Grenzwerte und Stetigkeit

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1 KAPITEL 3 Grenzwerte und Stetigkeit 3.1 Grenzwerte Stetigkeit Lernziele 3 Grenzwerte ε-δ-definition des Grenzwerts, einseitige Grenzwerte, einfache Grenzwerte, Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten, Rechnen mit Unendlich, Verkettung von Grenzwerten, Vergleichskriterium. Stetigkeit, Stetigkeit von rechts bzw. links. 3.1 Grenzwerte Gegeben sei I R ein Intervall, a I {, } und f : I\{a} R. Die Funktion f kann sehr wohl auch an der Stelle = a erklärt sein, wir wollen aber nur wissen wie sich die Funktion in der Umgebung des Punktes = a verhält, deshalb genügt es alle a zu betrachten. 49

2 3 Grenzwerte und Stetigkeit Definition 3.1 (Grenzwert) Die Funktion f : I\{a} R hat in = a den Grenzwert c, wenn für alle ε > 0 ein δ = δ(ε) gibt, so dass für alle I\{a} mit a < δ gilt f () c < ε. Man schreibt dafür a f () = c. Bemerkung 3.2 Was bedeutet das? 1. Offensichtlich soll, wenn nur nahe genug an a ist, auch f () nahe an c sein. In Formeln bedeutet das: a < δ f () c < ε. 2. c kann aber nur dann Grenzwert sein, wenn f () beliebig nahe an c heran kommt, d.h. Für alle ε > 0 eisitert ein δ = δ(ε), so dass aus a < δ folgt f () c < ε. (Das ist eine äquivalente Definition des Grenzwerts.) 3. Dabei muss es nicht für = a gelten, da wir ja gerade den Grenzwert betrachten und damit das Verhalten an der konkreten Stelle nicht bekannt ist bzw. nicht von Interesse ist. Bemerkung 3.3 Wir schränken die Betrachtung auf das Intervall I ein, da die Funktion nur in einem kleinen Intervall um a (aber nicht in a) definiert sein muss. Bemerkung 3.4 Diese Definition gilt nicht nur für endliche Werte a und c, sondern auch für a, c {, } Man schreibt f () = c bzw. f () = c. Definition 3.5 (Grenzwerte mit Unendlich) Die Funktion f : (b, ) R hat für den Grenzwert c, wenn für alle ε > 0 ein K = K (ε) > 0 gibt, so dass für alle > K gilt f () c < ε. Analog: Die Funktion f : (, b) R hat für den Grenzwert c, wenn für alle ε > 0 ein L = L(ε) < 0 gibt, so dass für alle < L gilt f () c < ε. Die Funktion f : I\{a} R hat in = a den Grenzwert, wenn für alle K > 0 ein δ = δ(k ) > 0 gibt, so dass für alle I\{a} mit a < δ gilt f () > K. Analog: Die Funktion f : I\{a} R hat in = a den Grenzwert, wenn für alle L < 0 ein δ = δ(l) > 0 gibt, so dass für alle I\{a} mit a < δ gilt f () < L. 50

3 3.1 Grenzwerte Definition 3.6 (einseitige Grenzwerte) Die Funktion f : I\{a} R hat in = a den rechtsseitigen Grenzwert (bzw. linksseitigen Grenzwert) c, wenn für alle ε > 0 ein δ = δ(ε) gibt, so dass für alle > a (bzw. < a) mit a < δ gilt f () c < ε. Man schreibt dafür f () = c bzw. f () = c oder auch f () = c bzw. f () = c. a+ a a+0 a 0 Wie interpretiert man das? Beispiel 3.7 Weil 1, 96 = 1, 4 ist, raten wir, dass gilt = 1, 4. 1,96 Um dies nachzuweisen gehen wir zunächst so vor, dass wir 1, 4 durch 1, 96 abschätzen: 1, 4 = ( 1, 4)( + 1, 4) 1, 96 1, 96 =. + 1, 4 + 1, 4 1, 4 Hieraus schliessen wir, dass sich immer mehr und beliebig nahe an 1, 4 annähert, wenn sich immer mehr an 1, 96 annähert. In Formeln bedeutet das, dass für alle mit 1, 96 < δ = ε 1,4 die Funktionswerte 1, 96 < ε sind und das für jedes ε > 0. Beispiel 3.8 Wir betrachten die Funktion f () = 2 4 2, R\{2}. Die Funktion ist an der Stelle = 2 nicht definiert, da die Division durch Null nicht erklärt ist. Setzt man = 2 in die Funktion ein, so ergibt sich ein Ausdruck 0 0. Wegen 2 4 = ( +2)( 2) 51

4 3 Grenzwerte und Stetigkeit raten wir, dass der Grenzwert f () = 4 für 2 ist. Für 2 gilt = 2 4 4( 2) 2 = = ( 2) 2 2 = 2 alternativ könnte man sofort kürzen, d.h = ( 2)( + 2) 4 2 = = 2. Damit folgt aus 2 < δ < ε = δ. Damit haben wir nachgewiesen, dass = 4 ist. Beispiel 3.9 { Es sei f () = ( 1) 2, < 1, Der Grenzwert 1 f () eistiert nicht. Für eine Zahl c, 1. ungleich 1 bzw. 2 kann man immer δ-intervalle um 1 finden, so dass die mit 1 < δ Funktionswerte haben, die außerhalb von f () c < ε für hinreichend kleines ε > 0 liegen: Für c = 1 kann man analog immer δ-intervalle um 1 finden, so dass die > 1 mit mit 1 < δ Funktionswerte haben, die außerhalb von f () c < ε für hinreichend kleines ε > 0 liegen. Dies gilt analog für c = 2 und < 1. Deshalb eistiert der Grenzwert nicht. Man kann aber zeigen, dass die einseitigen Grenzwerte eistieren, es gilt f () = 1 und f () =

5 3.1 Grenzwerte Da der Nachweis über die Definition aufwendig ist, gibt es einige Regeln für die Grenzwertbestimmung, die man zur Vereinfachung verwenden kann Elementare Methoden der Grenzwertbestimmung Satz 3.10 Aus a f () = L und a g() = K für L, K R und damit endlich, folgt: 1. a (f () ± g()) = L ± K, 2. a (f () g()) = L K, insbesondere ist a αf () = α L für α R. f () 3. a g() = L, falls K 0. K Diese Regeln gelten auch für a = ± aber nur für endliche Grenzwerte L und K. Folgerung 3.11 Falls der Grenzwert eistiert und endlich ist, ist der eindeutig bestimmt. Nachweis: Sei c 1 = a f () und c 2 = a f (). Nach Regel 1. folgt c 1 c 2 = a f () a f () = a (f () f ()) = a 0 = 0 c 1 = c 2. Beispiel Es gilt 2 2 = ( 2) = 0 4 = 0, da alle Teilgrenzwerte endlich sind und nicht durch Null dividiert wird. Beispiel 3.13 Wir betrachten den Grenzwert Sowohl der Grenzwert des Zählers als auch der Grenzwert des Nenners eistieren, sind aber beide Null. Wir können den Quotienten nicht bilden. Aber unsere Rechnung zeigt, dass = 3 Nullstelle des Zählers und des Nenners ist, deshalb klammern wir in Zähler und Nenner 3 aus und erhalten: ( 3)( 2 + 9) 3 2 = 9 3 ( 3)( + 3) = = 18 6 = 3. Nun können aber auch Grenzwerte ± auftreten. Um diese Ausrechnen zu können, benutzen wir die folgenden Regeln: 53

6 3 Grenzwerte und Stetigkeit Lemma 3.1 (Rechnen mit Unendlich) Für jede reelle Zahl c R gilt + c = + + c =, c = + c = und c ± = 0. Für jede reelle Zahl c > 0 gilt c =, c ( ) = und ( c) ( ) =. + = und =. =, ( ) = und ( ) ( ) =. Dagegen sind 0 0,,, 0, 00, 0 und 1 unbestimmte Ausdrücke, d.h. der Grenzwert kann eistieren und endlich sein, kann unendlich sein oder eistiert überhaupt nicht. Beispiel Es gilt 0 = = 0, 0 Da, wie man leicht einsieht, gilt 0 2 = = aber 0 0+ = ist. eistiert nicht! Bemerkung 3.15 Grundtechniken zur Bestimmung von Grenzwerten sind 1. Ausklammern und Kürzen, 2. Erweitern mit der 3. binomischen Formel, 3. Anwendung der Rechenregeln, 4. Stetigkeitsargument (Ist die Funktion f () in a stetig, dann gilt a f () = f (a), siehe Stetigkeit von Funktionen.) Beispiel ( + 1 1)( ) = 0 ( = ) 0 ( ) = 1 = Achtung: Wir haben hier bereits die Stetigkeit der Wurzelfunktion benutzt indem wir den Grenzwert + 1 = 1 0 verwenden. 54

7 3.1 Grenzwerte Beispiel 3.17 Für 0 gilt cos 1 = (cos 1)(cos + 1) (cos + 1) = cos2 1 (cos + 1) = sin2 (cos + 1) = sin 1. cos + 1 sin Für 0 strebt auf der rechten Seite der erste Faktor gegen 1 (siehe Beispiel 3.19), der zweite gegen 1 und der dritte gegen 0. Also gilt 2 cos 1 = 0. 0 Satz 3.18 (Vergleichskriterium.) Wenn g() f () h() für alle in der Nähe von a gilt (bzw. für alle hinreichend großen ) und g() c und h() c für a (bzw. ) gilt, dann ist f () = c (bzw. f () = c). a Beweisidee: Da g() und h() für a gegen c streben, gibt es zu jedem ε > 0 reelle Zahlen δ 1 > 0 und δ 2 > mit g() c < ε ε + c < g() < c + ε für a < δ 1 und h() c < ε ε + c < h() < c + ε für a < δ 2, folglich gilt für δ = min(δ 1, δ 2 ) : a < δ ε + c < g() f () h() < c + ε f () c < ε # Beispiel 3.19 Der Ausdruck sin Skizze sin 0 = 1. ist ein sogenannter unbestimmter Ausdruck vom Typ 0. Aus der folgenden 0 55

8 3 Grenzwerte und Stetigkeit tan sin cos 1 liest man die folgende Abschätzung ab ( > 0): sin tan Damit ist für > 0 Hieraus folgt und damit 0 sin sin 1 und 1 sin cos sin 1 = 1. Analog kann man für < 0 aus 1 cos. sin tan auf die gewünschte Ungleichung schließen. Wegen cos 1 für 0 ergibt sich die Behauptung. Satz 3.20 (Grenzwert einer verketteten Funktion.) Seien f und g Funktionen mit g() = L und f () = f (L), a L dann gilt ( ) f (g()) = f g() = f (L). a a Beispiel 3.21 sin(4) = 4 sin(4) sin(4) = 4, da = Für welche Funktionen gilt L f () = f (L)? 56

9 3.2 Stetigkeit 3.2 Stetigkeit Was bedeutet unstetig? Wenn man den Graphen der Funktion nicht als durchgezogene Linie zeichnen kann. Was heißt das mathematisch? Dazu betrachten wir die Unstetigkeiten: Sprungstelle Polstellen Fehlstelle Sei I R ein Intervall. Definition 3.22 Man nennt eine Funktion f : I R in 0 I stetig, wenn bei der Annäherung 0 die Funktionswerte für f () gegen f ( 0 ) streben. Also d.h. f ist in 0 stetig 0 f () = f ( 0 ), der rechts- und linksseitige Grenzwert eistieren (folglich ist 0 keine Polstelle), und sind gleich (folglich ist 0 keine Sprungstelle), und sind gleich dem Funktionswert (folglich ist 0 keine Fehlstelle). Ist 0 ein Randpunkt von I, so ist 0 nur als einseitige Annäherung ( < 0 bzw. > 0 ) zu verstehen. Anschaulich bedeutet es, dass der Graph y = f () über I als eine zusammenhängende Linie (ohne Lücken, Sprünge oder Polstellen) dargestellt werden kann. Hat eine in 0 I zunächst noch nicht definierte Funktion f dort einen Grenzwert f () = c, 0 57

10 3 Grenzwerte und Stetigkeit dann kann diese Definitionslücke durch die Festsetzung f ( 0 ) = c geschlossen werden und die so definierte Funktion ist in = 0 stetig. Satz 3.23 (Stetigkeit) Eine Funktion f : I R in 0 I stetig, wenn für alle ε > 0 ein δ = δ(ε, 0 ) eistiert, so dass für alle I mit 0 < δ gilt f () f ( 0 ) < ε. Oder kurz ε > 0 δ > 0 : I : 0 < δ f () f ( 0 ) < ε. Satz 3.24 (Stetigkeit) 1. Sind f und g im Punkt b stetig, so gilt das auch für f + g, αf (α R) und fg. Ferner ist f stetig in b, wenn g(b) 0 ist. g 2. Ist f stetig in b und gilt a g() = b, dann ist oder anders ausgedrückt, f (g()) = f (b), a ( ) f (g()) = f g() = f (b). a a 3. Ist g stetig in a und f stetig mit g(a), dann ist auch die Verkettung (Komposition) h mit h() = f (g()) stetig in a.. Definition 3.25 Eine Funktion f : I R, heißt stetig auf dem Intervall I, wenn f in jedem Punkt I stetig ist. Beispiel 3.26 Die Funktion f () = 1 nicht stetig. ist stetig in allen 0. Für = 0 ist sie nicht definiert und damit auch Beispiel 3.27 Die Funktion f () = sin ist für alle 0 definiert und stetig. In = 0 ist sie nicht definiert, sin es eisitert aber der Grenzwert 0 = 1 (siehe Beispiel 3.19). Damit kann eine auf R 58

11 3.2 Stetigkeit stetige Funktion f () wie folgt definiert werden: { sin f () =, 0, 1, = 0. Die Lücke bei = 0 kann also zu definiert werden. Beispiel 3.28 Ebenso ist die Funktion für alle 0 definert und stetig. Es gilt g() = ( )( = ) 2 = ( ) 0 2 ( ) = 1 2 und damit ist die Funktion auf R stetig. g() = { , 0, 1 2, = 0 Beispiel 3.29 Die Treppenfunktion ist unstetig. f () = 0, 0 < 5000, 15, 5000 < 20000, 30, < , 50, Beispiel 3.30 Auch die verschachtelte Funktion f () = sin 4 + sin 2 + cos 2 (3 + 4) 2 ist für 0 stetig, wobei sie für = 0 entsprechend zu definiert werden muss sin 4 + sin( 2 ) sin 4 + sin( 2 ) = cos 2 (3 + 4) 2 + cos 2 (3 + 4). 59

12 3 Grenzwerte und Stetigkeit Satz 3.31 Für jede auf dem abgeschlossenen Intervall a b stetige Funktion f gilt: 1. Schrankensatz. Es gibt eine Schranke (positive reelle Zahl) K mit f () K für alle [a, b]. Man sagt, die stetige Funktion f () ist auf dem abgeschlossenen Intervall beschränkt. 2. Minimum und Maimum. Es gibt stets Werte 0 und 1 in [a, b], so dass f ( 0 ) f () f ( 1 ) für alle [a, b] gilt. Man sagt, dass die auf dem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion f () ihr Minimum und Maimum annimmt. 3. Zwischenwertsatz. Zu jeder Zahl c, die zwischen dem Minimum f ( 0 ) und dem Maimum f ( 1 ) der stetigen Funktion f () liegt, d.h. f ( 0 ) c f ( 1 ), gibt es wenigstens ein [a, b] mit f ( ) = c. 4. Gleichmäßige Stetigkeit. Zu jeder beliebig kleinen Zahl ɛ > 0 gibt es eine nur von ɛ und nicht von 0 abhängige Zahl δ = δ(ɛ) > 0, so dass für alle, 0 [a, b] gilt: 0 δ f () f ( 0 ) < ɛ. Eine einfache Folgerung ist der Satz 3.32 (Nullstellensatz.) 1. Ist f : [a, b] R stetig und haben f (a) und f (b) entgegengesetzte Vorzeichen (f (a)f (b) < 0), dann gibt es wenigstens eine Nullstelle im Innern von [a, b], also a < < b mit f ( ) = Jedes Polynom ungeraden Grades ( 1) hat in R wenigstens eine Nullstelle. 60