9. Übung zur Maß- und Integrationstheorie, Lösungsskizze Aufgaben

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1 9. Übung zur aß- und Integrationstheorie, Lösungsskizze Aufgaben A 50 (Eine Flächenberechnung mit dem Cavalierischen Prinzip). Es seien a, b > 0 und : { (x, y) R 2 : (x/a) 2 + (y/b) 2 1 }. (a) Skizzieren Sie für a 1, b 2. (b) Bestimmen Sie y : {x R: (x, y) } für y R. (c) Berechnen Sie das 2-dimensionale Volumen λ 2 () von. (a) Die Fläche wird von einer Ellipse umrandet. (b) Gegeben y R ist y {x R : (x/a) 2 1 (y/b) 2 }. Es ist also y für y > b, während für y b ein Intervall der Länge 2a 1 (y/b) 2 ist. y {x R: x a 1 (y/b) 2 } (c) Nach dem Prinzip von Cavalieri ist λ 2 () λ 1 ( y ) dλ 1 (y) R b b π/2 π/2 2a 1 (y/b) 2 dy [ b,b] π/2 2a 1 (y/b) 2 dλ 1 (y) π/2 ab(1 + cos(2u)) du πab, 2ab cos 2 (u) du wobei zur Berechnung des Riemann-Integrals y b sin(u), dy b cos(u) du substituiert wurde. A 51 (Volumen des Einheitssimplex). Es sei e j der j-te Einheitsvektor im n-dimensionelen euklidischen Raum. Bestimmen Sie das Volumen des n-dimensionalen Einheitssimplex E n : λ j e j λ j 0, λ j 1 Wir gehen genauso vor wie bei der Berechnung des Volumens der n-dimensionalen Kugel. Zunächst schneiden wir den Einheitsimplex in Scheiben. Für 0 t 1 gilt E n,t {x R n 1 (x, t) E n } {x R n 1 (x, t) (λ 1,..., λ n 1, t) mit λ j 0 und (λ 1,..., λ n 1 ) R n 1 (1 t)e n 1 + n 1 λ j 1 t Aus dem Cavalerischen Prinzip folgt dann für n > 1 λ n (E n ) λ n 1 (E n,t )dt λ n 1 (E n 1 ) λ n 1 (E n 1 ) 1 n λ n 1 ((1 t)e n 1 )dt (1 t) n 1 dt n 1 λ j + t 1}

2 9. Übung, Lösungsskizze 2 Wegen λ 1 (E 1 ) 1 ergibt sich λ n (E n ) 1 n!. A 52 Transformationsformel. Es sei A eine symmetrische reelle n n atrix und f : R n R, x exp( x T Ax). Zeigen Sie, dass f genau dann über ganz R n integrierbar ist, wenn A positiv definit ist. Berechnen Sie in diesem Fall das Integral R n fdλ. Hinweis: Symmetrische atrizen lassen sich in der Form A SDS T mit orthogonaler atrix S und Diagonalmatrix D schreiben. Benutzen Sie die Transformationsformel bezüglich Φ : x Sx und Γ( 1 2 ) π. Beachten Sie, dass die Einträge der Diagonalmatrix D genau die Eigenwerte λ i von A sind. Die lineare Abbildung Φ : x Sx ist ein Diffeomorphismus mit det Φ (x) det S 1 it der Transformationsformel errechnet sich dann fdx exp( (Sx) T ASx)dx R n R n exp( x T Dx)dx R n exp( λ i x 2 i )d(x 1,..., x n ) R n n F ubini exp( λ i x 2 i )dx i R Die Funktionen exp( λ i x 2 i ) sind genau dann über R integrierbar, wenn λ i > 0 ist. Die Abbildung f ist also integrierbar genau dann wenn alle Eigenwerte von A positiv sind. Bei nochmaliger Anwendung der Transformationsformel mit dem Diffeomorphismus ]0, [ ]0, [, x x λi errechnet sich das Integral R n fdx n 2 exp( λ i x 2 i )dx i ]0, [ n 2 2 λ i x 1 2 i exp( x i )dx i ]0, [ }{{} Γ( 1 2 ) Bemerkung: Der Wert des Integrals hängt also nur von den Eigenwerten von A ab. A 53 (Bildmaße). ( π) n n λ i Es sei f : (, S) (, T ) eine messbare Abbildung zwischen essräumen und µ ein aß auf (, S). Zeigen Sie: (a) Die Abbildung f (µ): T [0, ], f (µ)(a) : µ(f 1 (A)) ist ein aß auf (, T ) (genannt das Bildmaß von µ unter f. ) (b) Ist auch (Z, U) ein essraum und g : (, T ) (Z, U) messbar, so ist (g f) (µ) g ( f (µ) ). (a) Es ist f (µ)( ) µ(f 1 ( )) µ( ) 0. Ist (A n ) eine Folge paarweise disjunkter engen A n T, so sind nach Lemma 1.22 (c) auch die engen f 1 (A n ) S paarweise disjunkt und f 1( A ) n f 1 (A n ), somit ( ) f (µ) A n µ (f 1( )) ( ) A n µ f 1 (A n ) µ ( f 1 (A n ) ) f (µ)(a n ).

3 9. Übung, Lösungsskizze 3 Also ist f (µ) ein aß auf (, T ). (b) Für alle A U gilt (g f) (µ)(a) µ((g f) 1 (A)) µ ( f 1 (g 1 (A)) ) f (µ) ( g 1 (A) ) g (f (µ))(a). Also (g f) (µ) g (f (µ)). A 54 (Integration bzgl. eines Bildmaßes / Allgemeine Transformationsformel). Es sei φ: (, S) (, T ) eine messbare Abbildung zwischen essräumen, µ ein aß auf (, S) und φ (µ) das zugehörige Bildmaß auf (, T ) (siehe Aufgabe 53). (a) Es sei A T. Finden Sie eine enge B S mit 1 A φ 1 B. (b) Es sei s: R, s n α j1 A j eine Stufenfunktion auf. Zeigen Sie, dass s φ eine Stufenfunktion auf ist. Finden Sie eine Formel für s φ, welche diese Funktion durch charakteristische Funktionen ausdrückt. Zeigen Sie nun mit dem Beweisprinzip der Integrationstheorie aus Aufgabe A36: (c) Für jede messbare Funktion f : [0, ] auf (, T ) gilt f dφ (µ) f φ dµ. (1) (d) Eine messbare Funktion f : R ist genau dann bzgl. φ (µ) über integrierbar, wenn f φ: R bzgl. µ über integrierbar ist. In diesem Falle gilt (1). (a) Für x gilt 1 A (φ(x)) 1 falls φ(x) A, also x φ 1 (A); es gilt 1 A (φ(x)) 0 falls φ(x) \A, also x φ 1 ( \ A) \ φ 1 (A). Somit 1 A φ 1 φ 1 (A). (b) Die Funktion s φ ist messbar als Komposition messbarer Funktionen und nimmt nur endlich viele Werte an, da dies für s vorausgesetzt ist. Also ist s φ eine Stufenfunktion. it Teil (a) erhalten wir s φ α j 1 A j φ α j (1 A j φ) α j 1 φ 1 (A j ). (c) Schritt 1: Es sei f : 1 A : [0, [ die charakteristische Funktion einer messbaren Teilmenge A T von. Nach Teil (a) ist dann 1 A φ dµ 1 φ 1 (A) dµ µ(φ 1 (A)) def φ (µ)(a) 1 A dφ (µ). Schritt 2: Nun sei f n α j1 A j eine nicht-negative Stufenfunktion auf, mit α j [0, [ und paarweise disjunkten engen A j T. it Schritt 1 erhalten wir: f φ dµ α j 1 A j φ dµ α j 1 A j dφ (µ) f dφ (µ). Schritt 3. Nun sei f : [0, ] eine beliebige nicht-negative messbare Funktion auf (, T ). Nach Satz 3.4 existiert eine monoton wachsende Folge (s n ) nicht-negativer Stufenfunktionen s n auf, die punktweise gegen f konvergiert Dann ist (s n φ) eine monoton wachsende Folge von Stufenfunktionen auf, die punktweise gegen f φ konvergiert (vgl. (b)). Also liefern die bereits bewiesene Transformationsformel für Stufenfunktionen und der Satz über monotone Konvergenz: f dφ (µ) lim n s n dφ (µ) lim n s n φ dµ f φ dµ. (d) Nun führen wir Schritt 4 des Beweisprinzips der Integrationstheorie durch (Aufspaltung in Positivund Negativteil). Es ist f bzgl. φ (µ) integrierbar genau dann, wenn f + und f bzgl. φ (µ) integrierbar sind. Nach Teil (c) ist dies genau dann der Fall, wenn f + φ und f φ bzgl. µ integrierbar sind. Wegen f ± φ (f φ) ± gilt letzteres genau dann, wenn f φ bzgl. µ integrierbar ist.

4 9. Übung, Lösungsskizze 4 A 55 (inkowski Ungleichung) Es sei R n meßbar, 1 p und L p () definiert wie in Aufgabe A44 (Blatt 7). Wir definieren die Abbildung p : L p () R + 0, f p ( f p dλ ) 1 p. Zeigen Sie: a) Für alle λ R ist λf p λ f p b) Für alle f, g L p () ist f + g p f p + g p (inkowski Ungleichung) achen Sie sich klar, dass keine Norm auf dem Vektorraum L p () ist. Offensichtlich ist λf p ( λf p dλ ) 1 p λ f p. Zum Beweis der inkowski Ungleichung (Teil b) benötigt man die Höldersche Ungleichung (vergleiche Aufgabe 44). In den Fällen p 1 und p ist die Ungleichung klar (p bedeutet ist die aximumsnorm). Sei also 1 < p < und q : (1 1/p) 1 (und damit q(p 1) p). Dann ist f + g p p f + g p dλ f f + g p 1 dλ + g f + g p 1 dλ Hoelder f p ( f + g (p 1)q dλ ( f p + g p ) f + g p q p ) 1 q + g p ( ) 1 f + g (p 1)q q dλ und damit f + g p f + g q p f p + g p. Bemerkung. Eine Norm ist p nicht, denn nicht nur die Nullfunktion wird auf Null abgebildet. A 56 (Zusatzaufgabe: Konvergenz fast überall). Es sei q : N ]0, 1[ Q, n q n eine Bijektion. Zeigen Sie, dass die Reihe x qn für λ-fast alle x ]0, 1[ gegen eine reelle Zahl konvergiert (hier 1/0 : ). Hinweis: In R konvergiert die Reihe für alle x. Ist ]0,1[ x qn d λ(x) <? Nutzt das? Für jedes n N gilt x qn d λ(x) ]0,1[ 2 ]0,q n[ qn x qn d λ(x) + + ]q n,1[ 1 x qn dx + t dt {q n} x qn d λ(x) } {{ } 0 x qn d λ(x) q n [ 4 t x qn dx ] n.

5 9. Übung, Lösungsskizze 5 Hierbei beruht das erste Gleichheitszeichen auf Satz 3.15 (a), dann wurde Lemma 3.12 (e) benutzt und schließlich Folgerung 4.16 für das zweite Gleichheitszeichen, zum Umschreiben der Lebesgue-Integrale in uneigentliche Riemann-Integrale. it Folgerung 3.25 erhält man nun ]0,1[ x qn d λ(x) ]0,1[ x qn d λ(x) 4 16 < unter Benutzung der Summenformel für die geometrische Reihe. Also ist die durch f(x) : x qn [0, ] definierte Funktion f : ]0, 1[ [0, ] bzgl. λ über ]0, 1[ integrierbar und somit f(x) R für λ-fast alle x ]0, 1[, nach Lemma 3.12 (f). Für diese x ist die Reihe also in R konvergent. Ankündigung: Am 25. Aug findet die Analysis-Vordiplomklausur statt. Die Studierenden, die ab 1. September 2005 einen Auslandsaufenthalt wahrnehmen werden, möchten sich bitte in eine Liste eintragen, so dass der mündliche Teil der Vordiplomsprüfung für den August 2005 geplant werden kann. Die Liste liegt ab am Schaukasten neben Zimmer S2 15/428 aus.

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