Funktionen besser verstehen durch computerunterstütztes Arbeiten

Transkript

1 Funktionen besser verstehen durch computerunterstütztes Arbeiten

2 Gliederung Darstellungen im Mathematikunterricht mathematische Begriffsentwicklung Vorstellung einer Lernumgebung Einführung des Funktionsbegriffs mit CBR Arbeit mit Multirepräsentationsprogrammen Vorstellung Möglichkeiten Risiken Hein Laakmann,

3 Darstellungen Darstellungen Ein Stein wird nach oben geworfen, steigt, wird langsamer, kehrt um und fällt zu Boden. textlich ikonisch graphisch tabellarisch symbolisch Durch unterschiedliche Darstellungen werden unterschiedliche Vorstellungen konstruiert.

4 Darstellungen Darstellungen haben unterschiedliche Nähe zum Kontext. Unabhängig vom Stein, vom Werfer Kein Wurf, keine Person, Zeit wird eine Höhe zugeordnet Exakte Zuordnung aber: Nur wenige Zuordnungen

5 Darstellungen Zuordnung einer Höhe zur Zeit Kontinuierliche, keine diskrete Darstellung Zuordnung nicht direkt erkennbar unpräzise Keine Beziehung zum Kontext Nur durch Konventionen verstehbar Zuordnung nicht direkt ablesbar, aber: Für jedes Argument exakt berechenbar Möglichkeit des Operierens mit den Symbolen ohne Kontextbezug

6 Darstellungen Mathematik bezieht ihre Potenz aus der Möglichkeit, mathematische Objekte und Beziehungen zwischen ihnen symbolisch darzustellen und mit diesen Symbolen formal, nach festgelegten Regeln umzugehen (Heymann 1996) Mathematik = Darstellen + Operieren + Interpretieren (Fischer 1976)

7 Mathematische Begriffsentwicklung Theorie der Begriffsentwicklung nach Duval Typische Merkmale für das mathematische Begriffslernen: Mathematische Begriffe sind abstrakter Natur und nur über Darstellungen greifbar Diese Darstellungen sind nicht identisch mit dem Begriff In verschiedenen Darstellungen werden unterschiedliche Aspekte der Begriffe fokussiert. Folgerung: Durch Arbeit mit den Begriffen in unterschiedlichen Darstellungen und Wechsel zwischen den Darstellungen werden substantielle Begriffe konstruiert.

8 Mathematische Begriffsentwicklung Wechsel der Darstellungen innerhalb einer Darstellungsart Lösen von Gleichungen 2x+4= 8 2x = 4 x = 2

9 Mathematische Begriffsentwicklung Wechsel der Darstellungen zwischen den Darstellungsarten Die Wechsel zwischen den Darstellungsarten sind für die Entwicklung von Vorstellungen von besonderer Bedeutung

10 Mathematische Begriffsentwicklung Zusammenfassung: Mathematische Begriffe sind Relationsbegriffe, keine Substanzbegriffe Sie benötigen Darstellungen, um mit ihnen zu arbeiten Darstellungen sind nicht die Begriffe Arbeiten mit unterschiedlichen Darstellungen und Wechsel der Darstellungsarten sind von besonderer Bedeutung

11 Beispiel lineare Funktion Symbolisch als Funktionsgleichung f(x)=mx+b Graphisch als Gerade Tabellarisch: Tabelle mit gleichen Zeilendifferenzen

12 Mathematische Begriffsentwicklung Beispiel Handytarif Verbal Graphisch Tabellarisch Symbolisch Werbung der Firma Sparviel von Zahlcom Bei einem Grundpreis von nur 5,00 und 40ct pro Einheit bietet Sparviel überraschend viel für Ihr Geld

13 Mathematische Begriffsentwicklung Beispiel Handytarif Verbal Graphisch Tabellarisch Symbolisch Werbung der Firma Sparviel von Zahlcom Bei einem Grundpreis von nur 5,00 und 40ct pro Einheit bietet Sparviel überraschend viel für Ihr Geld Graph Text Transformation Term Tabelle

14 Mathematische Begriffsentwicklung Graph Kontexttransformationen Pegelstand oder Entwicklung Text eines Sparguthabens Oder. Dekontextualisierung Werbung der Firma Sparviel von Zahlcom Bei einem Grundpreis von nur 5,00 und 40ct pro Einheit bietet Sparviel überraschend viel für Ihr Geld Transformation Term Tabelle Strukturbetrachtung Relationen zwischen den Darstellungen

15 Einführung des Funktionsbegriffs mit CBR Konstruktion einer Lernumgebung Welche Idee soll mit dem Funktionsbegriff von den Lernenden konstruiert werden?

16 Literatur: Funktionales Denken (Klein, Vollrath, ) Wille zur Kausalität (Malle) Universelle Möglichkeit messbare Zusammenhänge zu beschreiben und symbolisch zu bearbeiten (Heymann) das Feststellen, Fordern, Erzeugen und Wiedergeben von Abhängigkeiten oder Verbindungen zwischen Variablen, die in der physikalischen, sozialen, geistigen Welt und zwischen diesen Welten auftreten (Freudenthal)

17 Kernidee: singuläre Perspektive des Individuums aus der Vorschau auf den Inhalt weniger die reguläre Perspektive der fertigen Mathematik Kernidee der Lernumgebung: Mit Funktionen können Bewegungen beschrieben werden

18 Arbeit mit einem Entfernungsmesser CBR

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23 Vorteile: Lernende entwickeln Vorstellungen zum Begriff Lernenden arbeiten von Beginn an mit allen Darstellungen Lernende wechseln zwischen den Darstellungen Lernende aktivieren alle Grundvorstellungen Zuordnung Kovariation Funktion als Ganzes

24 Nachteile Nur stetige Funktionen Keine negativen Werte Keine diskreten Zuordnungen

25 Multirepräsentationsprogramme

26 Darstellungsformen Dynamische Geometriesoftware Neue Medien Computeralgebrasysteme Tabellenkalkulation

27 Darstellungsformen Dynamische Geometriesoftware Konstruktion graphisch visuell algebraisch symbolisch Computeralgebrasysteme Neue Medien Zahl nummerisch tabellarisch Tabellenkalkulation Bisher: separate Medien Jetzt: all in one Term

28 All in one: nicht nur alles in einem Gerät, Alles in einem Programm Bisher: einseitige Verbindung zwischen den Darstellungsarten Tabellenkalkulation: Zahlen Graphik CAS: Term Graphik/Tabelle DGS Zahl/Tabelle

29 Jetzt: Universelle Verbindung zwischen den Darstellungsarten Dynamische Geometriesoftware graphisch visuell Neue Medien algebraisch symbolisch Computeralgebrasysteme nummerisch tabellarisch Tabellenkalkulation

30 Graph Term Situation Tabelle Mehrwert des Medieneinsatzes: Rechnergestützter Wechsel zwischen den Darstellungen

31 Wechsel zwischen den Darstellungen fördert eine vorstellungsorientierte Begriffsbildung Chancen für eine nachhaltige und vertiefte Begriffsbildung durch Erschließen von Sachverhalten aus verschiedenen Darstellungen Erkennen von Zusammenhängen zwischen den Darstellungen

32 Untersuchung der Funktion f x = xx x beginnend mit einer Tabelle

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35 Nicht bloße technische Fähigkeiten Sondern auch konzeptionelles Verständnis Erst das konzeptionelle Verständnis von Polynomen und den in der Tabelle sichtbaren drei Nullstellen lässt die Existenz von zwei Extremwerten erkennen, obwohl sie weder in der Graphik noch in der Tabelle sichtbar sind.

36 Kompetenzen: Aus Darstellungen Informationen entnehmen können Informationen in Darstellungen visualisieren können Zwischen verschiedenen Darstellungen wechseln können Angemessene situationsbezogene Darstellungen auswählen können

37 Heinz Laakmann,

38 In Multirepräsentationsprogramme können Graphen wie geometrische Objekte behandelt werden Entspricht der Arbeit mit Funktionsscharen Möglichkeiten: Kenngrößen von Funktionen bestimmen Funktionenscharen untersuchen

39 These 4 Manipulationen an digital erzeugten Graphen können zu Fehlvorstellungen führen Erkunden linearer Funktionen mit dem Rechner Verändere systematisch den Graphen und beobachte und beschreibe die Termveränderung.

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41 Systematisches Untersuchen der Parameter Parameter einzeln variieren Sukzessives und systematisches Variieren Systematisches Verschieben der Graphen Nur in x-richtung oder nur in y-richtung verschieben (noch keine) schrittweise Verschiebung

42 Mit dem Rechner sieht man mehr Weiteres Beispiel: Übertragung von Nullstellen linearer Funktionen auf quadratische Funktionen Aufgabe: Multipliziert man zwei lineare Funktionen, so erhält man eine quadratische Funktion. Welche Eigenschaften der linearen Funktionen übertragen sich auf die quadratische Funktion? Kann man so alle quadratischen Funktionen erzeugen? (Begründung oder Gegenbeispiel)

43 Risiken des Rechnereinsatzes Bilderflut Notwendig: Systematisches Variieren Verlust von Routinen im händischen Transformieren Verlust von konzeptionellem Verständnis durch (ausschließliche) Rechnertransformationen

44 Probleme in der Sichtweise auf graphische Manipulationen Graphen werden als geometrische Objekte gesehen Z.B. können Geraden um den Schnittpunkt mit der y-achse gedreht werden.

45 Problematik: Was sehen Lernende, wenn sie einen Funktionsgraphen sehen? Eine Zuordnung von R nach R oder ein geometrisches Gebilde im R²? Manipulationen der geometrischen Gebilde sind nicht immer identisch mit entsprechenden Veränderungen unter dem Zuordnungsaspekt Veränderungen hängen auch von der benutzten Darstellungsart und vom benutzten Zuordnungsterm ab Veränderungen des geometrischen Objekts Funktionsgraph können zu Fehlvorstellungen führen.

46 Danke für Ihre Aufmerksamkeit