Grundbegriffe aus Logik und Mengenlehre. Prädikatenlogik

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1 Grundbegriffe aus Logik und Mengenlehre Prädikatenlogik wohlverstandene Grundlagen, eine formale Sprache zur Beschreibung statischer und dynamischer Gesichtspunkte eines Unternehmens syntaktisch und semantisch genau zu fassen. Funktionszeichen: F = n IN F n, F n = {f 0 n, f 1 n, f 2 n...}; für n = 0 deuten wir die nullstelligen Funktionszeichen als Konstantenzeichen ; dienen dazu, bestimmte einzelne einfache Seiende zu bezeichnen. Individuenvariablen: V = {v 0,v 1,v 2,...}; dienen dazu, unbestimmte ("beliebige") Seiende zu bezeichnen. Terme: werden induktiv aus Funktionszeichen und Individuenvariablen gemäß folgender Vorschrift gebildet: i) Jede Individuenvariable und jedes Konstantenzeichen ist ein Term. ii) Ist f n ein n-stelliges Funktionszeichen und sind t 1,...,t n Terme, so ist auch f n (t 1,...,t n ) ein Term. Grundterme: Terme ohne Individuenvariablen. Terme dienen ganz allgemein dazu, Seiende zu bezeichnen. Der syntaktische Aufbau eines Termes kann benutzt werden, um die innere Struktur eines zusammengesetzten Seienden auszudrücken. Terme der Form f(t 1,...,t n ) kann man auch verwenden, um eine Eigenschaft einer durch die Teilterme t 1,...,t n bezeichneten Gegebenheit zu beschreiben

2 Prädikatenzeichen: P = n IN P n, P n = {P n 0, P n 1, P n 2,...}. Gleichheitszeichen: = sei ein Element aus P 2. Prädikatenzeichen dienen dazu, mögliche Beziehungen zwischen Seienden und mögliche Eigenschaften (Attribute) von Seienden oder Beziehungen zu benennen. Das Gleichheitszeichen wird als besonders ausgezeichnetes Prädikatenzeichen behandelt, das immer so interpretiert wird, daß es die Identität zwischen den bezeichneten Seienden ausdrückt. Formeln (1. Stufe): Formeln werden induktiv aus Prädikatenzeichen und Termen mit Hilfe von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren für Individuen gemäß folgender Vorschrift gebildet: i) Ist P n ein n-stelliges Prädikatenzeichen und sind t 1,...,t n Terme, so ist P n (t 1,...,t n ) eine (atomare) Formel. ii) Sind Φ und Ψ Formeln und x eine Individuenvariable, so sind auch (Φ Ψ), (Φ Ψ), ( Φ), ( x)φ, ( x)φ Formeln. Formeln dienen dazu, Aussagen und Aussageformen über Seiende und ihre Beziehungen und Eigenschaften zu bilden

3 Freies und gebundenes Vorkommen von Variablen: Diese Begriffe werden durch Induktion über den Aufbau von Formeln gemäß folgender Vorschrift festgelegt: i*) Alle Individuenvariablen aus t 1,...,t n kommen in P n (t 1,...,t n ) frei vor. ii*) Kommt eine Individuenvariable x in Φ oder Ψ frei vor, so {kommt sie auch frei vor in (Φ Ψ), (Φ Ψ), ( Φ), ( y)φ, ( y)φ mit y x, kommt sie gebunden vor in ( x)φ, ( x)φ. Aussagen: Formeln ohne freies Vorkommen von Variablen, insbesondere atomare Grundformeln (atomare Formeln ohne Individuenvariablen). Funktionszeichen speziell: Konstantenzeichen Individuenvariablen Prädikatenzeichen Terme bezeichnen Seiende Aussagen werden wir hauptsächlich für aufzählend dargestelltes Wissen und für Bedingungen verwenden. Aussageformen, also Formeln, die frei vorkommende Individuenvariablen enthalten, werden wir dagegen hauptsächlich für Regeln benutzen. atomare Formeln (speziell Aussagen) bezeichnen (grundlegende) Beziehungen, Eigenschaften aussagenlogische Verknüpfungen (prädikatenlogische) Quantoren Formeln (speziell Aussagen) bieten Ausdruckmittel für Aggregation Verallgemeinerung Klassenbildung Aussonderung

4 Syntax: M = (d,δ) und ß legen Bedeutung aller Sprachmittel fest: Funktionszeichen Individuenvariablen Prädikatenzeichen Terme atomare Formeln Formeln 1. ß auf beliebige Terme fortsetzen: ß(f 0 ) := δ(f 0 ). ß(f n (t 1,...,t n )) := δ(f n )(ß(t 1 ),...,ß(t n )).,, x, x, 2. Formeln auswerten: = M,ß P n (t 1,...,t n ):gdw(ß(t 1 ),...,ß(t n )) δ(p n ) Semantik : = M,ß (Φ Ψ) :gdw = M,ß Φ und = M,ß Ψ Struktur (Interpretation): M = (d,δ) mit d ist nichtleere (Werte-) Menge (Universum); δ ist eine Zuordnung von Funktionszeichen zu Funktionen auf d und von Prädikatenzeichen zu Relationen auf d: δ(f n ) : i=1,...,n d d, δ(p n ) i=1,...,n d, = M,ß (Φ Ψ) :gdw = M,ß Φ oder = M,ß Ψ = M,ß ( Φ) :gdw nicht = M,ß Φ = M,ß ( x) Φ :gdw für alle ß' mit ß = x ß' gilt = M,ß' Φ = M,ß ( x) Φ :gdw es gibt ß' mit ß = x ß' mit = M,ß' Φ wobei das Gleichheitszeichen = stets durch {(x,x) x d} interpretiert sei. Variablenbelegung zur Struktur M = (d,δ): ß : V d

5 Modell einer Formel: M = (d,δ) ist Modell einer Formel Φ, = M Φ (Φ gültig in M) :gdw für alle Belegungen ß gilt : = M,ß Φ. Modellklasse einer Formel (-menge) Φ: Mod (Φ) := {M Φ ist gültig in M}. Allgemeingültigkeit: Eine Formel Φ ist allgemeingültig :gdw jede Struktur M ist Modell von Φ. Erfüllbarkeit: Eine Formel Φ ist erfüllbar :gdw es gibt eine Struktur M, die Modell von Φ ist. Die Begriffe der Allgemeingültigkeit, der Erfüllbarkeit, der Unerfüllbarkeit und der logischen Implikation sind hier deklarativ definiert worden, wobei nicht ohne weiteres zu erkennen ist, ob und gegebenenfalls wie sie operationalisiert und damit algorithmisch behandelt werden können. Tatsächlich führen sie aus dem Bereich des (algorithmisch) Entscheidbaren hinaus, verbleiben aber mit der Ausnahme der Erfüllbarkeit im Bereich des (algorithmisch) Aufzählbaren. Unerfüllbarkeit: Eine Formel Φ ist unerfüllbar :gdw es gibt keine Struktur M, die Modell von Φ ist. logische Implikation: Eine Formel (-menge) Φ impliziert logisch eine Formel (-menge) Ψ, Φ = Ψ, :gdw Mod (Φ) Mod (Ψ)

6 Mengenlehre beschreibt insbesondere, wie ausgehend von vorgegebenen Mengen neue Mengen gebildet werden können. Für unsere Betrachtungen ist der Fall besonders wichtig, wie aus einer Menge d von (einfachen) Werten neue Mengen von möglicherweise strukturierten Werten gewonnen werden können. Dies wird durch die folgende induktive Definition erfaßt: Ist d eine nichtleere Menge, so können wir aus d induktiv eine Klasse κ d von Mengen konstruieren: i) d ist in κ d. ii) Sind m, n schon aus κ d, so auch m n kartesisches Produkt, m n Vereinigung, m Potenzmenge. Bildung von Teilmengen oder ausgesonderten Mengen: Ist M = (d,δ) eine Struktur und Φ eine Formel, in der die Variablen x 1,...,x k frei vorkommen, so sei d M,Φ := {(ß(x 1 ),...,ß(x k )) ß ist Variablenbelegung mit = M,ß Φ} die durch Φ (aus i=1,...,k d) ausgesonderte Menge

7 semantische Begriffe Grundbegriffe aus Logik / Mengenlehre Seiendes Beziehung Eigenschaft / Attribut { einfach zusammengesetzt Syntax Konstantenzeichen Rolle (bei einer Beziehung) Klassenbildung: Gesamtheit Aussonderung Verallgemeinerung Aggregation Bedingung: Grundterm (mit Funktionszeichen) atomare Grundaussage Stelle eines Prädikatenzeichens Menge von Konstantenzeichen Schlüsselbedingung Aussonderungsbedingung Verallgemeinerungsbedingung viele-eins-bedingung Seinsbedingung Verweisbedingung Formel Φ, = Regel: Gesamtheitsregel Verneinungsregel Sichtregel Handlung: Information Mitteilung Verstehen (implikative) Aussage mit Gleichheits-Konklusion Ableitungsregel oder Formelmenge konjunktiv hinzugefügte Aussage Widerspruchsfreiheit

8 Grundbegriffe aus Logik / Mengenlehre Semantik Elemente einer Wertemenge Tupel einer Relation Tupel einer (zweistelligen) Relation Funktionswert Komponente einer Relation Universum d M,Φ, Potenzmenge Vereinigung Durchschnitt, kartesisches Produkt Modellklasse logische Implikation Relation Verkleinern der Modellklasse semantische Begriffe Grundbegriffe aus Logik / Mengenlehre Syntax Semantik Seiendes einfach Konstantenzeichen Element einer Wertemenge zusammengesetzt Grundterm (mit Funktionszeichen) Beziehung atomare Grundaussage Tupel einer Relation Eigenschaft / Attribut (zweistellige) atomare Grundaussage Grundterm Tupel einer (zweistelligen) Relation Funktionswert Rolle (bei einer Beziehung) Stelle eines Prädikaten- Komponente einer Relation zeichens Klassenbildung: Gesamtheit Menge von Konstanten- Universum zeichen Aussonderung Formel Φ dm,φ, Potenzmenge Verallgemeinerung Vereinigung Aggregation, = Durchschnitt, kartesisches Produkt Bedingung: (implikative) Aussage Modellklasse Schlüsselbedingung mit Gleichheits-Konklusion Aussonderungsbedingung Verallgemeinerungsbedingung viele-eins-bedingung mit Gleichheits-Konklusion Seinsbedingung Verweisbedingung Regel: Gesamtheitsregel Ableitungsregel oder logische Implikation Formelmenge Verneinungsregel Ableitungsregel oder logische Implikation Formelmenge Sichtregel Formelmenge Relation Handlung: Information konjunktiv hinzugefügte Verkleinerung der Modell- Aussage klasse Mitteilung Aussage Verstehen Widerspruchsfreiheit Erfüllbarkeit Erfüllbarkeit

9 semantische Begriffe Konzepte prozeduraler Programmiersprachen Seiendes einfach Konstante strukturiert Strukturbaum eines Terms Beziehung Verbund (record), Aufruf einer booleschwertigen Funktionsprozedur Eigenschaft Verbund (record), Aufruf einer attributwertigen Funktionsprozedur Rolle (bei einer Beziehung) Komponentenbezeichner eines Verbundes, formaler Parameter einer Funktionsprozedur Klassenbildung: Gesamtheit Deklaration eines Typs Aussonderung Menge, Deklaration einer booleschwertigen Funktionsprozedur Verallgemeinerung Deklaration eines varianten Verbund-Typs Aggregation Deklaration eines Feld- (array-) oder Verbund-Typs paradigm formale Sprache erfinden verwirklichen benutzen theory abstraction design Bedingung Deklaration einer Prozedur Regel Deklaration einer Prozedur Handlung: Information Zustandsänderung (Wertzuweisung) Mitteilung aktuelle Parameter beim Aufruf einer Prozedur Verstehen Ausführung einer Prozedur

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