. 4. Von den necken, nkanten und Polyedern.

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1 18 ebenenbüschel projicirt. Jedes begrenzte Stück der Geraden wird im erstem Falle durch einen Parallelstreifen, im letztern aber durch einen Parallelraum projicirt, welchen dasselbe spannt. Ein ebenes System wird nach einer Bichtung, welche in ihm nicht enthalten ist, durch einen Parallelstrahlenbündel projicirt, von welchem das ebene System ein Schnitt ist. Jedem Punkte der Ebene entspricht ein Strahl des Bündels, jeder Geraden eine Ebene, jeder begrenzten geraden Linie ein Parallelstreifen, jedem Parallelstreifen ein Parallelraum, jedem ebenen Winkel ein Flächenwinkel, jeder Linie eine Cylinderfläche und jeder Figur ein Strahlencylinder, dessen Mantel dem Umfange der Figur entspricht. Die Ebene kann man als eine unbegrenzte, die Halbebene als eine einseitig begrenzte und den Parallelstreifen als eine von zwei Schenkeln begrenzte Cylinderfläche betrachten. Gewöhnlich versteht man jedoch unter einer Cylinderfläche eine krumme Fläche, welche man von Parallelstrahlen erfüllt sich denken kann. 4. Von den necken, nkanten und Polyedern. 43. Eine ebene Figur, welche von geraden Linien (Seiten) eingeschlossen ist, wird geradlinig und entweder nach der Anzahl n der Ecken ein neck oder nach der Anzahl der Seiten, deren eben so viele sind, ein nseit genannt. Ein Viereck, welches zwei zu einander parallele Seiten hat, heisst ein Trapez. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, in welchem je zwei Gegenseiten zu einander parallel sind oder in welchem zwei Parallelstreifen sich durchschneiden. 44. Statt Kegel sagt man lieber Pyramide, statt Cylinder aber Prisma, wenn der Mantel des Gebildes eine gebrochene Fläche ist. Der Mantel einer nseitigen Halbstrahlenpyramide ist aus n einfachen, der Mantel einer nseitigen Strahlenpyramide aus n vollkommnen ebenen Winkeln, der Mantel eines nseitigen Strahlenprismas aus n Parallelstreifen (Seiten) zusammengesetzt. Gewöhnlich wird aber ein solches Gebilde nach der Anzahl n

2 19 seiner Kanten ein nkant genannt, so das s also ein ebenes neck aus jedem ausserhalb seiner Ebene befindlichen Punkte, so wie auch nach jeder Richtung, welche in seiner Ebene nicht enthalten ist, durch ein nkant projicirt wird. 45. Der unbegrenzte Raum wird durch drei Ebenen, welche in einem Punkte sich schneiden, in acht einfache oder vier vollkommne Drei kante getheilt. Durch vier Ebenen, welche durch seinen Mittelpunkt gehen, von welchen aber keine drei in einer und derselben Geraden sich schneiden, wird ein gewöhnlicher Strahlenbündel in vier Dreikante und drei Vierkante getheilt. Die vierte Ebene wird nämlich durch die drei Strahlen, in welchen die drei erstem Ebenen sie schneiden, in drei Winkel getheilt, deren jeder eines von den vier Dreikanteu, welche die drei erstem Ebenen mit einander bilden, in ein Dreikant und ein Vierkant theilt. 46. Ein Körper, welcher von ebenen Flächen eingeschlossen ist, wird ebenflächig und nach der Anzahl n seiner Flächen, welche sämmtlich geradlinige Figuren sind, ein n Flach genannt. In jeder Kante eines Polyeders (ebenflächigen Körpers) stossen zwei seiner Flächen, in jedem Eckpunkte aber drei oder mehrere Flächen (eine Raumecke bildend) und eben so viele Kanten zusammen. Der Mantel einer Pyramide, der ein neck zur Grundfläche dient, ist aus n Dreiecken zusammengesetzt, welche die Seiten des necks zu Grundlinien und einen ausserhalb seiner Ebene befindlichen Punkt zur gemeinschaftlichen Spitze haben. Wird von einer Pyramide durch eine zu ihrer Grundfläche parallele Ebene ein Stück abgeschnitten, welches selbst wieder eine Pyramide ist, so bleibt eine abgestumpfte Pyramide übrig, deren Deckfläche zur Grundfläche parallel ist und deren Seitenflächen Trapeze sind. Ein nseitiges Strahlenprisma und ein Parallelraum, dessen Stellung die Richtung des erstem Gebildes nicht enthält, durchschneiden sich in einem nseitigen Prisma, dessen Mantel nämlich aus n Parallelogrammen zusammengesetzt ist. 47. Betrachtet man irgend eines von den vier Dreiecken/ welche ein Tetraeder (Vierflach) begrenzen, als Grundfläche und also die übrigen als Seitenflächen, so erscheint der Körper als 2*

3 20 eine dreiseitige Pyramide. Ein Tetraeder wird durch eine Ebene, welche dasselbe schneidet, entweder in zwei Tetraeder oder in eine dreiseitige und eine vierseitige Pyramide oder in ein Tetraeder und einen von zwei Dreiecken und drei Vierecken eingeschlossenen Körper oder in zwei solche Ftinfflache getheilt, je nachdem nämlich die Ebene eine oder zwei oder drei oder vier Kanten des Tetraeders schneidet. In den drei erstem Fällen ist der Schnitt des Tetraeders mit der Ebene ein Dreieck, im vierten aber ein Viereck. Ist die schneidende Ebene zu zwei einander gegenüberliegenden Kanter parallel, so ist der Schnitt ein Parallelogramm. 48. Ein Parallelepipedon ist ein Körper, welcher von sechs Parallelogrammen eingeschlossen ist, oder in welchem drei Parallelräume, deren Stellungen nicht alle drei eine und dieselbe Richtung enthalten, sich durchschneiden. Je zwei von drei solchen Parallelräumen schneiden sich nämlieh in einem vierseitigen Strahlenprisma, dessen Schnitt mit dem dritten ein Parallelepipedon ist. Durch drei Gerade, deren Richtungen nicht in einer und derselben Stellung enthalten sind, und von welchen auch keine zwei sich schneiden, ist ein Parallelepipedon bestimmt, von welchem nämlich jede der drei Geraden eine Kante enthält, und welches entsteht, wenn man durch je zwei von den drei Geraden zwei zu einander parallele (die Richtung beider enthaltende) Ebenen legt. 49. Wenn jeder Eckpunkt eines Polyeders mit jedem andern durch eine Kante oder eine aus Kanten zusammengesetzte Linie verbunden werden kann, und seine Oberfläche durch jede aus Kanten zusammengesetzte geschlossene Linie, welche nicht öfter als einmal durch einen und denselben Punkt geht, in zwei Theile getheilt wird, so ist die Anzahl E der Eckpunkte mehr der Anzahl F der Flächen gleich der Anzahl der Kanten mehr zwei. Wenn nämlich der Körper E Eckpunkte hat, so sind E 1 Kanten > von welchen die erste zwei Eckpunkte unter sich, die zweite einen derselben mit einem dritten, die dritte einen der : drei vorigen mit einem vierten u. s. w. verbindet, hinreichend

4 21 um von jedem Eckpunkte auf jeden andern übergehen zu können. Da nun in einem solchen Systeme von Kanten keine geschlossene Linie enthalten ist, jede der übrigen (noch freien) Kanten aber mit zwei oder mehrern Kanten des Systems eine geschlossene Linie bildet, so sind die übrigen Kanten hinreichend aber auch alle erforderlich, um durch sie von jeder der F Flächen des Körpers auf jede andere übergehen zu können, woraus man schliessen kann, dass die Anzahl der übrigen Kanten F 1, mithin die Anzahl aller Kanten E+F 2 und demnach E + F = K-f 2 sey. 50. An den vorigen Satz lassen sich noch folgende Bemerkungen knüpfen. I. Weil in jedem Eckpunkte wenigstens drei Kanten zusammenstossen ; aber jede Kante nur zwei Eckpunkte verbindet, so ist 3E nicht grösser als 2K. Weil ferner jede Fläche wenigstens von drei Kanten begrenzt ist, aber in jeder Kante nur zwei Flächen zusammenstossen, so ist auch 3F nicht grösser als 2K. Da hiernach keine von den beiden Zahlen 3E, 3F, deren Summe = 3K+6 ist, grösser als 2 ist, so ist auch keine kleiner als + 6, folglich jede grösser als, woraus man schliessen kann, dass weder in jedem Eckpunkte mehr als fünf Kanten zusammenstossen können, noch jede Fläche von mehr als fünf Kanten begrenzt sein kann. II. Wenn in jedem Eckpunkte mkanten zusammenstossen, so ist me = 2 und mithin E:F 2:K=2:m-2:m. Ist jede Fläche von nkanten begrenzt, so ist nf = 2K. und mithin F:E 2:K = 2:n 2:n. III. Wenn in jedem Eckpunkte mkanten zusammenstossen und jede Fläche von nkanten begrenzt, folglich EF:(E 2) (F 2) = 4:(m 2) (n 2) und mithin (m - 2) (n -2) < 4 ist, so muss entweder m = 3 und n = 3 oderm=:3 undn=:4 oder =4 und n=3 oder m=3 und n = 5 oder m = 5 und n=:3 seyn. Im ersten von diesen Fällen ist, wie aus IL leicht hervorgeht, der Körper ein Tetraeder, im zweiten ein 8eckiges

5 22 6 Flach, im dritten ein öeckiges 8 Flach, im vierten ein 20 eckiges 12 Flach und im fünften ein 12 eckiges 20 Flach. 51. Da die ans den beiden Schenkeln eines einfachen ebenen Winkels zusammengesetzte Linie durch ein beliebiges die Spitze des Winkels in sich enthaltendes Stück derselben bestimmt ist, so sagt man, dass jede aus zwei geraden Linien zusammengesetzte gebrochene Linie einen hohlen und einen erhabenen ebenen Winkel und eben so jede aus zwei ebenen Flächen zusammengesetzte gebrochene Fläche einen hohlen und einen erhabenen Flächenwinkel bilde. Von den beiden einfachen Winkeln, welche zwei aufeinanderfolgende Seiten eines ebenen necks oder einfachen nkants oder Strahlenprismas oder zwei aneinanderstossende Flächen eines Polyeders mit einander bilden, betrachtet man gewöhnlich entweder nur den innern oder nur den hohlen, welcher im Falle er zugleich der innere ist, ein ausspringender, im entgegengesetzten Falle aber ein einspringender Winkel genannt wird. Die Nebenwinkel eines ausspringenden Winkels sollen positive, die Nebenwinkel eines einspringenden Winkels aber negative Aussenwinkel heissen. 52. In der Folge ist, wenn nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt wird, unter einem Winkel immer ein vollkommner Winkel und unter einem nkante immer ein nkant im Strahlenbündel zu verstehen. Alle Strahlen, welche den Umfang eines ebenen necks in einem und demselben Eckpunkte berühren, erfülleo, je nachdem die Berührung auf der äussern oder innern Seite statt findet, einen positiven oder negativen Aussenwinkel, dessen Nebenwinkel im erstem Falle ein ausspringender, im letztern Falle aber ein einspringender Winkel der Figur ist und alle Strahlen enthält, welche den Umfang derselben in jedem Eckpnnkte schneiden. Eben so erfüllen alle Ebenen, welche den Mantel eines neants oder die Oberfläche eines Polyeders in einer und derselben Kante (von aussen oder von innen) berühren, einen Aussenwinkel, welcher von einem (ausspringenden oder einspringenden) Winkel des Gebildes der Nebenwinkel ist. 53. Wenn der Umfang eines ebenen necks oder der Mantel

6 eines nkants oder die Oberfläche eines Polyeders von keiner Geraden in mehr als zwei Punkten geschnitten wird, so hat das Gebilde offenbar lauter ausspringende Winkel. Umgekehrt kann man, wie man sich leicht überzeugt, aus der letztern Eigenschaft immer auf die erstere schliessen. Der Umfang eines necks kann von einer Geraden höchstens in n Punkten und folglich, wenn n eine unpare Zahl ist, höchstens in n 1 Punkten geschnitten werden. Hat ein ebenes neck lauter ausspringende Winkel, so gilt diess auch von jeder Pyramide, welche das neck zur Grundfläche hat. Hat ein Polyeder lauter ausspringende Winkel, so gilt diess auch von jedem Schnitte desselben, so wie auch von jedem der beiden Theile in welche das Polyeder durch die schneidende Ebene getheilt wird. 5. Unendlich ferne Elemente. 54. Aus den Sätzen des vorletzten. ist zu ersehen, dass in vielen Fällen ein Punkt durch eine Richtung, eine Gerade aber durch eine Stellung vertreten wird, und dass also zu den Elementen einer Geraden auch noch ihre Eichtung, zu den Elementen einer Ebene aber auch noch ihre Stellung und alle in derselben enthaltenen Richtungen gehören. Zwei Gerade, welche in einerlei Ebene liegen, haben entweder einen Punkt gemein oder einerlei Richtung. Zwei Ebenen haben entweder eine Gerade gemein oder einerlei Stellung. Eine Ebene enthält von einer nicht in ihr liegenden Geraden entweder nur einen Punkt oder nur die Richtung. Es wird hiernach nicht unzweckmässig seyn für Richtung und Stellung noch andere Ausdrücke einzuführen, welche an das, was sie vertreten, unmittelbar erinnern und Sätze, welche nur besondere Modifikationen von andern sind, auch als solche bezeichnen. 55. Wenn in einer Ebene die eine von zwei sich schneidenden Geraden um einen ausserhalb der andern befindlichen Punkt in unverändertem Sinne gedreht wird, so rückt der Schnitt-