REPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK. Gerhard Merziger Thomas Wirth

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1 REPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK Gerhard Merziger Thomas Wirth

2 6 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Fl Formelsammlung F2 Formelsammlung Alphabete 11 Zeichenindex 12 1 Grundbegriffe Logische Grundlagen, Aussagen Mathematische Grundlagen, Mengen Vollständige Induktion Kartesische Produkte Abbildungen, Funktionen Umkehrfunktionen Einsetzen (Verketten, Substituieren) von Funktionen Gerade, ungerade Funktionen Grenzwerte von Funktionen Stetige Funktionen Aufgaben Lösungen 41 2 Reelle Zahlen Brüche, Potenzen, Wurzeln Fakultät, Binomialkoeffizienten Ungleichungen, Beträge Aufgaben Lösungen 55 3' Elementare Funktionen Polynome, ganze rationale Funktionen Grundsätzlicher Verlauf, Verhalten im Unendlichen Nullstellen, Linearfaktoren Zerlegung reeller Polynome Polynome 2-ten Grades, quadratische Gleichungen Interpolation HORNER-Schema Rationale Funktionen Trigonometrische Funktionen Inverse trigonometrische Funktionen Schwingungen Schwingungen, komplexe Rechnung Exponential- und Logarithmusfunktionen Hyperbelfunktionen Inverse Hyperbelfunktionen, Area-Funktionen 89

3 INHALTSVERZEICHNIS Potenzfunktionen Aufgaben Lösungen 91 4 Komplexe Zahlen Zahlenebene Betrag, Abstand, Einheitskreis Konjugiert komplexe Zahl Multiplikation und Division, Potenzen Wurzeln aus komplexen Zahlen, Formel von Moivre Quadratische Gleichungen Die komplexe Exponentialfunktion Die komplexe Logarithmusfunktion Aufgaben Lösungen Vektorrechnung Rechnen mit Vektoren Vektoren in Koordinatendarstellung Linear abhängig, linear unabhängig, lineare Hülle Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Geraden im Raum Ebenen im Raum Vektorielle Beweise Aufgaben Lösungen Matrizen Bezeichnungen Rechnen mit Matrizen Rang einer Matrix Quadratische Matrizen Inverse Matrix Matrizen und Basen Orthogonale Matrizen, kartesische Basen Koordinatenvektoren Determinanten Entwicklung nach Zeilen und Spalten Elementare Umformungen Flächenberechnung, Orientierung Cramersche Regel 188

4 8 INHALTSVERZEICHNIS 8 Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen AbbüdungsmatrixAfjJ(^) Abbildungsmatrix Af (id) Nacheinanderausführen linearer Abbildungen, MQ{^> o<p) Abbildungsmatrix bei spezieller Basis M* (<p) Drehungen und Drehmatrizen Eigenwerte, Eigenvektoren Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume Diagonalisierung, symmetrische Matrizen Hauptachsentransformation Kegelschnitte, Kurven zweiter Ordnung Quadriken, Flächen zweiter Ordnung Kurven/Flächen zweiter Ordnung in allgemeiner Lage Klassifizierung, Kurven/Flächen zweiter Ordnung Aufgaben Lösungen Lineare Gleichungssysteme Gaußsches Eliminationsverfahren Lineare Gleichungssysteme mit Parameter Aufgaben Lösungen Differentialrechnung Differenzierbarkeit Rechnen mit differenzierbaren Funktionen 264, 12.3 Höhere Ableitungen Implizites Differenzieren Extremwerte von Funktionen einer Veränderlichen Grenzwertbestimmung, unbestimmte Ausdrücke Näherungsweise Nullstellenbestimmung Aufgaben Lösungen Integralrechnung Das unbestimmte Integral Rechnen mit unbestimmten Integralen Integration durch Substitution Partielle Integration Integration rationaler Funktionen (Partialbruchzerlegung) Integration einiger nicht rationaler Funktionen 292

5 INHALTSVERZEICHNIS Das bestimmte Integral Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Integration durch Substitution, partielle Integration Flächenberechnung Das bestimmte Integral als Funktion seiner oberen Grenze Uneigentliche Integrale Aufgaben Lösungen Folgen und Reihen Zahlenfolgen Numerische Reihen Potenzreihen Taylorreihen Fourierreihen Aufgaben Lösungen Funktionen mehrerer Veränderlicher Flächen im Raum, Niveaulinien, Blockbild Stetigkeit Differenzierbarkeit Partielle Ableitungen, Gradient Differenzierbarkeit, Ableitung (Gradient, Jacobi-Matrix) Kettenregel Tangentialebene, totales Differential Richtungsableitung Partielle Ableitungen höherer Ordnung Implizite Funktionen Explizite, implizite Funktionen, lokale Auflösung Ableitung impliziter Funktionen Taylorentwicklung von w=f(x,y) Extremwerte einer Funktion mehrerer Veränderlicher Extremwerte unter Nebenbedingungen Differentiation und Integration Aufgaben Lösungen Differentialgleichungen Explizite DGL 1. Ordnung DGL mit getrennten Variablen Lineare DGL l.ordnung Elementar integrierbare implizite DGLn I.Ordnung Einige spezielle DGLn 2.Ordnung 437

6 10 INHALTSVERZEICHNIS 16.6 Lineare DGL n-ter Ordnung Homogene lineare DGL n-ter Ordnung Inhomogene lineare DGL n-ter Ordnung Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten Schwingungs-DGL Eulersche DGL Potenzreihenansatz DGL-Systeme Lineare Systeme Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Homogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Inhomogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Eliminationsmethode für lineare DGL-Systeme Aufgaben Lösungen Mehrfache Integrale Doppelintegrale Dreifache Integrale Aufgaben Lösungen Vektoranalysis Kurven in der Ebene Kurven im Raum Flächen im Raum Skalar- und Vektorfelder Differentialoperatoren: Gradient, Divergenz, Rotation, Nabla Felddarstellungen in Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten530 > 18.5 Kurvenintegrale, Linienintegrale Oberflächenintegrale Integralsätze der Vektoranalysis Aufgaben Lösungen Anhang Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Finanzmathematik 565 F3 Formelsammlung F4 Formelsammlung