Optimierung. Vorlesung 13

Transkript

1 Optimierung Vorlesung 13

2 Letze Woche Branch&Bound Suchbaum Nach Möglichkeit nicht komplett durchsuchen Abschätzungen nach oben und unten Suchheuristiken Randomisierte Lokale Suche Simulated Annealing Metropolis Evolutionäre Algorithmen Reminder: Frage zweiter Prüfungstermin. Vermutlich 30. oder Prüfungsanmeldung zum 2.Termin WS 14/15:

3 Heutiges Thema: Was passiert, wenn viele gleichzeitig versuchen zu optimieren? Alltagsbeispiel Straßenverkehr: Jeder wählt die Route, die seine Fahrzeit minimiert. Mögliche Fragestellungen: Was für Lösungen enstehen dann? Wie gut sind diese? Wie können dieser beeinflusst werden? Können wir sie (effizient) berechnen? 3

4 (Algorithmische) Spieltheorie In algorithmic game theory we analytically study scenarios involving the interaction of rational agents, such as traffic systems with selfish agents (e.g., cars) routing through a network Vorlesung im nächsten Wintersemester im Master 4

5 Das Verkehrsmodell von Wardrop Graph G = (V, E) Für jede Kante e E eine Latenzfunktion l e : R R. Beispiel: l e x = 2x + 1 Eine Menge von Triplen q i, s i, d i V V R + Fluss der Menge d i von q i nach s i (Demand). Die Flüsse bestehen aus unendliche vielen, unendlich kleinen Partikeln Jeder Partikel wählt selbst seine Route. 5

6 Ein einfaches Beispiel 6

7 Flüsse Jeder Partikel aus q i, s i, d i wählt einen q i - s i -Pfad aus P i Auf einem Pfad P P i, ergibt Fluss auf f P. Fluss auf einer Kante e: f e = P:e P f p Latenz, Verzögerung einer Kante: l e (f e ) Auf einem Pfad entsprechend: P = i P i l P f = l e (f e ) e P 7

8 Wardrop Gleichgewicht Jeder Partikel wählt den Pfad mit der geringsten Latenz. Definition Ein Fluss f ist im Gleichgewicht, wenn für jedes Paar P 1, P 2 P i mit f P1 > 0 gilt, dass l P1 f l P2 (f). Beobachtung Bei einem solchen Fluss, hat jeder genutzte q i - s i -Pfad die gleiche Latenz! (und jeder ungenutzte Pfad keine kleinere) 8

9 Existenz Gibt es einen solchen Gleichgewichtsfluss überhaupt immer? Ja, denn die Lösung folgenden Optimierungsproblems ist ein Gleichgewichtsfluss: Minimiere Φ f = l e t dt f e 0 e E Unter den Nebenbedingungen, dass f ein gültiger Fluss ist, der alle Demands erfüllt. Warum? Intuitiv: Nimm an es könnte sich jemand verbessern: Widerspruch Konvexität Formal: Otimalitätsbedingung Konvexer Optimierung 9

10 Wie gut ist ein Gleichgewicht Definition Die Kosten eines Flusses f sind C f = f P l P (f) P P = f e l e (f e ) e E Einen Fluss minimaler Kosten bezeichnen wir auch als optimal.. Die Kosten eines Gleichgewichtsflusses können höher sein als die Kosten des optimalen Flusses. 10

11 Ein einfaches Beispiel Demand=1 11

12 Preis der Anarchie Frage: Um wieviel schlechter ist der Gleichgewichtsfluss als der optimale Fluss? Oder: Wieviel verlieren wir durch fehlende, zentrale Koordinierung? Definition Price of Anarchy (PoA) C(f) Der Preis der Anarchie ρ = max wobei f ein C(f ) Gleichgewichtsfluss und f der optimale Fluss ist. Es ist also die Worst-Case-Ratio zwischen einem Gleichgewichts- und einem optimalen Fluss. 12

13 Price der Anarchie von Wardropflüssen Theorem Der Price der Anarchie von Instanzen mit linearen Latenzfunktionen ist 4. 3 Plakativ: Die durchschnittliche Fahrzeit im Straßenverkehr (mit unendlich kleinen Autos, bei linearer Abhängigkeit der Fahrzeit) ist nur um 33% schlechter als eine optimale Lösung. 13

14 Vorbereitung Lemma 1 Ein Fluss f ist Gleichgewichtsfluss genau dann wenn für jeden Fluss g gilt: P P f p l p f P P g p l p f

15 Beweis des Theorems (Tafelanschrieb) 15

16 Lemma 2 Für jede Kante e E gilt g e l e f e l e g e 1 4 f el e f e. Beweis 1. Fall f e < g e : Dann gilt l e f e l e (g e ) und linke Seite Fall f e g e : Vergleiche die Fläche in folgendem Diagramm: 16

17 Beweis des Theorems (Fortsetzung Tafelanschrieb)

18 Andere Latenzfunktionen Theorem [Roughgarden, Tardos 2001] Für positive Polynome vom Grad höchstens d ist der Preis der Anarchy ist höchstens d + 1. Theorem Für quadratische Latenzfunktionen ist der Preis der Anarchy ist höchstens = 1, Merke: Verteile und Egoistische Optimierung kann ineffizient sein. Wie sehr, kommt drauf an. 18

19 Straßenbau kann schädlich sein Oder: Das Braess Paradoxon: Dietrich Braess: Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung in: Unternehmensforschung 12, (1968) Ohne zusätzliche Kante: Gleichgewicht ist optimal: = 1,5 Mit zusätzlicher Kante: Neues Gleichgewicht hat Kosten: = 2 Kann man auch in der Realität bebachten: Siehe z.b.: What if They Closed 42d Street and Nobody Noticed? New York Times, December 25,

20 Aber Autos sind nicht unendenlich klein Wardrops Verkehrsmodell ist zwar i.a. eine gute Annäherung an die Realität und auch sehr praktikabel, aber was ist bei eher diskreten Situationen? Einfaches Beispiel: 3 Fahrzeuge wollen von s nach t. Entspricht 3 unteilbaren Flüssen der Größe 1. Gleichgewicht? 20

21 Congestion Games [Rosenthal 73] Die diskrete oder auch atomare Version des Wardrop Modells. Menge von Spielern N = {1,, n} Fahrzeuge Graph G = V, E Straßennetz Mit Latenzfunktionen l e : N N Und einem Quelle/Senke Paar q i, s i für jeden Spieler i N Latenzfunktion bildet die Anzahl der Spieler auf die Latenz der Kante ab. 21

22 Existenz von Gleichgewichten Potentialfunktion: f e Φ f = l e (i) e E i=1 Entspricht der diskreten Version von Φ im Wardrop Modell. Jedes (lokale) Minimum von Φ f ist ein Gleichgewicht. Lokale Nachbarschaft einer Lösung f: Die Menge der Lösungen die sich von f nur durch die Wahl eines Spielers unterscheiden. 22

23 Konvergenz und Beweis Wir zeigen: Wenn sich ein Spieler durch ändern der Routenwahl verbessert, dann wird Φ kleiner. Im (lokalen) Minimum kann es also einen solchen Spieler nicht geben. Φ f Φ f = e E l e (i)- e E l e (i) f e i=1 f e i=1 = = Δ Verbessert sich ein Spieler um Δ, dann sinkt Φ um Δ. Φ ist eine exakte Potentialfunktion 23

24 Finden/Berechnen eines Gleichgewichts Lokale Suche: 1. Starte mit einer beliebigen initialen Lösung f 2. Wenn es einen Spieler i gibt, der sich auf einem anderen Pfad verbessern kann, so sei f dieses geänderte Lösung. Beweis der Terminierung und Korrektheit durch Potentialfunktion Φ. Frage: Wie lange kann das dauern? 24

25 Konvergenz und Berechenbarkeit Beobachtung Die Lokale Suche braucht höchstens mn max e E l e (n) Schritte (wobei m = E ). Beweis 0 Φ f mn max l e n e E Und jeder Schritt verringert Φ um mindestens eins. Behauptung Es gibt Spiele mit n Spielern in denen die Lokale Suche O(2 n ) viele Schritte benötigt. 25

26 Zusammenfasung 1. Wardrop s Traffic Model Non-atomic selfish routing Non atomic congestion game Selfish flow Gleichgewicht existiert immer. Preis der Anarchie hängt von den Latenzfunktionen ab. 2. Milchtaichs Modell Congestion Games Atomic selfish routing Existenz, Konvergenz, Lokale Suche. 3. Nächste Woche: Alle Vorlesungen im Schnelldurchlauf Ihre Chance Fragen zu stellen, Wiederholung einzufordern 26