1 Grundlagen der analytischen Geometrie

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1 M. Pester 3 Grundlagen der analtischen Geometrie. Punkte, Vektoren, Geraden, Ebenen Einsat rechnerischer Methoden für die Behandlung geometrischer Beiehungen. Punkten werden Zahlentupel (Koordinaten) ugeordnet. Festlegung eines Koordinatensstems mit Ursprung und (rechtwinkligen) Koordinatenachsen,. B.: IR = { : IR} IR 2 = {(, ) :, IR} P P Gerade Ebene IR 3 = {(,, ) :,, IR} Raum P Vektoren Dem Punkt P = (,, ) kann ein Ortsvektor p = Vektor vom Koordinatenursprung um Punkt P ). ugeordnet werden (der Gerade in der Ebene, definiert durch 2 voneinander verschiedene Punkte P und P. Geradengleichungen: Zwei-Punkte-Gleichung: = Punkt-Richtungs-Gleichung: = m ( ) + Allgemeine Gleichung: a + b + c = (Sonderfälle beachten!) Gerade im Raum, definiert durch P = (,, ) und P = (,, ). Richtungsvektor: a = α ( p p ) = α mit α = ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 Parameterdarstellung: p = p + t a, t IR, a =

2 4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE Ebene im Raum, bestimmt durch: 3 nicht auf einer Geraden liegende Punkte P, P, P 2 oder 2 sich schneidende (oder ueinander parallele) Geraden. Ebenengleichungen: Parameterdarstellung: p = p + t a + s a 2, t, s IR, a = a 2 = Allgemeine Gleichung: A + B + C + D = Hessesche Normalform: n + n + n + d = n = n n = Normalenvektor n = Abschnittsgleichung: n d = Abstand der Ebene von a + b + c = a, b, c Abstände der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen vom Ursprung.2 Produkte von Vektoren () Skalarprodukt (inneres Produkt) Def.: a, b = a b = a b cos ( a, b) a b a b = a b a b = ± a b a b = a b + a b + a b (2) Vektorprodukt (Kreuprodukt, äußeres Produkt) Def.: a b = v mit: v = a b sin ( a, b) und v a, b a, b, v bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssstem. a b a b = a b a b a b = O a i j k b = a a a = b b b (3) Spatprodukt (gemischtes Produkt) Def.: ( a b c) = a b, c = ( a b) c a, b, c sind komplanar ( a b c) = ( a b c) = ( b c a) = ( c a b) a b a b a b a b a b a b

3 M. Pester 5 ( a a a a c (a b a b ) b c) = b b b = + c (a b a b ) c c c + c (a b a b ).3 Lagebeiehungen im Raum () Punkt Gerade Geg.: Gerade g: p = p + t a, a = Punkt Q: q Ges.: Abstand d: küreste Entfernung von Q u allen Punkten P (t) auf g. d = ( q p ) a a (2) Zwei Geraden Geg.: Gerade g : p = p + t a, a = Gerade g 2 : q = q + t a 2, a 2 = Ges.: Abstand d bw. Schnittpunkt P a d g Q = Fläche (des aufgespannten Parallelogramms) Grundseite d = q p, a a 2, für a a 2 = a a 2 Speialfälle: Q g 2 d P g ( a a 2 ) = Geraden sind parallel (wie Punkt Gerade) ( a a 2 ), d = Geraden schneiden sich ( a a 2 ), d Geraden sind windschief (3) Punkt Ebene Geg.: Ebene E: n p + d =, n = Punkt P : p Ges.: Abstand d Zu E parallele Ebene durch P : n p + (d d ) = d = n p + d E P n d (4) Gerade Ebene Geg.: Ebene E: n p + d =, n = Gerade g: p = p + t a Ges.: Schnittpunkt Gleichung in t: ( n a) t + ( n p ) + d = Für ( n a) = gilt: g E (5) Zwei Ebenen Geg.: Ebene E : n p + d =, n = Ebene E 2 : n 2 p + d 2 =, n 2 = Ges.: Schnittgerade 2 Gleichungen in p = (,, ) parameterabhängige Lösung: p = p + t a mit: a = n n 2 n n 2, für n n 2 O E n g P a n n 2 E a E 2

4 6 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE 2 Koordinatenssteme 2. Affine Koordinaten Ein Koordinatensstem dient als Beugssstem für Darstellung von Punkten und Vektoren (Grundobjekte der analtischen Geometrie). Allgemeine Definition und Eigenschaften [X, T (X)] def = affiner Raum, bestehend aus X = Menge von Punkten T (X) = Menge von Translationen auf X Punkte P, Q, R,... X Vektoren v, w,... T (X) P, Q X v T (X) : Q = P + v P X, v T (X) Q X : Q = P + v v = P Q def = Q P P Q + QR = P R P P = O P Q = QP (Nullvektor) Als Koordinatenursprung wird ein Punkt O X ausgeeichnet: P X P = O + OP, P + Q = R OP + OQ = OR OP T (X) Wahl einer Basis in T(X): B = { u,..., u n } Koordinatensstem: (O, B) = (O, { u,..., u n }) Affine Koordinaten: v T (X) : v = j v j u j, v j IR P X : P = O + j p j u j, p j IR Vektorkoordinaten: v = Punktkoordinaten: P = v. v n p. p n IRn v T (X) IRn P X Kartesische Koordinaten im IR 3 : ( { }) O, i, j, k : i j = i k = j k = i i = j j = k k = } Orthonormalsstem i e =, j e2 =, k e3 =

5 M. Pester Homogene Koordinaten Homogene Gleichungen sind solche Gleichungen, deren Lösungsmenge sich nicht ändert, wenn jede Gleichungsvariable durch ihr k-faches ersett wird. Betrachten wir. B. die Ebenengleichung a + b + c + d = mit den Gleichungsvariablen,,. Durch Einführung einer usätlichen Variablen w entsteht die homogene Gleichung a + b + c + dw = mit den Gleichungsvariablen,,, w. Für jede Lösung P = mit w ist auch P = w = w w w eine Lösung dieser homogenen Gleichung. Die Ebenengleichung kann somit auch mit dem Skalarprodukt formuliert werden: a b c = d w Ein Punkt P mit den affinen Koordinaten (,, ) besitt die homogenen Koordinaten (,,, ) bw. (w, w, w, w) mit w. Bei der Darstellung von Vektoren in homogenen Koordinaten ist w = : q p q p v = P q Q = Q P = q p p = q p q p = Diese Rechnung ist war nicht gan korrekt, veranschaulicht aber den Unterschied wischen Punkt und Richtung. Für einen Vektor in homogenen Koordinaten ist nur die Richtung von Bedeutung. Jedes Vielfache ist gleichwertig (ebenso wie bei Punkten in homogenen Koordinaten). Anmerkungen: Ein Punkt mit den homogenen Koordinaten (,,, ) besitt keine affinen Koordinaten. Die Betrachtung als Grenwert liefert: = lim lim n n n n d. h. ein Vektor kann aufgefasst werden als ein unendlich ferner Punkt in der entsprechenden Richtung. In der projektiven Geometrie werden homogene Kooordinaten in einem n-dimensionalen projektiven Raum IP n als die Richtungsvektoren der -dimensionalen Unterräume des IR n+ definiert: (λ,..., λ n+ ). Die Punkte = (,..., n ) IR n können in diesen projektiven Raum eingebettet werden,.b. als Schnittpunkte der D-Unterräume mit der Hperebene n+ =. Die Richtungen (Vektoren) IR n sind dann diejenigen D-Unterräume, die in der Hperebene n+ = liegen. (s.o.: w = bw. w = ) v v v