12. Vortrag Verzweigung. Seminar Zahlentheorie WS 07/08

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1 12. Votag Vezwegung Semna Zahlentheoe WS 07/08 Pof. D. Tosten Wedhon Unvestät Padebon von Geda Weth und Ingo Plaschczek 22. Janua 2008

2 12. Vezwegung (A) p-adsche Bewetung enes gebochenen Ideals n enem Dedekndng (B) Fundamentale Glechung (C) Vezwegung und Dskmnante (A) p-adsche Bewetung enes gebochenen Ideals n enem Dedekndng Se 0 a gebochenes Ideal n O K. Nach (7.10) glt: Jedes gebochene Ideal a bestzt ene endeutge Poduktdastellung a = p p ν p mt ν p Z und ν p = 0 fü fast alle p. Defnton (12.1) Se p O K Pmdeal und se a gebochenes Ideal n O K, a 0 mt a = p n p ν p ν und p p = 1,...,. Defnee ν p (a) = n Z. ν p (a) heßt de p-adsche Bewetung von a. Es glt: (1) ν p (ab) = ν p (a) + ν p (b) ν p (a 1 ) = ν p (a), d.h. ν p : J K (Z, +) st Guppen-Homomophsmus (2) ν p (a + b) = mn(ν p (a), ν p (b)) (3) ν p (a b) = max(ν p (a), ν p (b)) Enneung: J K st de abelsche Idealguppe von K, de von den gebochenen Idealen gebldet wd (vgl. (7.15)). Bewes : (1) Se a = p m q 1, b = p n q 2 wobe q 1, q 2 Podukte von Pmdealen mt p q 1 und p q 2. Also ν p (a) = m und ν p (b) = n Dahe glt: a b = p m q 1 p n q 2 = p m+n q 1 q 2 mt p q 1 q 2. Somt: ν p (ab) = m + n = ν p (a) + ν p (b) (2) a + b =: ggt (a, b) ν p (a + b) = mn(ν p (a), ν p (b)) (vgl. (7.7)) (3) a b =: kgv (a, b) ν p (a b) = max(ν p (a), ν p (b)) (vgl. (7.7)) 1

3 (B) Fundamentale Glechung Nun wollen w enen Übeblck übe de Pmdeale enes algebaschen Zahlköpe bekommen. Se K en Zahlköpe, O K de Rng de ganzen Zahlen und p 0 en Pmdeal. Dann haben w gesehen, dass p Z = pz fü ene Pmzahl p Z glt. Es folgt p po K, also p po K. Es st dahe zental zu vestehen, we po K n Pmdeale zefällt. Enneung: [K : Q] endlch (7.5) O K Dedekndng Defnton (12.2) Se K Q Köpe-Eweteung, p Z Pmzahl, p O K Pmdeal mt p po K. Dann defnee: (a) e(p/p) := ν p (po K ) st de Vezwegungsndex von p übe p (b) f(p/p) := n mt p n = O K /p ( endlche Köpe) f heßt de Täghetsgad von p übe p Zu zegen: p n = O K /p (vgl. (10.2),(10.3),(10.4)) Z O K nach (7.5) glt: O K endlch ezeugt pz p Damt st O K /p endlch ezeugte F p -VR. Es folgt O K /p = F n p (als F p -VR), und hemt O K /p = p n. Also n = [O K /p : F p ]. Es besteht en Zusammenhang zwschen e(p/p), f(p/p) und n, mt n := [O K /p : F p ]. Dese Zusammenhang wd n de Fundamentalen Glechung zum Ausduck gebacht. Fundamentale Glechung (12.3) Se p Z Pmzahl. Dann glt: n = p po K e(p/p)f(p/p). Bewes : Seen p 1,..., p de Pmdeale von O K mt p po K. Setze e := e(p /p), f := f(p /p) fü alle = 1,...,. Se a = p ν p ν en belebges Ideal. Nach (10.2) glt: N (a) := O K /a fü a O K, und nach (10.4) folgt N (a) = N (p 1 ) ν1... N (p ) ν. Also glt, wenn O K /p = p f, dann O K /p e = p ef. Da (p) = p e 1 1 p e p e und p e + p e j j = O K fü j (da ggt (p, p j ) = 1), kann de Chnessche Restsatz angewandt weden (7.12): O K /(p) = O K /p e 1 1 O K /p e O K /p e 2

4 Es glt O K /p e = pe f und O K /(p) = p n, da O K en fee Z-Modul vom Rang n st und damt O K /po K en fee F p -Modul (VR) vom Rang (bzw. de Dmenson) n. Damt folgt p n = p e 1f1 p e 2f2... p ef, und des füht dekt zu Fundamentalen Glechung n = e 1 f 1 + e 2 f e f = e f. He klät sch de Namensgebung fü de Täghetsgade auf: Je klene de Täghetsgade snd, desto fleßge zefällt p n veschedene Pmdeale. Koolla (12.4) #{p Pmdeal p telt po K } n. Des folgt unmttelba aus de Fundamentalen Glechung, da fü alle Pmdeale p mt p po K glt: e, f 1. (C) Vezwegung und Dskmnante Defnton (12.5) Se p ene Pmzahl n Z und se po K = p e p e Zelegung von p n K. Dann defnee: () p heßt vollzelegt ode totalzelegt, wenn = n = [K : Q], also e = f = 1 fü alle = 1,...,. () p heßt täge ode unzelegt, wenn = 1. () p heßt unvezwegt übe Z (ode übe Q), wenn e = 1. Andenfalls heßt das Ideal p vezwegt. Glt e > 1, f = 1, so heßt p envezwegt. (v) Ene Pmzahl p heßt unvezwegt, wenn alle p übe p unvezwegt snd. Andenfalls heßt se vezwegt. Insbesondee snd vollzelegte Pmzahlen unvezwegt. Zu Vedeutlchung soll nochmal das Zelegungsgesetz n Z[] (5.7) aufgegffen weden. Bespel (12.6) Ene Pmzahl p Z st n Z[] Podukt zwee assozete Pmelemente p = 2. D.h. 2 Z[] = (1+) 2, da n 2 Z[] glt: (1+) = (1 ). e((1+)/2) = 2 und f((1 + )/2) = 1, d.h. p = 2 st envezwegt. de 3

5 Podukt zwee ncht assozete Pmelemente p 1 mod 4. D.h. p Z[] = p 1 p 2, wobe p 1 p 2. Daaus folgt p st vollzelegt und e(p /p) = 1, f(p /p) = 1. Pmelement p 3 mod 4. D.h. p Z[] = p In desem Fall st p täge (bzw. unzelegt) und e(p/p) = 1, f(p/p) = 2. Satz (12.7) Se K Q endlche Köpe-Eweteung, p Z Pmzahl. Se d K Z de Dskmnante. p st vezwegt n K (ode n O K ) p d K. Da de Bewes meh Gundlagen efodet, se an dese Stelle auf Neukch Kap. III 2 1 vewesen. Bespel (12.8) Se K := Q[ d]. Nach (6.15) und (9.7) glt: { 4d fü d 2, 3 mod 4 d K = d fü d 1 mod 4 Fü d = 1 st d Q[ 1] = d Q[] = 4, und O K = Z[]. Da 2 de enzge Pmtele von d K st, besagt Satz (12.7), dass nu 2 n Q[] bzw. Z[] vezwegt st. Vegleche auch Bespel (12.6). Koolla (12.9) Es exsteen n K nu endlch vele vezwegte Pmzahlen. Bewes : Da d K < folgt dese Aussage dekt aus Satz (12.7). Satz (12.10) Se K Q endlche Köpe-Eweteung. W nehmen an, dass O K = Z[θ] fü en θ O K und µ := µ θ,q Z[X] Mnmalpolynom. Se p Z Pmzahl und µ F p [X] mt µ = µ e µ e Zelegung n eduzble Komponenten das Bld von µ. Dann glt: po K = p e p e mt p = (p, µ (θ)), wobe µ Z[X] mt Redukton µ, und f(p /p) = deg(µ ). Bewes : Betachten den kanonschen Isomophsmus Z[θ]/pZ[θ] = F p [X]/(µ(X)). 1 Neukch, J.: Algebasche Zahlentheoe, Spnge Velag

6 Dese egbt sch duch den sujektven Homomophsmus Z[X] F p [X]/(µ(X)). De Ken st das duch p und µ(x) ezeugte Ideal, und wegen Z[θ] = Z[X]/(µ(X)) wd Z[θ]/pZ[θ] = F p [X]/(µ(X)). Da µ(x) = µ (X) e lefet schleßlch de chnessche Restsatz den Isomophsmus F p [X]/(µ(X)) = F p [X]/(µ (X)) e. Des zegt, dass de Pmdeale des Rnges F p [X]/(µ(X)) de duch µ (X) mod µ(x) ezeugten Hauptdeale (µ ) snd fü = 1,...,, dass de Gad [(F p [X]/µ(X))/(µ (X)) : F p ] glech dem Gad des Polynoms µ (X) st, und dass (0) = (µ) = (µ ) e. Wegen de Isomophe F p [X]/(µ(X)) = Z[θ]/pZ[θ], f(x) f(θ), haben w m Rng F p [θ] := Z[θ]/pZ[θ] de glechen Vehältnsse. De Pmdeale p von F p [θ] entspechen den Pmdealen (µ ) und snd de duch µ (θ) mod pz[θ] ezeugten Hauptdeale, de Gad [F p [θ]/p : F p ] st de Gad des Polynoms µ (X), und es st (0) = Se nun p = pz[θ] + µ (θ)z[θ] das Ubld von p unte dem kanonschen Homomophsmus Z[θ] Z[θ]/pZ[θ] (vgl. hezu de Volesung Gundzüge de Algeba von Pof. Wedhon WS 2007/08 Satz 5.27). Dann duchläuft p, = 1,...,, de übe p gelegenen Pmdeale von Z[θ], es p e. st f = [Z[θ]/p : Z/p ] de Gad des Polynoms µ (X), es st p e von p e wegen e f = n. und pz[θ] pe, also pz[θ] pe das Ubld und damt pz[θ] = pe Bespel (12.11) W wollen nun de Köpe-Eweteung K = Q[ 3 2] Q betachten. De Köpegad st [Q[ 3 2] : Q] = 3. d Q[ 3 2] = 108 = O K = Z[ 3 2] = {a + b c ( 3 2) 2 a, b, c Z} Nach Satz (12.7) snd nu p = 2 und p = 3 vezwegt, da se de enzgen Pmtele de Dskmnante snd. 5

7 Fall p = 2: Behauptung: (2) = ( 3 2) 3 mt ( 3 2) Pmdeal. Bewes : Angenommen ( 3 2) = p e p e. Des bedeutet, n de Pmfaktozelegung von (2) gbt es 3 (e e ) Pmdeale. Aus de Fundamentalen Glechung folgt: e e = 1. Damt st 3 2 Pmdeal. Fall p = 3: Unte Vewendung von Satz (12.10) egbt sch mt θ = 3 2 : µ = X 3 2 mt µ = X 3 2 = X F 3 [X]. Duch Faktoseung egbt sch µ = (X + 1) 3 = µ 3 1 und µ 1 := X + 1 Q[X]. Außedem wd deutlch f(p/(3)) = 1 = deg(x + 1). Somt folgt (3) = p 3 mt p = (3, ) Im 14. Votag wd das Thema am Bespel de Vezwegung m Rng de ganzen Zahlen ene quadatschen Köpe-Eweteung von Q aufgegffen. 6