Mathematik 2 für Naturwissenschaften

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1 Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 212 Determinanten

2 Hans Walser: Modul 212, Determinanten ii Modul 212 für die Lehrveranstaltung Mathematik 2 für Naturwissenschaften Sommer 2003 Probeausgabe Sommer 2004 Überarbeitung, neue Moduleinteilung Sommer 2005 Fehlerkorrekturen Sommer 2006 Kleine Ergänzung. Technische Überarbeitung Sommer 2007 Neue Moduleinteilung. Kürzungen. MathType. Zusammenfassung Frühjahr 2008 Geändertes Layout Frühjahr 2010 Erweiterung Frühjahr 2014 Technische Überarbeitung der Abbildungen. Neues Layout last modified: 26. Oktober 2013 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel

3 Hans Walser: Modul 212, Determinanten iii Inhalt 1 (2, 2)-Matrizen Erinnerung Addition einer Spalte Vertauschen von Spalten Geometrische Bedeutung Multiplizieren einer Spalte (3, 3)-Matrizen Definition der Determinante Der Spat und sein Volumen Was ist ein Spat Spatvolumen Addition von Spalten Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit Situation Lineare Abhängigkeit: Folgen der linearen Abhängigkeit Lineare Unabhängigkeit: Folgen der linearen Unabhängigkeit Determinanten allgemein Erinnerungen an den Fall n = Analyse des Falles n = Übertragung auf den Fall n = Allgemeine Definition Entwickeln nach der ersten Zeile Beispiel n = Rechenbeispiel Sonderfall Dreiecksmatrix Untere Dreiecksmatrix Obere Dreiecksmatrix Umbau zur Dreiecksmatrix Rechenaufwand Anwendung der Definition Verfahren von LAPLACE Umbau zur Dreiecksmatrix mit Gauß-Algorithmus Übersicht Determinanten und Matrizenprodukt Zusammenfassung Matrizen Matrizen Eigenschaften von Determinanten Lineare Unabhängigkeit Lineare Abhängigkeit Determinanten allgemein... 24

4 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 1 1 (2, 2)-Matrizen 1.1 Erinnerung Für eine (2, 2)-Matrix a 1,1 a 1,2 A = a 2,1 a 2,2 wird die Determinante nach folgender Formel berechnet: det( A) = a 1,1 a 2,2 a 1,2 a 2,1 Daraus folgt sofort, dass die transponierte Matrix A t a 1,1 a 2,1 = a 1,2 a 2,2 dieselbe Determinante hat. Das gilt auch allgemein für (n, n)-matrizen. 1.2 Addition einer Spalte a 1,1 a 1,2 a 1,1 + λa 1,2 a 1,2 A = a 2,1 a 2,2, A* = a 2,1 + λa 2,2 a 2,2 In der Matrix A* ist zur ersten Spalte das λ -fache der zweiten Spalte addiert worden. Dann ist det( A *) = Das gilt allgemein für (n, n)-matrizen: Wird zu einer Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte addiert, ändert sich die Determinante nicht. Wird zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addiert, ändert sich die Determinante nicht. 1.3 Vertauschen von Spalten a 1,1 a 1,2 a 1,2 a 1,1 A = a 2,1 a 2,2, A* = a 2,2 a 2,1 In der Matrix A* sind die Spalten vertauscht worden. Dann ist det( A *) =

5 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 2 Das gilt allgemein für (n, n)-matrizen: Werden in einer Matrix zwei Spalten vertauscht, ändert die Determinante das Vorzeichen. Werden in einer Matrix zwei Zeilen vertauscht, ändert die Determinante das Vorzeichen. Daraus können wir eine logische Folgerung ziehen: Sind in einer Matrix zwei Spalten gleich, ist ihre Determinante Null. Sind in einer Matrix zwei Zeilen gleich, ist ihre Determinante Null. Warum ist das so? Tipp: Die beiden Spalten vertauschen. 1.4 Geometrische Bedeutung Das Folgende gilt in dieser Form nur für (2, 2)-Matrizen. Für (n, n)-matrizen müssen wir die Dimension entsprechend erhöhen Wir arbeiten exemplarisch mit der Matrix A =. Die Vektoren u = und v = sind ihre beiden Spaltenvektoren. Diese beiden Vektoren spannen ein Parallelogramm 2 auf: v u Parallelogramm

6 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 3 Nun addieren wir zu u das ( 1 2 ) -fache von v. Wir erhalten u* = u 0.5v = Dadurch ändert sich die Determinante nicht. Das Parallelogramm ändert seine Form, aber nicht seinen Flächeninhalt. v v u 0.5v u* u* Neues Parallelogramm mit gleichem Flächeninhalt 0 Wir fahren im gleichen Stil weiter: v* = v 0.4u* =. Die Determinante bleibt invariant, das Parallelogramm ändert seine Form, aber nicht seinen 2 Flächeninhalt. 0.4u* v* v u* Rechtecksfläche Das Parallelogramm ist nun ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 5. Dies ist aber auch der Wert der Determinante. Allgemein: Wir beginnen mit einer Matrix a A = c a b mit den Spaltenvektoren u = und v =. c d b d

7 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 4 Dann rechnen wir: und weiter: u* = u c d v = a c d b c c d d = a c 0 v* = v b a cb d 0 u* = d Die beiden Vektoren u* und v* spannen ein Rechteck mit dem Flächeninhalt ( a c d b )d = ad bc auf. Dies ist aber die Determinante der Matrix A. Noch ein Wort zur Vorsicht: Wenn wir die beiden Spalten vertauschen, ändert das Vorzeichen der Determinante. Kann aber ein Flächeninhalt negativ sein? Wir untersuchen die neue Matrix 1 3 A = mit u = und v =. Das sieht geometrisch so aus: 2 1 d b v + u u v Links alte, rechts neue Version In der Determinante bewirkt das Vertauschen zweier Spalten eine Vorzeichenänderung. Es ist daher sinnvoll, einen negativen Flächeninhalt einzuführen. Allgemein spricht man von einem orientierten Flächeninhalt, wenn die Orientierung des Drehwinkels vom ersten zum zweiten Vektor als Vorzeichen in den Flächeninhalt eingeht.

8 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 5 Damit gilt: a b det c d = = orientierter Flächeninhalt des a von und c b d aufgespannten Parallelogramms 1.5 Multiplizieren einer Spalte Wird eine Spalte einer (2, 2)-Matrix mit einem Faktor λ multipliziert, ändert auch die Determinante um diesen Faktor. a 1,1 a 1,2 λa 1,1 a 1,2 A = a 2,1 a 2,2, A* = λa 2,1 a 2,2 In der Matrix A* ist zur ersten Spalte das λ -fache der ersten Spalte der Matrix A. Dann ist det( A *) = Wir können das auch geometrisch einsehen: das Parallelogramm wird in einer Richtung um den Faktor λ gestreckt. Das Resultat gilt aber allgemein für (n, n)-matrizen: Wird eine Spalte einer (n, n)-matrix mit einem Faktor λ multipliziert, ändert auch die Determinante um diesen Faktor. Wird eine Zeile einer (n, n)-matrix mit einem Faktor λ multipliziert, ändert auch die Determinante um diesen Faktor. Und wieder können wir eine logische Folgerung ziehen: Für (n, n)-matrizen gilt: Ist eine Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte, so ist die Determinante Null. Ist eine Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile, so ist die Determinante Null. Warum ist das so? Tipp: Faktor herausnehmen, es bleiben zwei gleiche Spalten.

9 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 6 2 (3, 3)-Matrizen Alle Feststellungen des vorhergehenden Abschnittes gelten auch hier, lediglich die geometrische Bedeutung müssen wir adaptieren. 2.1 Definition der Determinante Wir gehen aus von der Matrix: Dann ist a 1,1 a 1,2 a 1,3 A = a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 det( A) = a 1,1 a 2,2 a 3,3 a 1,1 a 2,3 a 3,2 a 1,2 a 2,1 a 3,3 +a 1,2 a 2,3 a 3,1 + a 1,3 a 2,1 a 3,2 a 1,3 a 2,2 a 3,1 Rechenschema: a 1, 1 a 1, 2 a 1, 3 a 1, 1 a 1, 2 a 2, 1 a 2, 2 a 2, 3 a 2, 1 a 2, 2 a 3, 1 a 3, 2 a 3, 3 a 3, 1 a 3, 2 minus plus Rechenschema Dieses Rechenverfahren geht auf Pierre Frédéric SARRUS ( ) zurück. Beispiel: det( A) = A =

10 Hans Walser: Modul 212, Determinanten Der Spat und sein Volumen Was ist ein Spat Die drei Spaltenvektoren spannen ein Parallelepiped oder Spat auf. Das ist das dreidimensionale Analogon zum Parallelogramm. Die Schwierigkeit ist, die schiefen Winkel als solche zu erkennen. Unser Gehirn orthogonalisiert die Winkel Spatvolumen Spat oder Quader? Orthogonalisierung im Kopf w u v Parallelepiped (Spat) Die Determinante ist nun das orientierte Spatvolumen. Die Orientierung ist positiv, wenn die drei Vektoren wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand stehen.

11 Hans Walser: Modul 212, Determinanten Addition von Spalten A := det( A) := µ 2 A_neu := µ µ 5 det( A_neu) := 62 Für (n, n)-matrizen gilt: Wir können zu einer Spalte eine Linearkombination anderer Spalten addieren, ohne dass sich die Determinante ändert. Wir können zu einer Zeile eine Linearkombination anderer Zeilen addieren, ohne dass sich die Determinante ändert. Warum gilt nun die folgende Regel?: Für (n, n)-matrizen gilt: A := det( A) := µ 2 A_neu := µ µ 5 det( A_neu) := 0 Ist eine Spalte eine Linearkombination von anderen Spalten, so ist die Determinante Null. Ist eine Zeile eine Linearkombination von anderen Zeilen, so ist die Determinante Null. 3 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit 3.1 Situation Wir haben n Elemente{ v 1,...,v n }, zum Beispiel: Spalten einer Matrix

12 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 9 Zeilen einer Matrix Vektoren Lineare Gleichungen mit n Unbekannten 3.2 Lineare Abhängigkeit: Mindestens ein v i v 1,....,v n { } kann als Linearkombination von anderen v j v 1,....,v n { } dargestellt werden Folgen der linearen Abhängigkeit Quadratische n,n-matrix A: Wenn die Zeilen (und damit auch die Spalten) linear abhängig sind, dann ist: det (A) = 0, kein Inverses, Rang r < n Vektoren: Dimensionsverlust, Inhalt = 0 Gleichungssystem: Unendlich viele Lösungen 3.3 Lineare Unabhängigkeit: Jedes v i { v 1,...,v n } ist wesentlich Folgen der linearen Unabhängigkeit Quadratische n,n-matrix A: Wenn die Zeilen (und damit auch die Spalten) linear unabhängig sind, dann ist: det (A) 0, reguläre Matrix Inverses existiert Rang r = n Vektoren: Volle Dimension Inhalt 0

13 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 10 Gleichungssystem: Genau eine Lösung 4 Determinanten allgemein 4.1 Erinnerungen an den Fall n = 3 a 1, 1 a 1, 2 a 1, 3 a 1, 1 a 1, 2 a 2, 1 a 2, 2 a 2, 3 a 2, 1 a 2, 2 a 3, 1 a 3, 2 a 3, 3 a 3, 1 a 3, 2 minus Rechenschema plus a 1, 1 a 1, 2 a 1, 3 a 2, 1 a 2, 2 a 2, 3 a 3, 1 a 3, 2 a 3, 3 a 1, 1 a 1, 2 a 1, 3 minus plus a 2, 1 a 2, 2 a 2, 3 Stapeln

14 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 11 a 1, 1 a 1, 2 a 1, 3 a 2, 1 a 2, 2 a 2, 3 a 3, 1 a 3, 2 a 3, 3 minus plus Kurvenfahren 4.2 Analyse des Falles n = 3 Leider gibt es für (4, 4)-Matrizen und größere kein Rechenschema mit ausschließlich Diagonalen. Das Berechnen der Determinanten ist aufwändiger. Dazu studieren wir nochmals den uns bekannten Fall der (3, 3)-Matrizen. a 1,1 a 1,2 a 1,3 A = a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 det( A) = a 1,1 a 2,2 a 3,3 a 1,1 a 2,3 a 3,2 a 1,2 a 2,1 a 3,3 + a 1,2 a 2,3 a 3,1 + a 1,3 a 2,1 a 3,2 a 1,3 a 2,2 a 3,1 In jedem Summanden sind die ersten Indizes der drei Faktoren 1, 2, 3 in dieser Reihenfolge. In der Matrix gehen wir also von oben nach unten. Jeder Summand ist von der Form a 1,i a 2, j a 3,k Wie viele Möglichkeiten gibt es nun für die zweiten Indizes? Da jede der drei Zahlen 1, 2, 3 vorkommen soll, können wir einen kombinatorischen Baum studieren:

15 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 12 1** 12* 13* 123 Ausgangslage 132 ungerade Anzahl Vertauschungen *** 2** 21* 23* 213 ungerade Anzahl Vertauschungen 231 gerade Anzahl Vertauschungen 3** 31* 32* 312 gerade Anzahl Vertauschungen 321 ungerade Anzahl Vertauschungen Möglichkeiten Wir haben 3! = 6 Permutationen der Ziffern 1, 2, 3. Bei drei Permutationen genügt eine einzige Vertauschung (ungerade Permutation), bei den anderen brauchen wir keine oder zwei Vertauschungen (gerade Permutation). Die geraden Permutationen stehen bei den positiven Summanden, die ungeraden bei den negativen Summanden. Die folgende Grafik versucht, die 3! = 6 Fälle als Wege von oben nach unten zu illustrieren. Gestrichelte Linien entsprechen den ungeraden Permutationen, also den negativ zu rechnenden Summanden. a 1, 1 a 1, 2 a 1, 3 a 1, 1 a 1, 2 a 1, 3 a 2, 1 a 2, 2 a 2, 3 a 2, 1 a 2, 2 a 2, 3 a 3, 1 a 3, 2 a 3, 3 a 3, 1 a 3, 2 a 3, 3 minus plus Rechenschema

16 Hans Walser: Modul 212, Determinanten Übertragung auf den Fall n = 4 Wenn wir das nun auf (4, 4)-Matrizen übertragen wollen, müssen wir mit 4! = 24 Summanden rechnen. Dies ist tatsächlich der Fall, wie Maple zeigt: a a a a 11, 12, 13, 14, a a a a 21, 22, 23, 24, A := a a a a 31, 32, 33, 34, a a a a 41, 42, 43, 44, det( A) := a a a a a a a a a a a a 11, 22, 33, 44, 11, 22, 34, 43, 11, 32, 23, 44, + a a a a + a a a a a a a a 11, 32, 24, 43, 11, 42, 23, 34, 11, 42, 24, 33, a a a a + a a a a + a a a a 21, 12, 33, 44, 21, 12, 34, 43, 21, 32, 13, 44, a a a a a a a a + a a a a 21, 32, 14, 43, 21, 42, 13, 34, 21, 42, 14, 33, + a a a a a a a a a a a a 31, 12, 23, 44, 31, 12, 24, 43, 31, 22, 13, 44, + a a a a + a a a a a a a a 31, 22, 14, 43, 31, 42, 13, 24, 31, 42, 14, 23, a a a a + a a a a + a a a a 41, 12, 23, 34, 41, 12, 24, 33, 41, 22, 13, 34, a a a a a a a a + a a a a 41, 22, 14, 33, 41, 32, 13, 24, 41, 32, 14, 23, Wir analysieren je einen positiven und einen negativen Summanden:

17 Hans Walser: Modul 212, Determinanten Allgemeine Definition Zur Definition der Determinante einer (n, n)-matrix gehen wir wie folgt vor. a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = :. :. :. a n,1 a n,2 a n,n Es sei σ eine Permutation der Zahlen 1, 2,, n. Es gibt insgesamt n! solcher Permutationen σ. Ferner sei: sgn signum Vorzeichen ( σ ) = +1 falls σ gerade 1 falls σ ungerade Dann ist: ( ) = sgn( σ ) det A a 1,σ ( 1) a 2,σ( 2) a n,σ( n) Summe über alle σ Diese Definition der Determinante geht auf LEIBNIZ zurück. Gottfried Wilhelm von LEIBNIZ,

18 Hans Walser: Modul 212, Determinanten Entwickeln nach der ersten Zeile Beispiel n = 4 Zunächst die Permutationen von 1, 2, 3, 4: Die 4! = 24 Permutationen Nun zeichnen wir die Wege des ersten Blockes ein: a 1, 1 a 1, 2 a 1, 3 a 1, 4 a 2, 1 a 2, 2 a 2, 3 a 2, 4 a 3, 1 a 3, 2 a 3, 3 a 3, 4 a 4, 1 a 4, 2 a 4, 3 a 4, 4 Wege des ersten Blockes. Wie geht es weiter? Der erste Block zeigt folgendes: Wir müssen das Element a 11 mit der Determinante der Untermatrix aus den drei Zeilen und drei Spalten rechts unten multiplizieren. Weiter ist dann das Element a 12 mit der Determinante der Untermatrix, die aus den drei unteren Zeilen und der ersten, dritten und vierten Spalte besteht, zu multiplizieren; zusätzlich ist das Vorzeichen zu wechseln, weil wir eine Permutation weiter sind. So wird die ganze erste Zeile durchgearbeitet. Die Vorzeichen wechseln ab, die Untermatrix ergibt sich jeweils durch Streichen der ersten Zeile und Spalte Nr. j, in der das Element a 1j sitzt. Dieses Verfahren heißt Entwickeln nach der ersten Zeile. Wir können auch nach einer anderen Zeile entwickeln, müssen dabei mit dem richtigen Vorzeichen beginnen in der zweiten Zeile mit dem Minuszeichen, in der dritten aber

19 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 16 mit dem Pluszeichen und so weiter und für die Untermatrix jeweils die betreffende Zeile und die aktuelle Spalte streichen. Sinngemäß kann auch nach einer Spalte entwickelt werden. In der Praxis ist es sinnvoll, nach einer Zeile oder Spalte zu entwickeln, welche möglichst viel Nullen enthält. Dieses Verfahren wurde von LAPLACE erarbeitet. Walser Pierre-Simon LAPLACE, Rechenbeispiel det(a) = A =

20 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 17 Wir erhalten mit großem Rechenaufwand: 4.6 Sonderfall Dreiecksmatrix det(a) = Untere Dreiecksmatrix Eine untere Dreiecksmatrix hat oberhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen. Maple gibt: a , a a , 22, A := a a a , 32, 33, a a a a 0 41, 42, 43, 44, a a a a a 51, 52, 53, 54, 55, det( A) := a a a a a 11, 22, 33, 44, 55, Es gilt: Determinante = Produkt der Diagonalelemente. Warum ist das so? Obere Dreiecksmatrix Eine obere Dreiecksmatrix hat unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen. Maple gibt: a a a a a 11, 12, 13, 14, 15, 0 a a a a 22, 23, 24, 25, A := 0 0 a a a 33, 34, 35, a a 44, 45, a 55, det( A) := a a a a a 11, 22, 33, 44, 55, Es gilt auch in diesem Fall: Determinante = Produkt der Diagonalelemente

21 Hans Walser: Modul 212, Determinanten Umbau zur Dreiecksmatrix Bei einer Dreiecksmatrix ist die Determinante das Produkt der Elemente in der Hauptdiagonalen und daher sehr schnell berechnet. Wir nützen das aus, indem wir eine beliebige Matrix so in eine Dreiecksmatrix umbauen, dass sich ihre Determinante nicht ändert. Dies geschieht, indem wir geeignete Zeilen addieren, wie wir das schon beim Gauß Algorithmus gemacht haben. Beispiel: Erster Schritt: A = A = erste Zeile erste Zeile 0.5 erste Zeile Zweiter Schritt: A* = zweite Zeile 0.6 zweite Zeile

22 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 19 Dritter Schritt: A ** = dritte Zeile Wir erhalten damit: und: A *** = det(a) = det(a*) = det(a **) = det(a ***) = ( 3.6) ( 2) = Rechenaufwand Zur Abschätzung des Rechenaufwandes der verschiedenen Methoden zählen wir die Anzahl der benötigten Multiplikationen und Divisionen ( Punktoperationen ) Anwendung der Definition n = n = 5

23 Hans Walser: Modul 212, Determinanten Verfahren von LAPLACE n = n = Umbau zur Dreiecksmatrix mit Gauß-Algorithmus n = n = 5

24 Hans Walser: Modul 212, Determinanten Übersicht Die folgende Tabelle gibt einen Vergleich bis n = 20: n Definition Laplace Gauß '600 1' '240 8' '240 69' '903' ' '659'200 6'235' '168'000 68'588' '269'017' '059' '724'249'600 10'699'776' '133'317'785' '796'873' '307'441'152'000 2'246'953'104' '841'848'320'000 35'951'249'665' '690'998'849'536' '171'244'308' '840'352'997'376'000 11'001'082'397'556' '189'611'807'358'980' '020'565'553'572' '225'138'155'356'200'000 4'180'411'311'071'440' Bemerkung: Der Anzahl der benötigten Punktoperationen beim Verfahren von Gauß kann mit der Formel 1 3 n3 + 2n 3 ( ) direkt berechnet werden.

25 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 22 5 Determinanten und Matrizenprodukt Wir wählen zwei Matrizen A und B und berechnen deren Produkt AB. Dann berechnen wir die Determinanten: det(a), det(b) und det(ab) Allgemein gilt für (n, n)-matrizen: det(ab) = det(a) det(b) Folgerung: det( AA 1 ) = det( A) det( A 1 ) det( E) = det( A) det( A 1 ) det A 1 ( ) 1 = det( A) det A 1 ( ) = 1 det( A) ( ) = det A det A 1 ( ( )) 1 Für (n, n)-matrizen gilt: det A 1 ( ) = 1 ( ) det A

26 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 23 6 Zusammenfassung Matrizen a 1,1 a 1,2 A = a 2,1 a 2,2 det( A) = a 1,1 a 2,2 a 1,2 a 2,1 Geometrische Bedeutung: Orientierter Flächeninhalt des durch die beiden Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms Matrizen det A ( ) = a 1,1 a 2,2 a 3,3 a 1,1 a 2,3 a 3,2 a 1,2 a 2,1 a 3,3 + a 1,2 a 2,3 a 3,1 + a 1,3 a 2,1 a 3,2 a 1,3 a 2,2 a 3,1 a 1, 1 a 1, 2 a 1, 3 a 1, 1 a 1, 2 a 2, 1 a 2, 2 a 2, 3 a 2, 1 a 2, 2 a 3, 1 a 3, 2 a 3, 3 a 3, 1 a 3, 2 minus plus Geometrische Bedeutung: Orientiertes Volumen des durch die drei Spaltenvektoren aufgespannten Spates. 6.3 Eigenschaften von Determinanten Alle folgenden Regeln gelten auch für Zeilen. - Wird zu einer Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte addiert, ändert sich die Determinante nicht. - Wir können zu einer Spalte eine Linearkombination anderer Spalten addieren, ohne dass sich die Determinante ändert. - Werden in einer Matrix zwei Spalten vertauscht, ändert die Determinante das Vorzeichen. - Sind in einer Matrix zwei Spalten gleich, ist ihre Determinante Null. - Ist eine Spalte eine Linearkombination von anderen Spalten, so ist die Determinante Null. - Wird eine Spalte einer (n, n)-matrix mit einem Faktor λ multipliziert, ändert auch die Determinante um diesen Faktor.

27 Hans Walser: Modul 212, Determinanten 24 det(ab) = det(a) det(b) ( ) = 1 det A 1 ( ) det A 6.4 Lineare Unabhängigkeit Jedes v i v 1,....,v n { } ist wesentlich Quadratische n,n-matrix A: Wenn die Zeilen (und damit auch die Spalten) linear unabhängig sind, dann ist: det (A) 0, reguläre Matrix, Inverses existiert, Rang r = n Vektoren: Volle Dimension, Inhalt 0 Gleichungssystem: Genau eine Lösung 6.5 Lineare Abhängigkeit { } kann als Linearkombination von anderen { } dargestellt werden Mindestens ein v j v 1,....,v n v i v 1,....,v n Quadratische n,n-matrix A: Wenn die Zeilen (und damit auch die Spalten) linear abhängig sind, dann ist: det (A) = 0, kein Inverses, Rang r < n Vektoren: Dimensionsverlust, Inhalt = 0 Gleichungssystem: Unendlich viele Lösungen 6.6 Determinanten allgemein Laplace: Entwickeln nach der ersten Zeile Gauß: Umbau zu Dreiecksmatrix, dann Produkt der Diagonalenelemente