Vektoren. b b. R heißt der Vektor. des. und b. . a b

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1 6 Vektoren 66 Ds Vektorprodukt Definition des Vektorprodukts Wir etrchten im dreidimensionlen Rum zwei nicht kollinere Vektoren R, \{0} Gesucht ist ein Vektor x R, der uf jedem der eiden Vektoren und senkrecht steht, für den lso gilt: $ x und $ x Die ufge ist nicht eindeutig lösr, d die Länge und uch die Richtung des Lösungsvektors nicht eindeutig estimmt sind Die ildung zeigt nur einen möglichen von den unendlich vielen Lösungsvektoren Selst unter den Vektoren der Länge git es noch zwei entgegengesetzt gerichtete Lösungsvektoren Die eiden Orthogonlitätsedingungen edeuten x 0 und x 0 xx x 0 Sie führen zu dem Gleichungssystem x x x 0 Eine Lösung dieses Gleichungssystems ist der Vektor x Mn definiert: Vektorprodukt Für die Vektoren und des R heißt der Vektor : (lies: Kreuz ) ds Vektorprodukt von und steht senkrecht uf und Hierei ist zu echten: Ds Vektorprodukt ist nur für Vektoren des R definiert, nicht für Vektoren des R Ds Vektorprodukt zweier Vektoren ist wieder ein Vektor Der Nme Vektorprodukt leitet sich wie uch eim Sklrprodukt vom Ergenis her Die oige Definition ezieht den Nullvektor und uch den Fll ein, dss die eiden Vektoren kolliner sind Es leit zu klären, welche Bedeutung dem Vektorprodukt in diesen Fällen zukommt x Nchweis 66

2 6 Vektoren Die Komponenten von sehen etws kompliziert us und lssen sich nicht so leicht merken Hier knn zb ds nchfolgend drgestellte Schem helfen + Mn schreit die ersten eiden Zeilen noch einml unter ds Produkt und streicht dnn die erste Zeile Die Komponenten von ergeen sich, wenn mn, wie im Rechenschem drgestellt, üer Kreuz rechnet Dieses Rechenschem erklärt, dss mn sttt Vektorprodukt häufig ls Synonym uch die Bezeichnung Kreuzprodukt verwendet Beispiel (Vektorprodukt erechnen) Berechnet werden soll ds Vektorprodukt von = 7 ( ) ( ) und 7 = 0 Merkschem: Zur Kontrolle knn mn nchrechnen, dss der erechnete Vektor 5 orthogonl zu jedem der gegeenen Vektoren = und 7 = ist: 0 ( ) = ( ) = 0 7 = () = = 0 5 = 7 () + + () 5 = = 0 5

3 6 Vektoren Rechenregeln für ds Vektorprodukt Wie eim Sklrprodukt lssen sich uch us der Definition des Vektorprodukts Rechenregeln leiten Sie sind nchfolgend in einer Üersicht zusmmengefsst Rechenregeln für ds Vektorprodukt Für lle c,, R sowie R gilt: () ( ) () ( c) c () ( ) ( ) ( ) () 0 (ntisymmetrie) (Distriutivgesetz) Nchweis 66 (Verträglichkeit mit S-Multiplikt) ufgen 8 Berechnen Sie die Vektorprodukte 7 0 ) 0 ) e) f) 0 0 c) g) 0 d) h) Errechnen Sie einen Vektor, der zum Vektor und uch zum Vektor orthogonl ist Bestätigen Sie die Orthogonlität nschließend rechnerisch ) ; ) ; 0 8 Berechnen Sie zunächst und dnn Welche Eigenschft des Vektorprodukts ergit sich? ) 0 ; 0 ) ;

4 6 Vektoren 5 Orientierung des Vektorprodukts Für ds Vektorprodukt zweier Vektoren und gilt: ( ) $ und ( ) $ Der Vektor steht somit senkrecht uf der von den eiden Vektoren und e ufgespnnten Eene e Der Vektor wird uch ls ein Normlenvektor zu der von den Vektoren und ufgespnnten Eene e ezeichnet Ds Wort norml leitet sich us dem Lteinischen normlis und edeutet soviel wie der Norm entsprechend oder im rechten Winkel gemcht Es leit noch zu klären, wie sich die Orientierung des Vektors zu der von den Vektoren und ufgespnnten Eene estimmen lässt Die Vektoren,, ilden in dieser Reihenfolge, eenso wie die Koordintenchsen unseres Koordintensystems, ein Rechtssystem Für diesen Schverhlt git es zwei Merkregeln, die insesondere uch in der Physik verwendet werden Rechte-Hnd-Regel Die Richtung des Vektors Regel wie folgt estimmen: lässt sich mit dieser Wenn der Dumen der gespreizten rechten Hnd in Richtung von und der Zeigefinger in Richtung von zeigt, dnn zeigt der Mittelfinger, wenn er uf der von Dumen und Zeigefinger ufgespnnten Eene senkrecht steht, in Richtung von Schruenregel Die Richtung des Vektors Regel wie folgt estimmen: lässt sich mit dieser Dreht mn üer den kleineren Winkel in die Richtung und Orientierung von, dnn entsteht dei eine Drehrichtung, die uf eine normle Schrue ngewndt diese Schrue in die Richtung und Orientierung von ewegen würde

5 6 6 Vektoren ufgen 8 Gegeen sind Pfeile von Vektoren und in der Zeicheneene Üertrgen Sie die Skizze ins Heft und zeichnen Sie die Richtung von durch oder ein, je nchdem, o die Pfeile von us der Zeicheneene he- rus oder er in die Zeicheneene hinein zeigen 85 Entscheiden Sie, o die drgestellten Vektoren, und c in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem ilden ) ) c) c c c 86 * Ein Mgnetfeld mit der Flussdichte B üt uf ein mit der Geschwindigkeit v ewegtes Teilchen, ds die Ldung q trägt, die Krft F q( vb) us Mn ezeichnet diese Krft ls Lorentz-Krft Dei ist ds Vorzeichen der Ldung q zu erücksichtigen In welcher Richtung wirkt in den folgenden ildungen die Lorentz-Krft? ) q v ) q + v c) v q + d) q edeutet, dss die Flussdichte B us der Zeicheneene herus zeigt edeutet, dss die Flussdichte B in die Zeicheneene hinein zeigt 87 * Ds Drehmoment M knn ls Vektorprodukt in der Form M F eschrieen werden Erläutern Sie die Bedeutung des Begriffs Drehmoment und die Bedeutung der Vektoren und F (Internetrecherche oder Literturstudium) v

6 6 Vektoren 7 Flächeninhlt von Prllelogrmm und Dreieck Für zwei Vektoren und des R ist ein Vektor, der sowohl senkrecht zu ls uch zu ist Neen dieser esonderen uszeichnung der Richtung von ht uch der Betrg eine emerkenswerte geometrische Bedeutung Eine etws ufwendige Rechnung führt zu folgender Drstellung für : Komponentenfreie Drstellung des Betrgs des Vektorprodukts Sind und elieige Vektoren des R mit, 0, so gilt sin( ), woei ds Mß des Winkels zwischen den Vektoren und ist Nchweis 66 c Diese komponentenfreie Drstellung lässt sich uch geometrisch interpretieren In dem von den Vektoren und ufgespnnten Prllelogrmm ist die Höhe h uf die Grundseite gegeen durch h sin( ) Für den Flächeninhlt des Prllelogrmms ergit sich dmit: ( ) Grundseite Höhe h sin ( ) h sin( ) Flächeninhlt von Prllelogrmm und Dreieck Für den Flächeninhlt des von den Vektoren und im Rum ufgespnnten Prllelogrmms gilt: ( ) Ein von den Vektoren und im Rum erzeugtes Dreieck esitzt den Flächeninhlt: ( ) Beispiel (Flächeninhlt eines Prllelogrmms erechnen) Gegeen sind die Vektoren und 0 Die Vektoren und spnnen ein Prllelogrmm uf mit dem Flächeninhlt: ( ), 0

7 8 6 Vektoren Beispiel (Flächeninhlt eines Dreiecks erechnen) Gegeen sind die Punkte P( ), Q( 0 ) und R( ) Es gilt: PQ und PR 5 0 Für den Flächeninhlt des Dreiecks PQR folgt: R P Q 5 ( ) 5 5,5 0 ufgen 88 Begründen Sie: Ein von den Vektoren und erzeugtes Dreieck esitzt den Flächeninhlt ( ) 89 Gegeen sind ( 6), B(5 8), C ( 5 ) und D ( ) ) Zeigen Sie, dss ds Viereck BCD ein Prllelogrmm ist ) Berechnen Sie den Flächeninhlt des Prllelogrmms BCD 90 Berechnen Sie den Flächeninhlt des Dreiecks BC ) ( 7), B ( 5 ) und C ( 5) ) (8 0 ), B (7 7 ) und C ( 6 9) 9 Gegeen sind die Punkte ( 0), B (0 ) und C ( ) ) Bestimmen Sie den Punkt D so, dss ds Viereck BCD ein Prllelogrmm ist ) Wo und unter welchem Winkel schneiden sich die Digonlen? c) Welchen Flächeninhlt ht ds Prllelogrmm? 9 Gegeen sind die Eckpunkte ( ), B (0 ) und C ( 0) eines Dreiecks ) Berechnen Sie die Längen der Seiten, die Mße der Innenwinkel und den Flächeninhlt des Dreiecks ) Berechnen Sie mithilfe des Flächeninhlts die Länge der Dreieckshöhen

8 6 Vektoren 9 9 Gegeen sind die Punkte (5 6 ), B ( 6 ), S C (0 ), D ( ) sowie S (,5 5) Ds Viereck BCD ist die Grundfläche einer Pyrmide mit der Spitze S ) Welche Länge esitzt die Seitenknte BS? D C ) Weisen Sie nch, dss es sich ei dem Viereck M BCD um ein Prllelogrmm hndelt B c) Berechnen Sie den Flächeninhlt des Prllelogrmms d) Bestimmen Sie die Koordinten des Fußpunkts M e) Welche Höhe esitzt die Pyrmide? Welcher Wert ergit sich dmit für ds Volumen der Pyrmide? 9 Die ildung zeigt ein Zelt mit der Form einer Pyrmide mit qudrtischer Grundfläche der Seitenlänge m und der Spitze S in m Höhe üer dem Mittelpunkt der Grundfläche In der Vorderfläche PQS efindet sich die trpezförmige Einstiegsöffnung BCD x S Dei sind C und D die Mittelpunkte der Strecken BS zw S Die Strecken P und BQ D C hen jeweils die Länge 0,5 m R ) Bestimmen Sie die Koordinten der Punkte O x, B, C, D und S P B Q ) Berechnen Sie ds Volumen der Pyrmide x c) Berechnen Sie den Flächeninhlt der Einstiegsöffnung 95 Gegeen sind die Punkte (6 0 0), C (0 6 0) und F (6 ) Die Punkte, B, C und der Ursprung O legen ein Rechteck fest Zusmmen mit den Punkten E und F wird ein Dchstuhl eschrieen ) Berechnen Sie den Flächeninhlt des Dchodens ) Berechnen Sie den Flächeninhlt der Seitenflächen des Dchstuhls c) Berechnen Sie ds Volumen des Dchstuhls x O x F E B C x