2. Kubatur (Aufgaben 55 bis 108)

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1 . Kubatur (Aufgaben 55 bis 108) 55) Rotiert ein Bogen einer gleicseitigen Hyperbel (wobei der Anfangspunkt ein Sceitel ist) um die Hauptacse von yp, so entstet (analog zur Kugelkalotte) eine Hyperboloidkalotte der Höe mit dem Basiskreisradius r. Wäle a) oder b)! a) Leite die Volumsformel V ( 3r ) = π für die Hyperboloidkalotte er! 6 b) Verifiziere die Formel für jene konkrete gleicseitige Hyperbel yp in erster Hauptlage, welce durc den Punkt P(39 36) verläuft, wobei P bei Rotation von yp um die Hauptacse den Basiskreis der Kalotte erzeugt. 56) Verallgemeinerung von Aufgabe 55): Rotiert ein Bogen einer gleicseitigen Hyperbel (welcer den Sceitel nict entält) um die Hauptacse von yp, so entstet eine Zone von einem Teil eines zweiscaligen Dreyperboloids der Höe mit dem Basiskreisradius r und dem Deckkreisradius R. Für das Volumen dieser Zone gilt dann (die nict mer so V = π 3R + 3r. einfac wie jene in der letzten Aufgabe erzuleitende) Volumsformel ( ) a) Erkläre, wie die Volumsformel aus der letzten Aufgabe nun ganz einfac aus jener für die Zone folgt! b) Verifiziere die Volumsformel für die Zone anand jener gleicseitigen Hyperbel yp in erster Hauptlage, welce durc den Punkt P(16 11) verläuft, wobei P bei Rotation von yp um die Hauptacse im Intervall [1;4] entstet. 6 57) Die Hyperbel yp [yp.: xy = 3] begrenzt mit der Ellipse ell [ell: 4x + y = 7] im ersten Quadranten ein Fläcenstück, welces bei Rotation um die x-acse einen Drekörper erzeugt. Berecne das Volumen des Körpers! 58) Die Hyperbel yp [yp.: xy = 3] begrenzt mit der Ellipse ell [ell: x + 16y = 30] im ersten Quadranten ein Fläcenstück, welces bei Rotation um die x-acse einen Drekörper erzeugt. Berecne das Volumen des Körpers! 59) a) Wie viele Punkte aben die Ellipse ell [ell.: b x + a y = a b ] und die Parabel par [par.: y b = b x ] a gemeinsam? Ermittle die entsprecenden Koordinaten und gib ggf. die Art der Berürung an! b) Rotiert das von ell und der x-acse bzw. das von par und der x-acse begrenzte Segment um die y-acse, so entsteen zwei Drekörper. In welcem Verältnis steen derer Volumina? 60) Eine Ellipse ell in erster Hauptlage (albe Hauptacsenlänge a, albe Nebenacsenlänge b, Brennweite e) wird um 90 um den Ursprung gedret, wodurc eine zu ell kongruente Ellipse ell entstet, die mit ell ein Fläcenstück begrenzt, welces bei Rotation um die x-acse einen Drekörper erzeugt, für dessen Volumen V die Formel 4abπ e V = a ergeleitet werden kann. 3 ( ) a + b Wäle nun a) oder b)! a) Beweise diese exotisce Volumsformel! b) Verifiziere sie für die konkrete Ellipse ell [ell.: 9x + 16y = 3600]! c) Obligatorisc [egal, ob zuvor a) oder b) gewält]: Was passiert mit der Formel für e=0? Interpretiere geometrisc! 61) Durc einen im ersten Quadranten liegenden Punkt P(a b) wird der Grap Γ f einer Polynomfunktionen zweiten Grades gelegt, welcer sowol die x-acse als auc die durc P geende Parabel par in erster Hauptlage in P berürt. Beweise [oder verifiziere für P(10 10)], dass der Drekörper, der bei Rotation 3πab des von der x-acse, par und Γ f begrenzten Fläcenstück um die x-acse entstet, exakt beträgt. 10

2 6) Nebensteende Skizze zeigt den Längsscnitt eines Fasses mit elliptiscen Dauben. Wäle a) oder b), wobei bei der Wal von b) zusätzlic c) und d) zu bearbeiten sind: nebensteende ndeformel a) Beweise für das Volumen von diesem Fass! b) Verifiziere die Formel für die speziellen Werte =160cm, w=7cm und d=45cm. c) Gib den Durcmesser des Fasses (klarerweise an der breitesten Stelle!) an! V w π = ( + 3d ) d) Utopie(!): Bei der Maturafeier steen zwei(!!) derartige Fässer zur Verfügung. Es sind 19 Personen anwesend. Wie viel Liter könnte(!!!) teoretisc jeder trinken, wenn man gerect aufteilt? 1 1d 63) Einer gleicseitigen Hyperboloidkalotte (Radius r, Höe ) wird ein koaxialer Drekegel mit identiscem Basiskreis und gleicer Höe eingescrieben. Beweise, dass dieser Kegel stets mer als 3 der Hyperboloidkalotte einnimmt. 64) Ein (in der angegebenen Skizze Maße in mm, Actung: Skizze nict maßstabsgetreu! auf die Seite gekipptes) Glasgefäß at die Form eines Drekegelstumpfs, welcer wie in der Skizze angegeben durc eine Dreyperboloidkalotte ausgeölt wurde, wobei der Acsenscnittpunkt der erzeugenden Hyperbel mit dem Basiskreis des Kegelstumpfs zusammenfällt und die eingezeicnete Parallelität zu beacten ist. Wie viel cl fasst dieses Gefäß? 65) Eine Dreparaboloidsceibe (Höe, Basis- bzw. Deckkreisradius r bzw. R, wobei R>r) wird unteralb ires Basiskreises von einem koaxialen Drekegel berürend abgesclossen. Dann gilt für das Volumen des Gesamtkörpers die Formel V =. π R + r R r Wäle a) oder b). Be(tr)acte in jedem Fall die recte Abbildung, welce einen Acsenscnitt des oben genannten Körpers darstellt. a) Beweise diese Formel! b) Verifiziere sie für P(3 4) und Q(x Q 48)!

3 66) Ein American Football entstee, indem man den von der r ( 4x ) Parabel par [par.: y = ] und der x- Acse begrenzten Bereic um die x-acse rotieren läßt. a) Zeige zunäcst, dass obige Parabel tatsäclic die in der unteren Skizze illustrierten Voraussetzungen erfüllt. Verbalisiere selbige, bevor du sie nacweist! b) Leite auf Grundlage des obigen matematiscen Modells die Formel für das Volumen von einem derartigen Football er! 67) Eine Dreparaboloidkalotte und eine Dreyperboloidkalotte (von einer gleicseitigen Hyperbel erzeugt) aben gleicen Radius r und gleice Höe, mit V P bzw. V H seien deren Volumina bezeicnet. a) Beweise, dass stets V P > V H gilt! b) Berecne das Verältnis r:, wenn V P : V H = 16 : 13 gilt! 68) SATZ. Screibt man einer Hyperboloidkalotte (albe Hauptacsenlänge a der erzeugenden Hyperbel, Höe ) jenen koaxialen Kegel mit identiscem Basiskreis und gleicer Höe ein, so veralten sic die beiden Volumina wie (3a+):(a+). Überprüfe diesen Satz für =4 anand der Hyperbel mit der Gleicung 9x 16y = ) Dave berictet beim 40järigen Maturatreffen (vgl. Abbildung rects!) stolz, das ganz große Geld gemact zu aben (Immerin lädt er die ganze Klasse samt aller zur Verfügung steenden Lerer zu einer gesclossenen Gesellscaft in die Creperie ein! ), und zwar (indirekt!) mit Matematik. Unser werter "Diagonal-Dave" at sic nämlic auf die Produktion von Footballs spezialisiert, welce nict wie jene in Aufgabe 66) als Meridianscnitte doppelte Parabelsegmente aufweisen, sondern (translatierte) Potenzkurven öerer Ordnung als Profile aufweisen, die tecniscen Details folgen nun anbei: Der "DSF" (stet nict fürs deutsce Sprotfernseen, sondern für Daves Spezial-Football) entstet, indem die Quartik mit der Gleicung 4 8d 4 y = 4 ( x ) im Intervall[ ; ] um die x-acse rotiert. 16 a) Beweise zunäcst, dass diese Quartik überaupt einen Drekörper der Höe mit dem maximalen Querscnittsdurcmesser d erzeugt! b) Beweise, dass der DSF ein um ein Drittel größeres Volumen aufweist als das Standardmodell, welces durc d Rotation der Parabel mit der Gleicung y = ( x ) im Intervall[ ; ] um die x-acse entstet. 4

4 70) (Inaltlice) Fortsetzung von Aufgabe 69): Zu Beginn von Daves "Footballkarriere" war Ritzi seine recte Hand, ergo: stellvertretender Generaldirektor! Dann begann er, durc Fälscen von Daves Bücern auf eigene Faust (vermeintlic!) noc bessere Footballtypen zu produzieren, und zwar unter Verwendung einer Sixtix anstelle von Daves Quartik, Details folgen nun anbei: Der "MUFFI" (Moritz ultra-feiner Football intelligent!) 6 3d 6 entstet, indem die Sixtik mit der Gleicung y 6 ( x ) [ ; ] um die x-acse rotiert. = im Intervall a) Beweise zunäcst, dass diese Sixtik überaupt einen Drekörper der Höe mit dem maximalen Querscnittsdurcmesser d erzeugt! b) Beweise, dass der MUFFI ein um fast die Hälfte größeres Volumen aufweist als das Standardmodell, welces durc Rotation der Parabel mit der d Gleicung y ( x ) = im Intervall [ ; ] 4 c) Quantifiziere "ein um fast die Hälfte größeres Volumen"! 64 um die x-acse entstet. 71) 7) 73) a) Beweise, dass die Hyperbel yp [yp: 4b x a y = 1a b ] b 4 und der Grap Γ f der Funktion f [ y = f ( x) = 4 x ] einander im [nebst S(0 0)] zweiten Scnittpunkt P von Γ f mit der steigenden Asymptote der Hyperbel yp [yp: b x a y = a b ] berüren. b) Rotiert der Hyperbelbogen BP bzw. AP` (siee Abbildung rects) um die y-acse so entstet eine Zone eines einscaligen Dreyperboloids. Welcen Bructeil davon nimmt jener Rotationskörper ein, der bei Dreung des Bogens SP bzw. SP` von Γ f um die y-acse entstet? 8a Aus der dreistündigen Scularbeit der 8D (009/10) [@ Ulli: jene Klasse, die ir letztes Sculjar in der Sculwartwonung verbract at! 74) Von einer Ellipse ell in erster Hauptlage kennt man den rectsseitigen Brennpunkt F(3 0) sowie den rectsseitigen Hauptsceitel B(9 0). Rotiert der grün markierte Bereic um die x-acse, so entstet eine Zone eines eiförmigen Dreellipsoids. V Verifiziere für deren Volumen V die nebensteende Formel! b eπ = 3 ( 3b + e ) ( b + e )

5 75) In nebensteender Abbildung ist der Meridianscnitt jenes Drekörpers illustriert, welcer durc Rotation des gefärbten Bereics um die y-acse entstet. Dabei befindet sic yp in erster Hauptlage, par in zweiter Hauptlage (par.: y=ax ) und es gilt TS = PQ. Die Länge von TW ergibt sic aus dem Quadrat UVRT, wobei k ein Actelkreisbogen ist. Wäle a) oder/und(!) b): a) Verifiziere am konkreten Beispiel PQ = 5, dass das Volumen der paraboloidförmigen Ausölung alb so groß ist das Hyperboloidvolumen. b) Beweise die in a) lediglic verifizierte Eigenscaft allgemein! 76) In nebensteender Abbildung gilt MS = b, F ist der rectsseitige Brennpunkt von ell. Rotiert der grün markierte Bereic um die x-acse, so entstet eine Dreellipsoidzone der Höe mit dem Basiskreisradius r und dem Deckkreisradius R. Verifiziere anand der konkreten Ellipse mit dem Hauptsceitel B(5 0) und dem rectsseitigen Brennpunkt F(0 0) die allgemeingültige V = π b rr für das Volumen dieser Zone! Volumsformel ( ) 3 77) In nebensteender Abbildung ist RB ein Kreisbogen mit dem Mittelpunkt E. Rotiert der grün markierte Bereic um die x-acse, so entstet eine Dreyperboloidkalotte der Höe mit dem Basiskreisradius r=a. Verifiziere anand der konkreten Hyperbel mit dem Hauptsceitel Β(1 0) und dem rectsseitigen Brennpunkt F(15 0) die allgemeingültige Formel V = π MR ( 3r) 3 + für das Volumen V dieser Dreyperboloidkalotte! 78) In nebensteender Abbildung ist F der rectsseitige Brennpunkt von yp. Rotiert der grün markierte Bereic um die x-acse, so entstet eine Dreyperboloidkalotte der Höe mit dem Basiskreisradius r. Verifiziere anand der konkreten Hyperbel mit der Asymptotengleicung as : 4y = 3x sowie dem rectsseitigen Brennpunkt F(0 0) die allgemeingültige Formel V = ( 3r k ) π für das Volumen V dieser Dreyperboloidkalotte, worin k die Steigung von as 3 bezeicnet.

6 Zum Entspannen für zwiscendurc die Aufgaben 79) und 80) aus den ersten Scularbeiten der 8B und 8C vom November 009 [mit weiteren Anwendungen der Integralrecnung, desalb im Bereic Volumina einface(re) Aufgaben (als bei euc)] Wird aber auc nict so sclimm! 79)Rotiert ein Bogen PQ einer gleicseitigen Hyperbel yp um eine irer Asymptoten, so entstet ein ornförmiger Drekörper der Höe mit dem Basiskreisradius r 1 und dem Deckkreisradius r, für dessen Volumen V dann die Formel V = r1 r π gilt. Verifiziere diese Volumsformel für obig skizzierte gleicseitige Hyperbel yp, deren Asymptoten die Koordinatenacsen sind, wobei yp durc R(6 4) verläuft, und zwar für den angegebenen Bogen PQ, wenn dieser um die x-acse gedret wird. (Der albe Längsscnitt ist der Raumvorstellung wegen auc scon gefärbt eingezeicnet!) 80)Rotiert ein Bogen PQ einer Parabel um ire Acse, so entstet eine Zone eines Dreparaboloids der Höe mit dem Basiskreisradius r 1 und dem Deckkreisradius r, für dessen Vo- V = π r + r gilt. lumen V dann die Formel ( ) Verifiziere diese Volumsformel für die in Abbildung skizzierte Parabel par, welce sic in erster Hauptlage befindet und durc R(9 18) get, und zwar für den angegebenen Bogen PQ (Der albe Längsscnitt ist der Raumvorstellung wegen auc scon gefärbt eingezeicnet!)! 1 Zurück zu "Handfesterem": 81) Rotiert eine Hyperbel "oberalb" irer Hauptacse um ire Nebenacse, so entstet ein nac oben unbegrenztes einscaliges Dreyperboloid. Diesem soll nun eine koaxiale Dreparaboloidkalotte einbescrieben werden, welce sowol den Boden als auc die Wand (längs des Deckkreises k des Paraboloidkalotte) des Hyperboloids berürt. Die Trägerebene von k einerseits und jene des Kelkreises vom Hyperboloid andererseits scneidet dann aus dem Hyperboloid einen endlicen Teilkörper eraus. Beweise nun: a) Die gemeinsame Höe des Hyperboloids und des Paraboloids entsprict der alben Nebenacsenlänge der erzeugenden Hyperbel. b) Der Fläceninalt des Deckkreises ist doppelt so groß als jener des Basiskreises (Kelkreises). c) Das Paraboloid nimmt exakt ¾ des Hyperboloids ein. d) Betractet man den Acsenscnitt dieser Konfiguration, so erzeugt der Abscnitt einer der beiden gemeinsamen Tangenten der Hyperbel und der Parabel vom Berürungspunkt bis zum Scnittpunkt mit der Symmetrieacse s der Figur bei Rotation um s einen Drekegel, dessen Volumen exakt jenem des Hyperboloids entsprict. e) Ist die Hyperbel gleicseitig, dann gleict das Hyperboloidvolumen dem Rauminalt jener Kugel, welce als Durcmesser die (Haupt-)Acsenlänge der gleicseitigen Hyperbel besitzt.

7 8) In nebensteender Abbildung sind ein Ast einer Hyperbel yp samt beider Asymptoten sowie zwei zur Hauptacse symmetrisce Bereice illustriert. Es ist zu beweisen, dass der bei Rotation dieser Bereice um die Hauptacse von yp entsteende ringänlice Drekörper jenem Zylinder volumsgleic ist, welcer bei Rotation des scraffierten Rectecks um die Hauptacse von yp entstet. 83) Von einer Ellipse ell in erster Hauptlage kennt man den rectsseitigen Brennpunkt F(0 0) sowie den oberen Nebensceitel D(0 15). Rotiert der markierte Bereic um die x-acse, so entstet eine eiförmige Dreellipsoidkalotte. Verifiziere für deren Volumen V die nebensteende Formel! π V = 3 ( a + e) ( a + e) ( a e) 3a Quelle von Aufgabe 84): 84) 85)

8 86) 87) Da es nict unbedingt notwendig ist, diese Aufgabe allgemein zu lösen, soll es auc durcaus genügen, mit den konkreten Zalenwerten r=3, =4 und R=5 zu recnen, wenn es beliebt! Was den qualitativen Vergleic betrifft, sollte scon mit beiden Varianten gerecnet werden!! 88) Über die Matematik der (Wein-)Fässer (Die Maturafeier wartet! ) Für das Volumen V von einem Fass mit paraboliscen Dauben (vgl. Abbildung rects) gilt die nebensteende ndeformel. Beweise diese Formel (Verwende dazu den Ansatz y = px + q!) ( = 15 ) π 3r + 4Rr 8 R V + 15

9 89) Mer über die Matematik der (Wein-)Fässer Analog zu Aufgabe 88), wobei die paraboliscen Dauben nun durc elliptisce Dauben zu ersetzen sind und insbesondere zu zeigen ist, dass a) für das entsprecende Fassvolumen V V = π R + r gilt, die Formel ( ) 3 b) das Fass mit elliptiscen Dauben stets einen größeren Rauminalt aufweist als jenes mit paraboliscen Dauben (selbstverständlic bei jeweils gleicen Werten für, r und R!). 90) Die Parabel par[par: y = 16x] und der Kreis k[k: x + y = 5] begrenzen (vgl. Abbildung rects!) ein Fläcenstück, welces bei Rotation um die x-acse einen Drekörper erzeugt. In welcem Verältnis steen die Volumina der beiden Teilkörper, in welce der Drekörper durc jenen Kreis geteilt wird, der entstet, wenn die (albe) Sene MP mitrotiert? 91) Leite die Formel V= ( 3r ) 3 π für das Volumen einer Kugelkalotte der Höe (mit dem Kugelradius r) er! 9) oder prüfe die Formel für das Intervall [1;64]! 93) oder/und(!) prüfe die Formel für das Intervall [4;16]! 94) a) Zeige, dass die Parabel par mit der Gleicung ay = 4b (x a) die Asymptoten der Hyperbel yp mit der Gleicung b x a y = a b berürt. Berecne die Koordinaten der Berürungspunkte T 1 und T in Abängigkeit von a und b! b) Berecne die Koordinaten der Scnittpunkte S 1 und S von yp und par in Abängigkeit von a und b! c) Rotieren die von yp und par begrenzten Gebiete um die x-acse, so entstet ein Drekörper. Beweise, dass sein Volumen jenem Ellipsoid gleict, welces bei Rotation der Ellipse ell mit der Gleicung b x + a y = a b um die x-acse entstet!

10 95)In den nebensteenden Abbildungen ist jeweils die gleice Parabel in erster Hauptlage mit dem Focus F, dem Sceitel S sowie dem Spiegelpunkt V von S an F abgebildet. a) Rotiert der in der linken Abbildung grün gefärbte Bereic um die x-acse, so entstet eine Dreparaboloidzone. Berecne deren Volumen V in Abängigkeit des Parabelparameters p! b) In der recten Abbildung bezeicnet M den Mittelpunkt der Strecke FP, ferner gilt FM = WU SU = FP. Rotiert der violett gefärbte Bereic um die x-acse, so entstet eine Dreparaboloidkalotte. Berecne deren Volumen V ebenso in Abängigkeit des Parabelparameters p und zeige, dass V = V gilt! 96) In nebensteend abgebildeter Ellipse ell wurde der obere Nebensceitel D um +90 um M in D gedret. G liegt über dem linken Focus F 1 von ell, E direkt über D. Durc Rotation des kürzeren Ellipsenbogens von E nac G (bzw. äquivalent: des gefärbten Gebiets) um die y-acse entstet eine Zone eines linsenförmigen Ellipsoids mit b V = π b e a be. dem Volumen ( ) 3a Beweise dies oder recne es am konkreten Beispiel der Ellipse ell [ell: 9x²+5y²=565] nac! 97)

11 98) Der obere Nebensceitel D der rects abgebildeten Ellipse wurde um +90 um M in D gedret. Q liegt unter dem linken Brennpunkt F 1 von ell, P direkt über D. Durc Rotation des kürzeren Ellipsenbogens von P nac Q (bzw. äquivalent: des gefärbten Gebiets) um die y-acse entstet eine Zone eines linsenförmigen Ellipsoids mit dem Volumen b V = 3a ( b + e) ( b + be + e ) π. Beweise dies oder recne es am Beispiel der Ellipse ell: 16x²+5y²=10000 nac! 99) 100)

12 101) 10) In der rects abgebildeten Ellipse wurde y + der obere Nebensceitel D um 90 um den Koordinatenursprung gedret, woraus der Punkt D ervorget, über dem unmittelbar der Ellipsenpunkt E liegt. Durc E get auc eine Parabel in erster x x + Hauptlage par, welce mit der Ellipse im ersten (und vierten) Quadranten ein Gebiet begrenzt, das bei Rotation um die x-acse einen Drekörper mit b dem Volumen V = ( a b) ( 4a + ab + b ) erzeugt. 6a Beweise dies oder recne es anand der Ellipse y ell mit der Gleicung ell:9x²+5y²=14065 nac! 103) Der rects gefärbte Bereic wird von der x-acse und vom Grapen der Funktion f [y=f(x)=x 3 6x ] begrenzt und generiert bei Dreung um die x-acse 43 π einen Drekörper vom Volumen V = 560 r. Weise die Rictigkeit dieser Volumsformel nac! 104) Ersetzt man den Punkt E in Aufgabe 10) durc jenen Punkt auf ell, welcer sic direkt über dem recten Brennpunkt von ell befindet, b = π a e 4a + ae + e. so entstet auc ein Drekörper, und zwar mit dem Volumen V ( ) ( ) Recne dies für die Ellipse ell:9x²+5y²=50000 nac oder füre einen allgemeinen Beweis! 6a

13 105) 106) (c) Rotieren die beiden Gebiete, welce die beiden Kurven im zweiten Quadranten jeweils mit der x-acse begrenzen um ebenjene, so entsteen zwei Drekörper, von denen zu zeigen ist, dass sic ire Volumina wie 7:35 veralten. 107) Zeige, dass die Ellipse ell: b x + a y = a b von der Parabel par: y b = b x zweimal auf der x- und einmal auf der y-acse a gescnitten wird, womit (siee Abbildung rects!) die beiden Kurven oberalb der x-acse mit selbiger zwei in etwa gleic große Gebiete begrenzen. Beweise oder zeige am Beispie der Parabel par: y = 7 3x, dass sic die Volumina jener beiden Drekörper, die durc Rotation dieser Gebiete um die y-acse entsteen, wie 3:4 veralten! 108) Wie 107) mit der Rotation um die x-acse, wobei das entsprecende Verältnis nun 4:5 beträgt!

14 Lösungen folgen im Herbst 01! Wien, im Mai 01. Dr. Robert Resel, e..