2 Trigonometrische Formeln

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1 $Id: trig.tex,v /05/04 10:16:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir begonnen die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen zu besprechen. Will mn diese nhnd der geometrischen Definitionen von Sinus und Cosinus herleiten, so müssen die dditiven und subtrktiven Vrinten getrennt behndelt werden und mn muss einige Fälle für die möglichen Werte der betrchteten Winkel unterscheiden. Letzteres ist notwendig d sin und cos j nur für spitze Winkel 0 < < π/ über Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken definiert sind, die Ausdehnung uf stumpfe Winkel π/ < < π erfolgte dnn durch sin = sin(π und cos = cos(π. Für spitze Winkel 0 <, β < π/ deren Summe ebenflls spitz ist, lso + β < π/ knn mn beide Additionsformeln us der folgenden Figur blesen A D C B sin( +β β P M F E cos( +β Wie beginnen mit einem Viertelkreis von Rdius 1 mit Mittelpunkt in M. Dnn trgen wir ncheinnder die beiden Winkel und β bei M b und erhlten die beiden Schnittpunkte A und B mit unserem Viertelkreis. Fällen wir dnn ds Lot von A uf die untere Begrenzung des Viertelkreises, so erhlten wir den Punkt F und können Sinus und Cosinus von + β im rechtwinkligen Dreieck MF A mit Hypothenuse der Länge 1 ls sin( + β = AF und cos( + β = MF 7-1

2 blesen. Dnn fällen wir ds Lot von A uf MB und erhlten den Punkt C. Dies gibt uns ein weiteres rechtwinkliges Dreieck M CA, dessen Hypothenuse wieder die Länge 1 ht, lso sind sin β = AC und cos β = MC. Ist P der Schnittpunkt von AF und MB, so hben die Dreiecke MF P und P CA bei P denselben Winkel und d sie beide bei F beziehungsweise C rechtwinklig sind, müssen uch ihre Winkel bei M beziehungsweise A übereinstimmen, d.h. der Winkel von P CA bei A ist. Schließlich fällen wir die Lote von C uf AF und uf MF und erhlten die Punkte D und E. Im rechtwinkligen Dreieck DCA hben wir bei A den Winkel, lso sind sin = DC AD und cos = AC AC. Schließlich entnehmen wir dem rechtwinkligen Dreieck M EC noch sin = EC MC und cos = ME MC. Dmit hben wir lles beismmen um die beiden Additionstheoreme zu begründen, für den Sinus rechnen wir sin( + β = AF = AD + DF = AD + EC und für den Cosinus ist cos( + β = MF = ME F E = ME DC = cos AC + sin MC = cos sin β + sin cos β = cos MC sin AC = cos cos β sin sin β. Um diese Formeln uch uf den Fll stumpfer Winkel uszudehnen, ist es sinnvoll erst einml die Formeln für die Subtrktion spitzer Winkel zu behndeln. Wir beschränken uns dbei uf Sinus und Cosinus, die Formeln für den Tngens knn mn dnn rechnerisch herleiten. Seien lso zwei Winkel 0 < < β < π/ gegeben. Wir gehen ähnlich wie beim Beweis der Additionsformeln vor und betrchten die folgende Figur: A C B M β D F E 7-

3 Wir beginnen wieder mit einem Viertelkreis mit Mittelpunkt M und Rdius 1. In diesem trgen wir den Winkel β bei M b, und in ihm enthlten dnn uch den kleineren Winkel. Seien A und B die Schnittpunkte dieser beiden Winkel mit dem Einheitskreis und fälle ds Lot von A uf MB. Bezeichnet C den Lotfußpunkt, so können wir Sinus und Cosinus von β im rechtwinkligen Dreieck MCA ls sin(β = AC und cos(β = MC blesen. Fälle nun ds Lot von A uf die untere Begrenzung des Viertelkreises und erhlte den Fußpunkt F. Von F us fälle dnn die Lote uf MB mit Fußpunkt D und uf AC mit Fußpunkt E. Wie beim Beweis der Additionsformel ht ds Dreieck F EA bei A den Winkel. Nun ist F ECD ein Prllelogrm, lso und sin(β = AC = AE CE = AE DF cos(β = MC = MD + DC = MD + F E = AF cos MF sin = sin β cos cos β sin = MF cos + AF sin = cos β cos + sin β sin. Dies sind schon die beiden Subtrktionsformeln, und dmit steht lles bereit uch den Fll stumpfer Winkel zu untersuchen. Erinnern sie sich drn, dss wir Sinus und Cosinus durch die Formeln sin π := 1, cos π := 0, sin := sin(π und cos := cos(π für π/ < < π uf den Fll stumpfer Winkel usgedehnt htten. Weiter werden wir die Formeln für Complementärwinkel benötigen, lso die für 0 < φ < π/ gültigen Formeln sin φ = cos φ und cos φ = sin φ. Der erste noch zu behndelnde Fll der Additionstheoreme sind jetzt zwei spitze Winkel die sich zu einem Rechten ergänzen. In dieser Sitution wird ds Additionstheorem für den Sinus zum Stz des Pythgors und ds des Cosinus ist klr. Seien nämlich 0 <, β < π/ spitze Winkel mit +β = π/. Dnn sind und β Complementärwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck und somit gelten sin cos β + cos sin β = sin sin β + cos cos β sowie cos cos β sin sin β = cos sin β = sin + cos = 1 = sin( + β sin cos β = cos sin sin cos = 0 = cos( + β. 7-3

4 Der letzte noch verbleibende Fll in dem und β spitze Winkel sind, ist die Sitution 0 <, β < π/ mit einem stumpfen + β, lso + β > π/. In diesem Fll hben wir die beiden Complementärwinkel 0 < π/, π/ β < π/ mit + β = π ( + β < π, und es folgen und sin( +β = sin(π ( +β = sin cos β +cos sin β = cos sin β + sin cos β cos( + β = cos(π ( + β = sin sin β cos cos β = cos cos β sin sin β. Dmit sind lle Fälle behndelt in denen, β beides spitze Winkel sind. Es verbeiben dnn die Möglichkeiten π/ oder β π/. D wir llerdings + β < π hben müssen, können nicht beide Alterntiven zugleich zutreffen, einer der beiden Winkel muss lso spitz sein. Durch eventuelles Vertuschen von und β können wir dnn 0 < < π/ nnehmen. Für β = π/ werden dnn und sin( + β = sin cos( + β = cos ( + π = sin ( π ( + π = sin = cos = sin cos π + cos sin π ( + π ( ( = cos π + π = cos = sin = cos cos π sin sin π. Dmit sind wir beim llerletzten Fll ngelngt, dss lso 0 < < π/ spitz ist und π/ < β < π stumpf ist. Weiter muss + β < π gelten. Diesen Fll führen wir uf die Subtrktionsformel für spitze Winkel zurück, es sind 0 < < π β < π/ und somit wird sin( + β = sin(π ( + β = sin((π β sowie = sin(π β cos cos(π β sin = sin β cos + cos β sin cos( + β = cos((π β = cos(π β cos sin(π β sin = cos β cos sin β sin. Auch die Subtrktionsformel läßt sich für 0 < < β < π entsprechend beweisen, d wir inzwischen gesehen hben ds diese Beweise eher Buchhltung sind, wollen wir hier druf verzichten dies im Detil vorzuführen. 7-4

5 . Verdoppelungs- und Hlbierungsformeln Als Verdoppelungsformeln bezeichnet mn die Formeln für die Werte der trigonometrischen Funktionen bei verdoppelten Winkel, lso für sin(, cos( und tn(, und die Hlbierungsformeln sind dnn entsprechend die Formeln für die hlbierten Winkel. Mn knn ll diese Formeln ntürlich durch Spezilisieren der Additionstheoreme uf β = erhlten, lso etw sin( = sin( + = sin cos, cos( = cos( + = cos sin = cos 1 = 1 sin, tn( = tn( + = tn 1 tn, sie lssen sich ber uch geometrisch n einer geeigneten Figur gewinnen. Wir betrchten einen Hlbkreis mit Rdius 1 und Mittelpunkt M und bezeichnen den unteren Durchmesser dieses Hlbkreises ls AB. Dnn ist M der Mittelpunkt von AB und es ist AB =. Weiter sei ein Winkel 0 < < π/ gegeben und trge diesen im Hlbkreis bei A b. Bezeichnet C den entstehenden Schnittpunkt mit unserem Hlbkreis, so ht ds Dreieck ABC nch dem Stz von Thles 1.Stz 1 bei C einen rechten Winkel. Die Seitenlängen in diesem Dreieck sind dnn in den Stndrdbezeichnungen gegeben ls = BC = sin, b = AC = cos und c = AB =. C b β A M P B Ziehen wir jetzt die Verbindungsstrecke M C, so entsteht ein weiteres Dreieck M BC. Der Winkel von M BC bei M ist der Mittelpunktswinkel der Seknte BC unseres Hlbkreises und unser gegebener Winkel ist der Perepheriewinkel dieser Seknte bei A, der Winkel von MBC bei M ist nch dem Perepheriewinkelstz 1.Stz 3.( lso gleich. Fällen wir lso ds Lot von C uf AB und bezeichnen den Fußpunkt mit P, 7-5

6 so sind sin( = P C und cos( = MP d die Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks MP C ein Rdius unseres Hlbkreises ist und dmit die Länge MC = 1 ht. Dem rechtwinkligen Dreieck AP C entnehmen wir sin = P C b = sin(, lso sin( = sin cos cos und wir hben eine geometrische Begründung der Verdoppelungsformel des Sinus. Ebenflls im Dreieck MP C sehen wir cos = AP b = 1 + MP b = 1 + cos( cos, lso cos( = cos 1 und dies ist eine der beiden Verdoppelungsformeln des Cosinus. Auch die ndere Vrinte dieser Formel können wir n unserer Figur sehen. Dzu bechten wir zunächst ds ds Dreieck MBC bei M gleichschenklig ist, lso sind die Winkel in diesem Dreieck nch Aufgbe (4. bei B und C gleich, etw β, und wir erhlten π = +β = (+β, lso β = π/. Im rechtwinkligen Dreieck P BC liegt dmit bei C der Winkel π/ β = n, und es ergibt sich lso uch sin = P B = P B sin, cos( = MP = 1 P B = 1 sin. Wir können n unserer Figur weiter uch zwei Gleichungen für den Tngens von sehen. Im rechtwinkligen Dreieck AP C erhlten wir tn = P C AP und ebenso liefert ds rechtwinklige Dreieck P BC tn = = P C 1 + MP = sin( 1 + cos(, P B P C = 1 MP P C = 1 cos(. sin( Setzen wir in diese beiden Formeln noch θ = ein, so ergibt sich die Hlbierungsformel des Tngens in ihren beiden Vrinten tn θ = sin θ 1 + cos θ = 1 cos θ. sin θ Mit derselben Substitution ergeben sich us cos( = cos 1 = 1 sin dnn uch die Hlbierungsformeln für Sinus und Cosinus, us und cos θ = cos θ 1 folgt cos θ = 1 + cos θ cos θ = 1 sin θ ergibt sin θ 1 cos θ =. 7-6

7 Wir wollen noch eine zweite Methode zum Beweis der Verdopplungsformel des Cosinus nschuen. Angenommen wir hben einen Kreis k von Rdius r und eine Seknte AB von k der Länge. Ist dnn ein φ ein spitzer Perepheriewinkel von AB, etw in einem Punkt C k, so hben wir in 1.Lemm 6 bereits = r (1 cos(φ eingesehen. Andererseits ist k der Umkreis des Dreiecks ABC, lso gilt nch 1.Stz 18 uch r =, d.h. = r sin φ sin φ und dies liefert erneut die Verdopplungsformel cos(φ = 1 sin φ. Außerdem ist dies eine verbesserte Form unserer Formel für die Sekntenlänge, die wir ls ein Lemm festhlten wollen. Lemm.1 (Bestimmung der Sekntenlänge Seien k ein Kreis mit Rdius r, AB eine Seknte von k der Länge und φ ein Perepheriewinkel von AB in k. Dnn gilt = r sin φ. Beweis: Ist AB ein Durchmesser von k, so ist φ = π/ nch dem Stz von Thles 1.Stz 1 ein rechter Winkel und somit gilt = r = r sin φ d sin(π/ = 1 ist. Nun nehme n ds AB kein Durchmesser von k. Ist φ < π/ ein spitzer Winkel, so hben wir die Formel = r sin φ bereits eingesehen. Ist φ > π/ stumpf, so ist π φ nch dem Perepheriewinkelstz 1.Stz 3.(b ein spitzer Perepheriewinkel von AB, lso gilt uch in diesem Fll = r sin(π φ = r sin φ..3 Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen In diesem Abschnitt wollen wir uns einige der exkt berechenbren Werte von Sinus, Cosinus und Tngens nschuen und uns für diese uch jeweils eine geometrische Herleitung überlegen. D die Werte für = π/ direkt vorgegeben sind, beginnen wir mit 60. Wir betrchten ein gleichseitiges Dreieck ABC mit Seitenlänge = b = c > 0. Nch Aufgbe (4. sind dnn C uch lle Winkel in ABC gleich, lso = β = γ und somit hben wir 3 = π beziehungsweise = π/3. Ebenflls nch Aufgbe (4. stimmen in ABC die Seitenhlbierende CC und die Höhe h uf AB überein, und der h Stz des Pythgors 1.Stz 1 im rechtwinkligen Dreieck AC C liefert ( + h =, lso h = A C B

8 Nun können wir Sinus, Cosinus und Tngens in AC C blesen und erhlten sin π 3 cos π 3 tn π 3 = h = 1 3, = 1 = 1, = h 1 =

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