Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften

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1 Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften Korrelationsanalysen Kreuztabellen und χ²-test

2 Themen Korrelation oder Lineare Regression? Korrelationsanalysen - Pearson, Spearman-Rang, Kendall s Tau Korrelationskoeffizienten - Achtung! Ausreißer, Inhomogenitätskorrelation - Signifikanz von r Kreuztabellen - Χ²-Test

3 Korrelation oder Lineare Regression? Mit beiden Methoden sollen Zusammenhänge zwischen zwei Variablen analysiert werden Lineare Regression: Beschreiben der linearen Abhängigkeit der abhängigen Variablen y von einer unabhängigen Variablen x Korrelation: Korrelieren die Variablen x und y, ko-variieren sie? Keine Unterscheidung zwischen unabhängiger und abhängiger Variablen Keine Beschreibung über eine mathematische Funktion

4 Korrelation oder Regression? Streudiagramm (x i, y i ) Quantifizieren der Stärke des Zusammenhanges Ursache-Wirkungsbeziehung: Beschreiben der Art des Zusammenhanges Linearer bzw. monotoner Zusammenhang Mathematische Funktion, die den Zusammenhang am Besten beschreibt Korrelationskoeffizient Lineare oder nicht-lineare Regression

5 Veranschaulichung: Streudiagramm Unstrukturierte Punktwolke ist ein Hinweis auf einen fehlenden Zusammenhang. Bei einer starken Korrelation liegen die meisten Punkte sehr nahe an der Kurve (im Falle eines linearen Zusammenhangs: an einer Gerade).

6 Pearson-Korrelationskoeffizient VORAUSSETZUNG: x, y metrisch skaliert und stetig linearer Zusammenhang (x i, y i ) sind unabhängig voneinander x, y sind normalverteilt

7 Pearson-Korrelationskoeffizient Korrelationskoeffizient: Maß zur Quantifizierung eines linearen Zusammenhanges r = s sx xy s y Wertebereich: -1 < r < 1 Kovarianz: Maß für das miteinander variieren zweier metrischer Merkmale s xy (x = i x)(y n 1 i y)

8 Veranschaulichung: Streudiagramm r 1, starker linearer Zusammenhang r 0, kein Zusammenhang r = -0,066 r = 0,996 r = -0,996

9 Gleicher Korrelationskoeffizient? r = 0,70 für alle Punktewolken! aus Helsel und Hirsch, 2002

10 Ist r signifikant unterschiedlich von 0? r = sxy sx s y

11 t-tests im Vergleich Empirischer vs. theoretischer Mittelwert (Einstichprobenfall) Zwei empirische Mittelwerte (unabhängige Messungen) Abhängige Messungen t = m - µ sm n t = m s 1 - m m1,m2 2 t = m s Diff Diff n

12 Ist r signifikant unterschiedlich von 0? r = sxy sx s y Signifikanztest: H 0 : r = 0 ; d.h. beide Variablen korrelieren nicht Standardfehler von r: s r = 1 n r² 2 t-test (Einstichprobenfall) mit FG = n-2 ts = r 0 1 r² n 2

13 Veranschaulichung: Streudiagramm r 1, starker linearer Zusammenhang r 0, kein linearer Zusammenhang r = -0,066 p = 0,648 r = 0,996 p < 0,001 r = -0,996 p < 0,001

14 Interpretation der Ergebnisse Keine kausale Erklärung!!!

15 Gute Korrelation durch Ausreißer!

16 Inhomogenitätskorrelation! r = 0,90 bei gemeinsamer Analyse r = 0,04 r = -0,20

17 Spearman Rangkorrelation Maß für die Stärke eines monotonen Zusammenhanges Basiert auf Rangzahlen der Beobachtungswerte, entspricht algebraisch dem Pearson Korrelationskoeffizienten zwischen zwei Rangreihen Rangzahl für x-merkmal, Rangzahl für y-merkmal = Rang ( x ) Rang ( y ) rs 2 i n (n i 1) n + 1 n Wertebereich: -1 < r S < 1 r s = 1, streng monotoner Zusammenhang r s = 0, kein Zusammenhang

18 Spearman Rangkorrelation Wann? Für ordinalskalierte Merkmale Ein Merkmal ordinal, das andere metrisch (Skalenreduktion) Beide Merkmale metrisch, aber Voraussetzung für Pearson nicht erfüllt

19 Spearman Rangkorrelation x i Rang (x i ) y i Rang (y i ) Rang(x i ) Rang(y i ) = Rang ( x ) Rang ( y ) rs 2 i n (n i 1) n + 1 n ( 3,5) 2 rs = = (6 1) 12 0, n=6 n=6 Summe=86 Vergleich: Pearson-Korrelationskoeffizient r = 0,738

20 Kendall s Tau Rangkorrelation Spearman Rangkorrelation geht von einer Gleichabständigkeit der Skalenwerte/Ränge aus, Kendall s Tau basiert auf rein ordinaler Information Kendall s ist noch weniger parametrisch als Spearman Anstelle der numerischen Differenz der Ränge wird nur die relative Anordnung der Ränge genutzt: Höherer Rang, niedrigerer Rang, gleicher Rang Speziell empfohlen wird Kendall s, wenn die Daten nicht normal verteilt sind, die Skalen ungleiche Teilungen aufweisen oder bei sehr kleinen Stichproben

21 Kendall s Tau Rangkorrelation x i Rang (x i ) y i Rang (y i ) Anzahl , 5, 3, 6, , 3, 6, D r t = = n (n 1) 0, , mit D = 4 C n (n 1) n=6 n=6 C=12 Vergleich : Pearson-Korrelationskoeffizient r = 0,738 Spearman-Rangkorrelation r s = 0,714

22 Kreuztabellen Eine Kreuztabelle dient dazu, die gemeinsame Häufigkeitsverteilung von 2 Variablen darzustellen Es werden entweder die absoluten oder die relativen Häufigkeiten angegeben Szenario 1 Szenario 2 Szenario 3 Gesamt Klasse 1 7 7,1% 13 9,3% 15 12,9% 35 9,9% Klasse 2 7 7,1% 14 10,0% 22 19,0% 43 12,1% Klasse ,4% 39 27,9% 47 40,5% ,5% Klasse ,3% 74 52,9% 32 27,6% ,5% % % % %

23 Erwartete vs. beobachtete Häufigkeiten Sind die drei Häufigkeitsverteilungen gleich?? Klasse 1 7 9,7 Klasse ,9 Klasse ,9 Klasse ,5 Szenario 1 Szenario 2 Szenario 3 Gesamt , , , , , , , , Szenario 1 7 7,1% 7 7,1% 22 22,4% 62 63,3% % Gesamt 35 9,9% 43 12,1% ,5% ,5% % z. B. 9,9% von 98 = 9,7

24 Berechnung von Chi-Quadrat m = 3 χ 2 = n m i= 1 j= 1 ( ) n ij n ij n ij 2 Kreuztabelle mit n Zeilen und m Spalten n beobachtete Häufigkeit ň erwartete Häufigkeit n = 4 n 12 = 13 ň 12 = 13,8 χ² ist die Summe der quadratischen Abweichungen der erwarteten von den tatsächlichen Häufigkeiten Je größer die Abweichungen, desto größer χ² Zeilen- und Spaltenzahl bestimmen die Freiheitsgrade df df= (Zeilenzahl-1) (Spaltenzahl-1)

25 Chi-Quadrat Verteilung χ² -Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Ihr einziger Parameter muss eine natürliche Zahl sein und ist die Zahl der Freiheitsgrade. dchisq(x, df=6)

26 Chi-Quadrat-Test Nullhypothese: Es besteht kein Zusammenhang zwischen den Variablen. χ ² = 30,766 Beispiel: χ ² = 30,766 df = 6 p < 0,001 Homogenitätstest Hier wird geprüft, ob zwei oder mehr Stichproben derselben Verteilung bzw. einer homogenen Grundgesamtheit entstammen. Verteilungstest oder Anpassungstest Hier wird geprüft, ob vorliegende Daten auf eine bestimmte Weise verteilt sind.