Die Größe G nennt man Grundwert, p Prozentsatz und P Prozentwert, so dass sich die Beziehung

Transkript

1 Fiazmathematik Prozetrechug Beispiel 1: (Siehe Aufgabesammlug) Eier Zeitugsmeldug ist zu etehme, dass Uterehme A seie Umsatz im Jahr 2004 um 4% gegeüber dem Umsatz vo 2003, der 4,3 Mio. Euro betrug, steiger kote. Uterehme B hat 2004 ei Ergebis vo 3,1 Mio. Euro Umsatz zu verzeiche, was eiem Mius vo 5,1% gegeüber 2003 etspricht. Wie groß war der Umsatz (i Euro) vo A im Jahr 2004 bzw. der vo B im Jahr 2003? Der Ausdruck p Prozet vo G bedeutet mathematisch gesehe p ( Prozet heißt wörtlich pro Hudert ). G Die Größe G et ma Grudwert, p Prozetsatz ud P Prozetwert, so dass sich die Beziehug Prozetwert Prozetsat z Grudwert P p ergibt, auf der die gesamte Prozetrechug beruht. Ma bezeichet sie daher auch als Grudformel der Prozetrechug. Daraus lasse sich durch eifache Äquivalezumformuge die Formel für Grudwert ud Prozetsatz herleite: G P ud p P p. G Aus der letzte Gleichug ersehe Sie, dass der Prozetsatz p gerade das Verhältis vo Prozetwert zu Grudwert ist (multipliziert mit dem Faktor ), also de Prozetwert relativ zum Grudwert betrachtet wiedergibt. Noch deutlicher wird dies i der Form P p, G d.h. der Prozetwert P verhält sich zum Grudwert G wie der Prozetsatz p zu. Ma spricht daher bei Prozetsätze auch vo relative Zahle (im Vergleich zu de absolute Zahle P ud G). Beispiel 2: (siehe Aufgabesammlug) Bei eier Kommualwahl etfalle vo abgegebee Stimme auf die SPD. Bestimme Sie de prozetuale Ateil der Wählerstimme, de die SPD erhält. G Lösug: Mit G ud P berechet ma 1-26

2 42543 p 42, Die SPD erhält eie Stimmeateil vo 42,88%. Beispiel 3: (siehe Aufgabesammlug) Auf ei Produkt wird ei Preisachlass vo 8%, das sid 15,20 Euro, gegebe. Wie teuer war das Produkt ursprüglich? Lösug: Mit p 8% ud P 15,20Euro berechet sich G 15,20 Euro 190 Euro. 8 Der ursprügliche Preis betrug somit 190 Euro. Beispiel 4: (siehe Aufgabesammlug) I eiem Etwicklugslad lebe 37% aller 19,7 Mio. Eiwoher uterhalb der Armutsgreze. Wie viele Persoe sid das? Lösug: Mit G 19,7Mio. ud p 37% erhält ma P 19,7 37 Mio. 7,289 Mio. Etwa 7,3 Mio. Eiwoher lebe uterhalb der Armutsgreze. Kehre wir zurück zur Aufgabe vom Begi des Abschitts: Das Uterehme A kote seie Umsatz um 4% vo 4,3 Mio. Euro steiger, das sid 4 P Euro Euro. Der Umsatz U im Jahr 1997 beträgt daher Euro Euro Euro. Eifacher ist es, de Jahresumsatz U direkt i eier Gleichug auszureche: 4 U Euro Euro Euro 1, Euro Gelegetlich fidet ma für diese Aufgabetyp, bei dem ach der Summe aus Grudwert zuzüglich eies prozetuale Aufschlags gefragt ist, auch die Formel G p G wobei G der vermehrte Grudwert ist, der sich aus dem ursprügliche Grudwert G zuzüglich des Prozetwertes P ergibt; p ist gegebe durch: 2-26

3 p 1 p. Etspreched ka ma de vermiderte Grudwert G p G mit p 1 p G defiiere: Der vermiderte Grudwert gibt de Grudwert a, vermidert um eie prozetuale Abzug vo p % vo G. Ei Beispiel hierfür ist die Etwicklug des Uterehme B i der Beispielaufgabe: Hier etspricht der Umsatz i 2004 (3,1 Mio. Euro) dem Umsatz i 2003, vermidert um 5,1%. Mit G 3,1Mo. erhält ma G G p 3,1Mio. Euro 0,949 ud p 10,051 0, Mio. Euro. 3-26

4 Zisrechug Allgemeie Bezeichuge Bezeichuge: K0: Barwert (Afagskapital) K: Edwert (Kapital ach Jahre) p: Zisfuß pro ao (bei 4% Jahreszise beträgt p=4) i = p : Zissatz pro ao (bei 4% Jahreszise beträgt i=0,04) d: Diskotsatz (discout rate) : Laufzeit q = 1 + p Zisfaktor pro ao (bei 4% Jahreszise beträgt q=1,04) Wir gebe Zissatz ud Diskotsatz i Prozet oder als Dezimalzahl a, z.b. i = 5% = 0,05. Eifache (lieare) Verzisug Aufzise = Recheoperatio, die vo K0 zu K führt Abzise = Recheoperatio, die vo K zu K0 führt Hauptaufgabe der eifache Verzisug ist es, de Betrag auszureche, auf de ei Kapital vo K0 Geldeiheite (GE) i Jahre agewachse sei wird, we für die Verzisug zu p% pro ao jeweils das Afagskapital K 0 zur Bemessug zu Grude gelegt wird. Die Zise sid jedes Jahr gleich groß, da sie immer bezoge auf das Afagskapital berechet werde: Zise am Ede des erste Jahres: K 0 i Guthabe am Ede des erste Jahres: K 1 = K 0 + K 0 i = K 0 (1 + i) Zise am Ede des zweite Jahres: K 0 i Guthabe am Ede des zweite Jahres: 4-26

5 K 2 = K 1 + K 0 i = K 0 (1 + i) + K 0 i = K 0 (1 + 2 i) Bei eier Laufzeit vo Jahre ergibt sich folgeder Pla: Daraus ergebe sich folgede Berechugsformel: Zise: K 0 i Edkapital: K = K 0 (1 + i) Barwert: K 0 = K 1 + i Bei der eifache Verzisug ist der Edwert K eie lieare Fuktio der Laufzeit. Die eifache Verzisug wird deshalb auch als lieare Verzisug bezeichet. Beispiel 5: Eie Studeti hat am ihrem Freud eie Betrag vo GE 450,- geliehe. Der Freud verpflichtet sich, bei eifacher Verzisug zu 11% pro ao die Schulde am zurückzuzahle. Welche Betrag muss er zahle? Lösug: K = K 0 (1 + i) = 450 ( ) = 589,50 Die bisherige Beispiele hatte für die Laufzeit immer eie atürliche Zahl zu Grude gelegt; z.b. = 3. Bei der eifache Verzisug darf die Laufzeit jedoch auch eie beliebige positive reelle Zahl sei. Beispiel 6: 5-26

6 Bei eifacher Verzisug zu 4 % p.a. steht ach zwei Jahre ud drei Moate ei Betrag vo GE zur Verfügug. Wie groß war das Afagskapital, der so geate Barwert? Lösug: K = K 0 (1 + i) Zwei Jahre ud drei Moate sid = 2,25 Jahre 12 K 0 = K 1 + i = 2, ,25 0,04 = Ist ur ei uterjährlicher Zis bekat, so lässt sich daraus der Jahreszisfuß bereche. Beispiel 7: Eie Bak gewährt 2,5 % eifache Vierteljahreszise. Ei Kapital vo GE soll 72 Tage agelegt werde. Wie hoch ist der Edbetrag ach 72 Tage? Lösug: p = Jahreszisfuß = 4 2,5 = = 0,2 Jahre 360 Edbetrag ach 72 Tage: K 0,2 = K 0 (1 + 0,2 i) = (1 + 0,2 10 ) = Um zu verschiedee Zeitpukte agelegte (gezahlte, fällige) Geldbeträge wertmäßig miteiader vergleiche zu köe, müsse die Geldbeträge zuächst durch etsprechedes Auf- bzw. Abzise auf ei ud deselbe Zeitpukt bezoge werde. Bei der eifache Verzisug ka dieser Vergleichszeitpukt icht beliebig gewählt werde, soder ist als so geater Bewertugsstichtag azugebe. Beispiel 8: Eie Zahlugsverpflichtug besteht aus zwei Zahluge: GE am des Jahres GE am des Jahres Wie hoch ist bei 4% eifacher Verzisug p.a. der Wert der Zahlugsverpflichtug am des Jahres, we der Bewertugsstichtag der a) des Jahres ist? b) des Jahres ist? c) des Jahres ist? 6-26

7 a) Zuerst zurückreche auf 31.3.: K 0 = Da auf 1.1 zurückreche: , ,04 = ,93 b) zuerst auf hochreche: K = i = , ,04 K = K 0 (1 + i) = ( ,04) = ,33 Da auf 1.1 zurückreche: , ,04 = ,45 c) Beide auf zurückreche , = , ,87 = , ,04 Amerkug: Üblicherweise gibt eie Bak für de Tag der Eizahlug keie Zise. Für de Tag der Auszahlug werde jedoch Zise berechet. Liegt eie zuküftige Zahlugsverpflichtug vor, so ka mit Hilfe des Barwerts die ausgleichede sofortige Zahlug berechet werde. Beispiel 9: Ei Schulder hat bei eifacher Verzisug zu 4% p.a. folgede Zahlugsverpflichtug: i sechs Moate i acht Moate e i vierzeh Moate a) Durch welche sofortige Rückzahlug ka der Schulder seie zuküftige Schulde begleiche? (Bewertugsstichtag der Schulde ist der Zeitpukt der sofortige Zahlug.) Die sofortige Rückzahlug ist der Barwert aller Teilbeträge. 7-26

8 d.h. mit eier sofortige Zahlug vo 5.794,69 hat der Schulder seie zuküftige Schulde begliche. b) Zu welchem Zeitpukt reicht eie eimalige Rückzahlug i Höhe des Newertes aus, um sämtliche Schulde zu begleiche, we der Bewertugsstichtag der Zeitpukt der sofortige Zahlug ist? d.h. 319 Tage ach dem Zeitpukt der sofortige Zahlug köe die Zahlugsverpflichtuge durch eie eimalige Rückzahlug i Höhe vo abgelöst werde. c) Durch welche eimalige Rückzahlug ach sechzeh Moate köe die Schulde begliche werde? Beispiel 10: 400 werde 5 Moate zum Zissatz i = 6% p. a. agelegt. K = K 0 (1 + i) = 400 ( ,06) =

9 Beispiel 11: Welche Betrag muss ma auf ei Sparbuch mit 4% Verzisug eizahle, we ma i 9 Moate 800 abhebe will? K 0 = K 1 + i = = 776, ,04 Ziseszise Hauptaufgabe der Ziseszisrechug ist es, de Betrag auszureche, auf de ei Kapital vo K0 GE i Jahre agewachse sei wird, we bei eier Verzisug zu p% pro ao die jährliche Zise zu dem Kapital geschlage werde. Nachschüssige ud vorschüssige Verzisug Bei der achschüssige Verzisug werde die Zise erst ach Ablauf eies Jahres gezahlt, währed bei der vorschüssige Verzisug die Zise am Afag des Jahres dem Kapitalwert zugesetzt werde. 9-26

10 Beispiel 12: Auf welche Betrag ist ei Kapital vo GE bei achschüssige Ziseszise vo 4% pro ao i sechs Jahre agewachse? Lösug: Beispiel 13: Ei Kapital ist ach füf Jahre bei achschüssiger Verzisug vo 8% pro Jahr auf ,28 agewachse. Wie groß war das Startkapital? Das Startkapital wird berechet, idem das Edkapital füf Jahre abgezist wird: Lösug: Beispiel 14: Ei Kapital vo 1 Mio. GE ist ach drei Jahre bei achschüssiger Verzisug auf GE agewachse. Wie hoch war der jährliche Ziseszis? Lösug: 10-26

11 Beispiel 15: Ei Kapital vo GE ist ach eiige Jahre bei achschüssiger Verzisug zu 2% p.a. auf ,16 GE agewachse. Wie hoch war die Laufzeit? Lösug: Werde mehrere Darleh zu verschiedee Zeitpukte aufgeomme, so ist es für weitere Fragestelluge immer hilfreich, diese Schulde i eie eizige Zahlug a eiem bestimmte (vorgegebee) Tag umzuwadel. Dazu werde alle Beträge auf diese Tag bezoge. Ware die Schulde scho vor diesem Tag fällig, so sid die Schulde aufzuzise. Werde die Schulde erst ach diesem Tag fällig, so sid die Schulde abzuzise. Beispiel 16: Ei Schulder hat bei eiem Ziseszis vo 4% p.a. folgede Zahlugsverpflichtuge: GE ach drei Jahre GE ach füf Jahre GE ach sechs Jahre Durch welche eimalige Zahlug ach vier Jahre ka der Schulder seie Schulde zurückzahle? Lösug: 11-26

12 Beispiel 17: Wir ehme bei 5,5% Jahreszis eie Kredit über auf ud vereibare drei Rückzahluge wie folgt: 600 ach eiem Jahr 600 ach zwei Jahre ud de Restbetrag ach vier Jahre Wie groß ist der Restbetrag am Ede des vierte Jahres? Lösug: Bei der vorschüssige Verzisug ist die Bemessugsgrudlage für die atizipative Zise das Guthabe am Ede des Jahres. D. h. isb., die vorschüssige Verzisug ist icht idetisch mit der achschüssige Verzisug, bei der die Zise lediglich zu Begi des Jahres ausgezahlt werde würde. Für die vorschüssige Verzisug wird die Laufzeit i volle Jahre gemesse; d.h. N. Es ergibt sich der folgede Verzisugspla: 12-26

13 Beispiel 18: Auf welche Betrag ist ei Kapital vo GE bei vorschüssige Ziseszise vo 4% pro ao i sechs Jahre agewachse? Lösug: Wir müsste jetzt für die vorschüssige Verzisug wieder alle Berechugsformel für die Höhe des Zises ud die Läge der Laufzeit aufstelle. Stattdesse wolle wir die scho bekate Formel der achschüssige Verzisug verwede. Dies ist aber ur 13-26

14 möglich, we wir bei der vorschüssige Verzisug gleichzeitig überlege, wie hoch der achschüssige Zis sei müsste. Beispiel 19: Welcher achschüssige Zissatz i' wäre ötig gewese, damit ei Startkapital vo GE ach sechs Jahre auf 6.643,18 GE agewachse ist? Lösug: Beispiel 20: Auf welche Betrag ist ei Kapital vo GE bei vorschüssige Ziseszise vo 4% pro ao i sechs Jahre agewachse? Lösug: Reche wir ei Beispiel zur vorschüssige Verzisug bei ubekater Laufzeit. Beispiel 21: Bei vorschüssiger Verzisug zu 2% p.a. ist ei Kapital vo auf 6.119,41 agewachse. Wie lage wurde es agelegt? Lösug: Beispiel 22: Bei vorschüssiger Verzisug ist ei Kapital vo i acht Jahre auf 4.522,02 agewachse. Wie hoch war der vorschüssige Jahreszis? Lösug: 14-26

15 15-26

16 Das Äquivalezprizip der Fiazmathematik Zahluge dürfe ur da vergliche / addiert / subtrahiert werde, we sie zuvor auf deselbe Stichtag auf- oder abgezist wurde! Beispiel 23: Für eie Immobilie liege zwei Agebote vor: A bietet sofort ud i 3 Jahre; B bietet je i eiem Jahr ud i 2 Jahre. Welches Agebot ist - bei eier Verzisug vo 5% - für de Verkäufer güstiger? Solche Aufgabe veraschaulicht ma am beste durch eie Zeitstrahl: Wir köe beispielsweise alle Zahluge auf das Ede des 3. Jahres aufzise: A: , = ,50 B: , ,05 = ,50 Agebot A ist also für de Verkäufer etwas güstiger. (Dasselbe Ergebis hätte wir erhalte, we wir eie adere Bezugszeitpukt, z.b. de Afag des 1. Jahres, gewählt hätte.) A: ,97= B: , ,97=28.663,5 Uterjährige Verzisug Wird bei eiem Jahreszisfuß vo p% ei Kapital icht jährlich, soder moatlich oder täglich oder i eiem sostige Zeititervall verzist, so spricht ma vo uterjährlicher Verzisug. Wir teile das Jahr i m Zeititervalle (Zisperiode) ei, zum Beispiel: 16-26

17 Am Ede eier jede Zisperiode werde die Zise ausgezahlt ud dem Kapital zugerechet, so dass die gezahlte Zise i der ächste Zisperiode bereits mit verzist werde. Relativer Zissatz Aus dem omielle Jahreszissatz i wird der uterjährliche Zissatz berechet: Relativer uterjähriger Zissatz: i i m m Der omielle Jahreszissatz wird durch die Azahl der Zisperiode geteilt. Dabei ergibt sich allerdigs ei höherer Effektivzisatz. Beispiel 24: Bei eiem omielle Jahreszisfuß vo 6% wachse,- GE bei halbjährlicher Verzisug zum relative Zissatz ach Ablauf eies Jahres auf: 17-26

18 Wobei für die Azahl m aller vereibarte Verzisuge gelte muss, dass m eie atürliche Zahl ist; kurz: m N. Beispiel 25: Ei Guthabe vo GE wird bei eiem omielle Jahreszis vo 6% p.a. zu vierteljährlicher Verzisug zum relative Zis agelegt. Wie hoch ist das Guthabe ach drei Jahre? Lösug: Ist das Produkt m eie atürliche Zahl, so ergebe sich zusammegefasst folgede Berechugsformel: 18-26

19 Uterjährliche Verzisug (m Zeititervalle ierhalb eies Jahres) Beispiel 26: K0 =, i = 12%, = 1 halbjährlich: i2 = 6% K1 = 1,06 2 = 112,36 ieff = 12,36% vierteljährlich: i4 = 3% K1 = 1,03 4 = 112,55 ieff = 12,55% moatlich: i12 = 1% K1 = 1,01 12 = 112,68 ieff = 12,68% Koformer (äquivaleter) uterjähriger Zissatz: (1 + im) m = 1 + i im wird so bestimmt, dass sich derselbe Effektivzissatz ergibt wie bei jährlicher Verzisug. Betrachte wir wieder das Beispiel i = 12%: halbjährlich: (1 + i2) 2 = 1,12 i2 = 5,83% vierteljährlich: (1 + i4) 4 = 1,12 i4 = 2,87% moatlich: (1 + i12) 12 = 1,12 i12 = 0,95% Ma kommt also ur zu widerspruchsfreie Ergebisse, we ma de koforme uterjährige Zissatz verwedet! Stetige Verzisug We ma (bei gleichbleibedem omiellem Zissatz) die Azahl der Zisperiode vergrößert, wird das Edkapital immer größer. Es gibt aber eie obere Greze. Setze wir der Eifachheit halber K0 = 1, i = %: 19-26

20 m K = 2 2 (1 + ½) 2 = 2,25 4 (1 + ¼) 4 = 2, (1 + 1 /12) 12 = 2,613 (1 + 1 /) = 2,705 0 (1 + 1 /0) 0 = 2,717 Der Grezwert dieser Folge für m ist die Euler'sche Zahl e = 2, Edwert eies Kapitals bei stetiger Verzisug zum omielle Zissatz i: K = K0 e i Die stetige Verzisug eies Kapitals ist i der Praxis icht durchführbar; sie stellt aber ei gutes Modell für atürliche Vorgäge (Wachstumsvorgäge, radioaktiver Zerfall u.a.) dar

21 Reterechug Eie Reihe vo gleichhohe Zahluge (Rate) i regelmäßige Zeitabstäde bezeichet ma als Rete. Die Reterechug ist eie Form der Ziseszisrechug. Rete sid Geldleistuge, die zu regelmäßig wiederkehrede Zeitpukte i gleicher Höhe gezahlt werde. Eie eizele Zahlug heißt Reterate. We die Zahluge am Ede eies Jahres geleistet werde, spricht ma vo achschüssige Rete. Erfolge die Zahluge am Afag des Jahres, heiße sie vorschüssige Rete. Die Summe aller Reterate eischließlich Ziseszise ach Jahre et ma Rete-Edwert R. Bezeichuge: R: Rate E: Edwert (Wert am Ede des Retezeitraums) B: Barwert (Wert am Begi des Retezeitraums) Reteperiode: Zeitraum zwische zwei Rate Nachschüssige Rete: Zahluge am Ede jeder Reteperiode Vorschüssige Rete: Zahluge am Ede jeder Reteperiode Berechug des achschüssige Rete-Edwerts Ma ka sich de Rete-Edwert vorstelle als Summe der Ziseszisrechuge über eie bestimmte Laufzeit. Beispiel 27: Am Ede eies jede Jahres werde 500,00 Euro eigezahlt. Auf welche Betrag sid die Eizahluge agewachse, we die letzte Rate am Ede des 5. Jahres geleistet wird ud der Zissatz 3% beträgt? Zuächst köe mit der Ziseszisformel die Beträge für jedes Jahr berechet werde. K p K 0 1 Reterate Jahr Aufzisugsfaktor Edwert Jahr / = 4 1, , Jahr / = 3 1, , Jahr / = 2 1, , Jahr / = 1 1,03 515, Jahr / = 0 1,00 500,00 Summe 2654,56 Die Summe der Eizahluge zuzüglich der Ziseszise beträgt 2.654,56 Euro

22 Mathematisch stellt die Summe der achschüssige Reterate eie geometrische Reihe dar, die mit eier Summeformel berechet werde ka. Allgemeie Formel für de achschüssige Rete-Edwert E q 1 = R R ist die eizele Reterate q 1 q 1 q 1 heißt achschüssiger Rete-Edwert-Faktor De Aufzisugsfaktor berechet ma mit der bekate Formel q 1 p Beispiel 28: Es werde 16 Jahre lag am Ede jedes Jahres jeweils 2.400,00 Euro eigezahlt ud mit 3% verzist. Welcher Betrag ist ach 16 Jahre etstade? q p 1 q E 16 1 = R 3 16 q 1 q 1 1, q 1, ,03 1 0, , 52 E ,03 1 0,03 Das Kapital ist auf 48376,48 Euro agewachse. Bei diese Rechuge mit Formel oder Tabelle ka es zu abweichede Lösuge durch Rudugsfehler komme. Berechug des vorschüssige Rete-Edwerts Ebeso wie bei der Ziseszisrechug ka ma auch bei der Reterechug de vorschüssige Rete-Edwert bereche. Beispiel 29: Am Afag eies jede Jahres werde 500,00 Euro eigezahlt. Auf welche Betrag sid die Eizahluge agewachse, we die letzte Rate am Ede des 5. Jahres geleistet wird ud der Zissatz 3% beträgt? Zuächst köe mit der Ziseszisformel die Beträge für jedes Jahr berechet werde. K p K 1 0 Reterate Jahr Aufzisugsfaktor Edwert Jahr / = 5 1, ,

23 Reterate Jahr Aufzisugsfaktor Edwert Jahr / = 4 1, , Jahr / = 3 1, , Jahr / = 2 1, , Jahr / = 1 1,03 515,00 Summe 2734,20 Die Summe der Eizahluge zuzüglich der Ziseszise beträgt 2.734,20 Euro. Allgemeie Formel für de vorschüssige Rete-Edwert E V q 1 = R q R ist die eizele Reterate q 1 q 1 q heißt vorschüssiger Rete-Edwert-Faktor q 1 De Aufzisugsfaktor berechet ma mit der bekate Formel q 1 p Beispiel 30: Es werde 16 Jahre lag am Afag jedes Jahres jeweils 2.400,00 Euro eigezahlt ud mit 3% verzist. Welcher Betrag ist ach 16 Jahre etstade? q p q 1 1, q 1, 03 E v = r q q 1 q ,03 1 0, , , 81 E ,03 1,03 1 0,03 Das Kapital ist auf ,78 Euro agewachse. Berechug des achschüssige Rete-Barwertes Auch bei der Reterechug ka der Barwert eies Kapitals berechet werde. Dabei wird i die Rechug der Abzisugsfaktor eibezoge. Allgemeie Formel für de achschüssige Rete-Barwert B 1 q 1 =R R ist die eizele Reterate q q

24 1 q q 1 heißt achschüssiger Rete-Barwert-Faktor q 1 Beispiel 31: Welcher Betrag muss bei eier Verzisug vo 3% eigezahlt werde, damit für 12 Jahre a jedem Jahresede eie Rete vo 1500 Euro ausgezahlt werde ka? 1 B = r q q q 1 1 q p 1 B , , , ,031 Es muss ei Betrag vo ,01 Euro eigezahlt werde. Berechug des vorschüssige Rete-Barwertes Bei der vorschüssige Retezahlug wird die letzte Rete bereits zu Begi des -te Jahres ausgezahlt. Daher falle Zise ur für mius 1 Jahre a. Allgemeie Formel für de vorschüssige Rete-Barwert B v 1 q 1 = R R ist die eizele Reterate 1 q q 1 1 q 1 heißt vorschüssiger Rete-Barwert-Faktor 1 q q 1 Beispiel 32: Welcher Betrag muss bei 3% Verzisug eigezahlt werde, damit für 12 Jahre a jedem Jahresafag eie Rete vo 1500 Euro ausgezahlt werde ka? B v 1 = R q 1 q 1 q 1 q p 1 B 1 = , , , ,03 1 Es muss ei Betrag vo ,94 Euro eigezahlt werde. Wir ehme zuächst a, dass Reteperiode ud Zisperiode übereistimme, ud bestimme de Edwert eier -malige, achschüssige Rete. (Die Reteperiode sei ei Jahr.) 24-26

25 Wir zise alle Rate, begied mit der letzte, auf de Tag der letzte Zahlug a uf: E = R + R q + R q R q -1 = R (1 + q + q q -1 ) De Barwert erhält ma, idem ma de Edwert durch Jahre abzist. Daher ergebe sich zusammegefasst folgede Formel: achschüssig vorschüssig Edwert: Barwert: We Reteperiode ud Zisperiode icht gleich lag sid, muss ma mit dem äquivalete Zissatz reche, z.b.: moatliche Zahluge, Jahreszissatz i = 5%: q = 12 1, 05 = 1,0041 zweijährige Zahluge, Jahreszissatz i = 5%: q = 1,05 2 = 1,1025 Beispiel 33: Herr A. zahlt 15 Jahre lag am Ede jedes Jahres ei (i = 4%). Vo dem ersparte Geld will er 20 vorschüssige Jahresrate abhebe, begied 5 Jahre ach der letzte Eizahlug. Wie hoch ist eie Rate? Wert 5 Jahre ach der letzte Eizahlug: Edwert (achschüssig), aufgezist durch 5 Jahre E B v 15 q 1 1,04 1 R ,60 q 1 1, ,6 1, ,76 Das ist der Barwert der eue Rete (vorschüssig): B v 1 R q 1 Beispiel 34: q 1 B R q 1 v (q 1) q q ,64 Frau B. immt eie Kredit vo mit eier Laufzeit vo 10 Jahre auf, de sie i achschüssige Moatsrate zurückzahle will (i = 8%). Wie hoch ist eie Rate? 25-26

26 De Aufzisugsfaktor erhalte wir aus dem koforme Moatszissatz: q = 1 + i12 = 12 1,08 = 1,0064. Die Kreditsumme ist der Barwert, es sid 120 achschüssige Rate zu zahle: = R (1-1, )/0,0064 R = 179,