Eindimensionale Darstellungen

Transkript

1 Deskriptive Statistik Eidimesioale Darstelluge vo Häufigkeitsverteiluge Der Modalwert Eie Merkmalsausprägug, welche i der Beobachtugsreihe die größte absolute Häufigkeit besitzt, wird Modalwert (Modus oder häufigster Wert) geat. Der Modalwert wird mit x Mod bezeichet. Falls die maximale Häufigkeit gleichzeitig vo mehrere Auspräguge ageomme wird, spricht ma vo mehrere Modalwerte. Für die absolute Häufigkeit des Modus gilt: h (x Mod ) h (a j ) für alle Merkmalsauspräguge a j. Der Modalwert ka bei sämtliche Merkmale bestimmt werde. Er ist bei omial skalierte Merkmale, bei dee es keie Ragordug gibt, der eizig sivolle Lageparameter. Bei Klassebildug ist der Modus icht eideutig bestimmbar. Hier wird die Klasse mit der größte absolute Häufigkeit als Modalklasse bezeichet. Bei mehrere Modalklasse wird idetisch verfahre wie bei mehrere Modi. Mit eiem Modus et ma die Verteilug eigipflig, bei mehrere etspreched mehrgipflig

2 Der Modalwert Modalwert (Modus) Modalwert (Modus) Modalklasse (Modus) Das arithmetische Mittel (Mittelwert) Bei metrisch skalierte Merkmale heißt der Zahlewert: m m x x h a r a i j j j j i j j arithmetisches Mittel (Mittelwert od. Durchschittswert) d. Beobachtugsreihe. Falls die Werte ur i Form eier Urliste gegebe sid, verwedet ma die erste Gleichug, die zweite oder dritte Form wählt ma bei Häufigkeitsverteiluge wege: i x x x x x x Das arithmetisches Mittel beschreibt immer die Gesamtsumme. Oft wird aber ur ei Durchschittswert agegebe. Multipliziert ma diese Durchschittswert mit der Azahl derer der Durchschitt gebildet wurde, erhält ma die Gesamtsumme. Würde beispielsweise die gesamte Lohsumme eies Betriebes auf alle Firmeagehörige gleichmäßig aufgeteilt werde, so müsste jeder de Durchschittswert erhalte. i

3 Wifried Wizerglück vertreibt Rotwei i Form des edle württembergische Trolligers Chateau Migraie. Verkaufsbezirk Verkaufte Mege Flasche Die Tabelle gibt die Verkaufszahle i de überwiegede württembergische Verkaufsbezirke 4 so wie de badische Verkaufsbezirke 5 7 a: o Bereche Sie de durchschittliche Absatz i Württemberg ud Bade. Um die schlechte Verkaufslage seies Weies i de badische Verkaufsbezirke zu verbesser, etschließt sich Wizerglück, de schlechteste württembergische Verkaufsbezirk de badische Kosumete zuzuschlage, da dort ohe-hi ei außerordetlich starker badischer Eifluss zu verzeiche ist. o Bereche Sie de durchschittliche Absatz für die beide Ladesteile ereut ud iterpretiere Sie das Ergebis Für de württembergische Ladesteil errechet Wizerglück eie durchschittliche Absatz vo: x W Flasche 4 Für de badische Teil aalog: x B Flasche 3 Nach Neuaufteilug der Verkaufsbezirke ermittelt Wizerglück für Württemberg: Higege für Bade: x W Flasche 3 x B Flasche 4 Durch geschickte Neuaufteilug der Verkaufsbezirke hat Wizerglück i beide Regioe eie Steigerug des durchschittliche Absatzes erzielt, ohe auch ur eie Flasche mehr zu verkaufe!

4 Das arithmetische Mittel (Mittelwert) fälschliche Verwedug des arithmetische Mittels: Schulote Bei Schulote hadelt es sich um ordial skalierte Merkmale: sehr gut, gut, befriediged.. Dies ädert sich auch icht durch die übliche Zahlekodierug (,2,3, ) Die Durchschittsote eier ud eier 3 ist 2 also gut Würde wir die Note durch,0,00,000 ersetze, wäre der Durchschitt vo sehr gut () ud befriediged (00) 50,5 also zwische gut ud befriediged Ud u bereche Sie bitte de Durchschitt der Ergebisse folgeder Arbeit: sehr gut: 8 mal gut: 2 mal befriediged: 6 mal geüged: 4 mal ugeüged: 2 mal Das gewichtete arithmetische Mittel Um Mittelwerte eizeler Klasse vergleiche zu köe, gewichtet ma die Mittelwerte etspreched der Azahl der eizele Werte eier Gruppe. Um die durchschittliche Fehlstude eier Schule zu bereche, köte ma das arithmetische Mittel der Fehlstude (Fehlstude pro Schüler) vo z. B. vier Klasse bereche: Klasse Klasse 2 Klasse 3 Klasse 4 2 Fehlstude 22 Fehlstude 9 Fehlstude 49 Fehlstude Das arithmetische Mittel würde also 23 betrage. Allerdigs werde dabei die Schülerzahle icht berücksichtigt

5 Das gewichtete arithmetische Mittel Alle 4 Werte wurde gleichberechtigt behadelt. Die Zahl 49 müsste auf Grud der hohe Schülerazahl stärker gewichtet werde. Klasse Klasse 2 Klasse 3 Klasse 4 2 Fehlstude (6 SchülerIe) 22 Fehlstude (24 SchülerIe) 9 Fehlstude (8 SchülerIe) 49 Fehlstude (28 SchülerIe) Das gewogee arithmetische Mittel berechet ma, idem ma die eizele Werte mit der Azahl der Gruppemitglieder (Gewichte) multipliziert ud die Summe bildet. Diese Summe wird durch die Gesamtazahl aller Gruppemitglieder dividiert. ( ) : ( ) = 26, Das gewichtete arithmetische Mittel Fehlst. Schüler Fehlst./Schüler Fehlst./Klasse 2 6 0, , , , ,98 23,00 = 92 / 4 Fehlst. Schüler Fehlst. * Schüler Fehlst./Klasse , , , , ,00 26,2 = 2254 /

6 Der Media (Zetralwert) Neu Persoe erhalte folgede Gehälter: ; ; ; ; ; ; ; 3.00 ; Die Gehälter sid bereits der Größe ach geordet, der Mittelwert beträgt Liks vom Mittelwert befide sich 8 Werte, rechts vom Mittelwert ur eier. Ma sucht eie Weg, um die Stichprobewerte i zwei gleich große Gruppe zu teile. Da die Azahl der Stichprobe ugerade ist, gibt es geau eie Wert, welcher i der Mitte der der Größe ach geordete Stichprobe liegt. Dieser Wert wird als Media (Zetralwert) x der Stichprobe bezeichet. Ist die Azahl der Stichprobewerte gerade, werde die beide Stichprobewerte, die zusamme die Mitte bilde, als Mediae bezeichet. Es ist ebeso üblich, bei metrisch skalierte Merkmale das Itervall zwische diese beide Werte als Media azuehme ud etspreched azugebe. Ebeso ist es azutreffe, dass der Mittelwert beider Werte als Media bei metrisch skalierte Merkmale heragezoge wird Der Media (Zetralwert) Bestimmug des Media aus eier Häufigkeitstabelle Sprigt die relative Summehäufigkeit bei eiem Merkmalswert vo uter 0,5 auf über 0,5, so ist dieser Merkmalswert der Media. Media Ist die relative Summehäufigkeit eies Merkmalswertes gleich 0,5 so ist jeder Wert zwische diesem ud dem ächst größere Merkmalswert der Media Media Media

7 Der Media (Zetralwert) Bestimmug aus der empir. Verteilugsfuktio Falls die empirische Verteilugsfuktio auf eier Treppestufe de Wert 0,5 aimmt, sid dieser Merkmalswert ud der ächst größere die Mediae. We die empirische Verteilugsfuktio de Wert 0,5 icht aimmt, ist der Media gleich dem kleiste Merkmalswert, a dem die Verteilugsfuktio größer 0,5 ist Der Media (Zetralwert) We wir die Verteilugskurve (oder das Histogramm) eier Stichprobe betrachte, so liegt der Media a der Stelle auf der x-achse, a der die Fläche uter der Kurve (oder die Fläche des Histogramms) exakt i zwei Teile geteilt wird. Die relative Positio des Modus, des Medias ud des Mittelwerts liefert eie Hiweis auf die Schiefe eier Verteilug: Der Media wird wie folgt berechet: Alle Werte werde i aufsteigeder Reihefolge geordet. We die Azahl der Werte ugerade ist, wird die mittlere Zahl verwedet. We die Azahl der Werte gerade ist, wird der Durchschitt der zwei mittlere Zahle ausgewählt

8 Der Media (Zetralwert) Die Summe der absolute Abweichuge eies Stichprobewerts vo ihrem Media sid geriger als die absolute Abweichuge eies beliebige adere Werts. Uter bestimmte Umstäde ka der Media ei stabileres Lagemaß als der Mittelwert sei. Der Media ist weiger afällig für Ausreißer (Extremwerte) als der Mittelwert. Die Mediastatistik wird daher oft i Zusammehag mit der robuste Statistik geat. Beispiel: Bereche Sie de Media folgeder Werte: 4,4; 5,; 4,; 6,2; 5,7; 5,6; 7,0 Orde Sie die siebe Werte: 4,; 4,4; 5,; 5,6; 5,7; 6,2; 7,0 Nehme Sie de mittlere Wert (die Azahl der Werte ist ugerade) als Media: 5, Der Media (Zetralwert) Miimumeigeschaft des Media Der Media besitzt die Miimumeigeschaft d.h. die Summe der absolute Abweichuge um eie beliebige reelle Zahl c ist miimiert, we c der Media ist

9 Der Media (Zetralwert) Miimumeigeschaft des Media Die Miimumeigeschaft des Medias ka dazu beutzt werde, das Zetralortproblem zu löse, also bei Orte die auf eier Strecke liege, dejeige Ort zu fide, vo dem aus die Etferug zu alle adere Orte miimal ist. o Ei Pharmavertreter P besucht i eiem Ort 5 Ärzte, die alle i eier Straße liege. o Aufgrud der schwierige Parkplatzsituatio will P ur eimal sei Auto parke ud vo dort jeweils zu Fuß die eizele Arztpraxe besuche. o Dazu muss er allerdigs immer zum Auto zurück, um de Musterkoffer idividuell abgestimmt eu zu bestücke. o Seie Fußwege möchte er miimiere Der Media (Zetralwert) Miimumeigeschaft des Media Die Arztpraxe A ud A 5 bilde die äußere Radpukte der Strecke, die Etferug zu A 2 betrage für A 2 00 m, für A 3 60 m, für A m ud für A m, das ergibt die geordete Reihe: x () = 0, x (2) = 00, x (3) = 60, x (4) = 300 ud x (5) =

10 Der Media (Zetralwert) x () = 0, x (2) = 00, x (3) = 60, x (4) = 300 ud x (5) = 350. Miimumeigeschaft des Media ist ugerade, für die Ermittlug des Medias muss also icht gemittelt werde. User Pharmareferet sollte also das Auto 60 Meter vo Arztpraxis etfert (bei Praxis 3) abstelle, um seie Fußwege zu miimiere Das harmoische Mittel Ei Fahrzeug durchfährt folgede Teilstrecke i uterschiedliche Zeite ud damit mit uterschiedlicher Geschwidigkeit. Für die Gesamtstrecke vo 450 km werde 4,5 h beötigt. Die etsprechede Durchschittsgeschwidigkeit ist damit: 450 km x h 00 km / h 4,5 h Dieser Wert ist kleier als das arithmetische Mittel der drei Eizeletappe: Die Durchschittsgeschwidigkeit ka folgedermaße dargestellt werde: xh 4, Im Neer des letzte Bruches stehe die reziproke Stichprobewerte /x, /x 2 ud /x 3. Ma et xh x , 33 km / h 3 3 das harmoische Mittel der Beobachtugswerte

11 Das harmoische Mittel Das harmoische Mittel der Stichprobe (x, x 2, x 3,, x ) ka ur berechet werde, we die Beobachtugswerte etweder alle positiv oder alle egativ sid. Es ist erklärt als: x m h a m j raj x x a a i i i i j j j Das harmoische Mittel ist der Kehrwert (reziproke Wert) des arithmetische Mittels der reziproke Beobachtugswerte /x i, i =, 2, 3,,. j Vo eier Ware werde -mal zu verschiedee Preise für de gleiche Betrag c gekauft. Zwische de gekaufte Mege M i ud de zugehörige Preise p i pro Megeeiheit gilt also die Beziehug: M. i P i = c (kostat). I Abhägigkeit vom Preis betrage die Kaufmege M i = c / p i. Damit gilt: Gesamtpreis:. C c Gesamtmege: M M i i i p i c p h M Hieraus erhält ma de Durchschittspreis: p p p 2 p p p 2 Beim Kauf zu verschiedee Preise für jeweils gleiche Beträge ist der Durchschittspreis das harmoische Mittel der Eizelpreise Das harmoische Mittel Beispiel Nehme wir a, ei Studet fährt freitags ach der letzte Vorlesug mit seiem Motorrad vo Berli zu seier Freudi bei Bradeburg (50 km), er fährt mit 200 km/h. Auf der Rückfahrt zur Ui am Motag fährt er mit 00 km/h. Wie hoch ist seie Durchschittsgeschwidigkeit? Das arithmetische Mittel vo (200+00)/2 = 50 km/h ist offesichtlich falsch, da er da die Gesamtstrecke vo 300 km i 2 Stude zurückgelegt habe müsste. Tatsächlich ist er auf der Hifahrt 0,75 Stude (45 mi) uterwegs, auf der Rückfahrt,5 Stude, isgesamt also 2,25 Stude (2h:5mi)

12 Das harmoische Mittel Beispiel Tatsächlich beträgt seie Durchschittsgeschwidigkeit ( ) / (0,75 +,5) = 300 / 2,25 = 33,33 km/h Oder, mit der Formel für das harmoische Mittel: Das harmoische ud arithmetisches Mittel Das harmoische Mittel wird also immer da als Durchschitt verwedet, we bei eier Verhältiszahl die Zählergröße kostat ud die Neergröße variabel ist. Die allgemeie Formel zur Berechug eies Durchschitts bei Verhältiszahle (x i =a i /b i ) lautet:

13 Das harmoische ud arithmetisches Mittel Sid die Eizelwerte im Zähler kostat, ergibt sich x i = a / b i ud damit b i = a / x i Somit erhalte wir die Formel für das harmoische Mittel: Das harmoische ud arithmetisches Mittel Sid higege die Eizelwerte im Neer kostat, etspricht der Durchschitt der Verhältiszahl dem arithmetische Mittel:

14 Das harmoische ud arithmetisches Mittel We der Studet im Beispiel am Sotag bei eiem Motorradausflug zweimal eie Stude uterwegs ist ud die erste Stude mit 200 km/h, die zweite Stude mit 00 km/h fährt, da ist die Neergröße (Zeit) kostat (je h) ud die allgemeie Formel des harmoische Mittels ud das arithmetische Mittel ergebe das gleiche Ergebis Das harmoische ud arithmetisches Mittel Arithmetisches Mittel: Harmoisches Mittel:

15 vo positive Beobachtugswerte x, x 2, x 3 x ist defiiert durch: x x x x... x g h h h h a a a... a 2 3 r r r r 2 a a a... a Währed Jahre steige die Preise für eie bestimmte Ware der Reihe ach um p, p 2,, p %. Prozetuale Preissteigerug bedeutet, dass der zu Begi des i-te Jahres gültige Preis am Ede des Jahres mit dem Preissteigerugsfaktor q i = + p i /00 multipliziert werde muss. Mit dem Ausgagspreis A erhält ma damit ach Jahre de Edpreis E = A. q. q 2. q 3.. q

16 Die durchschittliche (mittlere) Preissteigerug p ist diejeige jährlich kostate Preissteigerug, die ach Jahre zum gleiche Edpreis geführt hätte wie die verschiedee jährliche Preissteigeruge. Mit dem Steigerugsfaktor q i = + p i /00 erhält ma de Edpreis p E Aq A 2 00 Gleichsetze vo E ud E 2 ergibt: q q q q... q ; q q q q... q Ageomme, Sie habe eie Aktie zum Kurs vo 00,00 gekauft. Nach eiem Jahr beträgt der Wert der Aktie 20, ach zwei Jahre 50 ud ach drei Jahre wieder 00. Ihr Bakberater teilt Ihe freudig mit, die durchschittliche Redite betrüge (Ma beachte de ette Doppelsi!) 3,89%. Das kommt Ihe merkwürdig vor? Gut so! Der Bakberater hat das arithmetische Mittel der jährliche Wachstumsrate berechet: 20% im erste, 25% im zweite ud -33,33% im dritte Jahr ergibt ( ,33) / 3 = 3,89% Offesichtlich ist das arithmetische Mittel hier der falsche Mittelwert schließlich ist die Aktie ach drei Jahre icht mehr wert als zum Kaufzeitpukt

17 Soll der Durchschitt vo Wachstumsrate ermittelt werde, ist icht das arithmetische, soder das geometrische Mittel zu verwede. Sid die Eizelwerte eies Merkmals i eier Zeitreihe x, x 2,,x, da lasse sich Wachstumsrate ud die Wachstumsfaktore bereche Wachstumsrate ud -faktore Die Wachstumsrate w i ist die durchschittliche Veräderug des i-te Eizelwertes x i gegeüber dem (i-)-te Eizelwert x i-. w i = (x i -x i- ) / x i-, i = 2,.., Wird w i mit 00% multipliziert, erhält ma die prozetuale Wachstumsrate. Wachstumsfaktor f i ist das Verhältis zwische dem i-te Eizelwert x i ud dem (i-)-te Eizelwert x i-. f i = x i / x i- = +w i, i = 2,.,

18 i x i w i f i (20-00)/00 = 0,2 = 20% 3 50 (50-20)/20 = 0,25 = 25% 4 00 (00-50)/50 = -0,333 = -33,3% 20/00 =,2 50/20 =,25 00/50 = 0, Wir bereche die durchschittliche Wachstumsrate (= geometrisches Mittel) mit de Wachstumsfaktore oder de Wachstumsrate

19 Wir bereche die durchschittliche Wachstumsrate (= geometrisches Mittel) mit de Wachstumsfaktore oder de Wachstumsrate 2 w f f 2 3 w2 w3 w f f f w w w Wir bereche die durchschittliche Wachstumsrate (= geometrisches Mittel) mit de Wachstumsfaktore oder de Wachstumsrate 2 w f f 2 3 w2 w3 w f f f w w w

20 Sid der Afagswert x ud der Edwert x bekat, vereifacht sich die Berechug vo w: w x x x x Im Aktie-Beispiel ergibt sich: 2 3 w f f 4,2,250,667,000 0 x 3 4 w x ,

21 Das -getrimmte Mittel Hierbei wird ei vorher festzulegedes Quatum a (z.b. 0%) der kleiste ud größte Werte elimiiert. Aschließed wird das arithmetische Mittel über die verbleibede Werte berechet: Datebeispiel: 2, 2, 2, 2, 22, 22, 23, 25, 25, 27, 27, 28 (2 Werte) Ma berechet u, wie viele Werte wegfalle: Azahl Werte * für obiges Beispiel: 2 * 0, =,2 --> Zahle hiter dem Komma köe verachlässigt werde, d.h. auf beide Seite der Date fällt je ei Wert weg 2, 2, 2, 2, 22, 22, 23, 25, 25, 27, 27, 28 (2 Werte) --> der kleiste (2) ud der größte (28) Wert falle weg da gilt: Getrimmtes Mittel = (3*2 + 2*22 + *23 + 2*25 + 2*27) / 0 = 234/0 = 23, Das wisorisierte Mittel Hierbei wird ei vorher festzulegedes Quatum a (z.b. 0%) der kleiste bzw. größte Werte durch weiger extreme Werte ersetzt. Die Ersatzwerte sid dabei jeweils die erste, die icht mehr wegfalle. Datebeispiel: 2, 2, 2, 2, 22, 22, 23, 25, 25, 27, 27, 28 (2 Werte) Vorgehe: Berechug wie viele Werte wegfalle: Azahl Werte * für obiges Beispiel: 2 * 0, =,2 --> Zahle hiter dem Komma köe verachlässigt werde, d.h. es wird auf beide Seite der Date je ei Wert ersetzt. 2, 2, 2, 2, 22, 22, 23, 25, 25, 27, 27, 27 (2 Werte) Der kleiste Wert (2) wird durch de erste icht mehr wegfallede Wert (2) ersetzt. Der größte Wert (28) wird durch de erste icht mehr wegfallede Wert (27) ersetzt. da gilt: Wisorisiertes Mittel = (4*2 + 2*22 + *23 + 2*25 + 3*27) = 282/2= 23,

22 Vergleich der verschiedee Mittelwerte Das arithmetische Mittel ud der Media köe icht miteiader vergliche werde, eimal ka der eie Wert, ei aderes Mal der adere größer sei. Grud dafür ist die Empfidlichkeit des arithmetische Mittels gegeüber Ausreißer. Falls alle Stichprobewerte positiv sid, köe das arithmetische, das geometrische ud das harmoische Mittel miteiader vergliche werde. xh xg x x für x x x... x Falls icht alle Werte der Beobachtugsreihe gleich sid, also midestes zwei voeiader verschiede sid, gilt allgemei: xh xg x mit x 0 für alle i i