Einführung in die formale Demographie Übung

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Ferdinand Kopp
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1 Einführung in die formale Demographie Übung Roland Rau 03. November 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Aufgaben vom 27. Oktober Schreiben von Funktionen Schätzen einer Regressionsgleichung Regression in R Teil II 5 3 Aufgaben 11 1

2 1 Aufgaben vom 27. Oktober 2014 Das Schätzen einer linearen Regressionsgleichung wollen wir gleich noch einmal einüben. Diesmal allerdings mit unseren Daten der Vereinten Nationen UNworldpop2014.csv. Sie können gerne in Gruppen arbeiten! 1.1 Schreiben von Funktionen Schreiben Sie eine Funktion quadrierung, die ein Argument als Input verwendet und als Output das Quadrat dieser Zahl zurückgibt. Beispielsweise sollte das dann so aussehen: quadrierung <- function(n) { ergebnis <- n * n return(ergebnis) } quadrierung(3) [1] 9 quadrierung(12) [1] 144 Schreiben Sie eine Funktion ver10, die berechnet, wie lange es bei einer gegebenen Wachstumsrate w dauert, bis sich eine Bevölkerung verzehnfacht. 2

3 10N 0 = N 0 (1 + w) t 10 N 0 = N 0 (1 + w) t log = t log 10 (1 + w) 1 = t log 10 (1 + w) t = 1 log 10 (1 + w) Übersetzt in R: ver10 <- function(w) { ergebnis <- 1 / log10(1+w) return(ergebnis) } Zum Test können Sie folgende Musterbeispiele verwenden: ver10(0.01) [1] ver10(0.05) [1] ver10(0.10) [1] Schätzen einer Regressionsgleichung Laden Sie erneut den Datensatz UNworldpop2014.csv. 3

4 UNO <- read.table("unworldpop2014.csv", header=true, skip=2, sep=",") Berechnen Sie eine lineare Regression mit dem Jahr als unabhängiger Variable und der Bevölkerungszahl als abhängiger Variable. Wie lautet Ihr Koeffizient für die unabhängige Variable Year? UN.lm <- lm(uno$population ~ UNO$Year) UN.lm Call: lm(formula = UNO$Population ~ UNO$Year) Coefficients: (Intercept) UNO$Year Plotten Sie die Originaldaten aus UNworldpop2014.csv, also das Jahr auf der x-achse und die Bevölkerung auf der y-achse. Fügen Sie Ihre Regressionsgerade hinzu. Diese Regressionsgerade sollte in rot gezeichnet werden. Das Ergebnis sollte ungefähr so aussehen: plot(x=uno$year, y=uno$population) lines(x=uno$year, y=fitted(un.lm), col="red") 4

5 UNO$Population UNO$Year 2 Regression in R Teil II Dies wollen wir gleich noch einmal einüben. Diesmal allerdings mit den Daten der US Bevölkerung in den Jahren Interessanterweise hat John Fox ein sogenanntes package für R für sein Buch An R and S-PLUS Companion to Applied Regression entwickelt (Fox, 2002). Dies lässt sich einfach laden durch: library(car) Eventuell ist dieses Package bei Ihnen nicht vorinstalliert. Sie können dieses Package aber 5

6 relativ einfach selbst installieren und zwar so: > install.packages("car") Nun laden Sie die entsprechenden Daten durch folgende Funktion: data(uspop) Die Daten selbst können Sie ganz einfach ansehen: USPop year population Nun rechnen wir noch einmal eine normale lineare Regression, diesmal allerdings verwenden wir die US Bevölkerung: US.model1 <- lm(uspop$population ~ USPop$year) Eigentlich sieht das Ergebnis mit einem Wert von 0.92 gut aus. 6

7 summary(us.model1) Call: lm(formula = USPop$population ~ USPop$year) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) *** USPop$year *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 20 degrees of freedom Multiple R-squared: ,Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 20 DF, p-value: Wenn Sie jedoch einmal die Rohdaten zusammen mit der Regression grafisch abbilden, so sehen Sie, dass eine lineare Annahme wohl nicht die beste ist: plot(x=uspop$year, y=uspop$population, xlab="jahr", ylab="bev. in Mio.") lines(x=uspop$year, y=fitted(us.model1), col="blue") 7

8 Bev. in Mio Jahr So lassen Sie uns doch nun die Idee von Pritchett (1891) aufgreifen und die Bevölkerung der USA mit einem Polynom dritten Grades zu schätzen. N(t) = A + Bt +Ct 2 + Dt 3 Verwenden wir dazu doch auch nur die Daten, die Pritchett zur Verfügung hatte, also die Daten bis zum Jahr Zusätzlich wollen wir die gleiche Zeitskala verwenden wie Pritchett. Dieser startete mit t(1940) = 0 und jedes Jahrzehnt war dann ein Schritt von ±1 auf der Zeitskala: 8

9 pritch <- subset(uspop, year <= 1880) pritch$zeit <- (pritch$year-1840)/10 Was wir benötigen sind die Variablen t,t 2,t 3. Schönerweise erlaubt es uns R, dies ganz einfach in einem Regressionsmodel zu spezifizieren, nämlich mittels der Funktion poly (Es geht natürlich auch anders, indem Sie eigene Variablen definieren. Eleganter ist es aber, meiner Meinung nach, so.) US.model2 <- lm(pritch$population ~ poly(pritch$zeit, 3, raw=true)) summary(us.model2) Call: lm(formula = pritch$population ~ poly(pritch$zeit, 3, raw = TRUE)) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value (Intercept) poly(pritch$zeit, 3, raw = TRUE) poly(pritch$zeit, 3, raw = TRUE) poly(pritch$zeit, 3, raw = TRUE) Pr(> t ) (Intercept) *** poly(pritch$zeit, 3, raw = TRUE) *** poly(pritch$zeit, 3, raw = TRUE) *** poly(pritch$zeit, 3, raw = TRUE) * --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 6 degrees of freedom Multiple R-squared: ,Adjusted R-squared: F-statistic: on 3 and 6 DF, p-value: Die alternative Methode ist (wir formen die year Variable im Datensatz USPop leicht um, denn dies macht auch die Funktion poly). 9

10 pritch$zeit2 <- pritch$zeit^2 pritch$zeit3 <- pritch$zeit^3 US.model2b <- lm(pritch$population ~ pritch$zeit + pritch$zeit2 + pritch$zeit3) Sie sehen, dass die geschätzen Koeffizienten relativ ähnlich sind: coef(us.model2) (Intercept) poly(pritch$zeit, 3, raw = TRUE) poly(pritch$zeit, 3, raw = TRUE)2 poly(pritch$zeit, 3, raw = TRUE) coef(us.model2b) (Intercept) pritch$zeit pritch$zeit2 pritch$zeit Pritchett selbst erhielt Werte von: A = ; B = ; C = ; D = plot(x=pritch$zeit, y=pritch$population, xlab="zeit", ylab="bevãűlkerung") lines(x=pritch$zeit, y=fitted(us.model2b), col="red") 10

11 Bevölkerung Zeit 3 Aufgaben Laden Sie den Datensatz LebenserwartungGDR2014.txt von meiner Homepage herunter. Es handelt sich dabei um die Lebenserwartung bei Geburt in der ehemaligen DDR und seit 1990 in den fünf neuen Bundesländern, getrennt nach Geschlecht. Haben Sie die Daten richtig eingelesen und den Namen GDR verwendet, so sollte der Beginn des Datensatzes so aussehen: 11

12 head(gdr) Jahr Mann Frau Gesamt Plotten Sie die Entwicklung der Lebenserwartung in einer Abbildung für Frauen, Männer und Gesamt. Dies sollte in etwa dann so aussehen: GDR$Frau GDR$Jahr 12

13 Bitte beachten Sie dabei, dass Sie die Grenzen für die x-achse und die y-achse mittels der Argumente xlim und ylim selbst bestimmen können; beispielsweise wie in diesem hypothetischen Code-Beispiel: plot(x=1:10, y=2 * (1:10), type="l", xlim=c(-10,30), ylim=c(-5, 50)) 2 * (1:10) :10 Vermutlich haben Sie auch erkannt, dass mit type="l" spezifiziert werden kann, dass ein linienplot erstellt werden soll, anstatt des standardmäßigen Typs eines Punktplots. Berechnen Sie eine linare Regression für die Entwicklung der Lebenserwartung der Frauen und plotten Sie die resultierende Gerade zusammen mit der Lebenserwartung der Frauen. Dies sollte in etwa so aussehen: 13

14 GDR$Frau GDR$Jahr Wie groß ist der Steigungskoeffizient? Berechnen Sie ein Polynom dritten Grades in der Tradition von Pritchett, um die Entwicklung der Lebenserwartung von Männern zu prognostizieren. Plotten Sie geschätzte Kurve zusammen mit der tatsächlich gemessenen Lebenserwartung. Dies sollte in etwa so aussehen: 14

15 GDR$Mann GDR$Jahr Wie hoch wäre die Lebenserwartung im Jahr 2100 für Männer in den fünf neuen Bundesländern, wenn Pritchetts Methode tatsächlich sinnvoll wäre? coef(pritch.gdr.mann)[1] + coef(pritch.gdr.mann)[2]* coef(pritch.gdr.mann)[3] * 2100^2 + coef(pritch.gdr.mann)[4] * 2100^3 (Intercept) coef(pritch.gdr.mann)[1] + coef(pritch.gdr.mann)[2]* coef(pritch.gdr.mann)[3] * 2011^2 + coef(pritch.gdr.mann)[4] * 2011^3 15

16 (Intercept) Literatur Fox, J. (2002). An R and S-PLUS Companion to Applied Regression. Sage. Pritchett, H. (1891). A formula for predicting the population of the United States. Publications of the American Statistical Association 2(14),

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