There are only 10 types of people in the world: those who understand binary, and those who don't

Transkript

1 Modul Zahlensysteme In der Digitaltechnik haben wir es mit Signalen zu tun, die zwei Zustände annehmen können: Spannung / keine Spannung oder 1/ oder 5V / V oder beliebige andere Zustände. In diesem Modul geht es darum, wie man mit diesen Signalen Zahlen darstellen kann. Wir sind es gewohnt, Zahlen im Zehnersystem auszudrücken. Wir haben Ziffern (,1,,3,4,5,6,7,8,9) und drücken alle Zahlen zur Basis aus. So bedeutet die Zahl 431 zum Beispiel: Eine Zahl stellen wir also als Ziffernfolge dar, die mit Potenzen der Basis zu multiplizieren sind. Das geht natürlich auch mit anderen Basen. Das Binärsystem There are only types of people in the world: those who understand binary, and those who don't Wir können eine Zahl auch zur Basis darstellen. Dann haben wir nur noch zwei Ziffern, 1 und. Diese multiplizieren wir wiederum mit den Potenzen von. Um klarzustellen, daß wir die Zahl im Binärsystem meinen, bekommt die einen Index also zum Beispiel (11) (13) Die Umrechnung vom Binärsystem ins Zehnersystem ist also ganz einfach wir multiplizieren die Ziffer an der Stelle i (wobei die Zählung ei beginnt) mit der i-ten Potenz von. Die Umrechnung ist etwas anders bleiben wir beim Beispiel 13. Man kann ausprobieren, wie oft Potenzen von in die 13 passen es geht aber etwas einfacher: Wir teilen die Zahl ganzzahlig durch und notieren der Rest. Das Ergebnis der Ganzzahldivision teilen es wieder durch, notieren den Rest solange, bis das Ergebnis gleich ist: Zahl / Rest Ablesen von unten nach oben Um die Binärzahl zu ermitteln, lesen wir nun von unten nach oben ab: (13) (11) Modul Zahlensysteme Seite 1 von 6

2 Binäre Signale Mit dem Binärsystem können wir nun Zahlen ausdrücken. Stellen wir und vor, wir haben 4 digitale Leitungen A bis A 3, di die Zustände 1 (Spannung) oder (keine Spannung) haben. Jede Leitung entspricht also einem Bit. (Bit: Binary Digit) Wir müssen uns lediglich entscheiden, welche Leitung welches Bit repräsentieren soll. Das Bit, welches die Bit), das Bit, das die höchste Potenz repräsentiert (also hier repräsentiert, nennt man LSB (Least Significant 3 ) das MSB (Most Significant Bit). Denken sie daran, die Zählung beginnt immer bei. Da jede Leitung zwei Zustände hat, können wir Zahlen darstellen, nämlich,1,,..,15: Z A A A A Haben wir n Leitungen zur Verfügung, können wir n Zahlen darstellen: i A 1 1 Z A A A n n i n i 4 16 Addition von Binären Zahlen Die Addition verläuft genauso, wie wir es von Zehnersystem kennen nur, daß wir weniger Möglichkeiten haben: () () ( 1) (1) () () (1) (1) () ( 1) (1) () Wir müssen also auch einen Übertrag machen (ein im Sinn..), wenn wir mehrstellige Binärzahlen addieren. Als Beispiel addieren wir (3) (11) und () () Übertrag (3) () (5) Die Summe ergibt in der Tat (3) () (5) ( ) (1). Überschreitet das Ergebnis die 4 Stellen aufgrund eines Übertrages im höchsten Bit, so müssen wir die Binärzahl links um eine Stelle ergänzen. Das Zweierkomplement Was macht man mit negativen Zahlen? Im Dezimalsystem schreiben wir einfach ein Minus davor, also ( 9). Das lässt sich nun digitaltechnisch schlecht kodieren. Nehmen wir an, wir haben eine Zahl mit 4 Bit. Folgende Konvention hat sich durchgesetzt: Ist die Zahl positiv, so ist das MSB = Ist die Zahl negativ, so ist das MSB = 1 Modul Zahlensysteme Seite von 6

3 Der Rest der Zahl wird aber auch auf interessante Weise gespeichert. Nehmen wir als Beispiel die ( 5) und geben die Schritte zur Umrechnung an: 1. Entferne das Vorzeichen (5). Ziehe 1 ab (4) 3. Konvertiere nach Binär () 4. Invertiere nun alle Bits (aus wird 1 und aus 1 wird ) (11) Am gesetzten MSB kann man erkennen, daß die Zahl negativ ist. Die so berechnete Binärzahl heißt das Zweierkomplement. Schauen wir und bei 4 Bit die negativen Zahlen an ( 1) (1111) ( ) (11) ( 3) (11) ( 4) (1) ( 5) (11) ( 6) () ( 7) (1) ( 8) () Danach ist Ende, denn die ( 9) würde die Binärzahl (111) ergeben. Bei dieser ist das MSB aber nicht gesetzt, diese würde damit als (7) gelten. Für die positiven Zahlen bei 4 Bit sieht es dann wir folgt aus: () () (1) (1) () () (3) (11) (4) () (5) (1) (6) (1) (7) (111) Auch hier ist Ende denn die nächste Zahl () würde ja mit dem gesetzten MSB als ( 8) interpretiert werden. Allgemein kann man sagen, daß man für eine n -stellige binäre Zahl mit Zweierkomplement den Wertebereich von n1 n hat. Warum nun diese etwas kompliziert dargestellte Speicherung? Nun die Subtraktion wird damit ganz einfach. Wir müssen uns nichts mehr von der nächsten Stelle borgen, wie beim schriftlichen Subtrahieren, sondern wir addieren einfach die Zahl und das Zweierkomponent der Zahl, die wir abziehen wollen. Also: Modul Zahlensysteme Seite 3 von 6

4 (3) (7) (3) ( 7) (11) (1) Addieren wir wieder schriftlich : Übertrag (3) ( 7) ( 4) Nun müssen wir die (1) ins Dezimalsystem umrechnen, indem wir den Weg rückwärts gehen: 1. Invertiere nun alle Bits (aus wird 1 und aus 1 wird ) (11). Konvertiere nach Dezimal (3) 3. Addiere 1 dazu (4) 4. Füge das Minus dazu ( 4) Und fertig sind wird. BCD-Kodierung Um Dezimalzahlen darzustellen zum Beispiel die Zahl 431 auf drei Siebensegmentanzeigen muß man die Gesamtzahl der Stellen dezimal kodieren, also in diesem Fall die 4, die 3 und die 1. Dazu hat sich der BCD-Code eingebürgert. Jede Stelle hat eine Ziffer, die von bis 9 gehen kann. Um diese Möglichkeiten binär zu kodieren, benötigt man wiederum 4 Bit (oder, schaltungstechnisch ausgedrückt, 4 Steuerleitungen). Dass sieht dann so aus: A B C D Zahl Damit haben wir alle Ziffern binär kodiert, und Sie sehen, die Ziffern sind nichts anderes als die entsprechenden Zahlen im Binärsystem. Mit 4 Bit können wir 16 verschieden Zeichen codieren, wir hätten noch 6 Ziffern übrig nur hat das Dezimalsystem keine mehr. Also borgen wir uns für die restlichen Kombinationen Buchstaben aus: Modul Zahlensysteme Seite 4 von 6

5 A B C D Zahl A B 1 1 C D E F Weitere Zahlensysteme Bisher haben wir Zahlensysteme mit der Basis und der Basis kennengelernt. Wir können jedoch jede beliebige, positive Ganzzahl größer Null als Basis auswählen. Einige von diesen System werden oft benötigt besonders in der Digitaltechnik und beim Programmieren. Das Hexadezimalsystem Wie der Name schon sagt, haben wir beim Hexadezimalsystem die Basis 16.Wir benötigen also 16 Ziffern. Das hatten wir ja gerade bei der kompletten BCD-Kodierung, also leihen wir uns die Buchstaben A bis F aus: ( A) () 16 ( B) (11) 16 ( C) (1) 16 ( D) (13) 16 ( E) (14) 16 ( F) (15) 16 Damit können wir nun rechnen, wie bei den binären Zahlen beschrieben: ( AFFE) ( A16 F 16 F 16 E 16 ) ( ) (4554) Die Umrechnung von Dezimal ins Hexadezimalsystem funktioniert genauso wie bei den Binärzahlen, nur daß wir jetzt durch 16 teilen Modul Zahlensysteme Seite 5 von 6

6 Zahl /16 Rest =E =F =F =A Ablesen von unten nach oben Lesen wir wieder von unten nach oben, erhalten wir genau die gewünschte Hexadezimalzahl ( AFFE ) 16 Modul Zahlensysteme Seite 6 von 6