Die Fourier-Transformation und ihre Anwendungen Teil 3.

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1 echnik > Die Fourier-ransformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 57 9/4 Die Fourier-ransformaion und ihre Anwendungen eil 3. Mi diesem Beirag wird die Reihe zur Fourier-ransformaion forgesez, die in Hef Nr. 4/ der Unerrichsbläer begonnen wurde. Auf den zweien eil der Reihe wird in diesem Beirag des Öferen Bezug genommen, er erschien in Hef Nr. 5/3 der Unerrichsbläer. Im Mielpunk dieses drien eils sehen die hemen Frequenzverschiebung, Modulaion sowie Differeniaion und Inegraion mi ihren Anwendungen. Zudem wird das analyische Signal beschrieben, das in der digialen Signalverarbeiung für die Basisband-Darsellung von Bandpass- und iefpass-signalen angewende wird. Der Auor Prof. Dr.-Ing. Diemar Rudolph is am Insiu für Bildung und Hochschulkooperaion der elekom raining beschäfig und lehr an der echnischen FH Berlin. Sein spezielles Arbeisgebie is die digiale Funkkommunikaion. Grundlegendes Die Fourier-ransformaion is eine Funkional-ransformaion, die eine Funkion in ihre Sinus- und Kosinus-Besandeile (Basisfunkionen) mi verschiedenen Frequenzen zerleg. Dies bedeue, es is eine Mehode zur Zerlegung eines Signals in seine einzelnen Frequenzen und die anschließende Rekonsrukion aus dem Frequenzspekrum. Sie is nach dem französischen Mahemaiker Jean Bapise Joseph Baron de Fourier (768 83) benann und heue eines der wichigsen mahemaischen Werkzeuge. Sie ha in vielen wissenschaflichen (Mahemaik, Physik und ingenieurwissenschaflichen Anwendungen) und indusriellen Anwendungsbereichen Einzug gehalen. Die Fourieranalyse bilde die Grundlage vieler bekanner Verfahren zur Kompression, Merkmalsexrakion und Musererkennung. 5

2 WissenHeue Jg. 57 9/4 Das hema im Überblick In diesem eil werden der Modulaionssaz und die Differeniaions- und Inegraionssäze beschrieben. Die Modulaion wird als Verschiebung der Spekraldiche der zu modulierenden Zeifunkion aufgefass, was zum analyischen Signal führ. Mi dessen Hilfe kann eine digiale Modulaion im Basisband als I-/Q-Signal erzeug werden. Die nmodulaion und die Doppelseienband-Modulaion werden ebenfalls berache. Als Beispiele dazu werden verrundee Daensymbole und deren Spekraldichen berechne. Bei der Differeniaion beseh ein Zusammenhang mi der Wechselsromrechnung, wodurch eine einfache Mehode gezeig wird, um auf die Differenialgleichung eines Sysems zu kommen. Es wird ein Weg gezeig, wie miels des Differeniaionssazes neue Fourier- Korrespondenzen gewonnen werden können. Die Sprung- und die Signumfunkion und deren Zusammenhänge mi der Dela-Funkion werden ebenfalls berache. Frequenzverschiebung Nach dem Verauschungssaz (Hef 5/3, S. 77) gib es zum Zeiverschiebungssaz (Hef 5/3, S. 8) einen ensprechenden Frequenzverschiebungssaz. Die Umkehrbeziehung des Verauschungssazes bring eine Vereinfachung bei der Ermilung von Fourier-Korrespondenzen. Dadurch lassen sich viele kompliziere Herleiungen vermeiden. Der Frequenzverschiebungssaz besag: Die Frequenzverschiebung der Fourier-ransformieren ensprich einer Muliplikaion der zugehörigen Zeifunkion mi einer Exponenial-Funkion. Eine Anwendung davon is die Modulaion. Mi Beachung des Minuszeichens im Verauschungssaz folg: f A = f e +j! C F(! C ) = F A ( ) Das! C is hierbei die Frequenz eines Hochfrequenz-rägers (räger-frequenz = Carrier Frequency). Das Spekrum is also um! C zu posiiven Frequenzen hin verschoben. Der Beweis: % % f e +j! C e j d = f e j(! C ) d = % % F(! C ) Frequenzen Spekralaneile aufweis, wird als analyisches Signal bezeichne. Das folgende Beispiel veranschaulich das Problem: Die Zeifunkion f in Gleichung 3 sei nach der Gleichung. aus Hef 5/3, S. 8 und Bild aus Hef 5/3, S. 78 gewähl: f = C sin( C) C ( ) =F( ) (3) # C Diese Korrespondenz is in Bild 37 dargesell. Zu dem analyischen Signal f A Bild Beispiel c # Zeifunkion sin(x)/x c /# = c # sin( c ) ( c ) $ c c /#sin( c )/( c ) #/ c #/ c N =#/ c / N Zei gehör nach Gleichung ein um! C nach rechs verschobenes Spekrum F A ( ). Wie zu erkennen is, ha das Spekrum F A ( ) keine Symmerie mehr zur -Achse. Das Spekrum F A ( ) kann daher in einen geraden Aneil F A ( ) und einen ungeraden Aneil e ( ) aufgespalen werden (Bild 38): F A o F A ( ) = F ( ) + F A ( ) (4) e Ao Zu einem reell geraden Spekrum gehör eine reell gerade Zeifunkion und zu einem reell ungeraden Spekrum gehör eine imaginär ungerade Zeifunkion (Hef 5/3, S. 76). Nach der Gleichung is das zum einen der sin(x)/x, muliplizier mi cos(! C ); dies ergib eine reell gerade Zeifunkion. Und zum anderen is dies der sin(x)/x, muliplizier mi jsin(! C ); dies ergib eine imaginär ungerade Zeifunkion. Spekraldiche Leonhard Euler: Schweizerischer Mahemaiker (77 783); arbeiee auf fas allen Gebieen der Mahemaik. Besonders seze er sich mi der Infiniesimalrechnung auseinander. Daneben beschäfige er sich mi Fragen der Mechanik, echnik, Opik und Asronomie. Euler sche Formel: Die mahemaische Formel, die die Beziehung zwischen der Exponenialfunkion mi einem imaginären Exponenen und der Sinus- und Kosinusfunkion darsell: e ix = cos x + i sin x c Spekraldiche sin(x)/x $ c c / c Is die Zeifunkion f reell, wird f e +j! C komplexwerig. Mi Hilfe der Euler schen Formeln wird daraus: f A = f e +j! C = f cos! C + jf sin! C Analyisches Signal: Nur posiive Frequenzen Das komplexwerige Signal der Zeifunkion f A aus Gleichung, das nur bei posiiven Bild 38 Aufspalung des Spekrums eines analyischen Signals in seinen geraden und ungeraden Aneil F A F A e F A!c!c!c!c!c 53

3 echnik > Die Fourier-ransformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 57 9/4 Modulaionssaz Wird die Spekraldiche um! C nach rechs und nach links verschoben, lassen sich die Exponenialerme (nach Euler) in der Zeifunkion zusammenfassen. Es ergib sich der wichige Modulaionssaz, bei dem die Zeifunkionen immer reell sind: f cos(! C ) F (! C )+F( +! C ) =FA e ( ) (5) f sin(! C ) F (! C ) F( +! C ) = jfao ( ) j f cos(! C + ) F (! C ) e +j + F ( +! C ) e j (6) Bild 39 u N NF DSB HF Blockschalbild eines Doppelseienband-Modulaors (Muliplizierer) und symbolische Spekraldichen für die Signale HF räger u DSB = U N cos(! c ) DSB u c = cos(! c ) Doppelseien-Modulaion Hochfrequenz LSB USB! c U N {/#} U c # # U DSB LSB! c! c! c Lower Side Band Upper Side Band Bild 4 Zeiverläufe von DSB und (gewöhnlicher) AM mi m = USB Aus den Formeln im Zeibereich wird ersichlich, dass es sich um eine nmodulaion des (Kosinus- oder Sinus-förmigen) rägers (mi der Frequenz! C ) handel, denn dessen wird durch die Zeifunkion f besimm. Digiale Inphasen- und Quadraur-Modulaion Die rägerschwingung u C = Û C cos(! C + ), ensprechend zu Gleichung 6, ergib aufgespalen in ihre Inphasen-(I-)und Quadraur-(Q-)Aneile (siehe Kasen): Diese I-/Q-Darsellung is bei den digialen Modulaionen üblich, wobei dann jedoch das I-Signal und das Q-Signal durch das digiale Signal u d modulier und dami zeiabhängig werden. Û CI = Û CI = Û CI u d (8) Û CQ = Û CQ =Û CQ u d (9).5 DSB-Zeifunkion.5 obere Hüllkurve Phasensprünge # unere Hüllkurve Zei Nach der Gleichung 7 werden dadurch die und auch die Phase des rägers durch das digiale Signal modulier. Bei modulieren Signalen handel es sich auf Grund der Frequenz-Verschiebung um Bandpass-Signale. Doppelseienband-Modulaion Die nach dem Modulaionssaz ensehende.5 AM-Zeifunkion obere Hüllkurve.5 räger unere Hüllkurve Zei AM n-modulaion DSB Doppelseienband-Modulaion Modulaion wird als Doppelseienband- Modulaion (DSB) bezeichne. Die DSB kann als Sonderfall einer I-/Q-Modulaion angesehen werden, bei der der Q-Aneil gleich Null is. Das Blockschalbild eines so arbeienden Modulaors is in Bild 39, zusammen mi den Spekraldichen der Signale, dargesell. Das Nachrichensignal is f = u N und das rägersignal u C = cos(! C ): u C = Û C cos(! C + ) = Û C cos cos(! C ) Û C sin sin(! C )=u I +u Q u DSB =u N cos(! C ) U DSB ( ) = U N (! C )+U N ( +! C ) Û CI Û CQ u I = Û CI cos(! C ) In-Phasen-Komponene des rägers u Q = Û sin(! C Q C) Quadraur-Phasen-Komponene des rägers (7) Û C = Û C + Û I CQ des rägers Für die Spekraldiche des Nachrichensignals u N wurde in Bild 39 eine symbolische Form gewähl. Diese kann als Plazhaler für &Û C = arcan Û CQ( ) ( ) Û C I Phasenwinkel des rägers In der angelsächsischen Lieraur is DSB-SC gebräuchlich. Mi SC (Suppressed Carrier) wird hervorgehoben, dass im Spekrum des DSB-modulieren Signals keine rägerlinie (Carrier) vorhanden is. 54

4 WissenHeue Jg. 57 9/4 asächlich aufreende Spekraldichen inerpreier werden. Diese (Schmeerlings-)Form is deswegen günsig, weil gleich erkennbar is, welche Frequenzkomponene der Nachrich an welcher Selle in der Frequenz der Modulaion erschein. Wie in Bild 39 ersichlich is, weis die Spekraldiche der DSB ein oberes Seienband (in Regellage: Upper Side Band = USB) und ein uneres Seienband (in Kehrlage: Lower Side Band = LSB) auf. Die Bandbreie eines DSB-modulieren Signals is daher doppel so groß wie die Bandbreie des Nachrichensignals. Bild 4 Umpolfunkion und deren Spekraldiche Umpolfunkion f u Spekraldiche der Umpolfunkion */# Nullsellen der Hüllkurve: n* N = *n* Fu N 3 Hüllkurve Linien-Absand = #/ In Bild 4 sind ypische Zeiverläufe der DSB und der n-modulaion (AM) mi dem Modulaionsgrad m = für ein Kosinusförmiges Nachrichensignal dargesell. Für die digiale Funküberragung wird DSB (oder Quadraur DSB = QDSB) verwende und dann als Phase Shif Keying (PSK) oder als Quadraur Modulaion (QAM) bezeichne. Dadurch ha die DSB eine hohe Bedeuung erlang. Im Spekrum wird die Schmeerlings-Form verwende, dami ypische Eigenschafen erkennbar sind. Aus dem gleichen Grund wird im Zeibereich ein Kosinus-förmiges Nachrichensignal angenommen. n-modulaion der Rundfunksender Die Rundfunksender nuzen auf Lang-, Mielund Kurzwelle (LW; MW und KW) eine nmodulaion 3. Diese als gewöhnliche AM bezeichnee Modulaion unerscheide sich von der DSB dadurch, dass der Hochfrequenz-(HF-)räger zur modulieren Schwingung addier wird und dami im Spekrum der modulieren Schwingung als Linie an den Sellen ±! C vorhanden is 4. Die moduliere Schwingung erhäl dadurch die Form: u AM =Û C +m f cos(! C ); m f Der Grund hierfür is hisorisch beding und in der einfacheren Demodulaionsmöglichkei miels eines Gleichrichers oder Deekors zu finden. Mi Hilfe eines Deekors läss sich die Hüllkurve der n-modulieren Schwingung abasen und so die Nachrichenschwingung zurückgewinnen. Die Größe m bezeichne den Modulaionsgrad 5. Die einfache Demodulaionsmöglichkei erforder die Beschränkung auf m <. Für m > würden sich Überschneidungen von oberer und unerer Hüllkurve des modulieren Signals ergeben, wodurch Verzerrungen des demodulieren Signals ensehen. Schalmodulaor echnisch wird kein Muliplizierer verwende um DSB zu erzeugen, sondern ein Schalmodulaor (Umpoler im Schal-Berieb). Es enseh die gleiche Ausgangsspannung wie beim Berieb eines Muliplizierers mi einer Umpolfunkion (ansa einer Kosinus-Schwingung). Die Umpolfunkion is eine bipolare Recheckschwingung mi dem asverhälnis : (as-grad =,5). Auf Grund dieses asverhälnisses fäll jede geradzahlige Bild Oberschwingung auf eine Nullselle der Hüllkurve sin(x)/x und verschwinde dadurch (Bild 4). Die Umpolfunkion kann mi! C = = #/ spekral in Kosinus-Schwingungen der Frequenzen! C, 3! C, 5! C usw. zerleg werden. Nach dem Lineariässaz kann der Modulaionssaz für jede dieser Schwingungen gerenn angewende werden, so dass dann eilspekren bei den ensprechenden Frequenzen ensehen. Weil in der echnischen Anwendung nur das eilspekrum bei! C ineressan is, werden sämliche anderen durch Filerung beseiig. Der Voreil dieses Verfahrens beseh vor allem darin, dass die nichlinearen Verzerrungen eines (analogen) Muliplizierers vermieden werden. Zusäzlich Modulierer Recheckimpuls; Frequenz des rägers is hoch modulierer Recheckimpuls f=**cos( ) Zei Spekraldiche Eine Umsellung auf digiale Modulaion is in diesen Frequenzbereichen geplan ( In der angelsächsischen Lieraur wird AM auch als DSB- Large-Carrier (DSB-LC) bezeichne. Für AM gil dabei die Nebenbedingung f max Û C Spekraldiche des modulieren Recheckimpulses / F

5 echnik > Die Fourier-ransformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 57 9/4 Bild 43 Bild Die cos -Kuppe und ihre Spekraldiche Zei ha ein Schalmodulaor einen viel besseren Wirkungsgrad als ein Muliplizierer. Beispiele Zum Modulaionssaz folgen hier drei Beispiele und eine Übung: Bild 45 Die cos-kuppe und ihre Spekralvereilung u e A cos-kuppe Zei cos -Kuppe f 3.9 RC-iefpass R =#/4 C Kondensaor R Widersand C Spekraldiche u a Spekraldiche der cos-kuppe 4A/# A Spekraldiche cos -Kuppe F / #/ 3#/ #/= N =#/ si-kurve > Beispiel : Burs In Bild 4 is ein (DSB-)modulierer Recheckimpuls (Burs) dargesell, wobei die Frequenz! C = der Kosinus-Schwingung vergleichsweise hoch is, so dass sich die Ausläufer der sin(x)/x-funkionen in der Spekraldiche gegenseiig nich mehr sark beeinflussen. Wenn dagegen die Frequenz! C = des rägers nich hoch genug is, ergeben sich merkliche Überlappungen der links- und rechsseiigen eilspekren. Beispiel : Kosinus-Kuppe im Zeibereich Is die Frequenz! C = sehr klein oder die Periode = #/ groß, beispielsweise im Verhälnis zur Breie eines Rechecks, ergib sich für (den speziellen Fall) = 4 für die moduliere Schwingung f = A cos( ) eine einzelne Kosinus- Kuppe, wie sie in Bild 43 dargesell is. Die Spekralvereilung des Recheckimpulses A is die Funkion A sin( )/, welche nach dem Modulaionssaz an die Sellen + = #/ und = #/ geschoben werden muss (gepunke und gesrichel in Bild 43). Weil die Überlappung hier sark is, muss die Summenkurve gebilde werden, um zu einem aussagekräfigen Ergebnis zu kommen. Im Spekrum dieses Beispiels kompensieren sich die Nebenmaxima der beiden sin(x)/x zu einem großen eil. Beispiel 3: Kosinus-Kuppe im Spekrum Wird die Kosinus-Kuppe in Bild 43 nach dem Verauschungssaz als Spekralvereilung inerpreier, so ergib sich die Form für den Zeiverlauf einer speziellen Ar von verrundeen Daensymbolen, die mi Parial Response bezeichne werden. Mi Parial-Response- Verfahren kann bei gegebener Überragungsbandbreie die Überragungsgeschwindigkei erhöh werden. Dadurch ensehen allerdings keine binären Signale mehr, sondern nur solche mi mehr als zwei Zusänden (hier drei Zusände). Übungsaufgabe: Weiere Korrespondenzen Mi cos x = [ + cos(x)]/ läss sich die cos -Kuppe (mi dem Lineariässaz) in ein Recheck und in ein modulieres Recheck cos(x) aufspalen. Dami sez sich die Spekraldiche der cos -Kuppe aus insgesam drei sinus-x-funkionen zusammen, wie es in Bild 44 dargesell is. Übungsaufgabe: Hilber-Filer Die Impulsanwor des Hilber-Filers 6 in Bild aus Hef 5/3, S. 78 läss sich mi Hilfe der verauschen Korrespondenz im gleichen Bild und dem Modulaionssaz wie folg herleien: Breie des sin(x)/x verdoppeln, da nur die halbe Breie aufweis. Muliplikaion des sin(x)/x mi sin(! C ),! C besimmen:! C = C / (Modulaionssaz). Spekraldiche ensprechend zum Modulaionssaz verschieben. Beide Seien mi j muliplizieren. 6 David Hilber: Deuscher Mahemaiker und Logiker (86 943); liefere grundlegende Resulae auf zahlreichen Gebieen der Mahemaik. 56

6 WissenHeue Jg. 57 9/4 Differeniaion und Inegraion Differeniaion im Zeibereich Das Differenzieren der Zeifunkion ensprich im Frequenzbereich einer Muliplikaion der Fourier-ransformieren mi j. Es dien uner anderem dazu, auf einfache Weise Signalspekren zu berechnen. Dami gil: g = d f j F ( ) = G( ) d Ensprechend folg bei n-facher Ableiung der Zeifunkion: Bild 46 Die Ableiung des * führ auf Dirac-Impulse,-. Die Spekraldiche der.-impulse is sin-förmig Zeifunkion f =* Zei/ Spekraldiche Spekraldiche F von * Re #/ d n f (j ) n F( ); n =,, 3 (3) d n Beweis: Mi dem Definiionsinegral f = % F ( )e j d folg bei Differeniaion # % beider Seien: % d f = d # j F ( )ej d g % G( ) Zusammenhang mi der komplexen Wechselsromrechnung Zwischen der komplexen Wechselsrom- Rechnung und der Beschreibung eines Sysems mi Hilfe der Differenialgleichungen beseh ein unmielbarer Zusammenhang: Für das Beispiel einer Spule mi der Indukiviä L gil nach dem Indukionsgesez für die induziere Spannung bei einer beliebigen Änderung des Sromes: u L = L di (4) d Mi dem Zeidiffereniaionssaz wird daraus: U L ( ) =L j I ( ) =j L I ( ) (5) Diese Gleichung gil für beliebige Kurvenformen der Zeifunkion, also auch speziell für Kosinus-förmige Zeifunkionen, die der komplexen Wechselsromrechnung zu Grunde liegen 7. Aus der Gleichung 5 folg durch einfache Umformung das aus der komplexen Wechselsromrechnung bekanne Ergebnis: j L = U L ( )/I ( ) (6).5.5 Zeifunkion f =.( ).(+).(+) Zei/ Das j in der komplexen Wechselsromrechnung ha wie bei den mi der Fourier-ransformaion berechneen Spekraldichen die Bedeuung einer 9 Grad Phasendrehung. Differenialgleichung aus komplexer Rechnung Am Beispiel eines RC-iefpasses (Widersand = R, Kondensaor = C; regelungsechnisch: P -Glied) in Bild 45 wird gezeig, wie die Differenialgleichung dieses Nezwerkes mi Hilfe der komplexen Rechnung gewonnen wird. Die Überragungsfunkion des RC-iefpasses berechne sich mi komplexer Rechnung zu: H( ) = U a( ) /j C = = U e ( ) R + /j C = ; = RC +j RC +j f : Re,.( ) (7) = RC is die Zeikonsane des RC-iefpasses. Werden der zweie und der leze Ausdruck in Gleichung 7 über Kreuz muliplizier, ergib sich die Gleichung 8, aus der mi Hilfe des Zeidiffereniaionssazes die Differenialgleichung gewonnen werden kann: Spekraldiche U a ( ) +j U a ( )= U e ( ) (8) u a + u a = u e +Differenialgleichung Spekraldiche F von f F : lm, o Die Mehode zur Gewinnung einer Differenialgleichung is in gleicher Ar auch für komplizierere Neze anwendbar 8. Herleiung von Korrespondenzen mi Hilfe des Zeidiffereniaionssazes Ableiung eines Recheckimpulses Die Ableiung eines Recheckimpulses führ auf zwei aniparallele Dirac-Impulse (Bild 46). Um die Ableiung zu erzeugen, geh man die Zeiachse der Funkion von minus unendlich bis zu plus unendlich 7 8 In der komplexen Wechselsromrechnung verwende man Bezeichnungen wie U( ) und I ( ), um auf die spezielle Form der Zeifunkion hinzuweisen. Bei der Anwendung elekrischer Analogien z. B. für mechanische, akusische oder hydraulische Probleme, können die bereffenden Differenialgleichungen auch in solchen Fällen besimm werden (solange es sich um gewöhnliche Differenialgleichungen mi konsanen Koeffizienen handel). 57

7 echnik > Die Fourier-ransformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 57 9/4 ( % +%) enlang. Dami is zu erkennen, dass der linke Dirac-Impuls nach oben und der reche nach unen geh. Dami ergib sich die folgende neue Korrespondenz: d/d ( + ) ( ) (9) sin( ) (j ) j sin( ) = j sin( ) Symmerien Is die Zeifunkion reell und gerade [im Beispiel ], wird die Ableiung reell und ungerade (im Beispiel ). Die Ableiung einer ungeraden Zeifunkion wird dagegen abelle Zeifunkion und Ableiung Zeifunkion reell, re gerade, e Ableiung reell, re ungerade, o Zeifunkion reell, re ungerade, o Ableiung reell, re gerade, e gerade (abelle). Symmerien der Zeifunkionen führen auf Symmerien der Spekraldichen (s. Abs. 5., Hef 5/3, S. 76). Die Symmerieberachung kann wieder der Konrolle dienen. Periode der Sinus-Schwingung Aus Gleichung 9 und Bild 46 geh hervor, dass die Periode p der Sinus-Schwingung gleich der Periode der Schwingung = #/ (Enfernung eines vom Ursprung) is, hier also: p = #/ (gil für Sinus- und Kosinus- Schwingungen!). Übungsaufgabe Die Spekralvereilung zweier zeiverschobener Dirac-Impulse läss sich alernaiv auch mi Hilfe des Zeiverschiebungssazes [aus ] gewinnen. Zweifache Ableiung des Dreieck-Impulses Ein Dreieck-Impuls A in Bild 47 führ nach der Ableiung auf zwei (anisymmerische) / -Impulse, diese wiederum abgeleie auf drei Dirac-Impulse : Erse Ableiung A Die Korrespondenz, die sich hier ergeben ha, is (bis auf das Vorzeichen) idenisch mi dem Biphase-Impuls aus Bild in Hef 5/3, S. 78. Sie is in Bild 47 dargesell. Zweie Ableiung (siehe Kasen) d/d A / ( +/) / ( /) sin( /) (j ) j A sin( /) / / = ja sin( /) sin( /) / Schwingung Hüllkurve d/d A / ( +/) / ( /) Bild Erse Ableiung des Dreiecksimpulses A / Zei/.5 Dreieck-Impuls A/ : reell, gerade flächengleiches Recheck Zei/ f=a*/ A F / =Asi(/).5 Spekraldiche des flächengleichen Dreiecks.5 / Spekraldiche Ableiung von / : reell, ungerade Spekraldiche F : imaginär, ungerade.5 f F A/.5.5 A ( + ) + ( ) ja sin( /) sin( /) j/ ) 4A sin( /) = A [ cos( )] ( /) Spekraldiche #/ Spekrum F / #/ #/ #/ Die zweie Ableiung führ auf drei Dirac-Impulse (Bild 48). Diese ransformieren in einen Konsananeil und eine Kosinus-Funkion (mi Lineariässaz). Die Periode des Kosinus besimm sich auch hier ensprechend zu Gleichung. Inegraion im Zeibereich Gehör zur Ableiung im Zeibereich eine Muliplikaion mi j im Frequenzbereich, so gehör zur Inegraion als der Umkehrung der Differeniaion eine Division durch j im Frequenzbereich (als Umkehrung zur Muliplikaion mi j ). Dami is die Gleichung aber noch nich vollsändig, denn exak geschrieben gil: f ( )d F ( ) +#/ ( ) F (3) % j Spekral-Linie In der Gleichung 3 erschein noch ein zweier erm mi einer Dirac-Funkion, welcher eine Spekrallinie bei der Frequenz Null darsell und sich mi Hilfe der folgenden Beispiele erklären läss: Sprungfunkion als Inegral über die -Funkion Das Inegral über die -Funkion ergib: 58

8 WissenHeue Jg. 57 9/4 ( )d = für < % für > Also gil symbolisch dargesell: = (4) inegrier + differenzier (5) Dieses Ergebnis is einzusehen, wenn von = % beginnend mi laufender oberer Grenze über die Delafunkion inegrier wird (Bild 49), denn es gil: Für % < < _ is = ; es wurde noch über keine Fläche inegrier. Für _ < < + is = %; dabei wird über die Fläche des inegrier. Für + < < % is = ; keine neue Fläche komm hinzu, keine enfäll. Für die Spekraldichen folg mi Gleichung 3: (6) +# ( ) = +# ( ) j j im, odd re, even Die Spekraldiche der Sprungfunkion ha dami einen reell geraden und einen imaginär ungeraden Aneil. Nach dem Überlagerungssaz kann jeder dieser eile gerenn in den Zeibereich zurückransformier werden. Dami ha die Sprungfunkion einen reell geraden und einen reell ungeraden Aneil (Bild 5). Der gerade Aneil in der Spekraldiche der Sprungfunkion is # ( ). In der Rückransformieren ergib sich dami eine Konsane der Größe / über der Zei. Dies is erkennbar, wenn der umgekehre Weg berache wird: Die F-ransformiere einer Konsanen A im Zeibereich is A # ( ). Diese Dela-Funkion ha also die Fläche A #. Zu dem Aneil ( ) in der Spekraldiche von gehör demnach ein Gleichaneil der Größe A = / im Inegral über die Zeifunkion. Signum-Funkion Wird der ungerade Aneil der Sprungfunkion berache, ergib sich die Signum- Funkion 9 sgn, die in Bild 5 dargesell is. Hierfür gil: Bild 48 Zweie Ableiung des Dreiecksimpulses A /. Ableiung von / : reell, gerade Spekraldiche F : reell, gerade.5 f F.5 A/.(+) A/.( ) A/ Zei/ Bild 49 Bild 5 Bild Spekraldiche Sprungfunkion als Inegral über die Delafunkion. oder. als Ableiung von. Die Signum-Funkion sgn und ihre Spekraldiche Signum Funkion sgn Zei d/d...d Zerlegung der Sprungfunkion in eine Signum-Funkion sgn und einen Gleichaneil.5*sgn = + Spekraldiche Spekralvereilung der Signum-Funkion / Mi dieser Funkion läss sich z. B. auch die Gleichricherwirkung mahemaisch beschreiben. 59

9 echnik > Die Fourier-ransformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 57 9/4 Bild 5 Bild Bild Bildung des äquivalenen iefpass-signals im Spekrum U BP U BP + U P! C! C j{h{u BP }} H{U BP } Im! C Quanisierungsgeräusch (Elemenarsignal) mi Spekralvereilung Zeifunkion Quanisierungsgeräusch f q.5 A Sprungfunkion und ihre Spekraldiche Sprung-Funkion Zei Zei/! C! C Spekraldiche! C Spekraldiche 3 Spekralvereilung der Sprung-Funkion Spekraldiche Quanisierungsgeräusch F q #/! C! C 4 # ! C! C ordinaensaz gil für eine ungerade Zeifunkion f : % F = f d = für ungeraden Inegranden % (9) Das Inegral nach Gleichung 3 über eine ungerade Zeifunkion ha demnach nie einen Dirac-erm in seiner Spekraldiche. Die Inegralgrenzen sind dabei als symmerisch gegen-unendlich-gehend anzunehmen. Hingegen liefer das Inegral über eine gerade Zeifunkion einen Dirac-erm in seiner Spekraldiche, wie sich am Beispiel der Sprungfunkion gezeig ha. Es gib aber Ausnahmen von dieser Regel, wie z. B. bei einer Kosinus-Schwingung. Hier is das Inegral über die Zeifunkion nach Gleichung 9 ebenfalls Null. In einem solchen Fall ri der Dirac-erm nich auf, wie von der komplexen Wechselsromrechnung her bekann is. Beispielsweise gil für die Spannung an einem Kondensaor C bei sinusförmigem Srom: u c = C % i c ( )d U c ( )= Ic ( )= I c ( ) C j j C Es ri also keine Gleichspannungskomponene auf. Wird das Spekrum des Kosinus berache, so is zu erkennen, dass dieses zwar gerade is, jedoch nur aus zwei Dirac- Linien beseh, die bei plus oder minus (±) der Frequenz des Kosinus sehen. Dami is auch in diesem Fall F = (s. Bild 48). Der Dirac-erm ri immer dann nich auf, wenn das gerade Signal ein Bandpass-Signal und dami F = is. Differeniaion im Frequenzbereich (3) Nach dem Verauschungssaz ergib sich (uner Berücksichigung des Minuszeichens) aus der Differeniaion im Zeibereich die Differeniaion im Frequenzbereich: Aufreen des ( ) in der Spekraldiche Offensichlich ri der erm ( ) nur dann auf, wenn F is. Nach dem Zenralsgn j (7) j Werden beide eile zusammengefass, ergib sich die Sprungfunkion als: = + sgn + # ( ) (8) j Dami können die Sprungfunkion und ihre Spekraldiche dargesell werden, wie es in Bild 5 ersichlich is. n f j n d n F ( ) d n (3) Elemenarsignal eines Quanisierungsgeräusches Bei der Digial-Analog-Wandlung ensehen reppenförmige Zeifunkionen. Diese können als glae Zeifunkionen mi überlagerem, 5

10 WissenHeue Jg. 57 9/4 sägezahnförmigem Quanisierungsgeräusch inerpreier werden. Die Spekralvereilung dieses Quanisierungsgeräusches kann aus der Analyse eines einzelnen Sägezahns [Elemenarsignal f q ] gewonnen werden. Dieser Sägezahn f q läss sich aus einem Recheckimpuls gewinnen, indem dieser mi einer Ursprungsgeraden muliplizier wird (Bild 53): f q =A ;für < < + (3) f q =A = A (33) Nach Gleichung 3 ergib sich dami für die Spekralvereilung F q ( ): F q ( ) = A d j sin( ) = d ja ( ) cos( ) sin( ) ( ) Das Quanisierungsgeräusch ha sehr kleine spekrale Komponenen bei iefen Frequenzen ( ). Auf Grund dieses spekralen Verlaufes wird es möglich, mi Hilfe von Überabasung (wie z. B. beim CD-Spieler) die Digial-Analog-Rückwandlung mi einer Auflösung von nur einem Bi auszuführen. Der Voreil hierbei is in der größeren Lineariä der -Bi-Wandler zu sehen. Diese Mehode erforder eine Abasraenerhöhung um den Fakor N/, wenn die digialen Süzwere mi N Bi aufgelös sind. Bei der CD is das Audio-Signal mi N = 6 Bi codier. Dami wird eine Abasraenerhöhung von 8 = 56 erforderlich, die mi 56-fach Oversampling bezeichne wird. Bandpass-Signale und äquivalene iefpass-signale (34) Bild 55 Bild 56 Bild 57 u BP u P Blockschalbild zur Bildung des äquivalenen iefpass-signals Hilber-Filer j u BP + Blockschalbild zur Gewinnung des Bandpass-Signals aus dem äquivalenen iefpass-signal komplexe Muliplikaion j e j! c Modulierer räger f (reell), die Quadraur-Funkion (imaginär) und das analyische Signal (komplex) Analyic Signal e j! c Quadraure funcion Funcion Real u BP + f Realeil Imaginery F Hi u BP + u P u BP Bandpass-Signale ensehen durch Modulaion aus iefpass-signalen. Hierbei werden die Spekren ensprechend verschoben. Im Kapiel Modulaionssaz wurde gezeig, dass dafür eine Muliplikaion des iefpass- Signals mi einer Kosinus- und/oder Sinusförmigen rägerschwingung nowendig is. Für eine Sofware-Umsezung von modulieren Signalen is es voreilhaf, die Modulaion mi Hilfe äquivalener iefpass-signale durchzuführen und den Modulaionsvorgang nich mi Sinus- oder Kosinus-Signalen, sondern komplex mi e j! C auszuführen. Die Bearbeiung im iefpass-bereich gesae es, eine geringere Abasfrequenz zu verwenden, als es für Bandpass-Signale erforderlich wäre. Allerdings verlang diese Behandlung die Verwendung komplexweriger Zeisignale im Basisband. Aus diesem Grund werden Bandpass-Signale als iefpass-signale verarbeie (geringere Abasrae) und Modulaionsvorgänge durch Muliplikaion 5

11 echnik > Die Fourier-ransformaion und ihre Anwendungen WissenHeue Jg. 57 9/4 Bild 58 Imaginäre Achse Ideales Hilber-Filer und seine Impulsanwor Sysem Funkion des idealen Hilber-Filers: imaginär, ungerade Kreis-Frequenz mi e j! C ausgeführ (schnellere Berechnung) sa mi Kosinus- oder Sinus- Schwingungen. Dafür is es erforderlich, mi komplexen Signalen zu rechnen. Gewinnung der äquivalenen iefpass-signale Ein Bandpass-Signal is ein reellweriges Zeisignal, das in seiner und seiner Phase modulier is, wie z. B. bei einer digialen Modulaion: u BP = Acos(! C + ) (35) Reelle Zeisignale haben komplexwerige Spekralvereilungen mi geradem Real- und ungeradem Imaginär-eil (s. Gleichung.6 Hef 5/3, S. 76). Dami gil: U BP ( ) =U ( ) +ju BP ( ) (36) e BPo Bild 59 Imaginäre Achse H Hi j j Impulsanwor des idealen Hilber-Filers: reell, ungerade h Hi Zei Die Gewinnung des äquivalenen iefpass- Signals wird in Bild 54 graphisch anhand des Realaneils U BPe ( ) der Spekraldiche gezeig. In diesem Bild is nur der Realaneil U BP ( ) = U BPe ( ) dargesell, um das Bild nich zu überfrachen. Die einzelnen Umformungsschrie gelen für den Imaginäraneil in ensprechender Weise. Für das Spekrum wurde eine symbolische Form gewähl. Es is gerade in Bezug auf die Achse bei =, auch wenn es bezüglich! C nich gerade is. Die einzelnen Schrie zur Bildung des äquivalenen iefpass-signals sind: Bildung des Hilber-gefileren Spekrums H U BP ( ). Ein Hilber-Filer dreh alle posiiven Spekralkomponenen in der Phase um #/ und alle negaiven um #/. Formal ensprich dieses Filer einer mi j muliplizieren Signum-Funkion. Hilber-iefpass-Filer (idealisier) und seine Impulsanwor Hilper-P H Hi_P : imaginär, ungerade.5.5 H Hi_P j g g.5.5 j Kreis-Frequenz Impulsanwor h Hi_P : reell, ungerade g /# h Hi_P #/ g Zei Drehung des Hilber-gefileren Spekrums als Ganzes um #/ in mahemaisch posiiver Richung. Dies is eine Muliplikaion mi e j#/. Dadurch ergib sich ein Spekrum, das für posiive Frequenzen mi dem Spekrum von U BP ( ) übereinsimm. Die Addiion des Bandpass-Spekrums U BP ( ) mi dem Hilber-gefileren und Phase-gedrehen Spekrum lösch sich für negaive Frequenzen und verdoppel sich für posiive Frequenzen zu U + BP( ). Eine Muliplikaion mi e j! C ergib eine Verschiebung in den iefpass-bereich. Das Spekrum U P ( ) is komplexwerig, weil das ursprüngliche Spekrum U BP ( ) ebenfalls komplexwerig war. Die Schrie zur Bildung des äquivalenen iefpass-signals aus Bild 54 lassen sich in einem Blockschalbild zusammenfassen, wie es in Bild 55 dargesell is. Komplexwerige Basisband-Signale werden digial als zwei parallele Daensröme verarbeie. Bei Muliplikaionen is daher komplex zu rechnen, was als eilweise Vermischung mi anschließender rennung der Daensröme aufgefass werden kann: (x + jy ) (x +jy )= (x x y y )+j(x y +y x ) (37) Erzeugung des Bandpass-Signals aus dem äquivalenen iefpass-signal Die Gewinnung des Bandpass-Signals aus dem (komplexen) äquivalenen iefpass-signal ensprich der Umkehrung des Vorgangs in Bild 55. Es ergib sich eine Srukur, wie sie Bild 56 zeig. Dies is die effekivse Ar, eine digiale Modulaion zu erzeugen. Das komplexe Signal u + BP, das durch komplexe Muliplikaion mi e j! C aus u P ensanden is, ha nur Spekralaneile bei posiiven Frequenzen. Es is also ein analyisches Signal (s. Bild 38). Um zu einem reellwerigen BP- Signal u BP zu kommen, muss nur der Realaneil u + BP gebilde werden. Dies zeig auch Bild 57 für ein Beispiel im Zeibereich. Gewinnung des äquivalenen iefpass- Signals mi der Hilber-ransformaion Um von einem reellen iefpass-signal u 5

12 WissenHeue Jg. 57 9/4 H Hi_P ( ) = j g / ( + g )+j g / ( g ) g [sin( g /)] = h Hi_P (45) # ( g /) H Hi ( ) = jsgn( ) = h Hi (44) # zu dem (komplexwerigen) äquivalenen iefpass-signal u P zu gelangen, wird zunächs als Abkürzung u = x gesez. Dami gil für das reellwerige Zeisignal x : x X( ) = X( ) +j X( ) (38) Dazu wird das ebenfalls reellwerige Zeisignal ^x gebilde, das aus dem Hilbergefileren Signal x enseh: ^ x X^( ) ( ) even odd = X( ) sgn( ) even j X ( ) sgn( ) odd (39) Überragungsfunkion und Impulsanwor bilden ein Fourier- Paar (Korrespondenz). Hierbei is sgn( ) die Signum-Funkion (im Frequenzbereich). Dami gib es den Zusammenhang: ^X ( ) = X( ) sgn( ) (4) ^X ( ) = X( ) sgn( ) (4) allgemein: ^X ( ) = jx( )sgn( ) (4) Die Signum-Funkion j sgn( ) im Frequenzbereich kann als Überragungsfunkion eines Filers, des (idealen) Hilber-Filers H Hi ( ), aufgefass werden: H Hi ( ) = jsgn( ) (43) Das (ideale) Hilber-Filer ha die Impulsanwor h Hi, die sich nach dem Verauschungssaz aus Gleichung 7 gewinnen läss: In Bild 58 sind die Überragungsfunkion des idealen Hilber-Filers und seine Impulsanwor dargesell. Das so definiere Hilber- Filer ha eine beliebig hohe Grenzfrequenz. Für moduliere Signale reich ein Hilber-Filer mi oberer Grenzfrequenz g aus, wie es in Bild 59 zu sehen is. Die Überragungsfunkion des (idealisieren) Hilber-iefpass-Filers ergib sich aus den im Verauschungssaz angegebenen Formeln (Gleichung. Hef 5/3, S. 8): (siehe Kasen) Bei der Umsezung des Hilber-iefpass- Filers mi digialer Signalverarbeiung is zusäzlich eine Fenserung (Verrundung) anzuwenden. Der Beirag wird forgesez. (J) Ihr Wissen is uns wichig werden Sie Auorin/Auor Für die Leserinnen und Leser von WissenHeue sind fachlich einwandfreie, exak recherchiere und akuelle Informaionen zu den hemen der elekommunikaion und Wirschaf wichig. Hier sind Ihr fachliches Wissen und Können gefrag. Werden Sie Auorin/Auor für die Fachzeischrif WissenHeue und ragen Sie dazu bei, dass die Leserinnen und Leser über vielfälige Kennnisse und das nowendige Hinergrundwissen verfügen, um den Enwicklungen und Markgeschehnissen in der Branche folgen zu können. Rufen Sie uns an uner Die Redakion berä Sie gern bei Ihrer hemengesalung und der Manuskripersellung. Sie können sicher sein, dass Sie mi Ihrem hema einen großen und moivieren Leserkreis erreichen. Ihre Redakion WissenHeue 53