Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

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1 5 Ds Pumping Lemm Schufchprinzip (Folie 144) Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Im Block Ds Schufchprinzip für endliche Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl von Üergängen im Pfd ist. Ds heißt, dss ein Pfd, der eine Länge m ht, m + 1 Zustände enthält. Pumping-Lemm-Beispiele Die Schritt n -Boxen in den folgenden Beweisen verweisen uf die Schritte des Kochrezepts (Folien 151 und 152), und gehören nicht zur Beweistext. Stz. Sei Σ = {, }. Die Sprche L 1 = { k k Σ k N 0 } ist nicht regulär. Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen ds Wort x = n n. Es gilt offensichtlich, dss x L 1 und x n. Schritt 3 Wir können x folgendermßen in x = uvw zerlegen, so dss uv n und v 1: u = l, v = m, w = n (l+m) n, woei m 1. (Wegen uv n wissen wir, dss u und v eide nur us s estehen.) Schritt 4 Für diese Zerlegung wählen wir i = 2. Es gilt uv i w = l+2m+(n (l+m)) n = n+m n. Wegen m 1, gilt uv i w / L 1. Nch dem Pumping Lemm, ist L 1 lso nicht regulär. Bemerkung: wir hätten uch i = 0 wählen können. Es gilt Wegen m 1, gilt dnn uch uv 0 w / L 1. uv 0 w = l+n (l+m) n = n m n. Stz. Sei Σ = {, }. Die Sprche L 2 = {ww R w Σ } ist nicht regulär. (Hier ezeichnet w R ds Wort w mit umgekehrter Reihenfolge der Buchsten, z.b. R =.) Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen ds Wort x = n n. Es gilt offensichtlich, dss x L 2 und x n. Schritt 3 Wir können x folgendermßen in x = uvw zerlegen, so dss uv n und v 1: u = l, v = m, w = n (l+m) n, woei m 1. (Wegen uv n wissen wir, dss u und v eide nur us s estehen.) Schritt 4 Für diese Zerlegung wählen wir i = 2. Es gilt uv i w = l+2m+(n (l+m)) n = n+m n. Wegen m 1, gilt uv i w / L 2. Nch dem Pumping Lemm, ist L 1 lso nicht regulär. Stz. Die Sprche L 3 = { k l c m k 1, l m} ist nicht regulär. (Die Sprche L 3 esteht lso us den Wörtern z L( c ), woei zusätzlich gilt, dss sie mindestens ein enthlten, und die Anzhl von s kleiner gleich die Anzhl von c s ist.) 1

2 Es sei ngemerkt, dss die Vrilen, die innerhl von einer Mengeneschreiung enutzt werden, im llgemeinen ls lokle Vrilen gesehen werden. Insesondere, hen die l und m die oen enutzt werden nicht unedingt die gleiche Werte ls die l und m die unten im Beweis enutzt werden. Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen nun ds Wort x = n c n. Es gilt offensichtlich, dss x L 3 und x n. Schritt 3 Es git folgende Zerlegungen von x in x = uvw, so dss uv n und v 1: 1. u = ɛ, v = l, w = n l c n, woei m 1. (Bemerke, dss im Fll l = 0, ds Teilwort v nur us dem esteht. Die Bedingung, dss v 0 gilt in dem Fll ntürlich noch immer.) 2. u = l, v = m, w = r c n, woei l + m + r = n und m 1. (Der Unterschied zwischen den eiden Fällen, ist o ds in v liegt oder nicht.) Schritt 4 eide Zerlegungen git es ein i, so dss uv i w / L 3 : Für 1. Sei i = 0: Weil u = v 0 = ɛ, gilt uv i w = w = n l c n. Es könnte sein, dss l = 0. Die Anzhl von s und c s muss lso nicht unterschiedlich sein. Ds Wort fängt er nicht mit einem n, und deswegen gilt uv i w / L Sei i = 2: Es gilt uv i w = l+2m+r c n. Wegen n = l + m + r und m 1 hen wir, dss l + 2m + r > n. Deswegen gilt uv i w / L 3. Nch dem Pumping Lemm ist L 3 lso nicht regulär. Stz. Die Sprche L 4 = { 2k k N} ist nicht regulär. (Siehe Folie 153.) Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen nun ds Wort x = 2n. Es ist klr, dss x L 4 und x n. Schritt 3 Alle Zerlegungen von x in x = uvw, so dss uv n und v 1 sind von folgender Form: u = p, v = q, w = 2n p q, woei p + q n und q 1. Schritt 4 Wir wählen jetzt i = 2; dnn gilt uv i w = 2n +q. Weil 2 n > n (für lle n), muss gelten, dss p + q < 2 n und deswegen, dss 0 < q < 2 n. Ds heißt, dss 2 n < 2 n + q < 2 n + 2 n = 2 2 n = 2 n+1. Drus folgt, dss 2 n + q keine Zweierpotenz ist und somit, dss uv i w = uv 2 w / L 4. Dmit hen wir nchgewiesen, dss die Sprche L 4 die Bedingungen des Pumping Lemms verletzt, und deswegen nicht regulär sein knn. Hinweise zur Benutzung des Pumping-Lemms Der wichtigste Teil eines Beweises, der ds Pumping-Lemm verwendet, ist die Whl des Wortes der Länge n. Einige Hinweise zum Whlen des Wortes: Ds Wort muss länger ls n sein. Es ist er keine oere Schrnke ngegeen. Es ist nicht schlimm, wenn ds Wort viel länger ls n ist. Wähle ein möglichst einfches Wort. Die einzige Bedingung ist, dss ds Wort in der etrchtete Sprche liegt. Wegen der Bedingung, dss uv n, findet ds Pumpen nur in den ersten n Symolen des Wortes sttt. Zusätzlich zum oigen Hinweis, wähle uch ein Wort, in dem die Struktur der ersten n Stellen möglichst einfch ist. (Es sei zum Beispiel ngemerkt, dss ds gewählte Wort in zwei der oigen Beispiele nur Zerlegungen zugelssen ht, ei denen u und v eide nur us s estehen.) 2

3 6 Minimlutomten und Myhill-Nerode-Äquivlenz Äquivlenzklssen (Folien ) Beispiel 1. Gegeen seien die Menge M = {,, c, d} und die Reltion R M M = { (, ), (, ), (, c), (, ), (, ), (, c), (c, ), (c, ), (c, c), (d, d) }. Diese Reltion knn folgendermßen grphisch drgestellt werden: c d Die Reltion R ist eine Äquivlenzreltion weil sie reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist. Reflexiv. Für lle Elemente x von M gilt, dss (x, x) R. Zum Beispiel: (, ) R und (d, d) R. Symmetrisch. Für lle Pre x und y, so dss x M, y M und (x, y) R, gilt uch, dss (y, x) R. Zum Beispiel: (, ) R, und es gilt uch, dss (, ) R. Trnsitiv. Für lle x, y, z, so dss x M, y M, z M, (x, y) R und (y, z) R, gilt uch, dss (x, z) R. Zum Beispiel: (, ) R und (, c) R. Es muss lso gelten, dss (, c) R und ds ist uch der Fll. (, ) R und (, ) R. Es muss lso gelten, dss (, ) R und ds ist uch der Fll. Die Äquivlenzklssen der Reltion sind: [] R = {,, c} [] R = {,, c} [c] R = {,, c} [d] R = {d} Weil [] R = [] R = [c] R ht die Reltion R zwei Äquivlenzklssen, nämlich {,, c} und {d}. Beispiel 2. Gegeen sei die Menge M = {,, c, d, e} und die Reltion R M M = { (, ), (, ), (, ), (, ), (c, c), (d, d), (d, e), (e, d), (e, e) }. Diese Reltion knn folgendermßen grphisch drgestellt werden: d c e 3

4 Die Reltion R ist eine Äquivlenzreltion weil sie reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist. Die Äquivlenzklssen von R sind: [] R = {, } [c] R = {c} [d] R = {d, e} [] R = {, } [e] R = {d, e} Weil [] R = [] R und [d] R = [e] R, ht diese Reltion drie Äquivlenzklssen, nämlich {, }, {c} und {d, e}. Beispiel 3. Gegeen seien ds Alphet Σ = {, } und die Reltion L Σ Σ uf Σ, die folgendermßen definiert ist: (x, y) L gdw. x = y, woei w die Länge eines Wortes w ezeichnet. Ds heißt, zwei Wörter sind in der Reltion L wenn sie die gleiche Länge hen. Für ein Wort x gilt nun, dss [x] L = {y y ht die gleiche Länge wie x}. Weil es unendlich viele mögliche Längen git, ht diese Reltion unendlich viele Äquivlenzklssen. Zu Folie 160 Wir etrchten den folgenden DFA: , 3 5 Feststellung: für die Zustände 4, 5 gilt: Mit einem Wort, ds ein enthält, lndet mn von dort us immer in einem Endzustnd (nämlich 6). Mit einem Wort, ds kein enthält, lndet mn von dort us immer in einem Nicht- Endzustnd (4 zw. 5). Drus folgt: 4 und 5 sind erkennungsäquivlent und können zu einem Zustnd verschmolzen werden. Etws ähnliches gilt für die Zustände 2 und 3: Mit einem Wort, ds mit einem nfängt und ein enthält, lndet mn von dort us immer in einem Endzustnd (6). Mit einem Wort, ds nicht mit einem nfängt oder kein enthält, lndet mn immer in einem Nicht-Endzustnd. Auch die Zustände 2 und 3 sind Erkennungsäquivlent. Ds heißt, dss die Zustände 4/5 und 2/3 verschmolzen werden können. Ds Ergenis ist der folgende kleinere Automt: 4

5 , 1 2/3 4/5 6, Es können keine weiteren Zustände verschmolzen werden: der Automt ist ttsächlich miniml. Zu Folie 163 Jedem Wort x Σ knn mn in einem deterministischen Automt einen eindeutigen Zustnd z = ˆδ(z 0, x) zuordnen. Dher knn die Definition der Erkennungsäquivlenz uf Wörter us Σ und Sprchen (nsttt Automten) erweitert werden. Sie heißt dnn die Myhill-Nerode-Äquivlenz. 5

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