Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse - PDEs und Variationsmethoden

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1 Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse - PDEs und Variationsmethoden Michael Pippig Fakultät für Mathematik Technische Universität Chemnitz 6. Mai 2008 Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 1/29

2 Gliederung Einleitung 1 Einleitung 2 Ziele und Vorgehen Anisotrope Diffusion 3 Mathematischer Hintergrund Bilder 4 5 Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 2/29

3 RGB Bayer Matrix R G R G R G R G B G B G B G R G R G R G R G B G B G B G R G R G R G R G B G B G B G Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 3/29

4 Ziele der Bildverarbeitung Entrauschen (denoising) Kantenerkennung und Kantenschärfung (edge detection and sharpening) (image segmentation) Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 4/29

5 Ziele und Vorgehen Einleitung Ziele und Vorgehen Anisotrope Diffusion Ziele Struktur des Bildes erkennen Kanten sind Kurven mit maximalem Gradient u 0 (x) = 0 Entrauschen des Bildes Glätten der stückweise konstanten Funktion u 0 Vorgehen Erkennen der Bildstruktur durch Glättung der stückweise konstanten Intensitätsfunktion u 0. Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 5/29

6 Ziele und Vorgehen Anisotrope Diffusion Glättung durch Faltung Zweidimensionaler Gaußkern u(x, t) := (u 0 G t )(x), t > 0 G t (x) := 1 2πt exp ( x x 2 2 2t ) Wärmeleitgleichung u t = u u(t = 0) = u 0 Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 6/29

7 Beispiel Einleitung Ziele und Vorgehen Anisotrope Diffusion Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 7/29

8 Beispiel, t = 500 Einleitung Ziele und Vorgehen Anisotrope Diffusion Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 8/29

9 Faltung als Entrauschung? Ziele und Vorgehen Anisotrope Diffusion Forderungen schwächere Diffusion orthogonal zu Kanten Kommutativität von Kontraständerungen und Entrauschen Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 9/29

10 Anisotrope Diffusion I Ziele und Vorgehen Anisotrope Diffusion Nichtlineare Diffusion (P. Perona, J. Malik) Definition u t = div( g( grad u 2 ) grad u ) g = g(s) 0, lim s g(s) = 0, lim s 0+ g(s) = 1 p := grad u u ll := (u 2 x u yy 2u x u y u xy + u 2 y u xx )/p 2 u nn := (u 2 x u xx + 2u x u y u xy + u 2 y u yy )/p 2 Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 10/29

11 Anisotrope Diffusion I Ziele und Vorgehen Anisotrope Diffusion Äquivalente Formulierung u t = g(p 2 )u ll + ( ) g(p 2 ) + 2p 2 g (p 2 ) u nn Verhältnis tangentialer und orthogonaler Diffusion R := g(p 2 ) g(p 2 ) + 2p 2 g (p 2 ) Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 11/29

12 Anisotrope Diffusion II Ziele und Vorgehen Anisotrope Diffusion Tangentiale nichtlineare Diffusion u t = u ll Äquivalente Formulierung Definition u t = grad u div ( ) grad u grad u ( ) grad u(x, t) grad u(x, t) κ(x, t) := div, o(x, t) := grad u(x, t) grad u(x, t) Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 12/29

13 Anisotrope Diffusion II Ziele und Vorgehen Anisotrope Diffusion Äquivalente Formulierung Definition u t = grad u div ( ) grad u grad u ( ) grad u(x, t) grad u(x, t) κ(x, t) := div, o(x, t) := grad u(x, t) grad u(x, t) Transportgleichung u t + κ(x, t)o(x, t) grad u = 0 Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 13/29

14 Ziele und Vorgehen Anisotrope Diffusion Vergleich der Diffusionsalgorithmen Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 14/29

15 Ziele und Vorgehen Anisotrope Diffusion Minimiere (Fatemi, Rudin, Osher) T (u) = ( grad u + λ2 ) (u u 0) 2 dx, λ > 0 G Notwendiges Optimalitätskriterium (Euler, Lagrange) T 2 u d T = 0 dx i u xi i=1 Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 15/29

16 Ziele und Vorgehen Anisotrope Diffusion Anwendung von Euler-Lagrange ( ) grad u div + λ(u u 0 ) = 0, x G grad u Gradientenverfahren u t = div ( ) grad u λ(u u 0 ) grad u Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 16/29

17 Vergleich für fallendes λ Ziele und Vorgehen Anisotrope Diffusion Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 17/29

18 salgorithmen Mathematischer Hintergrund Bilder Instabile intuitive Lösung u t = u, t > 0 u(t = 0) = u 0 Shock filter (L. I. Rudin, S. Osher) u t + sgn( u) grad u = 0 Edge detector PDE ( ) u t + sgn (grad u) T D 2 ugrad u grad u = 0 Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 18/29

19 Mathematischer Hintergrund Bilder im Raum BV (Fatemi, Rudin, Osher) u = argmin ( grad v + λ2 ) (k v u 0) 2 dx, λ > 0 G Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 19/29

20 Mathematischer Hintergrund Bilder Verbindung zwischen Glättung und mit Glättung w(x, t) := u 0 (x) u(x, t) u sharp (x, t) := u 0 + σw(x, t) Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 20/29

21 Künstlerisches Bild - Original Mathematischer Hintergrund Bilder Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 21/29

22 Panorama Einleitung Mathematischer Hintergrund Bilder Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 22/29

23 Mathematischer Hintergrund Bilder Künstlerisches Bild - Kantenmenge Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 23/29

24 Panorama - Kantenmenge Mathematischer Hintergrund Bilder Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 24/29

25 Beispiel Einleitung Mathematischer Hintergrund Bilder Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 25/29

26 Beispiel Einleitung Mathematischer Hintergrund Bilder Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 26/29

27 Mumford-Shah-Funktional M(u, S, u 0 ) := αh 1 (S) + β grad u 2 dx + γ (u 0 B(u)) 2 dx G S G Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 27/29

28 Einleitung Peter A. Markowich, Applied Partial Differential Equations, Springer, 2007 T. F. Chan und J. Shen, Image Processing and Analysis, SIAM, 2005 Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 28/29

29 Ende des Vortrags Fragen? Michael Pippig Digitale Bildverarbeitung und Bildanalyse 29/29