25. Algorithmus der Woche Das Sieb des Eratosthenes Wie schnell kann man alle Primzahlen bis eine Milliarde berechnen?

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1 5. Algorthmus der Woche Iformatjahr Algorthmus der Woche Das Seb des Eratosthees We schell a ma alle Prmzahle bs ee Mllarde bereche? Autor Rolf H. Möhrg, TU Berl Mart Oellrch, TU Berl Ee Prmzahl st ee atürlche Zahl mt der Egeschaft, dass se durch ee adere atürlche Zahl außer 1 ud sch selbst ohe Rest telbar st. Prmzahle sd der Mege aller atürlche Zahle uregelmäßg vertelt ud habe dadurch Mathemater set tausede vo Jahre faszert ud beschäftgt. Ee Prmzahletabelle bs st ee Lste aller Prmzahle zwsche de Zahle 1 ud. Se begt folgedermaße: Im Laufe der Zet sd vele Problemstelluge gefude worde, dee Prmzahle ee Rolle spele. Ncht alle ote bsher restlos gelärt werde. Her zwe Bespele. Chrsta Goldbach ( ) formulerte 174 ee teressate Beobachtug: Jede gerade Zahl größer oder glech 4 st darstellbar als Summe zweer Prmzahle. Bespelswese fde wr: 4 = +, 6 = +, 8 = +5, 10 = +7 = 5+5, etc. Dese Behauptug verlagt ur, dass es mdestes ee solche Darstellug gbt. Tatsächlch gbt es für de meste Zahle sogar mehrere. Das folgede Dagramm wurde mt Hlfe eer Prmzahltabelle erstellt ud zegt de Azahle solcher Darstellugsmöglchete. Auf der x-achse stehe de zerlegte (gerade) Zahle. Der lechte Aufwärtstred de Säule setzt sch be wachsedem mmer weter fort ud es wurde ee gerade Zahl gefude, für de dese Behauptug cht glt. Deoch ote bs heute e Bewes gefude werde, dass se für alle glt. Carl Fredrch Gauß ( ) utersuchte de Vertelug der Prmzahle, dem er se zählte. Er betrachtete de Futo E Dagramm deser Futo seht so aus: π() := Azahl aller Prmzahle zwsche 1 ud. Das Seb des Eratosthees Sete 1 vo 8 Rolf H. Möhrg, Mart Oellrch

2 5. Algorthmus der Woche Iformatjahr Ma et π() aus offeschtlche Grüde ee Treppefuto. Gauß ostruerte dazu ee glatte Kurve, de so ah we möglch be π() blebt, egal we groß wrd. Um sch e Bld vo seem Vorhabe zu mache ud se Ergebs später zu otrollere brauchte er ee Prmzahltabelle. (Deses Problem st setdem gelöst, e teferes Egehe würde jedoch de Rahme sprege.) Heute sd Prmzahle cht mehr ur ee Herausforderug für Mathemater, soder vo gaz pratschem Wert. So spele etwa 100-stellge Prmzahle der eletrosche Verschlüsselug vo Date ee zetrale Rolle. Vo der Idee zum Verfahre Sowet wr heute wsse, hat e Greche de erste Algorthmus zur Berechug vo Prmzahltabelle vorgestellt: Eratosthees vo Kyree (ca v. Chr.). Er war e hochragger Gelehrter m ate Alexadra ud e Leter der berühmte Bblothe, der das gesamte Wsse der damalge Zet gesammelt war. Er arbetete mt a de damals wesetlche Frage der Astroome, Geologe ud Mathemat: Welche Umfag hat de Erde? Woher ommt der Nl? We a ma aus eem Würfel ee zwete ostruere, der das doppelte Volume hat? Wr wolle m Wetere achvollzehe, we er aus eer efache Gruddee e pratables Verfahre etwcelt hat, das scho zu seer Zet gut auf Papyrus oder Sad auszuführe war. Dabe wolle wr utersuche, we schell deser Algorthmus der Praxs st, we wr ee recht große Prmzahltabelle bereche wolle. Nehme wr als Maßstab für groß de Zahl ee Mllarde, also = Ee efache Idee Gemäß der Defto vo Prmzahle glt für jede Zahl m, de ee Prmzahl st: es gbt zwe Zahle, mt de Egeschafte, m ud = m. Dese Gesetzmäßget öe wr beutze, um ee sehr efache Algorthmus für ee Prmzahltabelle zu formulere: Prmzahltabelle (Gruddee) schrebe alle Zahle vo bs ee Lste blde alle Produte, wobe ud Zahle zwsche ud sd streche alle Ergebsse, de voromme, aus der Lste. Dass dese efache Vorschrft das Gewüschte lestet, st sofort zu sehe: alle Zahle, de am Schluss och der Lste stehe, ame cht als Produtergebs vor. Se öe also cht als e solches Produt geschrebe werde ud sd demach Prmzahle. Das Seb des Eratosthees Sete vo 8 Rolf H. Möhrg, Mart Oellrch

3 5. Algorthmus der Woche Iformatjahr We schell läuft de Berechug? Um u zu utersuche, was der Algorthmus a welcher Stelle geau tut, schrebe wr de der Gruddee ethaltee Hadlugsvorschrfte etwas formaler ud gebe de Zele Nummer: PRIMZAHLTABELLE GRUNDVERSION 1 schrebe alle Zahle vo bs ee Lste für jede Zahl :=... führe aus: für jede Zahl :=... führe aus: 4 streche de Zahl aus der Lste Steht be Ausführug vo Schrtt 4 de Zahl cht der Lste, so passert chts. Deser Algorthmus a ohe Schwergete auf eem Computer programmert werde ud wr öe see Zetverbrauch utersuche. Auf eem LINUX PC (. GHz) ergebe sch folgede Laufzete: Zet 0.00 s 0.0 s 19.4 s s Es st gut zu eree, dass ee Erhöhug vo um de Fator 10 ee Verlägerug der Rechezet um ee Fator vo ca. 100 mt sch brgt. Das st auch zu erwarte, de sowohl als auch laufe über ee ca. 10-mal so große Berech. Es werde also ca. 100-mal sovele Produte gebldet. Daraus öe wr scho jetzt sehe: um auf = 10 9 zu omme, müsste wr de Zet be = 10 6 um de Fator (10 9 /10 6 ) = 10 6 erhöhe ud würde dafür Seude = 61 Jahre ud 7 Moate brauche. Das st atürlch utauglch für de Praxs. Womt verbrgt der Algorthmus see Zet? Er erzeugt alle Produte eem gewsse Berech (Abb. ls): > = Jedoch wrd jedes ezele Ergebs für ur emal beötgt. Daach st es aus der Lste etfert ud der Algorthmus bräuchte es egetlch e weder zu erzeuge. Wo macht er Arbet zuvel? Zum Bespel dort, wo ud geau vertauschte Werte habe, etwa =, = 5 ud später = 5, =. I bede Fälle st das Ergebs des Produts dasselbe, we us de Vertauschugsregel der Multplato lehrt: es st mmer =. Deshalb öe wr festlege, um dese Doppeluge zu vermede (Abb. rechts). Das Seb des Eratosthees Sete vo 8 Rolf H. Möhrg, Mart Oellrch

4 5. Algorthmus der Woche Iformatjahr Dese Idee spart auf Aheb de halbe Arbet! Jedoch sd auch 0 Jahre ud 10 Moate och zu lage für usere Tabelle. Wo öe wr och Arbet spare? Dort, wo Schrtt 4 soweso chts passert, we ämlch > st. De Lste ethält ja ur Zahle bs, jesets vo st chts zu streche. Um das zu erreche, brauche wr de -Schlefe (Zele ) ur für solche Werte auszuführe, für de st. Dese Bedgug selbst sagt us, welche das sd: / = Als wllommee Nebeeffet öe wr auch de Laufberech für begreze. Aus de bede Eschräuge / erhalte wr, also. Für höhere st der -Berech leer. Der Algorthmus hat bs herher das folgede Aussehe beomme: PRIMZAHLTABELLE BESSER 1 1 schrebe alle Zahle vo bs ee Lste für jede Zahl :=... führe aus: für jede Zahl :=... / führe aus: 4 streche de Zahl aus der Lste (Das Zeche bedeutet Abrudug, de ud öe ur gazzahlge Werte aehme.) We schell sd wr jetzt geworde? De eue Laufzete: Zet 0.00 s 0.01 s 0.01 s. s.7 s 45.9 s Der Effet st recht spürbar, de das Zel 10 9 st scho Rechwete: ur och sebeehalb Mute etfert. Lasse wr de Computer Gedae laufe ud utze dese Zet, um es vellecht och besser zu mache! Brauche wr jede -Wert? Schaue wr a, was erhalb der -Schlefe (Zele ) geau passert: blebt fest ud durchläuft see Schlefe (Zele ). Dabe erhält das Produt de Werte, (+1), (+),.... We de -Schlefe zu Ede gelaufe st, stehe der Lste ee echte Velfache mehr vo. Ebeso cht vo alle Zahle leer als, de se wurde auf deselbe Wese scho vorher gestrche. Was passert, we ee Prmzahl st? Bespel = 4 : das Produt durchläuft de Werte 16,0,4,... Jedoch sd dese Zahle alle auch Velfache vo, da 4 selbst Velfaches vo st. Es st m Grude für = 4 gar chts zu tu. Ebeso st das mt jeder adere gerade Zahl > 4. Das Seb des Eratosthees Sete 4 vo 8 Rolf H. Möhrg, Mart Oellrch

5 5. Algorthmus der Woche Iformatjahr Bespel = 9: das Produt durchläuft ur Velfache vo 9. De sd aber als Velfache vo scho durchlaufe ud ebefalls uötg. So st das mt alle Nchtprmzahle, de se habe ee leere Prmteler, der vor he scho e Wert für war. Wr brauche also de -Schlefe ur für Prmzahle auszuführe, sehe folgede Abbldug: , Ob u ee Prmzahl st oder cht, öte us de Lste selbst sage we se scho fertg wäre. Wr öe aber erst ach dem Ede des Algorthmus scher se, dass ur och Prmzahle der Lste stehe. Oder? Ja ud e. Im allgemee Ja, de sost öte wr de Algorthmus abürze. Das st cht mmer der Fall, ehme wr zum Bespel = 100: de Nchtprmzahl 91 muss rgedwa aus der Lste gestrche werde. Se wrd aber erst gaz urz vor dem Ede erzeugt, ämlch für = 7, = 1. I userem spezelle Fall aber Ne, de wr wolle ja cht jede belebge Zahl als Prmzahl eree, soder ee gaz bestmmte, de Zahl. Ud das auch cht zu belebger Zet, soder erst zum Afag der -Schlefe für de Wert. Her gbt us de Lste ee orrete Ausuft! Warum? Wr hatte obe beobachtet, dass für jedes feste alle gestrchee Werte sd. Aders ausgedrüct: m Zahleberech,..., 1 wrd chts verädert. Da m wetere Verlauf ur stegt, wächst auch deser Berech ud ethält alle Bereche vor hm. Im folgede Bld sd dese Bereche blau dargestellt: 1 = = 8 = 15 = 4 = = = 4 = Da erhalb deser Bereche bs zum Ede des Algorthmus ee Veräderuge mehr auftrete, müsse se berets vor dem Durchlauf der -Schlefe für das jewelge orret se. De Tabelle wrd sozusage quadratsche Sprüge fertg. Grü egezechet st der Wert selbst, de wr auf see Prmegeschaft prüfe wolle. Es st gut zu eree, dass er mmer eem blaue Berech legt. Um zu etschede, ob ee Prmzahl st, dürfe wr also efach der atuelle Lste achschaue. Wr öe m Algorthmus de -Schlefe jetzt we folgt ergäze: PRIMZAHLTABELLE ERATOSTHENES 1 schrebe alle Zahle vo bs ee Lste für jede Zahl :=... der Lste führe aus: für jede Zahl :=... / führe aus: 4 streche de Zahl aus der Lste Das Seb des Eratosthees Sete 5 vo 8 Rolf H. Möhrg, Mart Oellrch

6 5. Algorthmus der Woche Iformatjahr Dese Verso des Verfahres hatte der luge Greche vorgestellt ud es heßt ach seem Erfder das Seb des Eratosthees. Seb deswege, wel es de gewüschte Objete, de Prmzahle, cht gezelt ostruert, soder m Gegetel alle Nchtprmzahle aussodert. Usere Zetmessug sagt zu seem Algorthmus: Be = 10 9 ur och gut ee Mute! Zet 0.0 s 0.4 s 5.4 s 66.5 s Geht es och scheller? Mt eem ählche Argumet we für de -Werte öe wr auch de Werte der -Schlefe weter eschräe: wr brauche ur dejege zu betrachte, de der Lste gefude werde! Steht ämlch cht mehr dort, st als Nchtprmzahl gestrche worde ud bestzt ee Prmteler p <. Im Durchgag der -Schlefe mt = p wurde alle Velfache vo p gestrche, sbesodere ud see Velfache. Es st chts mehr zu tu. Es wäre u ahe leged, de Algorthmus we folgt zu ergäze: für jede Zahl :=... / der Lste führe aus: 4... Doch Achtug! Dese Formulerug hat hre Tüce. Lasse wr de Algorthmus so laufe, erzeugt er de folgede Tabelle: Was läuft falsch? Sehe wr us de erste Schrtte des Algorthmus geau a. Nach der Italserug der Lste mt alle Zahle bs (Zele 1) steht dar: Zuächst wrd = gesetzt ud da =. De steht der Lste, also wrd = 4 gestrche: Im ächste Schrtt st =. De steht ebefalls der Lste ud so wrd = 6 gestrche: Jetzt passert s: = 4 steht cht mehr der Lste, de se wurde ja als erste gestrche. Etspreched wrd für = 4 wege der eue Bedgug chts gemacht ud der Algorthmus fährt mt = 5 fort: So blebt 4 = 8 rrtümlch der Lste stehe. Das Problem st, dass bem Schlefedurchlauf stets größere Zahle > strecht ud da selbst erhöht wrd. Irgedwa beommt de Wert ees vormalge Produtes ud das Verfahre wrt ugüstg auf sch selbst zurüc: Das Seb des Eratosthees Sete 6 vo 8 Rolf H. Möhrg, Mart Oellrch

7 5. Algorthmus der Woche Iformatjahr läuft / strecht De Lösug besteht dar, see Schlefeberech rücwärts durchlaufe zu lasse. Dadurch wrd dese Rücwrug vermede: läuft strecht / Mt deser Überlegug werde ur och de folgede Produte gebldet: 5 7 Isgesamt ergbt sch u de folgede Verso des Algorthmus: PRIMZAHLTABELLE BESSER 1 schrebe alle Zahle vo bs ee Lste für jede Zahl :=... der Lste führe aus: für jede Zahl := /... der Lste abst. Rehefolge führe aus: 4 streche de Zahl aus der Lste See Laufzete: Zet 0.01 s 0.15 s 1.6 s 17.6 s Deses Ergebs st für heutge Stadards durchaus azeptabel. Wr habe ausgehed vo der ave Grudverso mt wege gezelte Überleguge de Algorthmus für = 10 9 um de Fator 54.5 Mlloe beschleugt! Was öe wr aus desem Bespel lere? 1. efache Recheverfahre sd cht automatsch effzet,. zu hrer Beschleugug muss ma se gut verstehe, Das Seb des Eratosthees Sete 7 vo 8 Rolf H. Möhrg, Mart Oellrch

8 5. Algorthmus der Woche Iformatjahr es sd oft vele Verbesseruge möglch, 4. mathematsche Idee öe sehr wetreched se! Autore: Prof. Dr. Rolf H. Möhrg Dpl.-Math. Mart Oellrch Weterführede Materale: Folesatz des Betrags (pdf) pdf Wetere Überleguge zum Seb des Eratosthees Extere Ls: Wsseswertes über Eratosthees: Eratosthees (The MacTutor Hstory of Mathematcs) Eratosthees (Wpeda) drete Tests für große Prmzahle Das Seb des Eratosthees Sete 8 vo 8 Rolf H. Möhrg, Mart Oellrch