IV. BUCH: RAUM MIT. 8a. Die ARCHIMEDISCHEN. 1

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1 IV. BUCH: RAUM MIT n-dimensionen 8a. Die ARCHIMEDISCHEN 1

2 Archimedische Körper Zu den archimedischen Körpern gelangt man durch diverses Abschneiden der Ecken bei den platonischen Körpern. Nehmen wir ein regelmäßiges Dreieck und schneiden die drei Ecken so ab, dass die abgeschnittenen gleichseitigen Dreiecke gerade die Drittelseitenlänge des ursprünglichen Dreiecks haben, dann erhalten wir ein regelmäßiges Sechseck. Schneiden wir nun die vier Ecken eines Tetraeders entsprechend so ab, dass die vier abgeschnittenen Tetraeder genau die Drittelkantenlänge haben, dann erhalten wir einen halbregelmäßigen Körper, der nur von je 4 regelmäßigen Dreiecken und Sechsecken begrenzt wird, den Dodekaederstumpf. ARCHI 1a.: Diese fünf einfachsten archimedischen Körper (Stümpfe) entstehen aus den Platonischen durch Eckenabschneiden (Drittelkantenlänge) 2

3 ARCHI 1b.: Fußball durch Abschneiden von Drittelkanten (links) >>Jedes Fünfeck ist von 5 Sechsecken umringt!<< und von Halbkanten (bis zur Kantenmitte) beim Ikosaeder (rechts) (Vollständiges Abschneiden bis zur Kantenmitte ergibt den Dodekaeder) Schneiden wir an den vier Ecken eines Würfels jeweils gleichschenkligrechtwinklige Dreiecke des (2+ 2)-ten Teil 1 der Quadratseite ab, erhalten wir ein regelmäßiges Achteck (s. ARCHI 1a, 2. Bild). Führen wir die entsprechende Prozedur beim Würfel durch, von dem wir die 6 kongruenten Eckenpyramiden abschneiden, dann erhalten wir einen weiteren archimedischen Körper, der nur von Quadraten und regelm. Achtecken begrenzt wird. Ein Abschneiden bis zur Kantenmitte ergibt auch einen halbregelmäßigen Körper, das sog. Mittelkristall mit 6 Quadraten und 8 gleichseitigen Dreiecken (an den einstigen acht Ecken; 6x4=3x8=24 Kanten und 12 Ecken), wobei sich Quadrate und Dreiecke abwechseln. ( Abbildung ARCHI 4 der dritte - hier der letzte der 13 archimedischen Körper). Dasselbe Ergebnis erhält man auch beim 1 Das ist das 1-½ 2 fache, also 3:10 der Quadratseite. Die Achteckseite ist das ( 2-1)-fache der Quadratseite und die Quadratseite das ( 2+1)-fache der Achteckseite. Die Achteckfläche ist das Doppelte des ( 2-1)-fachen der umhüllenden Quadratfläche und somit das 2( 2+1)-fache der Achteckseite zum Quadrat. 3

4 abgeschnittenen Oktaeder 2, weshalb man ihn auch als Kuboktaeder bezeichnet 3. Schneidet man bei der aus gleichseitigen Dreiecken gebildeten quadratischen Pyramide in einer Drittelkantenlänge die Ecken ab, dann erhält man an der Spitze einen quadratischen Schnitt. Die Spiegelung an der Achteckebene liefert den aus 6 Quadraten und 8 Sechsecken bestehenden archimedischen Körper. Abschneiden der Ecken eines Fünfecks liefert ein Zehneck (die höchstvorkommende Vieleckzahl, da abgeschnittene Sechsecke nicht vorkommen), und so entsteht aus dem Dodekaeder ein weiterer aus nur 20 Dreiecken und 12 Zehnecken bestehender archimedischer Körper. Neumodischer (2010) und altmodischer (1970-er-) Fußball (Informieren Sie sich über den Fußball der Helden von Bern.) 2 Schneidet man bei voller Kantenlänge ab, erhält man den abgeschnittenen Tetraeder. Was erhält man, wenn man die vier Spitzen eines Tetraeders statt bei einem Drittel bis zur Kantenmitte abschneidet? 3 Das maximal-mögliche Abschneiden des Würfels bei ganzer Kantenlänge bis zu den drei benachbarten Würfelecken liefert einen Oktaeder. 4

5 Fussball und Fulleren (an den Ecken sitzen C-Atome) 4 Der Abschnitt von Fünfeckspyramiden an den 20 Ikosaederecken bei einem Drittel der Kantenlänge liefert 12 Fünfecksschnittflächen, jedes umgeben von fünf Sechsecken: Wir erhalten einen Fußball, einen halbregelmäßigen Köper, der nur von 12 regelmäßigen Fünf- und 20 Sechsecken begrenzt wird. Er hat 21x5 = 60 Ecken und 90 Kanten

6 Graphit und Buckyball 5 C 60. Setzt man an seine 60 Ecken Kohlenstoffatome, dann erhält man das nach R.B. Fuller benannte Fulleren C 60. Es ist eine weitere Modifikation des Kohlenstoffs neben dem sechseckig-verschiebbaren Graphit und der härtesten Tetraederkonfiguration des Diamanten, und kommt im Weltall in Meteoriten und planetarischen Nebeln vor; wurde 1985 im Labor entdeckt 6. Weiteres dazu finden Sie in Marcus du Sautoy >>Geheimnis der Symmetrie (Finding Moonshine)<<, dtv Inzwischen stellte es sich heraus, dass es noch weitere Kohlenstoffkonfigurationen gibt, die sogar noch wesentlich härter sind als Diamant das härteste aterial das es gibt! 5 rot/index.html 6 Übrigens wurde der Physiknobelpreis 2010 für ein äußerst stabiles, papierdünnes Material aus Kohlenstoff und Palladium vergeben. 6

7 ARCHI 2a.: Nur drei archimedische Körper bestehen aus drei verschiedenen Vielecken: Fußball-Alternative mit regelmäßigen 3, 4 und 5-Ecken Hier von Quadraten umgebene Fünfecke werden mit Dreiecken verbunden. 7

8 ARCHI 2b: Archimedischer Halbriese und der Riese Bei diesen beiden haben die Oberflächenpolygone nur geradzahlige Ecken 4, 6, 8 bzw. 4, 6 und 10 Ecken Der voluminöseste archimedische Körper bei gleichen Kantenlängen (rechts), - der archimedische Riese -, ist der große Rhombenikosidodekaeder 7 Neben den =26 Seitenflächen hat er 72 Kanten und 48 Eckpunkte =2 Weitere halb-regelmäßíge Körper kann man durch zusätzliche Bearbeitungen erhalten. Schneiden wir bei dem aus 6 Quadraten bestehenden Mittelkristall die Ecken bis zur Kantenmitte ab, dann erhalten wir den einen sehr symmetrischen archimedischen Körper, den Riesen, der nur aus 12 Quadraten, 8 Sechsecken und 6 Achtecken (6x8=48 Ecken besteht: (12x4+8x6+6x8):2=72 Kanten also =2 Ich spreche vom kleinen Bruder des Riesen bzw. vom Halbriesen (obwohl der Dodekaederstumpf größer ist), weil der andere ähnliche archimedische Körper, der nur aus Quadraten, Sechsecken und aber Zehnecken (anstatt 7 Der Vorname Rhomben- bedeutet, dass dies Körper sowohl die Symmetrie des Würfels als auch des Oktaeders bzw. sowohl die des Dodeka- als auch die des Ikosaeders haben. Man kann den kleinen Rhombenkuboktaeder (3,4,4,4) zum großen (4, 6, 8) dem Halbriesen - machen, indem man ihm auf jedes seiner acht Dreiecke eine Dreieckskuppel aufsetzt und auf jene seiner sechs Quadrate, die nur Quadrate berühren, setzt man eine quadratische Kuppel auf und auf die anderen zwölf Quadrate setzt man Würfel auf. Aus dem kleine Rhombenikosi-dodekaeder (3,4,5,4) kann man den großen (4, 6, 10) den Riesen machen, indem man auf jedes seiner Fünfecke eine Rotunde aufsetzt, was die Zehnecke liefert. Für die restlichen Flächen braucht man Johnsonkörper - IV

9 der Achtecke) besteht, der allergrößte Archimedische, und somit der Riese ist. ARCHI 3: Fünfecke sind von Dreiecken und dieses von Fünfecken umgeben Rechts: Dodekaeder-Eckenabschnitt bis zur Kantenmitte Die Oberfläche besteht aus 20 regelmäßigen Dreiecken und 12 regelmäßigen Fünfecken: 20x3=12x5 Links: Jedes der 12 Fünfecke ist vollständig auch in den Eckennur von gleichseitigen Dreiecken umgeben; insgesamt 80 E K + F = 12x5 - ½(12x5+80x3) - 92 = 2 Wir können auch alle platonischen Körper entlang ihrer Kanten abschneiden und die beschnittenen noch weiterverarbeiten, und noch dessen Ecken abschneiden. Beim Würfel erhalten wir dann die quadratische verlängerte Dikuppel (Rhombenkuboktaeder). Ihre Oberfläche besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken und der maximalen Anzahl von Quadraten, nämlich 18, die ein aus nur Quadraten und Dreiecken aufgebauter konvexer Körper haben kann. Durch Achtelkanten-Abschneiden vom Würfel über die quadratische Dikuppel in der Mitte bis zum Oktaeder 9

10 Der Kuboktaeder ein Körper, der von sechs Quadraten und acht gleichseitigen Dreiecken gebildet wird, ist auch archimedisch (= Mittelkristall in den Mitten der Würfelkanten sitzen die Teilchen) Teil II in IV-08b Die Dreieckskuppel ist ein halbes Kuboktaeder, das in der Sechseckebene halbiert wird... Schlegel-Diagramm Jedes Dreieck ist von drei Quadraten umgeben Setzt man auf die Würfelflächen quadratische Pyramiden, so kann man sich vorstellen, dass sich ein (grüner) Würfel und ein (rotes) Oktaeder durchdringen. Der gemeinsame Bereich, der in der Literatur Kern heißt, ist das Kuboktaeder 8,

11 Acht Quadrate bilden einen Ring. Es gibt drei Ringe dieser Art, die in die drei Richtungen des Raumes zeigen....ein Ring lässt sich leicht aus Papier bauen. Weiter geht es mit Die archimedischen Körper II und Hyperkörper. 11