Inhaltsverzeichniss.

Transkript

1 Inhaltsverzeichniss. Ersi e Vorlesung. Einleitung. Die Coördinaten 1 Die senkrechte Projection einer begrenzten geraden Linie oder Ebene auf eine unbegrenzte gerade Linie oder Ebene 4 Die Entfernung zweier Punkte von einander 6 Ausdruck des Neigungswinkels» den zwei gerade Linien bilden.. 7 Der Flächeninhalt eines Dreiecks 9 Der körperliche Inhalt einer dreiseitigen Pyramide 10 Zweite Vorlesung. Die Ebene im Räume. Die Gleichung der Ebene in der allgemeinen und in der Normalform 16 Der senkrechte Abstand eines Punktes von einer Ebene 18 Die Ebenen, welche die Neigungswinkel zweier gegebenen Ebenen, halbiren 20 ätze über sphärische Dreiecke 23 Sätze über Tetraeder 26 Dritte Vorlesung. Ebenen im Räume. Das anharmonische und das harmonische Verhältniss von zwei Ebenenpaaren 28 Die Involution von drei Ebenenpaaren 30 Allgemeine Sätze über sphärische Dreiecke 36 Harmonische grösste Kreise auf der Kugeloberfläche. Grösste Kreise auf der Kugeloberfläche, welche eine Involution bilden. Harmonische Punkte und Punkte der Involution auf der Kugeloberfläche 39 Vierte Vorlesung. Das Pascal'sche Sechseck und damit verwandte Figuren. i Sätze über sphärische Dreiecke \ ' 43 Das Pascal'sche Sechseck auf der Kugeloberfläche 46 Bemerkungen über die Geometrie auf der Kugeloberfläche

2 VIII Inhaltsverzeichniss. Fünfte Vorlesung. Der Punkt im.räume und Punkte im Räume. * Definition der Ebenencoordinaten und die Gleichung des Punktes im Räume 52 Die Gleichung des Punktes in der allgemeinen und in der Normalform. Der senkrechte Abstand eines Punktes von einer Ebene 54 Der Punkt, welcher eine begrenzte gerade Linie halbirt oder auf.ihr im Unendlichen liegt Sätze über Dreiecke und Tetraeder 58 Das anharmonische und das harmonische Verhältniss von zwei Punktepaaren auf einer geraden Linie * Die Involution von drei Punktepaaren auf einer geraden Linie. 62 Ein Satz vom Tetraeder 66» Sechste Vorlesimg. Homogene Coördinaten. Gerade Linien im Räume. Homogene Punktcoordinaten und homogene Ebenencoordinaten. 67 Lineare Ausdrücke der homogenen Coördinaten von Punkten, welche auf einer geraden Linie oder Ebene liegen 69 Lineare Ausdrücke der homogenen Coördinaten von Ebenen, welche sich in einer geraden Linie schneiden, od. durch einen Punkt gehen 71 Der senkrechte Abstand eines Punktes von einer geraden Linie. 75 Die kürzeste Entfernung zweier geraden Linien von einander.. 76 Siebente Vorlesung. Determinanten. Entwickelung des Begriffes der Determinante 79 Eigenschaften der Determinanten ßS Die Auflösung linearer Gleichungen mit Hülte von Determinanten 'sf Eine besondere Art linearer Gleichungen 89 Reciproke Function 90 Das Multiplications-Theorem der Determinanten 91 Anwendung des Multiplications - Théorèmes auf ein algebraisches Problem 93 Die Functional-Determinante gegebener Functionen 97 Erweiterung des Multiplications - Théorèmes 98 Achte Vorlesung«Ganze homogene Functionen. Anwendungen der Determinanten. Eigenschaften ganzer homogener Functionen 100 Die Determinante ganzer homogener Functionen. Eigenschaften dieser Determinante und ihrer partiellen Differentialquotienten 102 Bedingungsgleichung zwischen den homogenen Coördinaten von vier Punkten in einer Ebene 104 Ableitung der sieben Formen der ßedingungsgleichung der Inv olution 106 Verschiedene Aufgaben 109 Der geometrische Ort einer geraden Linie, welche auf drei gegebenen geraden Linien gleitet. 113

3 Inhaltsverzeichnies. IX Nennte Yorlesung. Allgemeine Eigenschaften der Oberflächen zweiter Ordnung. Definition der Oberfläche zweiter Ordnung 118 Analytische Bestimmung der Oberflächen zweiter Ordnung durch Punkte auf ihnen Oberflächen zweiter Ordnung, welche sich in derselben Raumcurve schneiden 120 Oberflächen zweiter OrdnuDg, welche sich in ebenen Curven schneiden 121 Die Schnittpunkte von drei Oberflächen zweiter Ordnung Die Schnittpunkte von zwei Oberflächen zweiter Ordnung und einer Ebene.... :, 128 Die Schnittpunkte von einer Oberfläche zweiter Ordnung und zwei Ebenen.' 129 Zehnte Yorlesung. Pole und Polarebenen der Oberflächen zweiter Ordnung. Definition von Pol und Polarebene einer Oberfläche zweiter Ordnung 131 Die Gleichung der Polarebene einer Oberfläche zweiter Ordnung 132. Eigenschaften der Pole und Polarebenen einer Oberfläche zweiter Ordnung. * 133 Relationen zwischen den.coördinaten des Poles und den Coördinaten der Polarebene einer Oberfläche zweiter Ordnung 34 Analytischer Ausdruck der Oberflächen aweiter Ordnung durch Ëbenencoordinaten 136 Elfte Vorlesung. Weitere allgemeine Eigenschaften der Oberflächen zweiter Ordnung. Analytische Bestimmung der Oberflächen zweiter Ordnung durch ihre Tangentenebenen 139 Oberflächen zweiter Ordnung, welche acht Ebenen berühren Oberflächen zweiter Ordnung, welche von zwei Kegeln zweiter Ordnung ringsum berührt werden. 142 Tangentenebenen an drei Oberflächen zweiter Ordnung..... '143 Tangentenebenen von einem Punkte an zwei Oberflächen zweiter Ordnung. Tangentenebenen einer Oberfläche zweiter Ordnung, welche durch eine gegebene gerade Linie gehen 144 Zwölfte Torlesung. Fortsetzung der zehnten Vorlesung über Pole und Polarebenen der Oberflächen zweiter Ordnung. Reciprocität. Harmonische Polarebenen einer Oberfläche aweiter Ordnung Die Gleichung des Poles. Relationen zwischen den Coördinaten des Poles und der Polarebene einer Oberfläche zweiter Ordnung 147

4 X Inhalts ver zeichniss. - Sätze über Pole und Polarebenen einer Oberfläche zweiter Ordnung 149 Das Princip der ßeciprocität 152 Dreizehnte Yorle&ung«Mittelpunkt der Oberfläche zweiter Ordn.ung. Transformation der Coördinaten mit Beibehaltung der Richtung der Coordinatenaxen. Der Mittelpunkt einer Oberfläche zweiter Ordnung ist der Pol der Ebene im Unendlichen 156 Analytische Bestimmung des Mittelpunktes einer Oberfläche zweiter Ordnung Coordinatentransformation mit Beibehaltung der Richtung der*coordinatenaxen 159 Bedingungôgleichung für die Oberflächen zweiter Ordnung ohne Mittelpunkt Vierzehnte Yorlesung., Criterium des Kegels zweiter Ordnung. Tangentenkegel der Oberfläche zweiter Ordnung. Die Bedingungsgleichung für den Kegel zweiter Ordnung Der Asymptoten-Kegel einer Oberfläche zweiter Ordnung Der analytische Ausdruck des Kegels zweiter Ordnung in Ebenencoordinaten. 168 Der Tangentenkegel einer Oberfläche zweiter Ordnung 170 Fünfzehnte Yorlesung. Criterium der Grenzfläche zweiter Ordnung. Die Schnittcurvé einer Ebene und einer Oberfläche zweiter Ordnung als Grenzfläche zweiter Ordnung aufgefasst. Definition der Grenzflächen zweiter Ordnung 173 Die Bedingungsgleichung für eine Grenzfläche zweiter Ordnung. 174 Die Grenzfläche zweiter Ordnung stellt sich als Kegelschnitt dar 176 Die Kegelschnitte auf den Oberflächen zweiter Ordnung ausge- - drückt als Grenzflächen zweiter Ordnung 177 Sechszehnte Vorlesung. Kegel zweiter Ordnung, welche durch die Schnitt - curve zweier Oberflächen zweiter Ordnung hindurchgehen. Bestimmung der vier Kegel zweiter Ordnung, welche durch die Schnittcurvé zweier Oberflächen zweiter Ordnung gehen Systeme harmonischer Pole einer Oberfläche zweiter Ordnung Das, zweien Oberflächen zweiter Ordnung gemeinschaftliche System harmonischer Pole 186 Die Bedingung, dass eine Oberfläche zweiter Ordnung durch ein

5 Inhaltsverzeichniss. XI System harmonischer Pole einer gegebenen Oberfläche zweiter Ordnung hindurchgehe 191 Bedingungsgleichungen für eine Oberfläche zweiter Ordnung, welche durch das, zweien gegebenen Oberflächen zweiter Ordnung gemeinschaftliche System harmonischer Pole geht 195 Zwei Systeme harmonischer Pole einer Oberfläche zweiter Ordnung sind die acht Schnittpunkte von drei Oberflächen zweiter Ordnung. 198 Die Oberfläche zweiter Ordnung, die durch die Spitzen der zwölf Kegel zweiter Ordnung geht, welche sich durch -die Schnittcurve je zweier von drei Oberflächen zweiter Ordnung legen lassen *. 201 Conjugirte Durchmesser einer Oberfläche zweiter Ordnung Sätze über conjugirte Durchmesser einer Oberfläche zweiter Ordnung 203 Siebenzehute Vorlesung.. G ren zf lachen zweiter Ordnung, welche acht, belie big gegebene Ebenen berühren. Die vier Grenzflächen zweiter Ordnung, welche acht gegebene Ebenen berühren Die Bedingung, dass eine Oberfläche zweiter Ordnung ein System harmonischer Polarebfcnen einer gegebenen Oberfläche zweiter Ordnung berühre 212 Bedingungsgleichungen für eine Oberfläche zweiter Ordnung, welche das, -zweien gegebenen Oberflächen zweiter Ordnung gemeinschaftliche System harmonischer Polarebenen berührt Zwei Systeme harmonischer Polarebenen einer Oberfläche zweiter Ordnung sind die acht Tangentenebenen an drei Oberflächen zweiter Ordnung 214 Die Oberfläche zweiter Ordnung, welche drei Systeme harmonischer Polarebenen berührt, von welchen jedes zweien von drei gegebenen Oberflächen zweiter Ordnung zugehört 216 Sätze über Kegelschnitte 217 Sätze über conjugirte Durchmesser einer Oberfläche zweiter Ordnung 219 Achtzehnte Vorlesung. Lineare Coördinaten-Transformation. Transformation rechtwinkliger Coordinatensysteme mit demselben Anfangspunkte. Geometrische Deutung linearer homogener Substitutionen. Coördinaten-Transformation 221 Barycentrische Coördinaten 224 Lineare Transformation der Ebenencoordinaten 226 Die schiefwinkligen Coördinaten "227 Die rechtwinkligen Coordinatensysteme mit demselben Anfangspunkte 230 Mannigfaltige Relationen zwischen den Coëfficiënten in den Transformationsformeln rechtwinkliger Coordinatensysteme Geometrische Interpretation jener Relationen,-..,..,.',. 242

6 XII InhaUsverzeicbniss. Neunzehnte Vorlesung. Transformation der Oberflächen zweiter Ordnung auf die Haüptaxen, Geometrische Bestimmung der Haüptaxen einer Oberfläche zweiter Ordnung 243 Algebraische Auffassung des Problèmes der Haüptaxen einer Oberfläche zweiter Ordnung 245 Die kubische Gleichung à = 0, von welcher die Haüptaxen einer Oberfläche zweiter Ordnung abhängen 247 Die Bestimmung der Haüptaxen einer Oberfläche zweiter Ordnung 248 Die Realität der Wurzeln der kubischen Gleichung =» Die verschiedenen Geschlechter der Oberflächen- zweiter Ordnung 252 Die Grenzen der Wurzeln der kubischen Gleichung à = Untersuchung des Falles, wenn zwei Wurzeln der kubischen Gleichung d = 0 einander gleich sind. Rotationsoberflächen Das Problem der Haüptaxen einer Oberfläche zweiter Ordnung als Maximums- oder Minimums -Aufgabe 258 Zwanzigste Vorlesung. Transformation homogener Functionen zweiter Ordnung durch lineare homogene Substitutionen. Mannigfaltige Relationen zwischen den Coëfficiënten irgend welcher linearen homogenen Substitutionen und den Coëfficiënten ihrer Auflösungen 259 Eigenschaften der linearen homogenen Substitutionen, welche eine gegebene homogene Function der zweiten Ordnung transformiren in die Summe von Quadraten der Variabein Eigenschaften der linearen homogenen Substitutionen, welche zwei gegebene homogene Functionen zweiter Ordnung transformiren m die Summe von Quadraten der Variabein 270 Bestimmung der linearen homogenen Substitutionen, welche zwei gegebene homogene Functionen zweiter Ordnung transformiren in die Summe von Quadraten der Variabein 276 Die Natur der Gleichung é = 0, von welcher diese Bestimmung der Substitutionen abhängt...* 279 Einundzwanzigste Vorlesung«Das Problem der Haüptaxen der Curven zweiter Ordnung. Confocale Kegelschnitte'und elliptische Coördinaten in der Ebene. Algebraische Auffassung des Problèmes der Haüptaxen eines Kegelschnittes 283 Die quadratische Gleichung, von welcher die Haüptaxen des Kegelschnittes abhängen 285 Mannigfaltige Relationen, welche mit der Lösung des Problèmes zusammenhängen 286 Confocale Kegelschnitte 289 Elliptische Coördinaten in der Ebene Ausdruck für den Bogen der Ellipse 293

7 Inhaltsverzeichmss. XIÏI Doppelter Ausdruck für den Flächeninhalt der Ellipse 295 Relation zwischen den Längen zweier Tangenten der Ellipse und dem von ihnen begrenzten Bogen > * Zweiundzwanzigste Vorlesung. Das Problem der Hauptaxen der Oberflächen zweiter Ordnung. Confocale Oberflächen zweiter Ordnung und elliptische Raumcoordinaten. Algebraische Auffassung des Problèmes der Hauptaxen einer Oberfläche zweiter Ordnung 299 Die kubische Gleichung, von welcher die Hauptaxen abhängen. 301 Mannigfaltige Relationen, welche mit der Lösung des Problèmes zusammenhängen 302 Confocale Oberflächen zweiter Ordnung 310 Elliptische Goordinaten im Räume 313 Krümmungscurven der Oberflächen zweiter Ordnung. Differentialform ein für elliptische Coördinaten 314 Umfang der Krümmungscurve auf dem Ellipsoid 316 Flächeninhalt und kubischer Inhalt des Ellipsoides 317 Elliptische Kugelcoordinaten. Sphärische Kegelschnitte Umfang und Inhalt der sphärischen Ellipse 320 Ein Princip auf der Kugeloberfläche 321 Dreiundzwanzigste Vorlesung.. Kürzeste Linien auf dem Ellipsoid. Tangentenebene und Normale einer Oberfläche. Schmiegungsebene einer Curve im Räume 323 Differentialgleichung der kürzesten Linien auf einer Oberfläche. 325 Erste Integration der Differentialgleichung der kürzesten Linien aui* dem Ellipsoid 327 Das vollständige Integral der kürzesten Linien auf dem Ellipsoid 331 Relation zwischen den Längen zweier kürzesten Linien auf dem Ellipsoid, welche_eine Krümmungslinie berühren und dem von den Berührungspunkten begrenzten Bogen der Krümmungelinie 336 Vieründzwanzigste Vorlesung. Focalcurven der Oberflächen zweiter Ordnung. Die Focalellipse, die Focalhyperbel, die imaginäre Focalellipse. 339 Erweiterung des Begriffes der confocalen Oberflächen zweiter Ordnung 341 Confocale Rotationsoberflächen zweiter Ordnung, Brennpunkte derselben 344 Rotationsoberflächen zweiter Ordnung, welche einen Brennpunkt gemein haben... r 346 Rotationskegel, welche eine Oberfläche zweiter Ordnung ringsum berühren "348 Eigenschaften der Focalcurven 351 Fünfundzwanzigste Vorlesung. Die Axen des Körpers. Definition des imaginären Bildes eines Körpers 355 Das imaginäre Bild eines Körpers ist unabhängig von der Lage des Körpers 356

8 XIV Inhaltsverzeichniss. Die Axen des Körpers 359 Die Hauptaxen des Körpers...*...". 360 Bestimmung der Axen eines Körpers 363 Die Axensysteme eines Körpers hängen ab von contjpcalen Oberflächen 365» Sechsimdzwanzigste Vorlesung. * Geometrische Deutung der kubischen Gleichung ^ = 0, von welcher die Hauptaxen einer Oberfläche zweiter Ordnung abhängen. Sätze, welche hervorgehen aus der geometrischen Deutung der kubischen Gleichung, von welcher die Hauptaxen einer, erstens durch ihre Gleichung in Punktcoordinaten gegebenen Oberfläche zweiter Ordnung abhängen. 369 Zweitens, wenn die Gleichung der Oberfläche zweiter Ordnung in Ebenencoordinaten gegeben ist Siebemmdzwanzigste Vorlesimg* Bedingungen für die Rotationsoberfläche zweiter Ordnung. Directe Herleitung der Bedingungen für die Rotationsoberflächen zweiter Ordnung 376 Die Bedmgungsgleichung für die Gleichheit zweier Hauptaxen einer Oberfläche zweiter Ordnung stellt sich dar als die verschwindende Summe von Quadraten. 37,8 Achtundzwaiizigste Vorlesung. Schnitte von Oberflächen zweiter Ordnung und Ebenen. Kreisschnitte. Bestimmung des Mittelpunktes eines, auf einer Oberfläche zweiter Ordnung liegenden Kegelschnittes 389 Gerade Linien auf den Oberflächen zweiter Ordnung "392 Parabelschnitte auf den Oberflächen zweiter Ordnung 394 Bestimmung der Hauptaxen eines, auf einer Oberfläche zweiter Ordnung liegenden Kegelschnittes : 395 Die quadratische Gleichung, von welcher diese Hauptaxen abhängen 398 Die Kriterien der drei Arten -Kegelschnitte auf einer Oberfläche zweiter Ordnung 400 Die Bedingungsgleichung für die Gleichheit der Hauptaxen eines ebenen Schnittes auf einer Oberfläche zweiter Ordnung stellt sich dar als die verschwindende Summe jron Quadraten Bestimmung der Kreisschnitte auf Oberflächen zweiter Ordnung. 406 Neunund zwanzigste Vorlesung. Krümmungsradien der Normalschnitte und schiefen ebenen Schnitte der-oberflächen. Die Tangente einer Curve in der Ebene Der Krümmungskreis, der Krümmungsradius und der feömmungsmittelpunkt einer Curve in der Ebene

9 Inhal tsverzeichni ss. XV Der Krümimmgskreia, der Krümmungsradius und der Krümmungsmittelpunkt des Normalschnittes einer Oberfläche 417 Der Krümmungskreis, der Krümmungsradius und der Krümmunga- * mittelpunkt des ebenen schiefen Schnittes einer Oberfläche. 422 Dreißigste Vorlesung. Krümmungscurven der Oberflächen. Die Hauptschnitte einer Oberfläjche in einem gegebenen 'Punkte derselben 426 Die Differentialgleichung der Krümmungscurven auf einer gegebenen Oberfläche 430 Krümmungscurven auf dem Ellipsoid 432 Eine zweite Definition der Krümmungscurven auf einer gegebenen Oberfläche Eiminddreissigste Vorlesung. Das Theorem von Dupin. Erster Beweis des Théorèmes 434 Zweiter Beweis desselben Théorèmes 438 Der Parameter einer Dupin'schen Flächenschaar genügt einer partiellen Differentialgleichung dritter Ordnung 441 Umgekehrt wird durch diese Differentialgleichung eine Dupin'sche Flächenschaar vollständig charakterisirt 443 Supplemente. I. Lineare Transformation einer quadratischen Form in eine Summe von Quadraten. Jacobische Transformation einer ganzen homogenen Function zweiten Grades 449 Trägheitsgesetz der quadratischen Formen 453 Bestimmung der constanten Anzahl negativer Quadrate, welche bei der Darstellung einer quadratischen Form durch eine Summe von Quadraten auftreten 460 IL Ueber die Eintheilung der Flächen zweiter Ordnung und ihrer Schnitte mit Ebenen. Classification der Flächen zweiter Ordnung 462 Schnitte von Flächen zweiter Ordnung und Ebenen 467 III. Ueber den Flächenbüschel zweiter Ordnung. Beziehungen zwischen zwei Flächen zweiter Ordnung und einer Geraden 470 Eigenschaften der drei Punkte, in welchen eine gegebene Ebene von den Flächen eines Büschels zweiter Ordnung berührt wird 474

10 XVI Inhaltsverzeichniss. Bestimmung der vier Schnittpunkte von Flächen zweiter Ordnung und einef Ebene ' Spezielle Lagen einer Ebene gegen den Flächenbüschel zweiter Ordnung 479 Bestimmung des Systems conjûgirter Durchmesser, welches zwei concentrischen Flächen gemeinsam ist 485 Geometrische Deutung einiger algebraischen Formen 486 Anwendungen auf eine Schaar confocaler Flächen zweiten jgrrades 496 IV. Lineare -Transformation zweier quadratischen Formen. Definition und Eigenschaften der Elementartheiler 499 Nothwendige Bedingungen für die Aequivalenz zweier quadratischen Formenpaare : 501 Eigentümliche Umgestaltung zweier gegebenen quadratischen Formen * 502 Hinreichende Bedingungen für die Aequivalenz zweier quadratischen Formenpaare 509 Formenschaaren, deren Elementartheiler vorgeschriebene Exponenten besitzen 511 Betrachtung einer besonderen Formenschaar, deren Elementartheiler sämmtlich den Exponenten Eins oder Zwei besitzen. 515 Aufzählung der verschiedenen Lagen, welche zwei Flächen zweiter Ordnung gegen einander haben können Anhang. Planetenbewegung. Die Bewegung des Planeten geschieht in einer durch die Sonne gehenden ganz bestimmten Ebene 529 Die von dem Radiusvector beschriebenen Flächenräume sind proportional den Zeiten, in welchen sie beschrieben werden Die Planetenbahn ist ein Kegelschnitt in einer Ebene, welche durch die Sonne geht 537 Die Planetenbahn ist ein Kegelschnitt. In einem Brennpunkte des Kegelschnittes liegt die Sonne 539 Die Planetenbahn ist eine Ellipse oder Hyperbel oder Parabel, je nachdem die Constante h der lebendigen Kraft negativ oder positiv ist oder verschwindet 54t Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten um die Sonne verhalten sich wie die Kuben der grossen Axen der Planetenbahnen 543 Das Problem zweier Körper. 543