Ferienkurs Analysis 3. Ari Wugalter März 2011

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1 Ari Wugalter März

2 1 Hilberträume Im ersten Kapitel wollen wir uns mit den grundlegenden Eigenschaften von Hilberträumen beschäfitgen. Hilberträume habe die herausragende Eigenschaft, dass trotz ihrer sehr allgemeinen Form, auf ihnen sehr viele Aussagen gelten, die wir auch schon aus dem R n in ähnlicher Form gesehen haben. Durch die Verallgemeinerung dieser Aussagen auf beliebige Hilberträume und die anschließende Anwendung auf andere bekannte Hilberträume führt zu vielen neuen Erkenntinissen, so zum Beispiel in der Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen oder in der Theorie der Konvergenz von Funktionenfolgen. Für den Physiker sind Hilberträume von fundamentaler Bedeutung für die mathematische Modellierung der Quantenmechanik. Definition 1.1 (Skalarprodukt). Sei V K -VR. Eine Abbildung V V K, (x, y) x, y heißt Skalarprodukt, wenn gilt 1. (Linearität) x, λy + λỹ = λ x, y + λ x, ỹ 2. (Antisymmetrie) x, y = y, x 3. (Positivität) x, x 0, x, x = 0 x = 0. Aus der Definition lassen sich unmittelbar einige Eigenschaften ableiten. Korollar 1.1 (Eigenschaften des Skalarprodukts). 1. x, 0 = 0, x = 0 2. λx + λ x, y = λ x, y + λ x, y 3. Wir können über x = x, x eine Norm auf dem vorliegendem Vektorraum definieren. 4. Das Skalarprodukt ist stetig, und sogar gleichmäßig stetig in den einzelnen Komponenten. Die Beweise von 1. und 2. erfolgen jeweils durch einfaches nachrechnen. Für die den Beweis der Dreieckunsungleichung in 3. und der Stetigkeiten in 4. brauchen wir die sogenannte Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung. Satz 1.1 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung). Sei V K -VR mit Skalarprodukt, dann gilt für alle x, y V x, y 2 x, x y, y = x 2 y 2 2

3 Beweis. Die Aussage ist erfüllt, wenn y = 0. Sei daher o.b.d.a y 0.Für beliebige λ gilt 0 x + λy, x + λy = x, x + 2R (λ x, y ) + λ 2 y, y Wir können λ = x,y y,y wählen und erhalten 0 x, x + 2R ( ) x, y 2 x, y 2 + y, y y, y x, y 2 x, x y, y Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung wird der Beweis der Normeigenschaften und der Stetigkeit zu einer einfachen Übung. Wir sehen, dass jeder Vektorraum mit Skalarprodukt automatisch auch ein normierter Vektorraum ist. Wenn wir noch zusätzlich fordern, dass der Raum vollständig ist, d.h, dass alle Cauchy-Folgen in diesem Raum konvergieren, dann können wir in diesem Raum schon recht gut Analysis betreiben. Definition 1.2 (Hilbertraum). Sei V K -VR, auf dem ein Skalarprodukt definiert ist. V heißt Hilbertraum, falls V vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm ist. Satz 1.2 (Polaridentität, Parallelogrammgleichung). Sei V K -VR,, ein Skalarprodukt auf V und die dazu korrespondierende Norm. Es gilt 1. die Polaridentiät für K = R oder für K = C x, y = 1 4 x, y = 1 4 ( x + y 2 x y 2), ( x + y 2 x y 2 i x + iy 2 + i x iy 2), sowie 2. die Parallelogrammgleichung Beweis. diy. x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2) 3

4 Mann kann sogar weiter gehen und zeigen, dass die Parallelogrammgleichung notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür ist, dass zu einer Norm ein induzierendes Skalarpordukt existiert. Und daher insbesondere auch dafür, ob ein Banachraum (vollständiger, normierter Vektorraum) auch ein Hilbertraum ist. Definition 1.3 (Orthogonalität und orthogonales Komplement). Sei V Hilbertraum. Zwei Elemente x, y heißen orthogonal, wenn x, y = 0. Die Menge {x V x, y = 0 y Y V } =: Y heißt orthogonales Komplement von Y. Korollar 1.2 (Eigenschaften orthogonaler Vektoren und orthogonaler Komplemente). 1. (Satz von Pythagoras) x + y 2 = x 2 + y 2, falls x y 2. Y ist abgeschlossener Untervektorraum von V. 3. V = {0} ; V = {0}. Beweis. Der Beweis erfolgt zum Teil in den Übungen bzw. ist dem Leser überlassen. Wie eingangs erwähnt lassen sich viele Eigenschaften, die aus dem R n bekannt sind auf beliebige Hilberträume verallgemeinern. Dazu wollen wir zum Abschluss unseres Kapitels zu Hilberträume den Projektionssatz und den Satz von der Existenz von Orthogonalbasen kennenlernen. Satz 1.3 (Projektionssatz). Sei V Hilbertraum, Y V abgeschlossener Untervektorraum. Für jedes x V exisitieren eindeutige Elemente y Y und y Y, sodass x = y + y. Der Punkt y heißt orthogonale Projektion und ist derjenige aus Y mit dem geringsten Abstand zu x, d.h. x y x ỹ, ỹ Y. (y ist Bestapproximation von x in Y ) Beweis. Der Beweis benutzt einige nicht-triviale Techniken, die sich auch in anderen Fällen hilfreich gezeigt haben. Daher wollen wir ihn näher betrachten. Wir werden die Aussage in drei Schritten beweisen. Zunächst zeigen wir die Eindeutigkeit der orthogonalen Projektion, im zweiten Schritt zeigen wir die Existenz eines bestapproximierenden Elements in Y und zum Schluss zeigen wir mit Hilfe eines Variationsansatzes, dass dieses bestapproximierende Element tatsächlich eine orthogonale Projektion von x in Y darstellt. 4

5 Sei x = y + y = ỹ + ỹ, dann gilt 0 = (y ỹ) + (y ỹ ) 0 = y ỹ, y ỹ + y ỹ, y ỹ = y ỹ }{{} =0 y = ỹ y = ỹ. Sei d := infỹ Y x ỹ und {y n } n N Minimalfolge, d.h. x ỹ n d. Wir müssen zeigen, dass y n eine konvergente Folge ist, also eine Cauchy-Folge. Wir benutzen dazu die Parallelogrammgleichung aus Satz 1.2 mit x x ym und 2 y x yn. Wir erhalten 2 x y 2 m + y n 2 }{{} d y m y n 2 }{{} 0 = 1 2 ( x ym 2 + x y n 2) } {{ } d 2 Wir sehen, dass der erste Term auf der linken Seite per Definition größer gleich d 2 ist, und, dass die rechte Seite gegen d 2 konvergiert, d.h. der rechte Term auf linken Seite gegen 0 konvergieren muss. Also ist {y n } n N eine Cauchy- Folge. Wir wissen bereits, dass y := lim n y n den Abstand x ỹ minimiert. Das heißt insbesondere auch, dass die Funktion f(ɛ) := x (y + ɛw), w Y bezüglich der reellen Variable ɛ ein Minimum bei ɛ = 0 hat. Aus der Analysis I wissen wir, dass die Ableitung am Ort eines Minimums eine Nullstelle hat. Daraus folgt d dɛ x (y + ɛw), x (y + ɛw) ɛ=0 = 0 d dɛ x y 2 ɛ w, x y ɛ x y, w + ɛ 2 w 2 ɛ=0 = 0 2R w, x y = 0. Da w beliebig ist können wir auch insbesondere w 1 w einsetzen und i erhalten 2I w, x y = 0 w, x y = 0. Die Existenz einer orthogonalen Projektion ist ein Alleinstellungsmerkmal von Hilberträumen gegenüber beliebigen Banachraum. Daraus resultiert die Folgende mächtige Aussage zur Existenz von Basen in Hilberträumen. 5

6 Definition 1.4 (Seperable Vektorräume). Ein Vektorraum V heißt seperabel, wenn es eine abzählbare dichte Teilmenge in V gibt. Satz 1.4 (Existenz von Orthogonalbasen). Sei V seperabler Hilbertraum. Dann existiert eine Menge S := {e n } n I, I = {0, 1,..., N} oder I = N, sodass gilt 1. e n, e m = δ nm 2. Span S = V. Beweis. Die Aussage stimmt wirklich! 6

7 2 Funktionentheorie Funktionentheorie ist die Analysis von Funktionen, die von komplexen Variablen abhängen. Im Vergleich zum Hilbertraumkapitel wollen wir hier das Augenmerk wirklich ausschließlich auf die gängigen Definitionen, Eigenschaften und Rechentechniken setzen und auf allgemeinere topologische Aussagen verzichten. Definition 2.1 (Komplexe Differenzierbarkeit, Holomorphie). Sei U C offen. Eine Funktion f : U C heißt komplex differenzierbar an der Stelle z 0 U, wenn der Grenzwert f(z 0 + h) f(z 0 ) lim h 0,h 0 h in erhalten C existiert. f (z 0 ) heißt dann Ableitung von f an der Stelle z 0. Wenn f an jeder Stelle z 0 U differenzierbar ist, dann nennen wir f holomorph. Korollar 2.1 (Rechenregeln für komplexe Ableitungen). Durch die Ähnlichkeit der Definition der komplexen Ableitung zur Definition der rellen Ableitung in einer Variable erhalten wir durch analoge Überlegungen die uns bekannten Rechenregeln für Ableitungen. 1. (Linearität) (λf + µg) (z 0 ) = λf (z 0 ) + µg (z 0 ) 2. (Produktregel) (fg) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ) 3. (Kettenregel) (g f) (z 0 ) = g (f(z 0 ))f (z 0 ) Tatsächlich ist C = R 2. Daher können wir die Funktionen komplexer Variablen in Verbindung zu Funktionen zweier reeller Variablen bringen. Definition 2.2 (Reelle Differenzierbarkeit). ( ) R(z) Sei Φ : C R 2, z, U C offen. Zu einer Funktion f : U C können I(z) wir durch f := Φ f Φ 1 die korrespondierende Funktion R 2 R 2 definieren. Wir sagen f ist reel differenzierbar in z 0, wenn f total differenzierbar in Φ(z 0 ) ist. Ist f in jedem Punkt z 0 U reell differenzierbar, so sagen wir f ist reell differenzierbar auf U. Totale Differentiation ist definiert über die Existenz einer bestapproximierenden linearen Abbildung, der Ableitung D (manchmal Jacobi-Matrix J f genannt). Man kann zeigen, dass sich komplexe Differenzierbarkeit ebenso charakterisieren lässt, wobei wir in diesem Fall eine lineare Abbildung in einem C -VR betrachten. Alle 7

8 linearen Abbildungen C C lassen sich in der Form l(z) = c z, c C darstellen und es gilt l(x + iy) = (a + ib)(x + iy) = (ax by) + i(bx + ay). Daher gilt für die korrespondierende Abbildung l = Φ l Φ 1 ( ) x l = y ( a b b a ) ( x y Wir sehen also, dass nicht zu jeder linearen Abbildung R 2 R 2 eine lineare Abbildung C R gehört. Weiter lässt sich zeigen Korollar 2.2 (Äquivalenz von reeller und komplexer Differenzierbarkeit). Sei U C und f : U C eine Funktion. Die Funktion f ist genau dann in z 0 komplex differenzierbar, wenn f in z 0 reell differenzierbar ist und die Ableitung von f in der Form ( ) a b D f = b a darstellbar ist. Beweis. Recht technisch und für diesen Ferienkurs uninteressant. Satz 2.1 (Cauchy-Riemann-Gleichungen). Sei U C und f : U C eine Funktion. Dann sind äquivalent 1. f ist holomorph in U 2. f ist reell differenzierbar auf U und u(x, y) := R(f(x + iy)) und v(x, y) := I(f(x + iy)) erfüllen die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen: ). x u(x, y) = y v(x, y) y u(x, y) = x v(x, y) Beweis. Der Beweis folgt direkt aus Korollar 2.2. Wir können ablesen ( ) ( ) x u(x, y) D f = y u(x, y) a b = x v(x, y) y v(x, y) b a a = x u(x, y) = y v(x, y) b = y u(x, y) = x v(x, y). 8

9 Wir erhalten mit den Cauchy-Schwarz-Gleichungen eine weitere Methode um holomorphe Funktionen zu charakterisieren. Neben dem neuen Ableitungsbegriff ergibt sich durch die Isomorphie von C und R 2 auch ein neuer Integralbegriff für Funktionen komplexer Veränderlicher. Definition 2.3 (Integrationsweg, Kurvenintegral). 1. Eine stückweise stetig differenzierbare Kurve γ : [a, b] C nennen wir auch einen Integrationsweg. 2. Zu einem Integrationsweg γ definieren wir das komplexe Kurvenintegral von f entlang γ durch b f(z)dz = f(γ(t))γ (t)dt. γ Betrachten wir folgendes als Beispiel folgendes wichtiges Korollar. Korollar 2.3 (Kurvenintegrale von (z c) p längs Kreislinien). Sei c C, r > 0, K r (c) := {z C z c = r}. Wir parametrisieren γ(t) = c + re it, t [0; 2π]. K r(c) (z c) p dz = 2π 0 a ir p+1 e it(p+1) dt = { 0 if p 1; 2πi if p = 1. 9

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x, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω 5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,

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