Wirtschaftsingenieurwesen Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WI-WMT-P Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum

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1 Studiegag ach Art der Leistug Klausur-Kz. Wirtschaftsigeieurwese Wirtschaftsmathematik Prüfugsleistug WI-WMT-P 5 Datum..5 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführede zur Verfügug gestellte Papier, ud gebe Sie sämtliches Papier (Lösuge, Schmierzettel ud icht gebrauchte Böge) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführede ab. Eie icht vollstädig abgegebee Klausur gilt als icht bestade. Beschrifte Sie jede Boge mit Ihrem Name ud Ihrer Immatrikulatiosummer. Lasse Sie bitte auf jeder Seite / ihrer Breite als Rad für Korrekture frei, ud ummeriere Sie die Seite fortlaufed. Notiere Sie bei jeder Ihrer Atworte, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht. Die Lösuge ud Lösugswege sid i eier für de Korrektate zweifelsfrei lesbare Schrift abzufasse. Korrekture ud Streichuge sid eideutig vorzuehme. Uleserliches wird icht bewertet. Bei ummerisch zu lösede Aufgabe ist außer der Lösug stets der Lösugsweg azugebe, aus dem eideutig hervorzugehe hat, wie die Lösug zustade gekomme ist. Zur Prüfug sid bis auf Schreib- ud Zeicheutesilie ausschließlich die achstehed geate Hilfsmittel zugelasse. Werde adere als die hier agegebee Hilfsmittel verwedet oder Täuschugsversuche festgestellt, gilt die Prüfug als icht bestade ud wird mit der Note 5 bewertet. Hilfsmittel : Bearbeitugszeit: Miute ormelsammlug Wirtschaftsmathematik Azahl Aufgabe: 6 HH-Tascherecher Höchstpuktzahl: Vorläufiges Bewertugsschema: Viel Erfolg! Puktzahl vo bis eischl. Note 95, sehr gut 9 94,5, sehr gut 85 89,5,7 gut 8 84,5, gut 75 79,5, gut 7 74,5,7 befriediged 65 69,5, befriediged 6 64,5, befriediged 55 59,5,7 ausreiched 5 54,5 4, ausreiched 49,5 5, icht ausreiched Klausuraufgabe, Prüfugsleistug /5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsigeieurwese WI-WMT-P 5

2 Klausuraufgabe, Prüfugsleistug /5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsigeieurwese Bitte beachte Sie: Die Aufgabe ud sid ur vo de Studierede des Studiegages Wirtschaftsigeieurwese zu bearbeite. Studierede des Soderstudiegages Techik für Absolvete wirtschaftswisseschaftlicher achrichtuge bearbeite bitte astelle dieser Aufgabe die Aufgabe W ud W am Ede der Aufgabeblätter. Aufgabe ur für Studiegag Wirtschaftsig.-wese isg. Pukte Ei Lottogewi vo., wird 8 Jahre lag mit p 4 % p.a. agelegt (Verzisug mit Ziseszis.). Der Gewier möchte ach Ablauf der 8 Jahre jeweils Jahre lag de gleiche Betrag abhebe, so dass ach der letzte Abhebug das Kapital aufgebraucht ist (gleichbleibede Verzisug mit p 4 % p.a. wird vorausgesetzt).. Wie hoch ist die jährliche vorschüssige Rete? Pkte. Wie hoch ka die Rete bei moatlicher (vorschüssiger) Etahme sei? Pkte Hiweis: Bereche Sie zur Lösug der Aufgabe. i eiem erstem Schritt die achschüssige Jahresersatzrate. Aufgabe ur für Studiegag Wirtschaftsig.-wese isg. 6 Pukte Ei Vater will seie Soh beim Bau eies Eigeheimes uterstütze, idem er ihm aus seier private Altersvorsorge 85., bereitstellt. Er vereibart mit dem Soh eie Rückzahlug der Summe i 4 Jahre durch gleich große jährliche Tilgugsrate. Damit sei Kapital sich icht etwertet, verlagt er außerdem, % Zise jährlich (mittlere Teuerugsrate). Stelle Sie de Tilgugspla für diese Ratetilgug gemäß achsteheder Vorlage auf. Jahr j Restschuld S j (zu Begi des Jahres) Zise Z j Tilgug T j Auität A j WI-WMT-P 5 Seite /

3 Klausuraufgabe, Prüfugsleistug /5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsigeieurwese Aufgabe isg. 7 Pukte Gegebe sei die Matri 5 A.. Bestimme Sie die iverse Matri A vo A. Pkte. Zeige Sie durch eie geeigete Rechug, dass Ihre Lösug aus Teilaufgabe. richtig ist. 5 Pkte Aufgabe 4 isg. 5 Pukte Zwei Kräfte kn ud 85 kn schließe eie Wikel β 6 ei (siehe Skizze). Bereche Sie die Resultierede dieser Kräfte ud die Wikel α ud γ, die mit de beide adere Kräfte eischließt (siehe Skizze). γ β α Aufgabe 5 isg. Pukte Die Breweite f eier Lise wird gemesse, idem ma Lisestelluge ermittelt, die ei scharfes Bild eies Objektes auf eier Leiwad liefer. Ist d der Abstad der beide Lisestelluge ud e der Abstad Objekt Leiwad, so ka ma die Breweite mit folgeder ormel ermittel: d f f ( e, d) ( e ). 4 e Im Rahme eier Messreihe werde für die Messgröße e ud d folgede Messergebisse (Mittelwerte) ermittelt: e 6, cm d 45,cm. Die Messusicherheite werde agegebe mit u ( e), cm ud u ( d),5 cm. Bereche Sie die kombiierte Stadardusicherheit ) ( f u mit Hilfe des quadratische ehlerfortpflazugsgesetzes. Gebe Sie das Ergebis mit Nachkommastelle a. WI-WMT-P 5 Seite /

4 Klausuraufgabe, Prüfugsleistug /5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsigeieurwese Aufgabe 6 isg. Pukte Bestimme Sie alle Lösuge der Differetialgleichug y + y + y e + si. Hiweis: Bitte verwede Sie zur Bestimmug der partikuläre Lösug yp Ae + B si + C cos. y p der ihomogee Dgl de Asatz Bitte beachte Sie: Die Aufgabe W ud W sid ausschließlich ur vo de Studierede des Soderstudiegages Techik für Absolvete wirtschaftswisseschaftlicher achrichtuge zu bearbeite. Aufgabe W ur für Soderstudiegag Techik isg. Pukte Bestimme Sie die Gleichug der Wedetagete der uktio y e. Hiweis: Uter eier Wedetagete versteht ma eie Gerade, die durch de Wedepukt eier uktio geht ud im Wedepukt deselbe Astieg wie die uktio im Wedepukt hat. Aufgabe W ur für Soderstudiegag Techik isg. 6 Pukte Bestimme Sie das Itegral d. Hiweis: Verwede Sie zur Lösug die Substitutio z. WI-WMT-P 5 Seite /

5 Korrekturrichtliie zur Prüfugsleistug Wirtschaftsmathematik am..5 Wirtschaftsigeieurwese WI-WMT-P 5 ür die Bewertug ud Abgabe der Prüfugsleistug sid folgede Hiweise verbidlich: Die Vergabe der Pukte ehme Sie bitte so vor, wie i der Korrekturrichtliie ausgewiese. Eie summarische Agabe vo Pukte für Aufgabe, die i der Korrekturrichtliie detailliert bewertet worde sid, ist icht gestattet. Nur da, we die Pukte für eie Aufgabe icht differeziert vorgegebe sid, ist ihre Aufschlüsselug auf die eizele Lösugsschritte Ihe überlasse. Stoße Sie bei Ihrer Korrektur auf eie adere richtige als de i der Korrekturrichtliie agegebee Lösugsweg, da ehme Sie bitte die Verteilug der Pukte sigemäß zur Korrekturrichtliie vor. Rechefehler sollte grudsätzlich ur zur Abwertug des betreffede Teilschrittes führe. Wurde mit eiem falsche Zwischeergebis richtig weitergerechet, so erteile Sie die hierfür vorgesehee Pukte ohe weitere Abzug. Ihre Korrekturhiweise ud Puktbewertug ehme Sie bitte i eier zweifelsfrei lesbare Schrift vor. Die vo Ihe vergebee Pukte ud die daraus sich gemäß dem achstehede Noteschema ergebede Bewertug trage Sie i de Klausur-Matelboge sowie i das ormular Klausurergebis (Ergebisliste) ei. Gemäß der Diplomprüfugsordug ist Ihrer Bewertug folgedes Bewertugsschema zugrude zu lege: Puktzahl Note vo bis eischl. 95, sehr gut 9 94,5, sehr gut 85 89,5,7 gut 8 84,5, gut 75 79,5, gut 7 74,5,7 befriediged 65 69,5, befriediged 6 64,5, befriediged 55 59,5,7 ausreiched 5 54,5 4, ausreiched 49,5 5, icht ausreiched Die korrigierte Arbeite reiche Sie bitte spätestes bis zum. Dezember 5 i Ihrem Studiezetrum ei. Dies muss persölich oder per Eischreibe erfolge. Der agegebee Termi ist ubedigt eizuhalte. Sollte sich aus vorher icht absehbare Grüde eie Termiüberschreitug abzeiche, so bitte wir Sie, dies uverzüglich dem Prüfugsamt der Hochschule azuzeige (4/594- bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de). Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug /5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsigeieurwese WI-WMT-P 5

6 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug /5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsigeieurwese Lösug vgl. SB, Kap.. /.4 ud SB, Kap.. isg. Pukte. Kapital ach 8 Jahre (ormelsammlug 8.) K K q ( Pkt) Mit K.,, 8 ud q, 4 () folgt ( Pkt) 8 8 K.,4 7.7,8. ( Pkte) Alterative : Awedug der Sparkasseformel für de Kapitalverzehr (ormelsammlug 9.) Bei vollstädigem Kapitalverzehr gilt q K q r q. ( Pkte) q Umstelle ach der Rate r liefert q r q Kq q Kq r q ( q ). ( Pkte) Mit K 7.7, 8, ud q, 4 ergibt sich 7.7,8,4,4 r 8.4,7. ( Pkte),4 Alterative : Reterate bei bekatem Retebarwert (ormelsammlug 9.): R q ( q ) r q ( Pkte) Mit R 7.7, 8 (), ud q, 4 () ergibt sich ( Pkte) 7.7,8,4,4 r 8.4,7 ( Pkte),4 Jährlich ka vorschüssig über eie Zeitraum vo Jahre eie Rete vo 8.4,7 gezahlt werde.. Ma muss zuächst die achschüssige Jahresersatzrate re bereche ud aschließed auf de Moat umreche. achschüssige Jahresersatzrate (ormelsammlug 9.) bei bekatem Retebarwert: R q ( q ) re q ( Pkt) WI-WMT-P 5 Seite /8

7 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug /5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsigeieurwese Mit R 7.7, 8 (), ud q, 4 ergibt sich ( Pkt) 7.7,8,4 (,4 ) 7.58,99 r E 9.64,9,4,6 ( Pkte) Moatliche vorschüssige Rete (ormelsammlug 9.4): r r E m + i ( m + ) ( Pkt) Mit r E 9.64, 9 (), m () (Moate) ud i, 4 () ergibt sich ( Pkte) 9.64,9 589,8 r.78,87 +,4 4,5 ( Pkte) Moatlich ka vorschüssig über eie Zeitraum vo Jahre eie Rete vo.78,87 etomme werde. Lösug vgl. SB, Kap.. isg. 6 Pukte ür die Ratetilgug ergebe sich folgede Werte (ormelsammlug.) Laufzeit 4 (,5 Pkte) Schuldsumme S 85., (,5 Pkte) Zissatz p, % (,5 Pkte) Zisrate i p, (,5 Pkte) S 85. Tilgugsrate T T j 46.5, ( Pkte) 4 ür die Berechug der Werte im Tilgugspla fide folgede ormel Awedug: Restschuld ach Zahlug der j-te Auität Zise der j-te Periode Z [ S j T ] i S i S j S j T, mit j, K, 4 j ( ) j, mit j, K, 4 Auität der j-te Periode A j T + Z j, mit j, K, 4 Mit de Ausgagswerte ud ormel ergibt sich der folgede Tilgugspla (i Euro): Jahr j Restschuld S j (zu Begi des Jahres) Zise Z j Tilgug T j Auität A j 85., (,5) 4.55, () 46.5, (,5) 5.55, () ( Pkte) 8.75, (,5).9,5 () 46.5, (,5) 49.44,5 () ( Pkte) 9.5, (,5).7,5 () 46.5, (,5) 48.77,5 () ( Pkte) , (,5).6,75 () 46.5, (,5) 47.,75 () ( Pkte) WI-WMT-P 5 Seite /8

8 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug /5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsigeieurwese WI-WMT-P 5 Seite /8 Lösug vgl. SB 6, Kap..4 isg. 7 Pukte. Bilde der erweiterte Matri ( ) 5, E A. ( Pkt) Mittels elemetarer Zeileoperatioe ist die like Hälfte vo (A, E) i eie Eiheitsmatri zu überführe: II III II I 5 (4 Pkte) III II III I (4 Pkte) ) : ( : 4 ( Pkte),5,5 Hiweis: Bei der Überführug sid auch adere Schritte dekbar, Die Pukte sid da sigemäß zu verteile. Die iverse Matri ist damit,5,5 A. ( Pkt). Überprüfug durch Matrimultiplikatio, ob E A A oder E A A - gilt. Awedug des Schema vo ALK: 5,5,5 (5 Pkte) Hiweis: Die Pukte sid auch zu vergebe, we die Iverse fehlerhaft berechet, aber das Matriprodukt korrekt berechet wurde.

9 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug /5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsigeieurwese Lösug 4 vgl. SB 8, Kap..8. isg. 5 Pukte Berechug vo gemäß Kosiussatz (ormelsammlug 6.9): + cos β cos (.484) 567,77 ( Pkte) ( Pkte) 567,77 74,84 kn ( Pkt) Berechug vo α ud γ gemäß Siussatz (ormelsammlug 6.9): si α siα si β si β ( Pkte) 85 si α si6,469 74,84 α arcsi,469 5, 9 si γ si γ si β si β si γ si6,669 74,84 γ arcsi,669 8, Probe: Nach der Wikelsumme im Dreieck muss α + β + γ 8 sei. Eisetze der Werte liefert 5, , 8 ( Pkt) ( Pkt) ( Pkte) ( Pkt) ( Pkt) Lösug 5 vgl. SB 9, Kap.. isg. Pukte Quadratisches ehlerfortpflazugsgesetz (ormelsammlug.): u( f ) f f u ( e) + u ( d) e d ( Pkte) d Bestimmug der partielle Ableituge vo f f ( e, d) ( e ) : 4 e f e 4 d + e ( Pkte) f d d d 4 e e ( Pkte) WI-WMT-P 5 Seite 4/8

10 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug /5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsigeieurwese Eisetze der Messergebisse liefert f 45, +,876 e 4 6, f 45,,9 d 6, Mit u ( e), cm ud u ( d),5 cm ergibt sich ( Pkte) ( Pkte) f f u( f ) u ( e) + u ( d) e d,876, + (,9),5,95,96 cm ( Pkte) Lösug 6 SB 8, Kap..4. isg. Pukte Bei der gegebee Dgl hadelt es sich um eie ihomogee Dgl. Ordug mit kostate Koeffiziete (Lösug gemäß ormelsammlug.).. Schritt: Lösug der homogee Differetialgleichug k Asatz y e mit k R führt zur charakteristische Gleichug k + k +. Nullstelle der charakteristische Gleichug ( Pkte) 9 k, ± ± 4 k, k ( Pkte) Damit ergibt sich die Lösug der homogee Dgl zu yh Ce + Ce, wobei C,C R. ( Pkt). Schritt: Bestimmug eier spezielle Lösug y p der ihomogee Dgl Störfuktio h( ) e + si ist Summe aus Epoetial- ud Siusfuktio, damit muss der Lösugsasatz für y p auch Summe der zu wählede Asätze für Epoetial- ud Siusfuktio sei (vgl. letzter Hiweis zu Tabelle der Lösugsasätze, ormelsammlug.) Asatz: yp Ae + B si + C cos y Ae p y Ae p + B cos C si B si C cos ( Pkte) ( Pkte) WI-WMT-P 5 Seite 5/8

11 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug /5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsigeieurwese Eisetze i Dgl ergibt: Ae B si C cos + ( Ae + B cos C si ) + ( Ae + B si + C cos ) e + si. ( Pkte) Zusammefasse liefert 6 Ae + ( B C)si + (B + C) cos e + si. ( Pkte) Koeffizietevergleich: 6 A B C B + C Lösug des Gleichugssystems A 6 C B B + 9B Die spezielle Lösug B ud y p der ihomogee Dgl lautet C ( Pkte) ( Pkt) ( Pkte) y e + si cos. 6 Die Lösug der i der Aufgabestellug gegebee Dgl ist damit: y Ce + Ce + e + si 6 ( Pkt) cos, wobei C,C R. ( Pkt) WI-WMT-P 5 Seite 6/8

12 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug /5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsigeieurwese Lösug W SB 5, Kap. / Kap.. isg. Pukte y e Bestimmug der erste drei Ableituge (Awedug der Produktregel) y e + e ( + ) e y e + ( + ) e ( + ) e y e + ( + ) e ( + ) e Bestimmug des Wedepuktes W (ormelsammlug 9.): zweite Ableitug gleich Null setze (otwedige Bedigug) ergibt y ( + ) e ( Pkte) ( Pkte) ( Pkte) ( Pkt) Da e für alle, muss + sei, also. ( Pkte) Überprüfug der dritte Ableitug (hireichede Bedigug): ( ) ( + ) y e ( Pkt) Also liegt bei ei Wedepukt vor. ( Pkt) Bestimmug des uktioswertes im Wedepukt: y( ) e e Bestimmug der Steigug (Wert der. Ableitug) der uktio im Wedepukt: y ( ) ( + ) e e Geradegleichug der Wedetagete (gleicher Astieg wie uktio im Wedepukt): y m + b + b e Eisetze des Wedepuktes liefert de Wert für b: ( Pkte) ( Pkte) ( Pkte) ( ) + b ( Pkt) e e 4 b e Die Geradegleichug der Wedetagete lautet damit: 4 y e e ( Pkt) ( Pkt) WI-WMT-P 5 Seite 7/8

13 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug /5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsigeieurwese Lösug W SB 7, Kap..4 isg. 6 Pukte Awedug der Itegratio durch Substitutio Setze z, also ( z + ) d z Da ist, also d dz d 8 d ( z + ) ( z z + z + ) z ( z z z + z 5 dz dz ) dz + z + z ( ) + ( ) + ( ) + C ( Pkte) ( Pkte) ( Pkte) ( Pkte) ( Pkte) ( Pkte) ( Pkte) WI-WMT-P 5 Seite 8/8