Flächenberechnungen mit Integralen. Aufgaben und Lösungen.

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Norbert Bieber
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1 Flächenberechnungen mit Integralen Aufgaben und Lösungen

2 2 Aufgabe 1: Gegeben sei die Funktion f = f = a) Berechnen Sie die Fläche, die die Kurve mit den Koordinatenachsen einschließt. b) Berechnen Sie die Fläche zwischen der Kurve und der -Achse und zwischen den Geraden = 1 und = 4. c) Berechnen Sie die Fläche zwischen der Kurve und der -Achse im Intervall 4; 5,5.

3 3 Lösung Aufgabe 1 a): Fläche, die die Kurve mit den Koordinatenachsen einschließt. f = Nullstellen mit pq-formel: = = 0 1,2 = 2 ± = 2 8; 2 = A 1 2

4 4 Fläche: A = d = = 28,418 0 = 28,418 LE 2 f = A 1 2

5 5 Lösung Aufgabe 1 b): Fläche zwischen Kurve, -Achse und den Geraden = 1 und = 4 A = d = f = A = ( ) 1 4 = = 21 LE2

6 6 Lösung Aufgabe 1 c): Fläche zwischen der Kurve und der -Achse im Intervall 4; 5,5. f = In diesem Fall liegt ein Flächenstück oberhalb und ein Flächenstück unterhalb der -Achse. Wir müssen daher die Flächen A 1 und A 2 getrennt berechnen und jeweils die Beträge nehmen, damit es beim Zusammenzählen nicht zu Auslöschungen kommt. A ,5 A 2

7 7 Lösung Aufgabe 1 c): Fläche zwischen der Kurve und der -Achse im Intervall 4; 5,5. Die Nullstelle 2 = ist bereits aus Teilaufgabe 1a) bekannt. f = A 1 = d = 1,75 5,5 A 2 = d = 1,38 A 1 2 A = A 1 + A 2 = 3,13 LE 2 4 5,5 (Ergebnis auf 2 Stellen gerundet). A 2

8 8 Aufgabe 2: Gegeben sei die Funktion f = f = a) Berechnen Sie die Fläche, die die Kurve mit der -Achse einschließt zwischen den Geraden = 2 und = 3. b) Berechnen Sie die Fläche zwischen der Kurve und der -Achse zwischen der ersten und der letzten Nullstelle. c) Berechnen Sie die Fläche zwischen der Kurve, der -Achse und zwischen den beiden Etrempunkten.

9 9 Lösung Aufgabe 2 a): Fläche zwischen = 2 und = 3: Bei = 3 hat f() einen Nullstelle. Zwischen = 2 und = 3 verläuft der Graph von f unterhalb der -Achse. Für die Flächenberechnung mit dem Integral müssen wir also den Betrag nehmen. A = d = = = 2,25 LE2 f = A

10 10 Lösung Aufgabe 2 b): Fläche zwischen erster und letzter Nullstelle Durch einfaches Raten findet man die Nullstellen bei 1 = 1, 2 = 1 und 3 = 3. Da zwischen 1 = 1 und 3 = 3 der Graph von f teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der -Achse verläuft, müssen wir die beiden Teilflächen einzeln berechnen und für das Flächenstück unterhalb der -Achse den Betrag nehmen. Somit gilt: A = A 1 + A 2 = 1 1 f d f d f = A A 2

11 11 1 A 1 = d 1 = = 7 9 = A 2 = d = A A 2 = = 4 Somit gilt: A = A 1 + A 2 = 8 LE 2

12 12 Lösung Aufgabe 2 c): Fläche zwischen den beiden Etrempunkten Wie vorher müssen zwei Teilflächen berechnet und anschließend die Beträge gebildet werden. Zuerst aber werden die -Koordinaten von H und T bestimmt: f = = 0 : = 0 pq-formel f = H A A 2 T 1,2 = 1 ± = 1 ± 2 3 also 1 0,15 bzw. 2 2,15

13 13 1 A 1 = 0,15 f d 1 f = H = ,15 = 1,75 0,46 = 2,21 2,15 A 2 = 1 f d = , = 0,46 1,75 = 2,21 1 A A 2 T Somit gilt: A = A 1 + A 2 = 4,42 LE 2 (Ergebnisse auf 2 Stellen gerundet!)

14 14 Aufgabe 3 Gegeben seien die Funktionen f = und g = 1 2. f a) Berechnen Sie die Fläche zwischen beiden Kurven im Intervall 1; 3. b) Berechnen Sie die Fläche zwischen beiden Kurven und zwischen den beiden Schnittpunkten. g

15 15 Lösung zu Aufgabe 3 a) Fläche zwischen beiden Kurven im Intervall 1; 3 Da im Intervall 1; 3 g() die obere und f die untere Kurve ist folgt: A = 1 3 g f d f = , g = 1 2 f 3 = d 2 = = = = 6 LE2 g A = 1 =3

16 16 Lösung zu Aufgabe 3 b) Fläche zwischen den Schnittpunkten der Kurven Schnittpunkte: = 1 2 f = , g = 1 2 f = 0 pq-formel 1,2 = 9 4 ± g 1 A 2 1 0,23 bzw. 2 4,27

17 17 Lösung zu Aufgabe 3 b) Fläche zwischen den Schnittpunkten der Kurven 4,27 A = 0,23 g f d f = , g = 1 2 f 4,27 = 0, d 2 4,27 = ,23 = 10,8 0,12 = 10,92 LE 2 g 1 A 2

18 18 Aufgabe 4: Gegeben sei die Funktion f = g H a) Die Nullstellen 1 und 2 und der Hochpunkt H von f() bilden ein Dreieck. Berechnen Sie die Fläche dieses Dreiecks. b) Wieviel Prozent beträgt diese Dreiecksfläche in Bezug auf die Fläche zwischen f() der -Achse und zwischen 1 und 2? c) Die Gerade g = 0,2 + 0,8 schneidet von f() bei H ein Käppchen ab. Wie groß ist die Fläche dieses Käppchens? f 1 2

19 19 Lösung zu Aufgabe 4 a) Fläche des Dreiecks 1 2 H Schritt 1: Nullstellen raten Man sieht, dass für 0 auch f > 0 ist, also müssen die Nullstellen negativ sein Wir prüfen z.b. = 1: f 1 = = 0 Wir prüfen weiter = 2 und = 3: f 2 = = 0 f 3 = = 0 Damit sind 1 = 3 und 2 = 2 die ersten beiden Nullstellen von f(). g f f = H 1 2

20 20 Lösung zu Aufgabe 4 a) Schritt 2: Hochpunkt bestimmen f = = 0 : = 0 pq-formel 1,2 = 2 ± = 2,58; 2 = 1,42 Mit f = und f 2,58 < 0 ist 1 = 2,58 die -Koordinate des Hochpunkts. Mit f( 1 ) = 0,38 folgt nun H( 2,58 0,38). f = H g 1 2 f

21 21 Lösung zu Aufgabe 4 a) Schritt 3: Fläche des Dreiecks A = h h ist die -Koordinate von H, also h = 0, = 2 3 = 1 f = H( 2,58 0,38) g h 1 2 Es folgt A = ,38 = 0,19 LE2 f

22 22 Lösung zu Aufgabe 4 b) Prozentanteil der Dreiecksfläche Schritt 1: Fläche zwischen 1 und 2 2 A = d = = 2 2,25 = 0,25 LE 2 g f = H A 1 2 f Schritt 2: Prozentanteil p = A A = 0,19 0,25 = 0,76, also p = 76%. Ergebnis: Das Dreieck bedeckt etwa 76% der Fläche zwischen den ersten beiden Nullstellen des Graphen von f().

23 23 Lösung zu Aufgabe 4 c) Fläche des Käppchens f = g = 0,2 + 0,8 Schritt 1: Schnittpunkte bestimmen = 0,2 + 0,8 Taschenrechner: 1 = 2,86; 2 = 2,38 g 1 2 Schritt 2: Fläche bestimmen f 2,38 A = 2,86 f g d = 0,034 LE 2 (z.b. mit GTR: fnint(y 1 -Y 2,X,-2.86,-2.38) nach vorheriger Eingabe von f und g im Y-Editor bei Y 1 bzw. Y 2 )

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