Spezielle Relativitätstheorie mit Zirkel, Lineal und GeoGebra

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1 Spezielle Relativitätstheorie mit Zirkel, Lineal und GeoGebra Karl-Heinz Lotze und Stefan Völker, Jena

2 Einsteins Postulate Einstein stellte die folgenden beiden Prinzipien an die Spitze seiner Theorie: In allen geradlinig-gleichförmig gegeneinander bewegten Bezugssystemen gelten die Naturgesetze in der gleichen Form. (Einsteinsches Relativitätsprinzip) Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist für alle geradlinig-gleichförmig gegeneinander bewegten Bezugssysteme gleich groß.

3 Raumzeit-Diagramme Ereignis Weltlinie Skalierung beider Achsen - 1 Ls = m - 1 nls = 0, 3 m - 10 nls = 3 m Anstieg einer Weltlinie tan ϕ = c v

4 Bondis k-faktor k = k(v) k = Empfangsintervall Sendeintervall k AB > 1 k BC = 1 k AB < 1 k AC = 1

5 Bondis k-faktor Aus Raumzeit-Diagramm v = x t x = 1 ( k2 ct ct ) 2 ct = 1 ( k2 ct + ct ) 2 Resultat v = k2 1 k c 1 + v/c k = 1 v /c

6 Bondis k-faktor Resultat k = 1 + v/c 1 v /c Eigenschaften v = 0 k = 1 v v k 1 k Interpretation Doppler-Effekt k > 1 Rot-Verschiebung k < 1 Blau Verschiebung

7 Skalierung der ct -Achse Ein Lichtstrahl wird nach einer Zeit ct ausgesandt und nach ct empfangen (bezogen auf den Zeitpunkt der Uhrensynchronisation). ct = k ct

8 Skalierung der ct -Achse ct = k ct b = k a µ µ = Sinussatz b sin δ = a sin ε b k a δ = = 135 ε = ϕ 45 µ = µ(v 2 ) = 1 + (v /c) 2 1 ( v /c) 2

9 Skalierung der ct -Achse ct = k ct b = k a µ µ = b k a µ = µ(v 2 ) = 1 + (v /c) 2 1 ( v /c) 2 Beispiele v k µ γ 0, 6c 2 1, 46 1, 25 0, 8c 3 2, 13 1, 67 Skizze ist maßstäblich für v = 0, 6c.

10 Die Relativität der Gleichzeitigkeit Gleichzeitigkeit an einem Ort bedarf keiner Erklärung (keine Signalübertragung). Zwei Ereignisse an verschiedenen Orten heißen gleichzeitig, wenn sie von Lichtsignalen ausgelöst werden, die gleichzeitig von einer Quelle in ihrer Mitte (d. i. von einem Ort) ausgehen.

11 Die Relativität der Gleichzeitigkeit Am Beispiel zweier Raketen (qualitativ) Am Beispiel zweier Raketen (quantitativ) mit GeoGebra

12 Die Relativität der Gleichzeitigkeit Am Beispiel zweier Raketen (qualitativ) Zwei Ereignisse an verschiedenen Orten, die in einem Inertialsystem (hier das Ruhesystem von R 1 ) gleichzeitig stattfinden, finden in einem relativ dazu bewegten Inertialsystem (hier das Ruhesystem von R 2 ) zu verschiedenen Zeiten statt Am Beispiel zweier Raketen (quantitativ) mit GeoGebra

13 Die Relativität der Gleichzeitigkeit Am Beispiel zweier Raketen (qualitativ) Zwei Ereignisse an verschiedenen Orten, die in einem Inertialsystem (hier das Ruhesystem von R 1 ) gleichzeitig stattfinden, finden in einem relativ dazu bewegten Inertialsystem (hier das Ruhesystem von R 2 ) zu verschiedenen Zeiten statt Am Beispiel zweier Raketen (quantitativ) mit GeoGebra Was kann man dabei lernen? - Ob zwei (raumartige) Ereignisse gleichzeitig stattfinden, hängt von der Wahl des Bezugssystems ab. - Konstruktion der x -Achse. - Die Kausalität zweier Ereignisse bleibt erhalten. - Zwei Inertialsysteme sind bei der Beschreibung eines Vorgangs vollkommen gleichberechtigt.

14 Licht-, raum- und zeitartige Abstände E 1 E 2 Zeitartiger Abstand E 0 E 1 E 3 Lichtartiger Abstand E 0 E 0 E 2 Raumartiger Abstand E 0 E 3

15 Lichtuhren und Zeitdilatation Eine Lichtuhr U besteht aus zwei Spiegeln S 1 und S 2, welche den Abstand l 0 voneinander haben Vergleich mit einem Satz synchronisierter Uhren am Bahnsteig.

16 Lichtuhren und Zeitdilatation Eine Lichtuhr U besteht aus zwei Spiegeln S 1 und S 2, welche den Abstand l 0 voneinander haben (c t) 2 = (v t) 2 + (c t 0 ) 2 t = t 0 1 ( v /c) 2 > t 0

17 Lichtuhren und Zeitdilatation Beispiel: v = 4 5 c t = 5 3 t 0 3 t = 5 t 0

18 Lichtuhren und Zeitdilatation Beispiel: v = 4 5 c t = 5 3 t 0 3 t = 5 t 0

19 Lichtuhren und Zeitdilatation Beispiel: v = 4 5 c t = 5 3 t 0 3 t = 5 t 0

20 Lichtuhren und Zeitdilatation Beispiel: v = 4 5 c t = 5 3 t 0 3 t = 5 t 0

21 Lichtuhren und Zeitdilatation Beispiel: v = 4 5 c t = 5 3 t 0 3 t = 5 t 0

22 Lichtuhren und Zeitdilatation Beispiel: v = 4 5 c t = 5 3 t 0 3 t = 5 t 0

23 Lichtuhren und Zeitdilatation Beispiel: v = 4 5 c t = 5 3 t 0 3 t = 5 t 0

24 Lichtuhren und Zeitdilatation Beispiel: v = 4 5 c t = 5 3 t 0 3 t = 5 t 0 Bewegt sich eine Uhr U an einem Satz synchronisierter Uhren U 1...U n vorbei, die in einem Intertialsystem ruhen, geht sie im Vergleich mit diesen Uhren langsamer.

25 Weltkarte und Längenkontraktion Messen bedeutet das gleichzeitige Feststellen des Anfangs und Endes eines Körpers, z.b. mit Hilfe zweier Lichtblitze., Maßstab der Ruhelänge L 0 und der kontrahierten Länge L

26 Weltkarte und Längenkontraktion Messen bedeutet das gleichzeitige Feststellen des Anfangs und Endes eines Körpers, z.b. mit Hilfe zweier Lichtblitze., Maßstab der Ruhelänge L 0 und der kontrahierten Länge L

27 Weltkarte und Längenkontraktion Messen bedeutet das gleichzeitige Feststellen des Anfangs und Endes eines Körpers, z.b. mit Hilfe zweier Lichtblitze., Maßstab der Ruhelänge L 0 und der kontrahierten Länge L Lichtsignale und ct-achse bilden gleichschenklige Dreicke

28 Weltkarte und Längenkontraktion Messen bedeutet das gleichzeitige Feststellen des Anfangs und Endes eines Körpers, z.b. mit Hilfe zweier Lichtblitze., Maßstab der Ruhelänge L 0 und der kontrahierten Länge L Lichtsignale und ct-achse bilden gleichschenklige Dreicke Messvorschriften L = c 2 (t 4 t 1 ) c 2 (t 3 t 2 ) L 0 = c 2 ( 1 k t 4 kt 1 )

29 Weltkarte und Längenkontraktion Messen bedeutet das gleichzeitige Feststellen des Anfangs und Endes eines Körpers, z.b. mit Hilfe zweier Lichtblitze., Maßstab der Ruhelänge L 0 und der kontrahierten Länge L Lichtsignale und ct-achse bilden gleichschenklige Dreicke Messvorschriften L = c 2 (t 4 t 1 ) c 2 (t 3 t 1 ) L 0 = c 2 ( 1 k t 4 kt 1 )

30 Weltkarte und Längenkontraktion Messen bedeutet das gleichzeitige Feststellen des Anfangs und Endes eines Körpers, z.b. mit Hilfe zweier Lichtblitze., Maßstab der Ruhelänge L 0 und der kontrahierten Länge L Lichtsignale und ct-achse bilden gleichschenklige Dreicke Messvorschriften L = c 2 (t 4 t 1 ) c 2 (t 3 t 1 ) L 0 = c 2 ( 1 k t 4 kt 1 )

31 Weltkarte und Längenkontraktion Messen bedeutet das gleichzeitige Feststellen des Anfangs und Endes eines Körpers, z.b. mit Hilfe zweier Lichtblitze., Resultat ( v L = L 0 1 c ) 2 = L 0 γ

32 Weltkarte und Längenkontraktion Messen bedeutet das gleichzeitige Feststellen des Anfangs und Endes eines Körpers, z.b. mit Hilfe zweier Lichtblitze., Resultat ( v L = L 0 1 c ) 2 = L 0 γ Ein Maßstab ist am längsten in dem System, in dem er ruht.

33 Weltkarte und Längenkontraktion Messen bedeutet das gleichzeitige Feststellen des Anfangs und Endes eines Körpers, z.b. mit Hilfe zweier Lichtblitze., Resultat ( v L = L 0 1 c ) 2 = L 0 γ Ein Maßstab ist am längsten in dem System, in dem er ruht. Visualisierung mit GeoGebra

34 Das Auto-Garage-Paradoxon Kann man ein 5 m langes Auto in eine 2, 5 m lange Garage parken? Was kann man dabei lernen? - Es gibt keinen absolut starren Körper. - Anwendung der Längenkontraktion. - Zwei Inertialsysteme sind bei der Beschreibung eines Vorgangs vollkommen gleichberechtigt. v = 0,6c 1nLs

35 Literaturhinweise Alle GeoGebra-Dateien, die Präsentation und den Handout finden Sie online unter: Bondi, H.: Einsteins Einmaleins Einführung in die Relativitätstheorie; Fischer Taschenbuchverlag (1974) Bondi, H.: Relativity and Common Sense A new approach to Einstein; online: Landau, L.D.: Was ist die Relativitätstheorie Akademische Verlagsgesellschaft, 7. Auflage (1972) Sexl, R.: Raum Zeit Relativität Realtivistische Phänomene in Theorie und Beispiel; Vieweg, 4. Auflage (2000)