Alternative Darstellung des 2-Stichprobentests für Anteile. Beobachtete Response No Response Total absolut DCF CF

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1 Alteratve Darstellug des -Stchprobetests für Atele DCF CF Total Respose Resp. Rate 0,387 0,3 0,309 Beobachtete Respose No Respose Total absolut DCF CF Be Gültgket de er Nullhypothese Beobachtete Respose No Respose Total Zeleprozet DCF 38,7% 61,3% 111 CF 3,% 76,8% 11 30,9% 69,1% 3 Erwartete Respose No Respose Total Zeleprozet DCF 30,9% 69,1% 111 CF 30,9% 69,1% 11 30,9% 69,1% 3 Erwartete Respose No Respose Total absolut DCF 34, CF Aalyse der Dfferez Statstk für SozologIe 1 χ -Test χ -Uabhäggketstest Der χ -Uabhäggketstest erlaubt es, zu teste, ob zwe omalskalerte Merkmale voeader uabhägg ggsd oder cht. Dabe werde de Abwechuge der beobachtete Häufgkete eer Kreuztabelle vo de uter der Uabhäggketshypothese erwartete Häufgkete evaluert. Uter der Uabhäggketshypothese gg ergebe sch de erwartete relatve Häufgkete eer Zelle,j durch Multplkato der zugehörge relatve Radhäufgkete bzw. sd de bedgte Verteluge kostat ud glech der Radvertelug. Statstk für SozologIe χ -Test 1

2 Notato Wr betrachte ee l m Kreuztabelle Zeledex (1,..., l) Spaltedex j (1,..., m) 1 j l 1 j m Statstk für SozologIe 3 χ -Test Bedgug für Uabhäggket P( A B) P( A) P( B) Wahrschelchket eer Zelle st das Produkt der Zele- ud der Spaltewahrschelchket Es glt daher: j j Statstk für SozologIe 4 χ -Test Absolute Häufgket eer Zelle st das Produkt der Zele- ud der Spaltehäufgket dvdert durch de Gesamtazahl j j

3 Gesamter Datesatz CLASS * SURVIVED * SEX Kreuztabelle Azahl SEX Male Female CLASS Gesamt CLASS Gesamt 1st Class d Class 3rd Class Crew 1st Class d Class 3rd Class Crew SURVIVED No Yes Gesamt Statstk für SozologIe 5 χ -Test Vsualserug mttels Mosac-Plot Zusammehag: Überlebe x Passagerklasse Statstk für SozologIe 6 χ -Test 3

4 Bespel Dem folgede Bespel legt der Datebestad vo 01 Persoe des Schffsuglücks Ttac zugrude. Es soll utersucht werde, ob e Zusammehag der bede Merkmale Uterkuftsklasse am Schff ud Überlebe des Passagers besteht. Merkmal Uterkuftsklasse: Azahl rel. Häufgket Merkmal überlebt: 1st Class 35 14,8% Azahl rel. Häufgket d Class 85 1,9% NEIN ,68 3rd Class 706 3,1% JA 711 0,3 Crew ,% Zusammehag? Statstk für SozologIe 7 χ -Test Ausgagsdate & Fragestellug Beobachtete Häufgkete Klass se Zeleprozet beobachtet überlebt Zelesumme NEIN JA 1st Class d Class rd Class Crew Spaltesumme überlebt Zele- NEIN JA summe 1st Class 37,5% 6,5% 100,0% d Class 58,6% 41,4% 100,0% 3rd Class 74,8% 5,% 100,0% Crew 76,0% 4,0% 100,0% Spaltesumme 67,7% 3,3% 100,0% Ist der Atel der Überlebede de 4 Persoegruppe glech? Verallgemeerug der Fragestellug des - Stchprobetests für de Verglech vo mehr als Statstk für SozologIe 8 χ -Test 4

5 Erwartete Häufgket Berechug der erwartete Häufgkete be Uabhäggket der Merkmale Zelesumme Spaltesumme Erwartete Häufgket Gesamtsumme überlebt Zelesumme überlebt Zele- NEIN JA NEIN JA summe 1st Class??? 35 1st Class 0,0 35 d Class 85 d Class 85 3rd Class 706 3rd Class 706 Crew 885 Crew 885 Spaltesumme Spaltesumme Erwartete Häufgket NEIN, 1st Class 0,0 Statstk für SozologIe 9 χ -Test Erwartete Häufgket Berechug der erwartete Häufgkete be Uabhäggket der Merkmale Zelesumme Spaltesumme Erwartete Häufgket Gesamtsumme überlebt Zelesumme überlebt Zele- NEIN JA NEIN JA summe 1st Class 0,0 35 1st Class 0,0 35 d Class 85 d Class 85 3rd Class???? 706 3rd Class 8,1 706 Crew 885 Crew 885 Spaltesumme Spaltesumme Erwartete Häufgket JA, 3rd Class 8,1 Statstk für SozologIe 10 χ -Test 5

6 Erwartete Häufgket Erwartete Häufgkete Uterkuftsklasse versus Perso hat überlebt be Gültgket der Uabhäggketshypothese Statstk für SozologIe 11 χ -Test Verglech Beobachtete Häufgkete - Erwartete Häufgkete Beobachtete Häufgkete Erwartete Häufgkete uter Ho Klass se Klass se Zeleprozet beobachtet Zeleprozet erwartet überlebt Zelesumme NEIN JA 1st Class 0,0 105,0 35 d Class 19,9 9,1 85 3rd Class 477,9 8,1 706 Crew 599,1 85,9 885 Spaltesumme überlebt Zelesumme NEIN JA 1st Class d Class rd Class Crew Spaltesumme überlebt Zelesumme NEIN JA 1st Class d Class rd Class Crew Spaltesumme überlebt Zele- NEIN JA summe 1st Class 37,5% 6,5% 100,0% d Class 58,6% 41,4% 100,0% 3rd Class 74,8% 5,% 100,0% Crew 76,0% 4,0% 100,0% Spaltesumme 67,7% 3,3% 100,0% überlebt Zele- NEIN JA summe 1st Class 67,7% 3,3% 100,0% d Class 67,7% 3,3% 100,0% 3rd Class 67,7% 3,3% 100,0% Crew 67,7% 3,3% 100,0% Spaltesumme 67,7% 3,3% 100,0% Statstk für SozologIe 1 χ -Test 6

7 Beobachtete mus erwartete Häufgket überlebt bt Zelesumme NEIN JA 1st Class -98,0 98,0 0 d Class -5,9 5,9 0 3rd Class 50,1-50,1 0 Crew 73,9-73,9 0 Spaltesumme Statstk für SozologIe 13 χ -Test χ -Statstk Berechug des χ -Wertes χ l m ( Beobachteter Wertj Erwarteter Wertj ) 1 j 1 Erwarteter Wert j l... Azahl der Zele m... Azahl hlder Spalte Azahl der Frehetsgrade: (l-1)(m-1) Statstk für SozologIe 14 χ -Test 7

8 Form der Ch²-Vertelugsdchte Statstk für SozologIe 15 χ -Test χ -Statstk ( o e ) e11 überlebt Zele- NEIN JA summe 1st Class 43,7 91,5 135, d Class 3,5 7,3 10,8 3rd Class 5, 11,0 16, Crew 9,1 19,1 8, Spaltesumme 61,5 18,9 190,4 χ l m ( oj ej ) 1 j 1 e j Statstk für SozologIe 16 χ -Test 8

9 Dchtefukto der χ -Vertelug Dchtefukto der χ -Vertelug mt 3 Frehetsgrade krtscher Berech χ 3;0,95 7,81 Statstk für SozologIe 17 χ -Test χ -Statstk χ 190,4 7, 81 ach Überlebe > χ krtsch Hoch sgfkates Ergebs; Uterschede zwsche de Überlebeschace de verschedee köe wohl cht zufällg se Es bestehe sgfkate Uterschede zwsche de beobachtete ud de erwartete Werte Überlebede Persoe sd eher de höherwertge Uterkuftsklasse zu fde Statstk für SozologIe 18 χ -Test 9

10 Aalyse vo 3 Merkmale Log-leare Modelle: Werkzeug zur Aalyse höher-dmesoaler Häufgketstabelle Statstk für SozologIe 19 χ -Test Äquvalez zu -Stchprobeatelstest Beobachtete Respose No Respose Total Krtscher Wert be α0,01 6, absolut DCF Krtscher Wert be α0,05 3, CF Abwechug Beobachtete Respose No Respose Total Respose No Respose Total Zeleprozet DCF 38,7% 61,3% 111 DCF 8,655-8,655 0,000 CF 3,% 76,8% 11 CF -8,655 8,655 0,000 30,9% 69,1% 3 0,000 0,000 0,000 Erwartete Respose No Respose Total CHI-WERT Zeleprozet DCF 30,9% 69,1% 111 Respose No Respose Total CF 30,9% 69,1% 11 DCF,181 0,977 30,9% 69,1% 3 CF,161 0,968 6,88 Erwartete Respose No Respose Total absolut DCF 34, p-value 0,01 6,88 CF Statstk für SozologIe 0 χ -Test 10

11 Ausrechede Fallzahl ud de Yates-Korrektur De Approxmato der Stchprobevertelug mt der χ -Teststatstk darf ur agewedet werde, we alle erwartete Häufgkete 5 sd. Aderfalls müsse Zele bzw. Spalte der Kreuztabelle zusammegefasst werde. Für de Fall der 4-Felder Tafel (Azahl der Frehetsgrade 1), wrd der Praxs häufg de sogeate Yates-Korrektur heragezoge: χ korr. l m 1 j 1 ( o e 0,5) j j e j Statstk für SozologIe 1 χ -Test Bespel zur Yates-Korrektur Ahad ees Labortests (Dgtals-Kozetrato m Blut) ka das Vorlege eer bestmmte Krakhet achgewese werde wurde dazu folgede Statstk veröffetlcht: T+ postver Test D+ D- Total T- egatver Test T D+ krak T D- gesud Total χ 6,8 χ korr. 4,3 > χ 1;0,95 3,84 sgfkates Ergebs Statstk für SozologIe χ -Test 11

12 Berechugsschema Excel D+ D- Ohe Yates-Korrektur T ,7353 5,9536 T ,17371,41815 p-value ,8 0, D+ D- Mt Yates-Korrektur T+ 1,4 6, ,749 5,4885 T- 30,58 65,4 96 4,77055,971 p-value ,33 0, krt. Wert: 11,3449 Fukto: CHITEST(Beobachtete Werte; Uter H0 erwartete Werte) Statstk für SozologIe 3 χ -Test Aderer Problemstellug: Apassugstest Vertelug der Augezahl x be 35 Würfe mt eem atke Würfel x Theoretsche Wahrschelchket: P(Xx) p 1/ Statstk für SozologIe 4 χ -Test 1

13 Berechug der χ -Statstk χ k 1 ( Beobachtet e Häufgket Erwartete Häufgket ) Erwartete Häufgket χ k 1 k ( p ) ( h p ) p 1 p... Stchprobeumfag... beobachtete Häufgket p... theoretsche Wahrschelchket h /... relatve Häufgket Statstk für SozologIe 5 χ -Test Arbetstabelle zur Bestmmug der Prüfgröße x ( ) ( p ) p p p χ Würfel 9,7 Statstk für SozologIe 6 χ -Test 13

14 Dchtefukto der χ -Vertelug Dchtefukto der χ -Vertelug mt 5 Frehetsgrade krtscher Berech χ krtsch Statstk für SozologIe 7 χ -Test χ -Statstk Berechug des χ -Wertes χ 9,7 χ χ 11, 07 Würfel > krtsch 5;0.95 sgfkates Ergebs (Sgfkazveau α 0.05); De beobachtete Häufgkete weche sgfkat vo de uter der Aahme eer Glechvertelug erwartete Häufgkete ab. er oder 5er werde mt dem atke Würfel selteer gewürfelt ( Sete de gegeüber lege!) Der atke Würfel st ke farer Würfel Statstk für SozologIe 8 χ -Test 14

15 Bespel Medel überprüfte see Theore über de Vererbugsgesetze durch Kreuzug verschedeer Erbsesorte. Gemäß seer Theore sollte das Vorkomme vo 4 Sorte m Verhälts 9:3:3:1 stehe. Ee Stchprobe vo 556 Erbse ergab: 315:108:101:3 Sd de beobachtete Abwechuge sgfkat? Observed Soll-Odds Soll-Rel Expected (Obs-Exp)^ (O-E)^/E ,565 31,75 5,065 0, , ,5 14,065 0, , ,5 10,565 0, ,065 34,75 7,565 0, ,4700 CHI(3;0,99) 11,345 Statstk für SozologIe 9 χ -Test Hwese Der Ch-Quadrat Wert lefert ee summarsche Beurtelug der Abwechug eer emprsche Vertelug vo eer theoretsch erwartete Vertelug. Damt de Vertelug der Teststatstk k approxmatv Ch-Quadrat vertelt st, müsse de erwartete Häufgkete jeder größer 5 se. Ist des cht der Fall müsse ezele aggregert werde. De Azahl der Frehetsgrade st de Azahl der mus es. Falls zur Bestmmug der erwartete Häufgkete auch Parameter geschätzt werde müsse, so sd de Frehetsgrade zusätzlch um de Azahl der Parameter zu reduzere. Statstk für SozologIe 30 χ -Test 15

16 Apassug emprscher Date a theoretsches Modell Azahl der Flügelschläge(x ) OBS. Freq (f ) x *f EXP. Prob Exp. Freq ,36 46, ,3 9, ,15 19, ,09 1, ,06 7, ,04 5, ,03 3, ,0, ,01 1, ,01 0, ,00 0, ,00 0,35 Summe Mttelwert,79 40 Azahl beobachteter Vögel: 130 Azahl beobachteter Flügelschläge: Azahl der Flügelschläge(x ) OBS. Freq (f ) Exp. Freq Ch²- Berechug Schätzug für p: 0,36 (1/,79) pˆ OBS. Freq (f) 1 Exp. Freq P ( X k ) p(1 p) ,56 0, ,88 0, ,18 0, ,74 0, ,34 Iterpretato: DF Krtscher Wert: 7,81 p-value: 0,84 De geometrsche Vertelug erlaubt ee gute Approxmato der beobachtete Häufgkete. Statstk für SozologIe 31 χ -Test 0 x k 1 16

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