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1 5.3. SINUS UND KOSINUS Lemma. Es gilt (i) (ii) (iii) cos() < 0, sin(x) > 0 für alle x (0, ], x cos(x) ist streng monoton fallend in [0, ]. Beweis. (i) Es ist cos() = 1! ! 6! ! 10! ! < = 1 3, denn es gilt für alle k 1 dass k k! > k+ (k+)!. (ii) Es ist für 0 x sin(x) =x 1 x x ! x6 x 8 + 7! 9! x ! denn für 0 x und alle k N 0 gilt x 3 x k (k +1)! xk+ (k +3)! = x k (k +)(k +3) x (k +3)! 0. (iii) Mit Korollar 5.3 und (ii) folgt für alle 0 x<y cos(y) cos(x) = sin x + y y x sin < Satz. Die Funktion cos hat im Intervall [0, ] genau eine Nullstelle t 0.Wirdefinieren dann π := t 0. Beweis. Da cos stetig und cos(0) = 1 sowie cos() < 0 existiert nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle t 0 (0, ).Dacos streng monoton fallend in [0, ] ist diese Nullstelle eindeutig Satz (Spezielle Werte von exp). Für die komplexe Exponentialfunktion gilt exp(i π )=i, exp(iπ) = 1, exp(i3π )= i, exp(πi) =1.

2 10 5. DIE TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN Beweis. Es ist sin π =1 cos π =1. Weiter ist sin π > 0 nach (ii) und damit sin π =1.Damit exp(i π )=cosπ + i sin π =0+i 1=i. Die anderen Behauptungen folgen aus exp(i kπ )= exp(i π ) k = i k mit k =, 3, 4. Damit ergeben sich die folgenden Werte für Sinus und Kosinus: x 0 π π 3π π sin(x) cos(x) Korollar. Für alle x R gilt (i) (ii) (iii) cos(x +π) =cos(x), cos(x + π) = cos(x), cos(x + π )= sin(x), sin(x sin(x +π) =sin(x), sin(x + π) = sin(x), + π )=cos(x). Beweis. Folgt aus den Additionstheoremen Satz 5.31 und obigen Werten. Etwa: cos(x + π )=cos(x)cos(π ) sin(x)sin(π )=cos(x) 0 sin(x) Korollar (Nullstellen von Sinus und Kosinus). (1) Es gilt cos(x) =0genau dann, wenn x = π + kπ für ein k Z. () Es gilt sin(x) =0genau dann, wenn x = kπ für ein k Z.

3 5.4. WEITERE TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 11 0,8-3π -π -π 0 π π 3π -0,8 Abbildung. Graphen von Sinus (rot) und Kosinus (schwarz) Beweis. Aus Korollar 5.38 folgt, dass cos(x) =0falls x = π + kπ für ein k Z. Sei umgekehrt cos(x) =0.Dannlässtsichx schreiben als x = kπ+y für ein k Z und π <y π. Mit Korollar 5.38 folgt dann cos(y) =( 1) k cos(kπ + y) =( 1) k cos(x) =0. Nach Satz 5.36 ist cos(t) = 0für alle 0 t< π und da Kosinus symmetrisch damit cos(t) = 0 für alle π <t< π.auscos(y) =0und π <y π folgt damit y = π und x = kπ + π. Die Charakterisierung der Nullstellen des Sinus folgt dann mit Korollar Korollar. Es gilt für x R genau dann exp(ix) =1,fallsx = k π für ein k Z. Beweis. Folgt aus den vorherigen zwei Korollaren Weitere trigonometrische Funktionen Definition. (1) Die Tangensfunktion ist für alle x R \{ π + kπ : k Z} definiert durch tan x := sin(x) cos(x). () Die Kotangensfunktion ist für alle x R \{kπ : k Z} definiert durch cot x := cos(x) sin(x) Satz. [Umkehrfunktionen von Sinus, Kosinus und Tangens]

4 1 5. DIE TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN 3π/ π π/ π/ π 3π/ π 5π/ Abbildung 3. Graph des Tangens (1) Die Funktion cos ist streng monoton fallend im Intervall [0,π] und bildet [0,π] bijektiv auf [ 1, 1] ab. Die Umkehrfunktion arccos : [ 1, 1] [0,π] nennen wir Arcus-Kosinus. () Die Funktion sin ist streng monoton wachsend im Intervall [ π, π] und bildet [ π, π] bijektiv auf [ 1, 1] ab. Die Umkehrfunktion arcsin : [ 1, 1] [ π, π ] nennen wir Arcus-Sinus. (3) Die Funktion tan ist streng monoton wachsend im Intervall ( π, π) und bildet ( π, π) bijektiv auf R ab. Die Umkehrfunktion arctan : R ( π, π ) nennen wir Arcus-Tangens.

5 5.5. POLARKOORDINATEN 13 Beweis. (1) Nach Lemma 5.35 ist cos streng monoton fallend auf [0, ], insbesonderein [0, π ].Dacos(π x) = cos(x) ergibt sich daraus, dass cos auch streng monoton fällt auf [ π,π]. Dannbildetcos das Intervall [0,π] bijektiv auf [ 1, 1] ab. () Das folgt aus der ersten Aussage, da sin(x) = cos(x + π ). (3) Aus (1), () folgt, dass tan streng monoton wachsend ist auf [0, π ).Datan( x) = tan(x) folgt, dass tan auch streng monoton wachsend ist auf ( π, 0] und damit auf ganz ( π, π ). Weiter erhalten wir wegen der Stetigkeit von sin und cos, dass lim sin(x) =1, x π lim cos(x) =0, cos(x) > 0 für 0 <x< π x π und wir sehen dass lim tan(x) =+. x π Da tan( x) = tan(x) folgt lim tan(x) =. x π Damit bildet tan das Intervall ( π, π ) bijektiv auf R ab Polarkoordinaten Satz (Polarkoordinaten). Jede komplexe Zahl z C läßt sich schreiben als z = r exp iϕ, wobei ϕ R und r = z. Fürz = 0ist ϕ bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von π eindeutig bestimmt. Beweis. Für z =0ist z =0 exp(iϕ) für beliebiges ϕ R. Sei im Folgenden z = 0, r := z und setze w := z r, w 1 := Re(w), w = Im(w) Dann ist w =1,alsow 1 + w =1.Insbesondere w 1 1 und α := arccos w 1 ist wohldefiniert und erfüllt cos(α) =w 1.Damitist sin α =1 cos α =1 w 1 = w.

6 14 5. DIE TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN Dann gilt entweder für ϕ := α oder ϕ := α, dasssin ϕ = w. Mit der entsprechenden Wahl von ϕ folgt exp(iϕ) =cosϕ + i sin ϕ = w 1 + iw = w und damit auch r exp(iϕ) =z. Falls für ϕ, ψ R gilt, dass z = r exp(iϕ) =r exp(iψ), sofolgt exp i(ϕ ψ) =1 und mit Korollar 5.40 folgt, dass ψ = ϕ + k π für ein k Z.

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