Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

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1 Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung der Tangente an der Stelle an. Frage: Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? f ( ) Antwort: Allgemein gilt: y mb. Die Steigung ist bekannt m f( ), damit lautet die Tangentenglg. y f( ) b (*) T T P yt ( ) Zur Berechnung des Achsenabschnitts b nutzen wir aus, dass der Punkt P mit den Koordinaten und y f( ) auf der Tangenten liegt und somit die Gleichung (*) erfüllt: f ( ) f( ) b b f( ) f( ) Folie 1

2 Tangentengleichung. alles zusammen ergibt die Tangentengleichung y f( ) f( ) f( ), T wobei sich hier eine praktischere Schreibweise anbietet: y f( ) f ( ) (**) T f ( ) Die Gleichung (**) liefert also ein einfaches Rezept, für die Berechnung einer Tangente. P yt ( ) Wichtig ist die Unterscheidung von und! Die Stelle ist fest vorgegeben (man bezeichnet sie als Arbeitspunkt), die unabhängige Variable in der Geradengleichung heißt! Folie 2

3 Tangentengleichung & Linearisierung Beispiel: gesucht ist die Tangente an die Funktion Ausgangsformel: yt f( ) f( ) Zutaten: f(.) f(.) 5 1 Ergebnis: y ( ) y ( ) 2. 5 Definition: Linearisierung bedeutet die originale Funktion in einem Teilbereich durch eine Tangente zu ersetzten. T T f ( ) 2 mit Arbeitspunkt f( ) P 2 yt 5. ( ) Vorteil: Die Tangentengleichung ist immer eine einfache Geradengleichung, egal wie kompliziert die Ausgangsfunktion ist. Folie 3

4 Tangentengleichung Übung: gesucht sind Tangenten an die Funktion 1. im Arbeitspunkt = 2. im Arbeitspunkt =2.2 2 f ( ) cos( ) Lsg.:, y ( ) , y ( ) T T Folie 4

5 Zur Motivation: eine Menge verschiedener Gleichungstypen können mit entsprechenden Rezepten einfach gelöst werden, z.b.: Lineare Gleichungen Quadratische Gleichungen Kubische Gleichung ohne Absolutglied Bi-quadratische Gleichungen Nullproduktgleichungen a b 2 p q 3 2 a b c 4 2 a b c z.b. ( - 2) ln Lösen Sie mal 1 sin Folie 5

6 Das haben Sie nicht geschafft? Da es sich hier um eine sogenannte transzendente Gleichung handelt, konnten Sie auch gar keine Lösung direkt ausrechnen. Das funktioniert nur mit viel Fleiß oder Computerhilfe z.b. mit Hilfe des Newtonverfahrens. Strategie: Zunächst wird die zu lösenden Gleichung in die Form f()= gebracht. Die Lösung, d.h. die Nullstelle, wird dann mit Hilfe von Tangenten bestimmt. Beispiel: Gesucht ist die Lösung der Gleichung = das ist äquivalent zu: = Jetzt sucht man eine Nullstelle der Funktion f()= Folie 6

7 Die Nullstelle (= Lösung der Ursprungsgleichung) wird iterativ also schrittweise bestimmt. Ausgehend von einem Startwert (einem ersten Schätzwert ) hangelt man sich zu immer besseren Näherungswerten für die eakte Nullstelle. In den meisten Fällen wird man die Nullstelle eakt nie erreichen, man kann Ihr aber durch hinreichend viele Iterationsschritte beliebig nahe kommen und das reicht: Lösung Wie das Weiterhangeln genau funktioniert, lässt sich am besten grafisch veranschaulichen: Schritt 1: ausgehend vom Startwert wird zunächst die Tangente an die Funktion bestimmt. Man berechnet dann die Nullstelle f() der Tangente. Diese Tangenten-Nullstelle 1 ist (unter geeigneten Voraussetzungen) eine verbesserte Näherung für die gesuchte Nullstelle 1 Folie 7

8 f() Alle weiteren Schritte wiederholen genau das selbe Vorgehen: Schritt 2: ausgehend vom Wert 1 wird eine neue Tangente und deren Nullstelle 2 bestimmt. 2 1 Schritt 3: ausgehend vom Wert 2 wird eine weitere Tangente und deren Nullstelle 3 bestimmt.... f() Schritt n+1: ausgehend vom Wert n wird die Tangente an die Funktion und deren Nullstelle n+1 bestimmt. 2 3 Folie 8

9 Das Newtonverfahren läuft also auf die wiederholte Bestimmung von Tangenten- Nullstellen heraus. Daraus kann unmittelbar die Rechenvorschrift abgeleitet werden: Iterationsvorschrift: f ( k ) k 1 k f ( ) Die Formel übersetzt das grafisch beschriebene Verfahren zur Nullstellensuche in einen Rechen-Verfahren, welches dem unten gezeigten Flowchart entspricht. k Tipp zur Herleitung: bestimmen Sie die Tangentengleichung für den Arbeitpunkt P k, f( k) und die Nullstelle der Tangente. Startwert: f( k ) f ( ) k k k1 k Ergebnis N Folie 9

10 Beispiel vom Anfang: gesucht ist die Lösung der Gleichung = sin(+1). Startpunkt sei = 1. Zur Übung werden zwei Schritte des Newtonverfahrens durchgeführt: Ausgangsgleichung: sin 1 sin 1 die Funktion, deren Nullstelle gesucht wird, ist also f ( ) sin 1. Wir benötigen auch die Ableitung: f( ) cos 1 1 f( ) sin Schritt: 1 1 f( ) cos f( ) sin Schritt: f( ) cos denken Sie daran bei der Rechnung Ihren Taschenrechner auf Bogenmaß zu stellen. Man erhält die selben Werte, wenn die Funktion f()= - sin(+1) gewählt wird. Rechnet man ein paar Stellen mehr aus ergibt sich = Folie 1

11 ein paar Anmerkungen 1. Das Newtonverfahren konvergiert lokal, d.h. wenn der Startwert genügend nah an der wahren Nullstelle liegt, funktioniert s. 2. Das Newtonverfahren funktioniert nicht immer, z.b. kann ein ungeeigneter Startwert gewählt worden sein. Das Verfahren funktioniert aber garantiert, wenn für alle Näherungswerte k die Bedingung f ( ) f( ) f( ) 2 1erfüllt ist. k k k 3. Hat die Funktion mehrere Nullstellen, so hat jede Nullstelle einen gewissen Einzugsbereich von Startwerten. 4. Es gibt verschiedene Abbruchkriterien, wann die Iteration beendet werden soll. In den meisten Fällen kann dies ganz pragmatisch gehandhabt werden. Die Iteration wird abgebrochen, sobald eine gewünschte Zahl an Nachkommastellen fest steht sich also bei weiteren Iterationsschritten nicht mehr ändert. 4. Manchmal lässt sich die ungefähre Lage der Nullstelle aus einer Skizze ablesen: Folie 11

12 ein paar Anmerkungen 5. Manchmal lässt sich die ungefähre Lage der Nullstelle und somit ein geeigneter Startwert aus einer Skizze ablesen: 1 Beispiel: sin 1 sin 1 f( ) sin f( ) lässt sich nicht nicht leicht skizzieren. Man kann aber den Schnittpunkt der Funktionen: f 1 ( ) Skizze bestimmen. und f ( ) sin 1 anhand einer 2 f ( ) 1 f ( ) sin 2 1 Folie 12

13 2 Übungen: gesucht ist die Lösung der Gleichung e cos ( 2). Berechnen Sie das Ergebnis bis auf die vierte Nachkommastelle genau. Startpunkt sei = 1. Lsg.: 1, , , , Folie 13

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