen. Lemma 1 Sei S = {s 0,s 1,...,s n 1 } eine Menge von Ecken auf der Hülle eines einfachen Polygons P.IstT (S) bekannt, dann kann die Triangulation von P in Zeit O(n) berechnet werden. Beweis : Wir nehmen an, dass P keine Ecken mit gleicher y-koordinate hat. Wie bereits erwähnt, lässt sich diese Bedingung ohne Weiteres herstellen, so dass die Allgemeinheit uneingeschränkt bleibt. Die Berechnung der Triangulation des Polygons P, ausgehend von T (S), geschieht in drei Schritten: Im ersten Schritt werden alle Trapeze entfernt, die außerhalb von P liegen. Abbildung 4: T (S) nach dem die äußeren Trapeze entfernt wurden. Überprüfe, ob T (S) Trapeze enthält, die zwei Ecken von P auf verschiedenen Seiten beinhalten. Falls ein solches Paar existiert, zeichne eine Diagonale zwischen den Ecken. Abbildung 5: Einführung der Diagonalen in die Trapeze. Die eingezeichneten Diagonalen, teilen P in y-monotone Unterpolygone auf.

6 5 Abbildung 6: Aufteilung von P in Polygone, die leicht zu triangulieren sind. Diese Klasse von Polygonen lässt sich in Zeit O(n) triangulieren. Die Verfahrensweise wird in [FM] und [CI] näher erläutert. 3 Algorithmus Für unsere Zwecke setzen wir eine Datenstruktur für die Tarpezzerlegung T (S) voraus, die für jedes Trapez τ T(S) einen Zugriff auf die benachbarten Trapeze in konstanter Zeit ermöglicht. Weiterhin wird vorausgesetzt, dass T (S) nicht degeneriert ist. Wie auch schon im letzten Abschnitt erwähnt, ist diese Eigenschaft eingehalten, wenn zwei verschiedene Endpunkte der Liniensegmente verschiedene y- Koordinaten haben. Dadurch ist gewährleistet, dass jedes Trapez in T (S) höchstens zwei obere bzw. untere Nachbarn hat. Eine derartige Datenstruktur erlaubt uns eine effiziente Navigation durch T (S), d. h. wir können eine Kurve C durch T (S) günstig verfolgen. Die Kosten, die dabei anfallen, sind proportional zur Komplexität von C plus der Anzahl der Trapeze, die man bei dieser Tour durchläuft. Wir halten fest, dass die Größe dieser Datenstruktur linear zur Anzahl der Liniensegmente in S ist. Zusätzlich führen wir eine Suchstruktur Q(S) mit.q(s) soll uns helfen, für einen beliebigen Punkt p das Trapez zu finden, das p enthält. Im Allgemeinen ist Q(S) ein gerichteter, azyklischer Graph mit einem Wurzelknoten und genau einer Senke für jedes Trapez aus T (S). Jeder Knoten, der keine Senke ist, hat zwei ausgehende Kanten und ist entweder mit dem Etikett X oder Y versehen. Ist ein Knoten mit X gekennzeichnet, ist der Schlüssel dieses Knotens ein Liniensegment aus S. Falls der Knoten mit Y versehen ist, hat er eine reelle Zahl als Schlüssel, die für die y-koordinate eines Endpunktes eines Liniensegments aus S steht (mit anderen Worten: Es ist die horizontale Erweiterung durch diesen Endpunkt). Falls wir nun zu einen beliebigen Punkt q das Trapez aus T (S) suchen, das q enthält, verfahren wir

7 6 a 1 a y 2 s 3 b y 1 4 s b Abbildung 7: Trapezzerlegung für das Liniensegment s und die dazugehörige Suchstruktur Q({s}). wie folgt: Wir beginnen an der Wurzel von Q(S) und bewegen uns entlang eines Pfades bis zu einer Senke, die bekanntlich einem Trapez aus T (S) entspricht. An jedem Knoten auf dem Pfad erfolgt ein Vergleich mit dem Schlüssel des Knotens. An einem X-Knoten stellen wir fest, ob q sich links oder rechts von dem Liniensegment befindet, welches der Schlüssel dieses Knotens ist. Liegt q links davon, folgen wir der linken Kante. Wenn q rechts vom Schlüsselsegment liegt, folgen wir der rechten Kante. Der Fall, dass q auf dem Schlüsselsegment liegt kann vernachlässigt werden, da dieser für unsere Zwecke nicht relevant ist. Kommen wir an einem Y -Knoten an, vergleichen wir die y-koordinate von q mit dem Schlüssel des Knotens, der bekanntlich eine horizontale Erweiterung eines Endpunktes aus S repräsentiert. Liegt q oberhalb der horizontalen Erweiterung, wird der rechten Kante gefolgt. Wenn q unterhalb der horizontalen Erweiterung liegt, wird der linken Kante gefolgt. Da wir ein nichtdegeneriertes System vorfinden (laut Annahme) ist der Fall, dass q auf der horizontalen Erweiterung liegt, irrelevant. Weiterhin nehmen wir an, dass die Trapeze in T (S) mit den Senken in Q(S) fest verdrahtet sind, d. h. für jedes Trapez aus T (S) können wir in konstanter Zeit die entsprechende Senke in Q(S) bestimmen. Gleiches gilt für die und umgekehrte Richtung. Sei nun s ein nicht-horizontales Liniensegment mit dem oberen Endpunkt a und dem unteren Endpunkt b, das keine Liniensegmente aus S kreuzt. Sei S = S {s}. Im Folgenden möchten wir T (S ) und Q(S ) berechnen, wenn T (S) und Q(S) gegeben sind. Falls der obere Endpunkt a kein Endpunkt der Liniensegmente aus S ist, benutzen wir Q(S) um das Trapez τ a, welches a enthält, zu lokalisieren. Das Trapez τ a wird mit einer horizontalen Linie, die durch a verläuft, geteilt und wir erhalten damit eine neue Trapezzerlegung T. Die Senke aus Q(S), die τ a entspricht, verwandelt sich zu einem Y -Knoten, dessen Schlüssel die y-koordinate von a ist. Die Kinderknoten sind die zwei neuen Trapeze, die wir durch Teilung des Trapezes τ a erzeugt haben. Damit haben wir die Strukturen T und Q. Ist a ein Endpunkt eines Liniensegments aus S, setzt man T = T und Q = Q.

8 7 Wir wollen mit dem unteren Endpunkt b ähnlich verfahren und die Trapezzerlegung T sowie die Suchstruktur Q aus T bzw. Q ableiten. Nun fädeln 1 wir das Liniensegment s durch T, indem wir alle Trapeze bestimmen, die von s durchschnitten werden. Diese Trapeze werden in zweigeteilt und auf jeder Seite verschmelzen wir die horizontalen Erweiterungen aus T mit s. SoerhaltenwirT (S ). Die Suchstruktur Q(S ) erhalten wir wie folgt: Für jedes neue Trapez aus T (S ) erzeugen wir die entsprechende Senke in der Suchstruktur. Jede Senke aus Q,dievons zerschnitten wurde, wird zu einem X-Knoten mit dem Schlüssel s und den zwei neuerzeugten Senken als Kinderknoten. Das Trapez aus T,dasb enthält, bekommt noch einen Y -Knoten, da es zusätzlich durch die horizontale Erweiterung, die durch b verläuft, geteilt wird. DieZeit,diewirbenötigen um T (S ) und Q(S )aust (S) bzw.q(s) abzuleiten, setzt sich aus der Zeit für die Lokalisirung der beiden Endpunkte und der threading -Zeit zusammen. Letzteres ist proportional zur der Anzahl der horizontalen Erweiterungen aus T (S), die s schneiden, oder der Anzahl der horizontalen Erweiterungen aus T (S ), die in s münden. Wieviel Zeit brauchen wir um T (S) zu erzeugen, wenn wir die Liniensegmente nacheinander einfügen, beginnend mit leeren Strukturen? Offensichtlich ist dies abhängig von der Einfügereihenfolge. Zwar ist T (S) von dieser Reihenfolge unabhängig, Q(S) und die Zeit um einen Punkt zu lokalisieren, hängen aber sehr stark von dieser Reihenfolge ab. Schlechte Beispiele sind schnell gefunden: Stellen wir uns eine Menge S vor, mit n vertikalen Liniensegmenten, die die x-achse schneiden. Werden die Liniensegmente nach der steigenden x-koordinate eingefügt, dann werden die Pfade von der Wurzel zur Senke in Q(S) lang. Wollen wir nun einen Punkt lokalisieren, der auf der x-achse liegt und sich rechts von allen Liniensegmenten befindet, dann benötigen wir O(n) Zeit. Künftig argumentieren wir, dass wenn die Liniensegmente in zufälliger Reihenfolge eingefügt werden, wobei jede Anordnung mit gleicher Wahrscheinlichkeit vorkommt, verhält sich Q(S) inerwartung besser. Dadurch wird die erwartete Zeit für die Konstruktion der Strukturen auch angemessen, die sich bekanntlich aus der erwarteten Zeit für die Lokalisierung der Punkte und der erwarteten threading -Zeit zusammensetzt. Die folgenden Lemmata geben Auskunft über diese Zeiten. Lemma 2 Sei s 1,...,s n eine zufällige Reihenfolge der Liniensegmente aus S, unds i = {s 1,...,s i } mit 0 i n. Für 1 <i n ist die erwartete Anzahl der horizontalen Erweiterungen aus T (S i 1 ), die von s i geschnitten werden, höchstens 4. Beweis : Für ein Liniensegment s S bezeichne deg(s, T (S i )) die Anzahl der horizontalen Erweiterungen aus T (S i ), die im Inneren von s enden. Als nächtes betrachten wir die Anzahl der horizontalen Erweiterungen, die in s i enden. Da dieser Wert in T (S i 1 ) und T (S i ) gleich ist, interessiert uns Exp(deg(s i, T (S i ))). Da T (S i )höchstens 2i horizontale Erweiterungen hat und jede Erweiterung in höchstens zwei Liniensegmenten endet, folgt s S i deg(s, T (S i )) 4i. Weil wir eine zufällige Reihenfolge der Liniensegmente angenommen haben, ist s i irgendein Segment aus S i mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Daraus folgt unmittelbar Exp(deg(s i, T (S i ))) 4. Sei H n =1+1/2+1/ /n. Wirbemerken,dassH n =Θ(logn). Genauer gilt für n>1, log n<h n < 1+logn. 1 threading ist der Fachausdruck für diese Prozedur.

9 8 Lemma 3 Sei s 1,...,s n eine zufällige Reihenfolge der Liniensegmente aus S, unds i = {s 1,...,s i } mit 0 i n. Für 1 i n seien T (S i ) und Q(S i ) die Trapezzerlegung und Suchstruktur für S i, die aus T (S i 1 ) bzw. Q(S i 1 ) durch Einfügen von s i entstanden sind. Sei q ein Punkt, den man in T (S n ) mittels Q(S n ) lokalisieren möchte. Unter Berüchsichtigung aller Anordnungen von S beträgt die erwartete Anzahl von Schlüsselvergleichen 5H n O(log n). Beweis : Sei τ j das Trapez in T (S j ), das q enthält. Angenommen τ i 1 ist bekannt, was ist dann E i, die erwartete Anzahl von Vergleichen um, τ i zu finden? Mit anderen Worten: Wir kennen das Trapez aus T (S i 1 ), das q enthält. Was ist dann die erwartete Anzahl von Vergleichen, um das Trapez in T (S i ) zu finden, welches q enthält? Sind τ i 1 und τ i gleich, dann sind keine Vergleiche nötig. Falls die Trapeze verschieden sind, ist entweder eine der Seiten ein Teil des neuen Liniensegments s i oder die horizontalen Erweiterungen durch die Endpunkte von s i. Ist die rechte Seite von τ i ein Teil von s i,istexakteinx-vergleich zwischen q und s i nötig, um τ i zu identifizieren. zwischen q und s i. Wegen der zufälligen Anordnung ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass s i τ i von der rechten Seite eingrenzt, höchstens 1/i (τ i kann auch rechts unbegrenzt sein). Folglich beträgt der Erwartungswert für die Anzahl der Vergleiche zwischen q und der rechten Seite von τ i höchstens 1/i. Wegen der Symmetrie folgt das Gleiche für die linke Seite von τ i. Falls die obere Seite von τ i ein Teil der horizontalen Erweiterung durch einen Endpunkt von s i ist, ist ein zusätzlicher Vergleich nötig, nämlich ein Y -Vergleich zwischen q und der horizontalen Erweiterung. Wegen der zufälligen Reihenfolge der Liniensegmente tritt dieses Ereignis höchstens mit der Wahrscheinlichkeit 1/i auf. Gleiches gilt für die Unterseite von τ i. Die erwartete Anzahl von Vergleichen zwischen q und den Trapezseiten von τ i ist also höchstens 4/i. Mike Hohmeyer fand heraus, dass noch ein zusätzlicher Vergleich auftreten kann: Wir nehmen an, dass die obere Seite von τ i, ein Teil der horizontalen Erweiterung durch den tiefergelegenen Endpunkt von s i ist (was mit der Wahrscheinlichkeit 1/i auftreten kann). Weiterhin nehmen wir an, dass es keine horizontale Erweiterung gibt, die s i im Inneren schneidet, und dass kein anderes Liniensegment aus S i einen gemeinsamen Endpunkt mit s i hat. Zusammengefasst bedeutet dies, dass s i komplett in τ i 1 enthalten sein muß. Um q in τ i zu lokalisieren, mußzuerst ein Vergleich zwischen q und der horizontalen Erweiterung des oberen Endpunktes stattfinden. Wenn also diese spezielle Konfiguration auftaucht, ist ein weiterer Vergleich mit der Wahrscheinlichkeit von höchstens 1/i nötig. Falls wir das Trapez τ i i, welches q enhielt kennen, müssen wir in Erwartung 5/i Vergleiche anstellen, um das Trapez τ i zu finden, das nach Einfügen von s i den Punkt q enthält. Es gilt deshalb E i =5/i. Um das Lemma zu beweisen genügt es, die gesamte erwartete Anzahl von Vergleichen zu betrachten 1 i n E i. Aus den Lemmata 2 und 3 und der davor geführten Diskussion folgt unmittelbar: Theorem 1 Sei S eine Menge von n kreuzungsfreien, nicht-horizontalen Liniensegmenten in der Ebene. Seien T (S) die Trapezzerlegung und Q(S) die Suchstruktur von S, die durch inkrementelles Einfügen der Liniensegmente aus S in zufälliger Reihenfolge entstanden sind. 1. T (S) und Q(S) können in der erwarteten Zeit O(n log n) aufgebaut werden. 2. Die erwartete Größe von Q(S) ist O(n). 3. Für einen beliebigen Punkt q brauchen wir in Erwartung O(log n) Zeit, um q in T (S) mittels Q(S) zu lokalisieren. (Die Erwartungswerte gelten hinsichtlich der zufälligen Anordnung der Liniensegmente aus S, wobei jede Permutation von S mit gleicher Wahrscheinlichkeit vorkommt.)

10 9 Im Folgenden zeigen wir, dass wenn S Liniensegmente enthält, die eine einfache polygonale Kette bilden, können T (S) und Q(S) noch schneller aufgebaut werden. Der kostenintensive Teil beim Einfügen eines Segments scheint die Lokalisierung der Endpunkte zu sein. Falls nun S aus einer polygonalen Kette C besteht, kommt der Gedanke auf, die Liniensegmente der Reihe nach entlang C einzufügen. Beim Einfügen eines Liniensegments s i erspart man sich die Lokalisierung des gemeinsamen Endpunktes von s i und s i 1, der bereits beim Einfügen von s i 1 lokalisiert wurde. Die Position des anderen Endpunktes kann beim threading ermittelt werden. Leider verzichtet diese Strategie auf Randomisierung und man kann nicht mehr von konstanten Kosten beim treading ausgehen. Tatsächlich kann man schnell Beispiele finden, wo der threading - Vorgang O(i) Zeitfür n/2 i n benötigt, was dann zu einem Algorithmus mit der Laufzeit O(n 2 ) führt. Wir verfolgen die folgende Strategie: Die Liniensegmente werden weiterhin in zufälliger Reihenfolge eingefügt. Gelegentlich halten wir aber an, um alle Endpunkte in der vorhandenen Trapezzerlegung zu lokalisieren, indem wir uns entlang C bewegen. Um die Effizienz dieses Verfahrens zu zeigen, brauchen wir zwei Lemmata. Das erste Lemma sagt uns, wie uns die gewonnen Informationen über die zwischenzeitliche Lokalisierung der Endpunkte weiterhelfen, das andere hingegen gibt Auskunft über die Kosten der Verfolgung von C durch die Trapezzerlegung. Lemma 4 Sei s 1,...,s n eine zufällige Reihenfolge der Liniensegmente aus S, unds i = {s 1,...,s i } mit 0 i n. Sei 1 j k n. Istq ein Punkt, dessen Position in T (S j ) bekannt ist, dann kann q mit Hilfe von Q(S k ) in T (S k ) innerhalb der erwarteten Zeit 5(H k H j ) O(log(k/j)) lokalisiert werden. Beweis : Wir verfahren wie im Beweis von Lemma 3. In diesem Fall beträgt die erwartete Lokalisierungszeit j<i k E i. Lemma 5 Sei S eine Menge von kreuzungsfreien, nicht-horizontalen Liniensegmenten in der Ebene und R eine beliebige Teilmenge von S der Größe r. SeiZ die erwartete Anzahl von Schnitten zwischen den horizontalen Trapezseiten aus T (R) und den Liniensegmenten aus S\R. Der Erwartungswert für Z ist höchstens 4(n r), wobei die Erwartung sich auf alle Untermengen R von S mit R = r bezieht. Beweis : Für T S und s T bezeichne deg(s, T (T )) die Anzahl der horizontalen Erweiterungen in T (T ), die im Inneren von s enden. Da jede horizontale Erweiterung höchstens in zwei verschiedenen Liniensegmenten endet, gilt s T deg(s, T (T )) 4 T. Für R S und s / R beträgt die Anzahl der horizontalen Trapezseiten in T (R), die von s geschnitten werden, genau deg(s, T (R {s}). Uns interessiert aber 1 ( n ) r R S R =r s S\R deg(s, T (R {s})). Setzen wir nun R = R {s}. Wenn wir die Doppelsumme etwas anders ausdrücken, erhalten wir ( 1 n ) ( n ( n 4 R r) r) r+1 =4(r +1) ( n =4(n r). r) R S R =r+1 s S deg(s, T (R )) 1 R S R =r+1

11 10 Bevor wir den Algorithmus präsentieren, müssen wir noch ein paar Worte zur Notation verlieren. Im Folgenden bezeichnet log (i) den i-ten iterierten Logarithmus, d.h. log (0) n = n und für i>0 gilt log (i) n = log(log (i 1) n). Für n>0 bezeichne log n die größte natürliche Zahl l, so dass log (l) n 1, und für n>0 und 0 h log n sei N(h) dieabkürzung für n/ log (h) n. WelcheGrößenordnung hat log n?nunfür praktische Werte von n kann log n als Konstante angesehen werden. So ist zum Beispiel log n 5für alle n Die Eingabe für den unteren Algorithmus ist eine einfache, polygonale Kette C bestehend aus n aufeinanderfolgenden Liniensegmenten entlang C. 1. Erzeuge s 1,...,s n eine zufällige Reihenfolge der Liniensegmente aus C. 2. Erzeuge die Trapezzerlegung T 1 und die dazugehörige Suchstruktur Q 1 für die Menge {s 1 }. 3. for h =1to log n do 3.1. for N(h 1) <i N(h) do Ermittle die Trapezzerlegung T i und die Suchstruktur Q i aus T i 1 und Q i 1, durch Einfügen des Liniensegments s i Verfolge C entlang T N(h),umfür jeden Endpunkt der noch nicht eingefügten Liniensegmente das zugehörigetrapezint N(h). 4. for N(log n) <i n do 4.1. Ermittle die Trapezzerlegung T i und die Suchstruktur Q i aus T i 1 und Q i 1, durch Einfügen des Liniensegments s i. Was ist die erwartete Laufzeit dieses Algorithmus? Wir nehmen an, Schritt 1 kann in linearer Zeit ausgeführt werden. Schritt 2 benötigt konstante Zeit. Für Schritt 3 betrachten wir die h, mit 1 h log n. Lemma 5 sagt aus, dass der Schritt 3.2 in der erwarteten Zeit O(n) ausgeführt werden kann. Wieviel Zeit brauchen wir für Schritt 3.1? Die erwarteten Kosten vom Schritt setzen sich aus den erwarteten Kosten um die Endpunkte von s i zu lokalisieren und den erwarteten Kosten für das threading von s i durch T i 1 zusammen. Durch Lemma 2 wissen wir, dass Letzteres konstante Kosten verursacht. Da die Endpunkte von s i in T N(h 1) schon lokalisiert sind, wissen wir durch Lemma 4, dass die Lokalisierung in Erwartung nur O(log(i/N(h 1))) Zeit benötigt. Da i n und N(h 1) = n/ log (h 1) n, liegt dieser Wert in O(log (h) n). Für einen festen Wert von h wird der Schritt höchstens N(h) = n/ log (h) n Mal ausgeführt. Zusammengefasst verursacht Schritt 3 lineare Kosten für einen festen Wert von h. DaSchritt3insgesamtlog h mal ausgeführt wird, ergibt sich die erwartete Laufzeit von O(n log n). Schritt 4 läßt sich ähnlich wie Schritt 3.1 analysieren. Dabei sei zu beachten, dass N(log n) n/e und damit die erwarteten Lokalisierungskosten konstant sind. Folglich benötigt Schritt 4 in Erwartung O(n) Zeit.Damit hätten wir folgendes bewiesen: Theorem 2 Sei S eine Menge von kreuzungsfreien Liniensegmenten in der Ebene, die eine einfache polygonale Kette C bilden. Der oben beschriebene Algorithmus berechnet die Trapezzerlegung T (S) und die dazugehörige Suchstruktur Q(S) in der erwarteten Zeit O(n log n). Die Suchstruktur benötigt in Erwartung O(n) Platz und erledigt Suchanfragen in der erwarteten Zeit O(log n).

12 11 Dieses Theorem lässt sich leicht verallgemeinern. Schließlich setzt der Algorithmus nur eine Eigenschaft voraus, nämlich dass C eine Zusammenhangskomponente repräsentiert. Stellt C einen verbundenen, planaren Graphen G dar, würde sich dieses Ergebnis weiterhin bestätigen. Schritt 3.2 müßte folglich modifiziert werden. In diesem Fall würden wir den kompletten Graphen durchlaufen, indem wir einen Algorithmus zur Graphdurchmusterung verwenden würden. Wenn wir jetzt noch erlauben, dass G aus mehreren Zusammenhangskomponenten besteht, lassen sich die Theoreme 1 und 2 wie folgt vereinigen: Theorem 3 Sei S eine Menge von kreuzungsfreien Liniensegmenten in der Ebene, die einen planaren Graphen mit k Zusammenhangskomponenten repräsentiert. Weiterhin sei T (S) die Trapezzerlegung von S. Die Trapezzerlegung T (S) und die dazugehörige Suchstruktur Q(S) können in der Zeit O(n log n + k log n) aufgebaut werden. Die ewartete Größe von Q(S) ist O(n). Die erwartete Lokalisierungszeit für einen beliebigen Punkt q beträgt O(log n). Beweis : Wir benutzen weiterhin den oben beschriebenen Algorithmus, ändern jedoch den Schritt 3.2 so ab, dass die Liniensegmente jeder Zusammenhangskomponente des Graphen in der Reihenfolge einer Graphdurchmusterung (z.b. Tiefensuche) abgelaufen werden. Bei diesem Schritt werden die Zusammenhangskomponenten nacheinander abgearbeitet und die Endpunkte der noch nicht eingefügten Liniensegmente müssten dann noch lokalisiert werden. Lemma 3 sagt aus, dass die Lokalisierungszeit für jede Zusammenhagskomponente in Erwartung O(log n) beträgt.

13 12 Literatur [C82] Chazelle, B. A theorem on polygon cutting with applications, Proc. 23rd Annual IEEE on Found. of Comput. Sci. (1982), [C90] Chazelle, B. Triangulating a simple polygon in linear time, Princeton Univ. Computer Science Tech. Rep. CS-TR ; to appear in Proc. 31st Annual IEEE Symp. on Found. of Comput. Sci. (1990) [CI] Chazelle, B., Incerpi, J. Triangulation and shape-complexity, ACM Trans. on Graphics 3 (1984), [CC] Clarkson, K. and Cole, R. Private Communication. [CTV] Clarkson, K., Tarjan, R.E., Van Wyk, C.J. A fast Las Vegas algorithm for triangulating a simple polygon, Disc. and Comput.Geom. 4(5) (1989), [FM] Fournier, A., Montuno, D.Y. Triangulating simple polygons and equivalent problems, ACM Trans. on Graphics 3. (1984), [GJPT] Garey, M.R., Johnson, D.S., Preparata, F.P., Tarjan, R.E. Triangulating a simple polygon, Inform. Process. Lett. 7 (1978), [HM] Hertel, S., Mehlhorn, K. Fast triangulation of a simple polygon, Proc. Conf. Found. Comput. Theory, New York, Lecture Notes on Computer Science 158 (1983), [HMRT] Hoffman, K., Mehlhorn, K., Rosenstiehl, P., Tarjan, R.E. Sorting Jordan sequences in linear time using level-linked search trees, Infor. and Control 68 (1986), [KKT] Kirkpatrick, D.G., Klawe, M.M, Tarjan, R.E. O(n log log n) polygon triangulation with simple data structures, Proc. 6th Annual ACM Symp. Comput. Geom. (1990), [TA82] Toussaint, G. and Avis, D. On a convex hull algorithm for convex polygons and its applications to triangulation problems, Pattern Recognition 15,1 (1982), [TV] Tarjan, R.E., Van Wyk, C.J. An O(n log log n)-time algorithm for triangulating a simple polygon, SIAM J. Comput. 17 (1988), [T88] Toussaint, G. An aoutput-complexity-sensitive polygon triangulation algorithm, ReportSICS- 86.3, McGil. University, Montreal, 1988.