Gymnasium. Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 2. Klasse 9. - Lösungen

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1 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz Hinweise: Die Zeicnungen sind teilweise verkleinert drgestellt. Alle Mße sind in mm, flls nict nders ngegeben.. Der Abstnd zweier Punkte im Koordintensystem errecnet sic nc der Formel: AB x, x y, y B A B A für A(, / 4) und B(, 5 /, ) erält mn : AB, 5,, 4 LE AB 4 6 LE AB 40 LE. Länge einer Strecke zwiscen zwei Punkten: PQ x, x y, y für P(/ 4) und Q(, / 7) erält mn : PQ 4, 7 LE PQ 5 LE PQ 5 LE Länge der Qudrtseite: PQ (Pytgors) 5 :,5,5 LE,5 LE GM_LU056 (5)

2 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz. ) geg.: Qudrt mit A m ges.: Digonlenlänge d Lös.: Länge der Digonlen eines Qudrtes: d d d d 00 m 8,8 m Seitenlänge des Qudrtes: A A m 00m b) geg.: Qudrt mit der Digonlenlänge d 8 cm ges.: Umfng des Qudrtes Lös.: Seitenlänge us der Digonlen: d d d d Umfng: U 4 4 d d U 8 cm 6 cm 4. ) c AB,,,5, 5 46,5 LE ( b AC,,, 7 LE b) BC,,5,, 5, 9,5 LE Ds Dreieck ABC ist rectwinklig, wenn nc dem Stz des Pytgors gilt: b c 9,5 7 46,5 (wr) Ds Dreieck ABC ist rectwinklig. c) Die Dreiecksöe lässt sic über die Dreiecksfläce einfc bestimmen. A Χ ABC c d b b 9,5 7 d 7,4 c 46,5 d,7 LE GM_LU056 (5)

3 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz 5. Die ursprünglice Höe des Mstes setzt sic zusmmen us den beiden Längen und b (vgl. Skizze rects). Die Teilstrecken sind: und b. 4 4 Die ursprünglice Mstöe knn mit Hilfe des Pytgors bestimmt werden: b m,m 6. Es ist bzuscätzen, ob die Digonle der Dcluke groß genug wäre, um die Pltten mit der kurzen Seite (75 cm) indurc zu scieben. Digonle der Dcluke: d 0 75 cm d cm Die Dcluken-Digonle ist 8 cm länger ls die kurze Plttenseite. Somit ist zu erwrten, dss die Gipskrtonpltte indurc psst. 7. Die Sictweite knn mn sic ls Tngente n den Kreis (die Erdkugel) vorstellen. Diese Tngente und der Rdius steen ufeinnder senkrect. Mn erält so ein rectwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen r, s und (r ). Für dieses rectwinklige Dreieck gilt nc dem Stz des Pytgors: r r s s r, r r r, r s r s 0,06 0, km s,4 km GM_LU056 (5)

4 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz 8. Berecnung von c Ktetenstz: b qc c b q 8 cm c 8 cm Berecnung von Pytgors: c, b 8, 80 cm,4cm Berecnung von b, q C C, 8 80 cm C Pytgors: C 8,94 cm Berecnung des Fläceninlts des Dreiecks: A b 80 cm A 80,50 cm Zweiter Hypotenusenbscnitt: p c, q 8 cm, 8 cm p 0 cm 9. ) Pytgors: x, 0 cm 0 cm x x, 40 cm x 400 cm 4400 cm x 40 cm x 4800 cm x 70 cm Die Leiter ist,70 m lng. GM_LU056 4 (5)

5 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz b) Pytgors: 00 mm 00 mm 0000 mm 0000 mm 0000 mm 4mm Die Seitenlänge des Qudrtes beträgt etw 4 mm. 0. ) Gib die Seitenlänge w in Abängigkeit von u und v n. Lösung: w u v Die Lösung ist flsc. Rictig muss es eißen: w u, v weil u v w w u, v b) Berecne die Länge. Lösung: Die vorgegebene Lösung berut uf dem Höenstz pq Um zu überprüfen ob ds Mß 7 seine Rictigkeit t, wird noc der Pytgors im kleinen Dreieck ngesetzt: Widerspruc Ds Ergebnis der Überprüfung mit dem Pytgors zeigt, dss ein Mß in der Zeicnung nict stimmt. c) Berecne die Länge x. Lösung: x d Ktetenstz ( 4 x d 4 4 Die Lösung ist flsc. Rictig muss es eißen: x 4 d 4 4 GM_LU056 5 (5)

6 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz. ) x pq ist flsc, d x nict rectwinklig zur Seite p+q ist. p q b c p q b c p q b c ist rictig, nc Pytgors: b) d b flsc, rictig wäre d b., ist flsc, rictig wäre d, d. ) g = b ( + b) (Ktetenstz) b) f = b (Höenstz) c) d e, c, b (Pytgors) b( c d e( b d e, c b d e, c d e, c, b. Digonle c der Grundfläce: c² (6 cm)² (8 cm)² c 00 cm c 0 cm Rumdigonle d des Quders: d² (4 cm)² (0 cm)² d 6 cm d 0,77 cm GM_LU056 6 (5)

7 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz 4. Die Grundfläcendigonle d t die Länge: d Die Rumdigonle D t die Länge: D 0 D 5. ) Es gilt: AB AC 4 5 BC 4 6 b) Ds Qudrt der Länge der größten Seite [AB] im Dreieck ABC ist nict gleic der Summe der Qudrte der Längen der nderen zwei Seiten, deslb ist ds Dreieck ABC nict rectwinklig. AB AC BC Wir definieren folgende Längen: d BC ; e AC ; f AB d ist die Digonle einer Würfelseite; d (Pytgors in einem Qudrt) e ist die Rumdigonle eines Würfels; Χ e d Pytgors im ACD e e e GM_LU056 7 (5)

8 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz f ist die Digonle über zwei Qudrte inweg Χ f Pytgors im AEB f 5 f 5 Prüfung, ob ds Dreieck rectwinklig ist. Wir kennen nun die Längen ller drei Seiten des Dreiecks. Wenn es rectwinklig ist muss es den Stz des Pytgors erfüllen: f d e 5( ( ( wr Ds Dreieck ABC ist rectwinklig. 7. ) Die Seiten AB und AC sind gleic lng. Es gilt: AB AC 4 BC 4 Ds Dreieck ABC t somit den Umfng: U ABC ( b) Für 8 cm ist der Umfng UABC 8,0 cm 9,7 cm. 8. Die Grundfläcendigonle d der Pyrmide t die Länge: d 0 m 0 m 0 m Die Seitenknte s t eine Länge von c. d s 46 0 m s 8,6 m GM_LU056 8 (5)

9 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz 9. Digonle d der Grundfläce - Pytgors d² ² ² ² d d 0 m d 5 m Pyrmidenöe Pytgors d ² s² d ² s², ² 0² m², 5 m² m², 6450 m² 48, m Höe eines Seitendreiecks Pytgors s² s², 0 m 0² m², m², 5 m² 87,55 m Fläce eines Seitendreiecks AΧ AΧ 0 m 87,55 m A 568,5 m² Χ Oberfläce der Pyrmide O 4 AΧ O 4 568,5 m O 867 m GM_LU056 9 (5)

10 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz 0. ) Höe S der Seitenfläcen - Pytgors: S, 4 S b) Der Fußpunkt F der Körperöe K ist gleiczeitig der Scnittpunkt der drei Höen der Grundfläce. D die Grundfläce ein gleicseitiges Dreieck ist, ist jede Höe der Grundfläce uc gleiczeitig eine Seitenlbierende und der Abstnd vom Punkt F zu einer Ecke beträgt S Pytgors im Dreieck AFS: K, K K,. Digonle d der Grundfläce - Pytgors d² ² ² ² d d Pyrmidenöe - Pytgors d ² s² d ² s², ² s², s², ² GM_LU056 0 (5)

11 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz Höe eines Seitendreiecks Pytgors s² s², ² s², 4 s², ² 4. Die Digonlenlänge (gegenüberliegende Knten) des Scrnkes drf nict größer ls die Kellerdecke werden. Mit dem Stz des Pytgors ermittelt mn dnn die mximle Scrnköe x: x 70 cm 0 cm x 4400 cm, 4900 cm x 900 cm x 98 cm Der Scrnk drf mximl 98 cm oc sein.. Entsprecend nebensteender Zeicnung knn im kleinen rectwinkligen Dreieck der Pytgors ngesetzt werden: r s t t r, s t 4, cm t 7 cm x r, t 4, 7 cm x,5 cm GM_LU056 (5)

12 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz 4. Die Tiefe des Abdrucks knn zwr nict unmittelbr berecnet werden, über ds Dreieck KLM lässt sic die Eindrucktiefe jedoc (indirekt) bestimmen. Pytgors im Χ KLM : D D, d ( ML KM KL 5 5,,5 5,,75 5,,75 5 4,77 / 0, mm, 9,77 mm keine Lösung, weil = d / 5. Nc dem Stz des Pytgors gilt im frbig mrkierten Dreieck (siee Skizze): x,,4, ( x,,,4 x,04 cm x,86 cm 6. Die beiden mittleren Kreisen ben jeweils den Rdius cm, die Hypotenuse des rectwinkeligen Dreiecks t die Länge x. Die senkrecte Ktete des Dreiecks t die Länge 4, x und die wgerecte Ktete t die Länge. Pytgors: 4, x( x ( 6, 8x x 4 x 4x 4 0, 8x 4x 4 x 4 cm GM_LU056 (5)

13 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz 7. Pytgors: d d d r r 4, 4 d d d d d r r, r r dr d, dr 4 4 dr d, 4dr 6dr d :6d d r 6d r d 6 8. Die Digonle des Rectecks t die Länge d 6. Die kurze Seite des Rectecks t die Länge d, 5 6, 5 Ds Recteck wird durc die Digonle in zwei gleic große Dreiecke geteilt; seine Fläce ist: A 5 dx Χ x 5 5 d 6 x,76 9. Höenstz im Dreieck BCD: p p, 4 0 p p ( p) / pq 4 p p,,, 4 ( 4) p p, 4 GM_LU056 (5)

14 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz Pytgors im Dreieck DEC: CD DE CE b 4 b 0 4,47 0. Höenstz im Χ CDE :, p 6 p p 6p 4 0 p / pq, 4 6p, p 6 6, 44 p / 5 p, 5; p 5 AE, 5 cm oder AE 5 cm Pytgors im CE CF EF ΧECF CE 5 CE 5 CE CE 6 5 cm 5,6cm oder CE CF EF CE, 5 CE, 5 CE 9, , 6 5 CE 6, 5 cm,4 cm GM_LU056 4 (5)

15 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz. Seite k Ktetenstz: k² r s k² 6 cm 5 cm k 90 cm 0 cm k 9,49 cm Höe z Pytgors: z² r² k² z² k², r² z² 90 cm², 6 cm² z 54 cm 6 cm z 7,5 cm Seite f Pytgors: f² k² s² f² s², k² f² (5 cm)², 90 cm² f 5 cm 5 cm f,6 cm. Höe z (Pytgors) ² x² z² z² ², x² z 4², ² cm z cm,46 cm Hypotenusenbscnitt y y = c x = 8 cm cm y = 6 cm Seite c (Ktetenstz) ² c x ² (4 cm)² c x cm c 8 cm Seite b (Pytgors) : ² b² c² b² c², ² b² (8 cm)²,(4 cm)² b 48 cm GM_LU056 5 (5)

16 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz. Höenstz im Χ ABC: Pytgors im Χ ABF: pq, p q,8 p,66 cm c p c p,,66 cm c 4,86 cm 4. Pytgors im Χ AFC : AC AF Für 4 4, 6 cm ist c. 5,0 cm lng. 5. ) AF 0 cm, CF 4 cm AC b 4 cm Berecnung von - Höenstz: AF CF 0 cm 4 cm 40 cm 6, cm Berecnung von - Ktetenstz: AC CF 4 cm 4 cm 56 cm 7,5 cm Berecnung von c - Ktetenstz c c AC AF 4 cm 0 cm c 40 cm,8 cm Fläceninlt des Dreiecks ABC: A Χ ABC c A Χ ABC cm A Χ ABC 7840 cm GM_LU056 6 (5)

17 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz A Χ ABC 577cm 47 5cm A 4 0 cm 44, cm Χ ABC 6. Seite q: Höenstz im Dreieck ABC qp 6 q p 8 q cm Seite c: setzt sic zusmmen us c p q c 8 c 0 cm Seite b: Ktetenstz im Dreieck ABC b c q b c q b 6, cm Seite : Ktetenstz im Dreieck ABC cp c p ,0 cm Seite s: Höenstz im Dreieck ABD b s b s s,cm Seite r: Stz des Pytgors im Dreieck ACD 40 4 r s b ,4 cm r r 6,7 cm GM_LU056 7 (5)

18 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz 7. Berecnung von AB - Pytgors: Berecnung von DE - Höenstz: BC CE AB AB BC, CE AB, 7 cm( 6 cm( AB 49, 6 cm AB cm AB cm 7, cm CE DE BE DE CE CE BE AB 6 cm DE 6 cm DE 0,0 cm cm AB AB 8. geg.: AD 4 cm, DF b,5 cm ges.: Länge der Sene AB Rdius r Lös.: Sene AB - Pytgors im Χ ADF : AD AF DF AF AD, DF AF 4 cm,,5 cm AF,75 cm AB AF,75 cm AB 55 cm Rdius r - Ktetenstz im AD AD DF DC DF r 4 cm( Χ ADC: r AD 5 cm DF,5 cm GM_LU056 8 (5)

19 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz 9. Höe Pytgors im ΔPQS c b b, c cm cm, 5 cm 5 cm Die Höe ist ebenflls im ΔPQR die Höe bezogen uf die Grundseite c. Seite d Pytgors im ΔQRS: d d cm 5 cm d 4 cm 5,8 cm Seite e Pytgors im ΔPTR: e c e 5m 5m e 50 cm 5,8cm Fläce ΔPQR: A A A PQR PQR PQR c cm 5 cm 0 cm Umfng des Dreiecks PQR: U c d e U cm 5,8 cm 5,8cm U,64 cm 40. Einen Term (d) für die Höe in Abängigkeit von der Auslenkung d bestimmen: Pytgors: l d l l d l, l, l / /, 0 d, l 0, l d l l, d l l, 4 d l 4l, 4d l l, d Es knn nur der negtive Wurzelwert verwendet werden, weil sonst die Auslenkungsöe größer ls die Fdenlänge l würde. Bei gegebener Fdenlänge l erält mn nun: (d) l, l, d GM_LU056 9 (5)

20 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz 4. Seitenlänge x des einbescriebenen Qudrtes - Pytgors: d x x d x x d x d d x d 8 cm Seitenlängen im Dreieck: g cm g cm, g x in : g x, d, 64 6, :, 88 0 GM_LU056 0 (5)

21 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz / / b b 4c,, ,, 6 7 ( 4,5 cm oder 7,75 cm us : g cm, g 7,75 cm 4. mit Hilfe des Ktetenstzes konstruieren: pc 6 6 ; Mn knn z.b. 6 cm ntrgen und nscließend den Tleskreis zeicnen. Auf einer Seite cm btrgen und durc diese Mrkierung eine Senkrecte legen die den Tleskreis scneidet. Von diesem Scnittpunkt bis zum Ende der 6 cm Strecke eine Verbindungslinie zeicnen. Diese Linie ist cm lng. cm GM_L Zeicne ein rectwinkliges Dreieck mit c = 8 cm, p = 6 cm (q = cm) Aus b² qc folgt b q c b 8 cm b 4 cm GM_LU056 (5)

22 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz 44. Ds Qudrt mit der Seitenlänge s = 4 cm t die Digonlenlänge d 4 cm. Die lbe Digonlenlänge ist somit d cm. Diese lbe Digonle ist nun Seite des gesucten Qudrtes mit der Seitenlänge d cm und dem Fläceninlt A A A Qudrt Qudrt Qudrt d cm( 8 cm 45. Ein Qudrt mit Fläceninlt 0 cm² mit Zirkel und Linel konstruieren. Die Konstruktion bsiert uf dem Höenstz - Strecke p = 6 cm und drn nscließend q = 5 cm ntrgen. pq im rectwinkligen Dreieck: - Tleskreis um die Gesmtstrecke p q cm mit Rdius r 5,5 cm. - Senkrecte zwiscen p und q scneidet den Tleskreis in der Höe =. - Die Qudrtseite zum Qudrt ergänzen GM_LU056 (5)

23 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz 46.. Möglickeit mit Hilfe des Pytgors: c b c, b 5, c 5; b Im Dreieck ABC ist die Seite. Möglickeit mit Hilfe des Höenstzes: pq pq 7 p 7; q Im Dreieck ABC ist die Seite b 47. GM_L Mn könnte z.b. den Höenstz verwenden. Die Höe eines rectwinkligen Dreiecks zum Qudrt ist ds Produkt us den beiden Hypotenusenbscnitten => Höenstz: pq in unserem Fll 5 cm 0 GM_LU056 (5)

24 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz 49. Konstruktionsbescreibung: - Recteck ABCD mit AD = q = 4,9 cm und AB = p =,6 cm zeicnen. - Strecke AD über D inus verlängern () - Scnittpunkt von ΖAD und Kreis K(D; r = p) ergibt E () - Mittelpunkt M der Strecke AE konstruieren. - Tleskreis mit Mittelpunkt M ntrgen. () - CD über D inus verlängern => [CD scneidet Tleskreis in F. (4) - Strecke [DF] in den Zirkel nemen und in D entlng der Hlbgerden [DE ntrgen. (5) - Zu einem Qudrt ergänzen. 50. Die Konstruktion des Rectecks knn mit Hilfe eines Stzes des Euklid usgefürt werden. Die längere Recteckseite ist die Hypotenuse c eines rectwinkligen Dreiecks und die kürzere Seite ist der Hypotenusenbscnitt p. Ds rectwinklige Dreieck mit c = 7 cm und seiner 4cm lngen Ktete wird nc folgendem Abluf konstruiert (Zeicnung verkleinert): GM_LU056 4 (5)

25 Aufgben zum Pytgors, Ktetenstz, Höenstz GM_LU056 5 (5)