Lineare Funktionen. Aufgabe 1. Sei f R 2 R definiert durch. x 1 + 3x Beweisen Sie ausführlich, dass f linear ist.

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1 Lineare Funktionen Aufgabe. Sei f R R definiert durch x f = x x + 3x. Beweisen Sie ausführlich, dass f linear ist. Aufgabe. Die Funktionen (nicht erschrecken sind definiert durch + ( (R n R m (R n R m (R n R m R (R n R m (R n R m (f + g( x = f( x + g( x (af( x = af( x. Überlegen Sie sich, an welchen Stellen dieser Definition Funktionen von Funktionen stehen und an welchen Stellen Funktionen von Vektoren bzw. Skalaren. Beweisen Sie dann ausführlich, dass für alle f, g R n R m und alle u R gilt u(f + g = uf + ug. Aufgabe 3. Seien f R n R m und g R n R k zwei lineare Funktionen. Beweisen Sie ausführlich, dass dann auch die Funktion f ( x. h R n R m+k, h( x = f m ( x g ( x. g k ( x linear ist. Aufgabe 4. Sei f R n R m, f( x = n x i a i wobei a,..., a n R m fest gewählte Vektoren sind. Zeigen Sie, dass f eine lineare Funktion ist. Aufgabe 5. Entscheiden Sie ob folgende Aussage wahr ist: Für jede lineare Funktion f R n R m ist die Funktion g R n R, i= g( x = f( x f( x linear. Beweisen Sie Ihre Antwort. Hinweis: Das Symbol bedeutet hier nicht die Funktionskomposition sondern das Skalarprodukt.

2 Aufgabe 6. Ist die konstante Funktion f R n R m, linear? Beweisen Sie Ihre Antwort. f( x = Aufgabe 7. Beweisen Sie ausführlich, dass die Punktspiegelung am Koordinatenursprung f R 3 R 3, f( x = x eine lineare Funktion ist. Bestimmen Sie den Funktionsterm für die Punktspiegelung an einem Punkt p. Handelt es sich hierbei auch um einen lineare Funktion? Aufgabe 8. Sei f R 3 R 3 die perspektivische Projektion mit Projektionszentrum im Koordinatenursprung und Projektionsebene z = d, wobei d. Leiten Sie einen Term für f( x her indem Sie den Schnittpunkt der Ursprungsgerade durch x mit der Projektionsebene bestimmen. Unter welchen Bedingungen existiert kein Schnittpunkt? Aufgabe 9. Das menschliche Auge und die Kamera führen eine perspektivische Projektion durch und verwenden hierbei eine Linse. Weshalb kommt man bei der Berechnung der perspektivischen Projektion in OpenGL ohne Linse aus? Aufgabe. Da die Augen eines erwachsenen Menschen etwa 6cm voneinander entfernt sind, entstehen auf der Netzhaut leicht unterschiedliche Bilder. Aus diesen Unterschieden kann das Gehirn den Abstand des betrachteten Objekts berechnen und somit einen räumlichen Eindruck vermitteln. In Bild sind zwei achsparallele Augen mit zugehörigen Koordinatensystemen dargestellt. (Die y-achse ist nicht eingezeichnet und würde aus der Bildebene herauszeigen. Berechnen Sie die x-koordinate a l bzw. a r des Objektpunktes bzgl. des jeweiligen Koordinatensystems unter Verwendung der eingezeichneten Größen. Das Gehirn verfügt über folgende Informationen: a (l = mm a (r = 3mm d = cm. Weiterhin ist bekannt, dass die Augen = 6cm auseinander sind. Berechnen Sie hieraus den Abstand z des Objektpunktes. Wenn Sie einen Objektpunkt fixieren drehen sich Ihre Augen leicht aufeinander zu. Die Achsen stehen dann nicht mehr parallel sondern zeigen in Richtung des Objektpunktes. Ist unter diesen Bedingungen immer noch eine Abstandsberechnung möglich? Zeichnen Sie eine Skizze.

3 Objektpunkt z d x (l a (l x (r a (r Abbildung : Stereoskopisches Sehen Aufgabe. Für eine lineare Funktion f R R 3 gilt f =, f = 3 Berechnen Sie f( x für beliebiges x R. Aufgabe. Gibt es eine lineare Funktion f R R mit 3 5 f = f =? 4 6 Falls ja, berechnen Sie einen Term für f, falls nein begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 3. Für eine lineare Funktion f R R 3 gilt f =, f = 5.. 3

4 Finden Sie einen Funktionsterm für f. Aufgabe 4. Sei f R R eine Funktion mit der Eigenschaft, dass f f linear ist. Kann man daraus schließen, dass auch f linear ist? Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel. Aufgabe 5. Beweisen Sie ausführlich, dass eine Funktion f R n R m genau dann linear ist, wenn a, b R x, y R n f(a x + b y = af( x + bf( y. Aufgabe 6. Berechnen Sie die Umkehrfunktion von f R R mit x x x f =. x x x Aufgabe 7. Eine Funktion f R n R m ist genau dann linear, wenn es Vektoren a,..., a n R m gibt so dass f( x = x a x n a n. Beweisen Sie unter Verwendung dieses Kriteriums dass die Summe zweier linearer Funktionen wieder linear ist. Aufgabe 8. Gegeben ist die Gerade {( G = + a ( } a R. Jeder Punkt der Geraden wird nun um Winkel α gegen den Uhrzeigersinn um den Koordinatenursprung gedreht. Beweisen Sie, dass die entstehende Punktmenge wieder eine Gerade ist und stellen Sie diese in parametrischer Form dar. Aufgabe 9. Berechnen Sie die Orthogonalprojektion des Punktes x = auf die affine Ebene E = + a + b a, b R. 4

5 Aufgabe. Beweisen Sie ausführlich, dass für jede Gerade G R 3 und für jede bijektive lineare Funktion f R 3 R 3 die Menge G = {f( x x G} eine Gerade ist. Mit anderen Worten: Das Bild einer Geraden unter einer bijektiven linearen Funktion ist wieder eine Gerade. Sie dürfen im Beweis alle in der Vorlesung bewiesenen Theoreme verwenden. Aufgabe. Sei f R n R n linear und bijektiv. Seien weiterhin x,..., x m R n linear unabhängige Vektoren. Beweisen Sie ausführlich, dass dann auch linear unabhängig sind. f( x,..., f( x m Sie dürfen alle in der Vorlesung bewiesenen Theoreme verwenden. Am schnellsten geht s wenn Sie die zu zeigende wenn dann Beziehung zuerst aussagenlogisch umformen und dann ausnutzen, dass die Umkehrfunktion einer bijektiven linearen Funktion wieder bijektiv und linear ist. Aufgabe. Sei M R n ein Spannraum und f R n R m eine lineare Funktion. Beweisen Sie ausführlich, dass dann auch ein Spannraum ist. M = {f( x x M} Aufgabe 3. Wieviele lineare Funktionen f R R mit f( = und f(5 = 7 gibt es? Begründen Sie Ihre Antwort unter Verwendung der in der Vorlesung gezeigten Eigenschaften linearer Funktionen. Sei f R R eine bijektive lineare Funktion mit den Eigen- Aufgabe 4. schaften f ( f ( = = 3. Finden Sie eine Matrix für f. 5

6 Aufgabe 5. Eine Funktion f R n R m heißt affin linear wenn es eine lineare Funktion g R n R m und einen Vektor p R m gibt so dass f( x = g( x + p für alle x R n. Beweisen Sie ausführlich, dass die Funktion f R x R, f = xy y nicht affin linear ist. Sie dürfen im Beweis alle Eigenschaften von linearen Funktionen verwenden, die in der Vorlesung bewiesen wurden. Aufgabe 6. Beweisen Sie ausführlich: Wenn f R n R m linear ist, dann existieren Vektoren a,..., a n R m so dass f( x = x a + x a x n a n für alle x R n. Sie dürfen im Beweis nicht verwenden, dass jede lineare Funktion als Matrix dargestellt werden kann! Aufgabe 7. Sei f R R definiert durch { x x f = /y falls y y sonst. Welche der beiden Linearitätsbedingungen erfüllt f? Geben Sie jeweils einen ausführlichen Beweis oder nennen Sie ein Gegenbeispiel. Aufgabe 8. Seien f R n R n eine beliebige bijektive lineare Funktion und x, y R n beliebige Vektoren. Stimmt es, dass wenn x und y kollinear sind, auch f( x und f( y kollinear sind? Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel. 6