Quantencomputer. Quantencomputer (mit Seminar)

Transkript

1 Quantencomputer Sommersemester 2008 Quantencomputer (mit Seminar) Hankiewicz (Theoretische Grundlagen) Buhmann (Experimentelle Realisierungen)

2 Polarisations-Zustände des Lichts Zwei-Zustandssystem linear polarisiert zirkular polarisiert H V R, L

3 Zirkular polarisiertes Licht R

4

5 Quantum-Teleportation C. Bennett et al., Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993) φ = 1 2 ( ) Eines der wichtigsten Verfahren für die Übertragung von Quanteninformation ist die Teleportation eines quantenmechanischen Zustands Ψ>. Das Kommunikationsprotokoll besteht aus Anweisungen für die Messung und Manipulation des Bell-Zustandes, den sich die beiden Partner Alice und Bob anfangs teilen.

6 (Super-) Dense Coding Ein single-qubit Zustand ist komplett spezifiziert durch drei reelle Zahlen θ,,ϕ und einer allgemeinen Phase (meistens irrelevant) Der Zustand eines single-qubits kann aber nicht zuverlässig durch ein single-qubit übertragen werden! 3 klassische bits ist recht viel, die Kodierung eines quantum bits ermöglicht, g q g jedoch eine Verdoppelung der Transmissionskapazität superdense coding

7 (Super-) Dense Coding Charles H. Bennett and Stephen J. Wiesner Phys. Rev. Lett. 69, (1992) Communication via one- and two-particle operators on Einstein-Podolsky-Rosen i states φ = 1 2 ( ) Bob can send two bits of information to Alice with a single photon if they share a pair of entangled photons. To begin, one photon each is sent to Alice and Bob. The photons are in one of the four Bell states. Bob then performs either one of the three unitary transformations on his photon, transferring the pair into another Bell state, or simply does nothing the fourth option. He then sends the photon to Alice who measures the state of the pair. Since there are four possible outcomes of this measurement, Bob has sent twice as much information as can be sent classically with a two-state particle

8 Quantum Cryptography Quantenmechanik: Nur zwei Personen sind im Besitz des richtigen Schlüssels! Jeder Schlüssen kann nur einmal benutzt werden! quantum key distribution Four State Protocol: BB84 (C. Bennet and G. Brassard, Proceeding of IEEE International Conference, 1984) 1 0, 1, ± = ( ) 2 paarweise orthogonal After Bob has measured all the photons, he communicates with Alice over the public classical channel. Alice broadcasts the basis each photon was sent in, and Bob the basis each was measured in. They both discard photon measurements (bits) where Bob used a different basis, which will be half on average, leaving half the bits as a shared key.

9 Quantum Cryptography Four State Protocol: BB84 (C. Bennet and G. Brassard, Proceeding of IEEE International Conference, 1984) Sicherheit Die Wahrscheinlichkeit, dass Eve eine falsche Basis wählt ist 50% (vorausgesetzt Alice hat ihre Basis zufällig gewählt). Falls Bob das manipulierte Photon zufällig in der Basis von Alice misst bekommt er ein zufälliges Ergebnis, d.h., ein falsches mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Ein bereits gelesenes Photon erzeugt eine Fehler im Schlüsses von 50% x 50% = 25%. Beim öffentlichen Vergleich von n ihrer Schlüssel-bits finden Alice and Bob mit einer Wahrscheinlichkeit P d die Anwesenheit von Eve heraus 3 Pd = 1 4 Um einen Spion mit einer Wahrscheinlichkeit von P d = zu erkennen, müssen Alice und Bob n = 72 Schlüssel-bits vergleichen. n

10 Quantum Cryptography Quantum key distribution over 122 km of standard telecom fiber C. Gobby, Z. L. Yuan, and A. J. Shields, APPL. PHYS. LETT. 84, 3762 (2004).

11

12 Erste Experimente mit verschränkten Photonen

13 Erste Experimente mit verschränkten Photonen Photon-Kaskaden-Experiment t 7%

14 Erste Experimente mit verschränkten Photonen Photon-Kaskaden-Experiment t Messen der Co-Inzidenz-Rate von zwei Photonen in Abhängigkeit der Polarisation

15 Erste Experimente mit verschränkten Photonen Photon-Kaskaden-Experiment totale t Integrationszeit ti it 200 h

16 Verschränkte Photonen

17 Detektoren

18 Nachteile Erzeugung von Atomstrahlen sehr geringe Ausbeute verschränkte Photonen sind nur mit entgegensetzten Impulsen erzeugbar

19 Parametric Down-Conversion Prinzip: Erzeugung einer nicht-linearen Polaristion in einem Kristall P E cosω t + ( E cosω t ) 2 1 = 2 Additonstheorem: cos 2 α [ 1+ cos( 2α )] d.h., die Strahlung, die das Medium verlässt besitzt auch Anteile doppelter Frequenz up-conversion Da die Gleichungen reversibel sind, muss es einen Prozess geben, der bei Einstrahlung in ein nichtlineares Medium zu einer Frequenzhalbierung führt.

20 Parametric Down-Conversion 25 mm long deuterated potassium dihydrogen phosphat p crystal Selektion durch pin-holes überwiegend Produktzustände post-selection entangled states (linear) (zirkular)

21 Parametric Down-Conversion Wenn man einen Kristall aus β-bariumborat, β-ba(b 2 O 4 ) so ausrichtet, dass der Winkel zwischen einfallendem Licht (λ in ) und optischer Achse des Kristalls beträgt, verlassen zwei Strahlen (λ out /2=λ in ) in einem Winkel von 6 zueinander den Kristall, die bei geeigneter Wahl der Phasenverschiebung (durch Rotation des Kristalls um seine Längsachse oder Verwendung eines Phasenshifters) hift verschränkte Zustände bilden: type-ii phase matching

22 Parametric Down-Conversion

23 Parametric Down-Conversion im Überlappungsbereich: Ψ = 1 2 iα ( H, V + e V H ) 1 2 1, 2

24 Verschränkte Photonen PRL 75, 4337 (1995)

25 drei Falschfarben-Aufnahmen, jede Aufnahmen 40 min Belichtung (Streulicht!), jeweils mit einen anderen Filter vor dem Film: 681 nm (blau), 702 nm (grün) und 725 nm (rot) nur 1 von 500 down converted Photos ist verschränkt, d.h., nur 1 von der eingestrahlten Photonen

26 Verschränkte Photonen (horizontal) (vertical) iα ( H V e V, ) 2 ψ = + 1, 2 1 H 2 mit einem Phase-Shifter oder durch Rotation des Kristalls kann α jeden gewünschten Wert zwischen 0 und π annehmen: z.b.: - π shift durch 90 Rotation mittels λ/4 Filters - Änderungen H V Vdurch einen λ/2 Filter in einem Pfad ± Bell Zustände: ψ = ( H 1, V2 ± V1, H 2 ) ± φ = ( H H ± V, ) 2 1, 2 1 V2 2

27 Experimental Setup Θ pm = mm nm (150 mw) Ar Ion Laser 6 half wave plate und Kristall C1,2 um Gangunterschiede zu komensieren Co-inzident Photons werden als Funktion P(θ 1,θ 2 ) aufgezeichnet

28 Co-Inzidenz für Bell Zustände ± ψ = ( H V ± V, ) 2 1, 2 1 H 2 ± φ = ( H H ± V, ) 2 1, 2 1 V2

29 Raussendorf, R. & Briegel, H. J. A one-way quantum computer. Phys. Rev. Lett. 86, (2001).

30 Qne-Way Quantencomputer maximal verschränkte Anfangszustände: cluster states Sequenz von lokalen Einzel-Qubit-Messungen, deren Ergebnis auf klassische Art und Weise weitergeleitet wird und keine unitären Entwicklungen irreversible cluster state quantum computing ist universell Es sind zu unterscheiden: physikalisches Qubit (z.b. Polarisation des Photons), an dem die Messung durchgeführt wird und encoded Qubit, an dem die Rechnung durch geführt wird und das die Information trägt die Information steckt in der Korrelation zwischen den physikalischen Qubits

31 Cluster states ein Array gleich präparierter unabhängiger Qubits im Spuperpositionszustand + = ( ) 2 controlled phase gates verbindet nächste Nachbarn und kontrolliert die Verschränkung zwischen ihnen bestimmt cluster type CPhase Operation: j k ( 1) j k jk j, k 0, 1

32 Cluster states zwei Arten von Messungen: in der Computational Basis: { 0 1 } j 1 j disentangling: entfernen eines physikalischen Qubits aus dem Cluster Messungen, die den Quanten-Informationsprozess bewirken: i mit ± α = ( 0 ± e ) α 1 2 j 0 j j dabei handelt es sich um Einzel-Qubit-Rotation gefolgt von einer R z B j { + α α } ( α) =, ( iασ / 2) ( α) = exp z Hadamard Operation auf die encoded Qubits im Cluster H = ( σ + σ ) 2 x z j j

33 Cluster states { } mit der geeigneten Wahl von B j ( α) = + α j, α j kann jede logische Quantenoperation ausgeführt werden. man definiert s j = 0 wenn das Messergebnis am physikalischen Qubit und s j = 1 für α (Pauli-Error) j post selection der fehlerfreien s j = 0 Messungen +α ist

34 Cluster states Fundamentaler Satz von Logik-Gattern: quantum circuit mit R x (α)=hr z (α)h Einzel- und Zwei-Qubit- Quanten-Gatter

35 Cluster states Beispiel qubit 1 qubit 2 ψ in = + + 1EE 2EE Zwei-Qubit Quanten-Schaltung Qubit 1 encoded (E) Qubit 2 encoded (E) 1. CPhase: Erzeugung g der Verschränkung 2. Einzel-Qubit-Rotation: R z (-α) und R z (-β) auf Qubit 1 und 2 3. Hadamard Operation auf 1 und 2 4. zweite CPhase Operation Das Ergebnis der Quanten-Rechnung wurde übertragen auf die physikalischen Qubits 2 und 3

36 Cluster states Beispiel ψ = + in 1E B 1 (α), B 2 (β), B 3 (γ) auf die physikalischen h Qubits 1, 2 und 3 ψ = HR ( γ ) R ( β ) R ( α ) ψ out z x z in Das Ergebnis der Quanten-Rechnung wurde übertragen auf das physikalische Qubits 4

37 Cluster states Verallgemeinerung:

38 Cluster-Präparation Spin-Ketten (Ising WW) Atome im optischen Gitter (Dipol-Dipol-WW) Photonen (Photon-Photon-WW t vernachlässigbar!) Nicht-lineare Optik zur direkten Erzeugung eines Vier-Photonen-Clusters

39 Experiment

40 Cluster-Präparation Erzeugung zweier verschränkter Photonenpaare in einer Einzel- oder Doppelpaaremission Vier-Photon- Koinzidenz für H H H H V V V V oder V V H H H H V V (superposition state) 4 4 kohärente Kombination in einem polarisierenden Strahlteiler (PBS) H transmittiert und V reflektriert, d.h., nur zwei Photonen gleicher Polarization unterschiedlicher Kanäle werden in zwei Moden detektiert. t

41 Cluster-Präparation Emissionsrate für verschränkte Paare: s -1 in a und b s -1 in c und d Durch Justierung der HWPs erhält man den maximal verschränkten Cluster-Zustand: Φ cluster 1 = ( H H H H V V H H H 1 V H 1 V 2 V 2 V 3 V 3 V )

42 Cluster-Zustandspräparation Moden- und Polarisations-Verschränkter Zustand Φ 1 cluster = ( H H H H + H H V V V V H H V V V V ) entspricht einem linearen Cluster 1 I I H das Hufeisen-Cluster kann erzeugt werden durch: H 1 H H H das box-cluster kann erzeugt werden durch: und ein swap von Qubits 2 und 3 (einfaches umetikettieren ) H

43 Messung Dichte-Matrix: 16 x Messungen à 600 s Φ cluster = 1 2 ( H 1 + V H 1 2 V H 2 3 H H 3 4 H + 4 H Theorie 1 V H 1 V 2 V 2 V 3 V 3 V 4 + ) 4 Experiment Bem: in den 600 s wurden maximal 127 Vier-Photoncoinzidenzen gemessen. Fidelity: F Φ ρ Φ = 0.63± = cluster cluster

44 Quantum Computing single qubit rotation ψ = + in 1E B 1 (α), B 2 (β), B 3 (γ), rotieren das Eingangs-Qubit in eine beliebige Position auf der Bloch-Kugel ψ out = HRz ( γ ) Rx ( β ) Rz ( α ) ψ in

45 Quantum Computing single qubit rotation

46 Quantum Computing Zustand von Qubit 4 nach der Rotation: α = π/2, π/4, 0 β = -π/2

47 Quantum Computing

48 Quantum Computing Zwei-Qubit-Gatter Beispiel: Messung von V> 1 und H> 4 B 1 (π) und B 4 (0) + Produktzustand, d.h, keine Verschränkung + + 1E 2E 1E 2E

49 Quantum Computing Zwei-Qubit-Gatter (generating entanglement) Bespiel: Messung von Qubits 2 und 3 im Zustand +> B 2 (0), B 3 (0) Theorie Experiment

50 Quantum Computing Grover s Search Algorithm final readout in the basis B 2,3 (π) encoding: α,β ππ, π0, 0π, 00 00, 01, 10, 11

51 Active feed forward Fehler in Quantenrechungen kann unterdruckt werden, indem zukünftige Messung vom Ausgang g vorher gehender Abhängig gggemacht wird! Übergang vom probabilistischen zum deterministische Quantencomputer

52 Festlegung Ist das Ergebnis s j einer Messung auf dem physikalischen Qubit +α> dann ist s j = 0 und s j = 1 wenn das Ergebnis -α> lautet Ist das Ergebnis 0 wird die Rechnung ohne Fehler fortgesetzt. Ist das Ergebnis 1 wird ein wohl-definierter Pauli-Fehler induziert. Durch ein feed forward kann der Fehler kompensiert werden. B j { + α j α j } iα 2 iα 2 ( e 0 ± e 1 ) 2 ( α) =, ± α j = j j H j 0 V 1 j ausgehend vom Cluster-Zustand j j Φ cluster = 1 2 ( ) 4

53 Messaufbau Erzeugung aller möglicher individueller Qubits: { 0, 1 ; +, ; L, R } mit / = ( 0 ± 1 ) 2 + (±45 ) ( 0 1 ) 2 L / R = ± i (zirkular) Zustandsbestimmung: 1296 lokale Messung (500 s) Fidelity F = 062± feed forward Fidelity F > 99%

54 Feed Forward Zusatz von drei schnell elektro-optischen Modulatoren (EOM) [Pockels-Zelle] unverzögerte Messungen verzögerte Messungen 30 bzw 60 m Glasfaser typische Schaltzeiten < 150 ns Gatter-Operationen sind bis zu 3 Größenordnungen schnell als bei anderen QCs

55 Beispiel 1. Reduktion des Vier-Qubit-Clusters: { + } 1, 2. Nachfolgende Messungen auf Qubit 2 und 3 (B 2 (α), B 3 (α)) bewirken die single Qubit Rotationen auf dem kodierten Eingangsqubit. Jedes Messergebnis 1. bestimmt die Basis der Folgemessung 2. zeigt Pauli-Fehler an, die korrigiert werden müssen 3. Ergebnis ist gespeichter in Qubit 4 1

56 Beispiel s 2 = s 3 = 0 s 2 =1 s 3 =0:B 3 (β) B3(-β) Pauli-Fehler σ z s 2 =0 s 3 = 1: Pauli-Fehler σ x s 2 =1 s 3 = 1: zwei Pauli-Fehler

57 Vergleich Single Qubit Rotation

58 Zwei-Qubit-Operationen feed forward (für s 2 = S 3 =1) ohne feed forward

59 Cluster States with Ions in a Trap

60

61 Einzel-Photonen-Quelle Zur kontrollierten Erzeugung einzelner Photonen in einem optischen Resonator hoher Finesse werden einzelne Drei-Niveau Atome eingesetzt. Ein von außen eingestrahlter Laserpuls pumpt einen Zweig eines Ramanübergangs im Atom, während das Vakuumfeld des umgebenden Resonators eine Emission entlang des anderen Zweigs stimuliert. Dabei strahlt das Atom ein einzelnes Photon in den Resonator ab. Dieses wird durch den Auskoppelspiegel des Resonators gerichtet in den freien Raum emittiert. Über einen Hanbury-Brown & Twiss- Aufbau lässt sich die nicht-klassische Photonenstatistik der einzelnen Photonen nachweisen. Quelle: Dissertation Markus Hennrich, TU-München, MPI für Quantenoptik (2003)

62 Einzel-Photonen-Quelle

63 Experimenteller Aufbau Skizze des experimentellen Aufbaus zur adiabatischen Photonenerzeugung. Eine Wolke kalter 85 Rb-Atomen wird mit einer magnetooptischen Falle präpariert und fällt 209 ms nach Ausschalten der Falle mit einer Geschwindigkeit von etwa 2m/s innerhalb von 8 ms durch einen optischen Resonator. Die Wechselwirkungszeit eines einzelnen Atoms mit der Mode des Resonators beträgt 35 μs. Um eine anti-intuitive Pulsfolge der Kopplungen an Resonator und Pumplaser zu erreichen, ist der Pumpstrahl um die Strecke δ x nach unten verschoben.

64 Experimenteller Aufbau Für ein Atom löst ein Pumplaserpuls die Emission eines einzelnen Photons aus, woraufhin ein Rückpumplaserpuls das Atom in den Ausgangszustand zurückbefördert. Jedes Atom kann so während seines Durchflugs durch den Resonator eine Serie von Einzelphotonen erzeugen. Am Ausgang des Resonators befindet sich ein Hanbury-Brown & Twiss- Aufbau um die Statistik des emittierten Lichts zu bestimmen. Die emittierten Photonen werden durch den Strahlteiler zufällig auf die zwei Avalanche-Photodioden verteilt.

65 Einzel-Photonen-Detektion anti-bunching g ( Δt) = P D1( 1 t ) P D 2 ( t Δt ) P ( t) P ( t) (2) t ( ) D1 D2

66 Experimenteller Aufbau

67 Einzel-Atom verschränkt zwei Photonen

68 Einzel-Atom verschränkt zwei Photonen Die getriggerte Emission des ersten Photon verschränkt den internen Zustand des Atoms mit dem Polaristionszustand des Photons. Der Zustand des Atoms wird dann auf ein zweites Photon übertragen.

69 Einzel-Atom verschränkt zwei Photonen 1. Verschränkung eines einzelnen Atoms mit einem einzelnen Photon 2. übertragen des Atomzustands auf ein zweites einzelnes Photon Aufhebung des Verschränkung Atom-Licht Erzeugung der Verschränkung zweier Photonen verschränkter Zustand: Photon 1-Atom verschränkter Zustand: Photon 1-Photon 2

70 Einzel-Atom verschränkt zwei Photonen 2 Atoms/ms transit time 35 μs

71 Verschränkung F = 86.0 Erfolgsrate ein verschränktes Photonenpaar zu erzeugen