Wörterbuchmethoden und Lempel-Ziv-Codierung

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Wörterbuchmethoden und Lempel-Ziv-Codierung"

Transkript

1 Kapitel 3 Wörterbuchmethode ud Lempel-Ziv-Codierug I diesem Abschitt lere wir allgemei Wörterbuchmethode zur Kompressio ud isbesodere die Lempel-Ziv (LZ))-Codierug kee. Wörterbuchmethode sid ei eifaches allgemeies Verfahre zur Coderug. Es wird häufig als Teilalgorithmus i Kompressiosverfahre eigesetzt. LZ- Codierug ist ei so geates dyamisches Wörterbuchverfahre. Im Gegesatz zu statische Wörterbuchverfahre, die ei festes, vor der Kompressio festgelegtes Wörterbuch beutze, wird bei der LZ-Codierug das Wörterbuch dyamisch aus de zu komprimierede Date erstellt. Wir werde zeige, dass die LZ-Codierug ei asymptotisch optimales Verfahre ist. Der große Vorteil der LZ-Codierug gegeüber de adere Verfahre, die wir bislag kee gelert habe, ist, dass bei der LZ-Codierug die Wahrscheilichkeitsverteilug der Quelle icht bekat sei muss. LZ- Codierug wird i viele Textkompressiosverfahre wie gzip ud compress eigesetzt. 3.1 Statische Wörterbuchverfahre I diesem Abschitt werde wir beispielhaft ei statisches Wörterbuchverfahre kee lere. Bei Wörterbuchverfahre werde häufig vorkommede Folge i eiem Wörterbuch gespeichert. Folge im Wörterbuch werde da durch de Idex des etsprechede Eitrags codiert. Folge, die icht im Wörterbuch stehe, werde durch sich selbst codiert. Um zwische ucodierte Folge ud Wörtebuchidizes uterscheide zu köe, ka da ei Flag beutzt werde. 55

2 Betrachte wir das Quellalphabet A = {0, 1} b mit eier Verteilug, die durch eie Verteilug p(0) = p 0, p(1) = p 1 auf {0, 1} iduziert wird. Wir ehme a, dass wir ei Wörterbuch W mit 2 c, c < b, Eiträge beutze dürfe. De i-te Eitrag im Wörterbuch bezeiche wir mit W i, i = 0,..., 2 c 1. Gemäß der Wahrscheilichkeitsverteilug auf A bestimmt wir u die 2 c wahrscheilichste Folge i A. Diese 2 c Folge speicher wir i userem Wörterbuch, d.h., jeder dieser Folge wird ei Idex i zugeordet ud im Eitrag W i des Wörterbuchs steht da die etsprechede Folge. Um u Folge a A zu codiere, gehe wir folgedermaße vor. Ist a = W i für ei i = 0,..., 2 c 1, liegt also a im Wörterbuch W, so wird a durch 0(i) 2 codiert. Dabei bezeichet (i) 2 die Biärdarstellug vo i. Um techische Schwierigkeite zu vermeide, stelle wir die Biärdarstellluge immer mit c Bits dar. Wir beutze also, falls otwedig, führede Nulle. Ist higege eie Folge a icht im Wörterbuch ethalte, so codiere wir a durch 1a. Das Bit, das wir i beide Codierugsmöglichkeite dem Wörterbuchidex bzw. der eigetliche Folge vorastelle, ist das obe erwähte Flag. Ma überlegt sich leicht, dass die so defiierte Codierug eie Präfix-Code liefert. Um die erwartete Codewortläge dieses Codes zu bereche, sei p w die Summe der Folge i A, die im Wörterbuch ethalte sid. Folge, die im Wörterbuch sid, werde durch Folge der Läge 1 + c codiert. Folge, die icht im Wörterbuch sid, werde durch Folge der Läge 1 + b codiert. Die erwartete Codewortläge ist damit gegebe durch p w (c + 1) + (1 p w )(b + 1) = b p w (c b). Damit diese erwartetet Codewortläge kleier ist als die Läge der ucodierte Folge, muss gelte 1 + p w (c b) < 0 p w > 1 b c. Nur we die letzte Ugleichug erfüllt ist, wird also durch die beschriebee Codierug eie Kompressio der Date erreicht. Betrachte wir de Fall b = 5 ud c = 2. Die Verteilug auf {0, 1} sei gegebe durch p(0) = 3 4, p(1) = 1 4. Die größte Wahrscheilichkeit i {0, 1}5 hat da die Folge 0 5, die Wahrscheilichkeit besitzt. Die Folge 05 wird auf jede Fall is Wörterbuch aufgeomme. Wir setze W 0 = 0 5. Die Folge mit der ächst größere Wahrscheilichkeit sid die Folge bestehed aus eier 1 ud vier 0. Hiervo gibt es füf. Wir köe i das Wörterbuch ur och drei dieser Worte aufehme. Wir setze W 1 = 10 4, W 2 = 01000, W 3 =

3 Mit diesem Code wird die Folge codiert durch I diesem Fall ist p w = Dieses ist größer als 1 b c = 1 3. Wir erhalte also eie Kompressio vo Date. Das obe beschriebee Verfahre beutze eie bekate Wahrscheilichkeitsverteilug ud ei statisches Wörterbuch. Das Wörterbuch wird eimal agelegt ud bleibt da uverädert. Bei der LZ-Codierug. die wir als ächste kee lere werde, wird icht vorausgesetzt, dass eie Wahrscheilichkeitsverteilug bekat ist. Deshalb wird auch kei statisches Wörterbuch beutzt, soder das Wörterbuch wird bei der Codierug der Date dyamisch agelegt. Die Huffma-Codierug ud die Shao-Fao-Elias-Codierug arbeite ur bei fester Eigabeverteilug. Etspricht die bei der Codierug ageommee Verteilug icht der Wahrscheilichkeitsverteilug auf de Quellsymbole, so erreiche die Codierug keie optimale Kompressio der Quelle. Vo der LZ-Codierug werde wir zeige, dass bei Quellalphabet {0, 1} ud eier beliebige ud ubekate Verteilug p = (p(0), p(1)) auf {0, 1} die LZ-Codierug asymptotisch optimal ist. 3.2 Die Lempel-Ziv-Codierug LZ78 Es gibt viele verschiede Variate der LZ-Codierug. Alle gehe auf zwei Arbeite vo Lempel ud Ziv aus de Jahre 1977 bzw zurück. Ma teilt die verschiedee Variate vo LZ-Codierug deshalb i zwei Familie auf, geat LZ77 ud LZ78. Wir werde zuächst eie Form der LZ78 Variate kee lere. Vo dieser werde wir zeige, dass sie bei beliebiger Verteilug asymptotisch optimal ist. Später werde wir da auch die praktisch bessere LZ77-Variate kee lere. Die LZ-Codierug wird i der Regel zur Textkompressio eigesetzt. D.h., als Quellalphabet köe wir etwa {0, 1} ehme, aber die LZ-Codierug beötigt keie feste Blockläge. Deshalb werde wir häufig vo der Codierug eier Folge i {0, 1} rede. Um die Lempel-Ziv-Codierug eier Folge x {0, 1} zu defiiere, beötige wir zuächst de Begriff eies Parsig. Defiitio Ei Parsig eier Folge x {0, 1} ist eie Aufteilug vo x i (zusammehägede)teilfolge y 1,..., y c. Ei Parsig y 1,..., y c heisst disjuktes Parsig, we die Folge y i paarweise verschiede sid. 57

4 Das Lempel-Ziv-Parsig eier Folge x = x 1 x ist u ei spezielles disjuktes Parsig eier Folge, das folgedermasse defiiert ist. y 1 = x 1 Sid y 1,..., y l bereits defiiert ud gilt y 1 y l = x 1 x k, so ist y l+1 die kürzeste Teilfolge vo x, die mit x k+1 begit ud vo alle y i, i = 1,..., l, verschiede ist. Um uiteressate techische Details zu vermeide, gehe wir immer davo aus, dass es am Ede vo x keie Probleme gibt, die letzte Teilfolge y c zu kostruiere. Betrachte wir als Beispiel die Folge x = Das Lempel-Ziv- Parsig dieser Folge ist 1, 0, 11, 01, 010, 00, 10. Die folgede Eigeschafte des Lempel-Ziv-Parsigs folge umittelbar aus seier Defiitio. Lemma Sei y 1,..., y c das Lempel-Ziv-Parsig eier Folge x. Weiter setze y 0 = ɛ. Es gilt 1. y 1,..., y c ist ei disjuktes Parsig der Folge x. 2. Zu jeder Folge y i, 1 i c, gibt es ei Bit b ud eie eideutige Idex 0 j i 1, so dass y i = y j b. Die Ziv-Lempel-Codierug eier Folge x = x 1 x wird u durch de folgede Algorithmus berechet. LZ-Codierug 1. Bereche das Lempel-Ziv-Parsig y 1,, y c vo x. Setze y 0 = ɛ. 2. Codiere jede Teilfolge y i durch das Paar (j, b), wobei 1 j i 1, b {0, 1}, ud y i = y j b. Hierbei werde der Idex j durch log(c) Bits codiert. 3. Gebe die Folge der Codieruge der y i aus. 58

5 Die Lempel-Ziv-Codieruge beutzt ebe Bits auch Klammer ud Kommata. Dieses ka vermiede werde, idem zuächst c selber geeiget codiert wird, etwa durch 0 c 1, ud da jedes y i durch de Idex seier Präfixfolge ud sei letztes Bit codiert wird, ohe dass Klammer oder Kommata beutzt werde. Um die Teilfolge y i ud ihre Codieruge zu bereche, werde wir die Folge x = x 1 x bitweise abarbeite. Wir halte dabei als Datestruktur eie sukzessive wachsede biäre Baum mit Wurzel aufrecht. Zu jedem Zeitpukt sid die Kate dieses Baums mit 0, 1 gelabelt. Die Kote des Baums erhalte Labels aus {0,..., c 1}. Zu Begi besteht der Baum ur aus der Wurzel, die mit 0 gelabelt ist. Außerdem verwalte wir eie Zeiger. Dieser zeigt zu Begi auf die Wurzel. Schließlich habe wir och eie Zähler z, der das jeweils größte bereits vergebee Kotelabel speichert. Iitialisiert ist der Zähler mit 0. Lese wir u das ächste Bit x i vo x, so werde folgede Schritte ausgeführt. Führt aus dem Kote, auf de der Zeiger gerade zeigt, eie Kate gelabelt mit x i, so setze de Zeiger auf de Kote, zu dem diese Kate führt. Existiert aus dem Kote, auf de der Zeiger gerade zeigt, keie Kate mit Label x i, füge i dem Baum eie eue Kote ei. Dieser erhält das Label z + 1. Der eue Kote wird u mit dem Kote, auf de der Zeiger gerade zeigt, durch eie Kate gelabelt mit x i verbude. Ist j der Idex des Kotes, auf dem der Zeiger aktuell zeigt, so wird die Codierug um das Paar (j, x i ) erweitert. Da wird der Zeiger auf die Wurzel gesetzt ud der Zähler wird um 1 erhöht. Für user eiführedes Beispiel ist i Abbildug 3.1 der Baum dargestellt, der etstade ist, achdem die gesamte Folge x = eigelese wurde. Da wir de Baum i liearer Zeit aufbaue köe ud daher auch die relevate Iformatioe für die LZ-Codierug i liearer aus dem Baum auslese köe, erhalte wir Lemma Für eie Folge x {0, 1} ka die LZ-Codierug i Zeit O() berechet werde. Jetzt wolle wir us überlege, dass wir auch aus der Codierug C(x) eies Wortes x, das Wort x i liearer Zeit bereche köe. Liear bedeutet hierbei sowohl liear i der Läge vo C(x) als auch liear i der Läge vo x (warum?) Hier zuächst eie Beschreibug des Algorithmus. Eigabe des 59

6 Abbildug 3.1: Ei LZ-Baum Algorithmus ist eie Folge vo c Paare (i 1, b 1 ),..., (i c, b c ), wobei 0 i j c 1, b i {0, 1}. Schritt 1: Setze m := ɛ. LZ-Decodierug Schritt 2: Für z = 1,..., c wiederhole folgede Schritte. Schritt 3: Setze a := ɛ, l := z. Schritt 4: Solage l 0 wiederhole folgede Schritt. Schritt 5: Setze a := ab l, l := i l. Schritt 6: Setze m := ma. Schritt 7: Ausgabe m. Ma überlegt sich leicht, dass der Algorithmus korrekt ist. Wird ählich wie bei der Codierug ei LZ-Baum beutzt, ka auch gezeigt werde, dass der Algorithmus lieare Laufzeit hat. Lemma Für eie Folge x {0, 1} ka x aus der LZ-Codierug vo x i Zeit O() berechet werde. 60

7 3.2.1 LZ-Codierug ist asymptotisch optimal Wir wolle u zeige, dass die LZ-Codierug bei beliebiger Wahrscheilichkeitsverteilug auf {0, 1} asymptotisch optimal ist. Sei x {0, 1}. Ist da c(x) die Azahl der Teilfolge y i im LZ-Parsig vo x, so wird x durch ei Wort f(x) mit Läge f(x) c(x)(log c(x) + e), (3.1) codiert. Hierbei ist e eie feste Kostate uabhägig vo ud x. Als erstes leite wir eie obere Schrake für c(x) her. Lemma Sei x {0, 1}, 2, ud c(x) die Azahl der Teilfolge i eiem beliebige disjukte Parsig vo x. Da gibt es eie Kostate b, so dass c(x) b log log log(). (3.2) Beweis: Für k 1, sei k die Summe der Läge aller Folge über {0, 1} der Läge höchstes k. Es gilt k = k j2 j = (k 1)2 k (3.3) j=1 Sei u zuächst = k. Eie Folge x {0, 1} mit möglichst grossem c(x) besteht da aus alle Folge der Läge höchstes k. Es gilt also c(x) k j=1 2 j = 2 k+1 2 < 2 k+1 < k k 1. (3.4) Ist u k < k+1, so schreibe wir = k +, wobei 0 < k+1 k = (k + 1)2 k+1. Eie Folge x der Läge mit möglichst großem c(x) besteht u aus alle Folge der Läge höchstes k ud /(k + 1) Folge der Läge k + 1 (wir ehme a k + 1 teilt ). Da gilt c(x) k k 1 + k + 1 k + k 1 = k 1. (3.5) Für k < k+1 wolle wir u k i Abhägigkeit vo abschätze. Aus k = (k 1)2 k k folger wir k log. (3.6) 61

8 Hieraus ud mit < k+1 = k2 k folger wir 2 < (log()2 k+2. Dieses liefert k + 2 log ( 2). (3.7) log Damit gilt k b (log log log(), für eie Kostate b 0. Da wir bereits wisse, dass c(x) (siehe 3.5), folgt das Lemma. k 1 gilt Sei u y 1,..., y c(x) ei disjuktes Parsig der Folge x {0, 1}. Mit, 1 l bezeiche wir u die Azahl der Teilfolge y i mit y i {0, 1} l. Da gilt = c(x) ud l =. (3.8) Wir erhalte da das so geate Lemma vo Ziv. Lemma (Lemma vo Ziv) Für jede Wahrscheilichkeitsverteilug p = (p 0, p 1 ) ud für jedes disjukte Parsig y 1,... y c(x) eier Folge x gilt log p(x) log. (3.9) j=1 Beweis: Da p(x) = c(x) i=1 p(y i) gilt log p(x) = = = c(x) log p(y i ) i=1 y i {0,1} l log p(y i ) 1 log p(y i). y i {0,1} l 62

9 Da 1 y i {0,1} l = 1 ud der Logarithmus eie kovexe Fuktio ist, gilt log p(x) = 1 log p(y i) y i {0,1} l log p(y i) wobei wir 1 log = y i {0,1} l 1 log, y i {0,1} l p(y i ) 1 beutzt habe. Aus diesem Lemma erhalte wir Lemma Es sei für jede Folge x {0, 1} die Läge eies beliebige disjukte Parsigs vo x mit c(x) bezeichet. Für jede Wahrscheilichkeitsverteilug p = (p 0, p 1 ) gilt 1 E(c(x) log c(x)) H(p) + γ, (3.10) wobei γ 0 für. Beweis: Mit dem Lemma vo Ziv gilt für alle x {0, 1} Die Summe log p(x) = log log c(x)c l(x) c(x) = c(x) log c(x) c(x) c(x) log c l(x) c(x) ka als die Etropie der Wahrscheilichkeitsverteilug q(x) = c l(x) c(x) c(x) log c l(x) c(x). aufgefasst werde. Vo dieser ka mit de Glei- 63

10 chuge i (3.8) ud eiigem Aufwad gezeigt werde, dass sie lagsamer wächst als /c(x). Mit adere Worte Damit erhalte wir log p(x) H(q)c(x) 0 für. c(x) log c(x) c(x) c(x) log c l(x) c(x) = c(x) log c(x) wobei γ 0 für. Also gilt c(x) log c(x) + γ, log p(x) Woraus folgt 1 E(c(x) log c(x)) ( p(x) x {0,1} + γ. log p(x) + γ ) = 1 p(x) log p(x) + γ x {0,1} = H(p) + γ. Nu köe wir beweise, dass die Lempel-Ziv-Codierug asymptotisch optimal ist. Satz Bei beliebiger Wahrscheilichkeitsverteilug p kovergiert die erwartete Codewortläge pro Quellsymbol der Lempel-Ziv-Codierug gege die Etropie H(p). Beweis: Nach (3.1) ist die erwartete Codewortläge pro Quellsymbol der Lempel-Ziv-Codierug gegebe durch 1 p(x)c(x)(log c(x) + e) = 1 E(c(x) log c(x)) + x {0,1} p(x) ec(x) x {0,1} = H(p) + γ + p(x) ec(x). x {0,1} 64

11 Nach Lemma gilt u aber ec(x) = eb (log log log(), für eie Kostate b. Da auch e eie Kostate ist, kovergiert dieser Ausdruck für gege 0. Damit kovergiert die erwartet Codewortläge pro Quellsymbol der Lempel-Ziv-Codierug gege die Etropie. 65

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES Der Problematik der alphabetische Codes liege Suchprobleme zugrude, dere Lösug dem iformatiostheoretische Problem der Fidug eies (optimale) alphabetische Codes gleich

Mehr

Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet

Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet Humboldt-Uiversität zu Berli Istitut für Iformatik Logik i der Iformatik Prof. Dr. Nicole Schweikardt Page-Rak: Markov-Kette als Grudlage für Suchmaschie im Iteret Skript zum gleichamige Kapitel der im

Mehr

Kapitel 4: Stationäre Prozesse

Kapitel 4: Stationäre Prozesse Kapitel 4: Statioäre Prozesse M. Scheutzow Jauary 6, 2010 4.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud

Mehr

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten schreier@math.tu-freiberg.de 03731) 39 2261 3. Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie

Mehr

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

Lernhilfe in Form eines ebooks

Lernhilfe in Form eines ebooks Ziseszisrechug Lerhilfe i Form eies ebooks apitel Thema Seite 1 Vorwort ud Eiführug 2 2 Theorie der Ziseszisrechug 5 3 Beispiele ud Beispielrechuge 12 4 Testaufgabe mit Lösuge 18 Zis-Ziseszis.de 212 Seite

Mehr

LV "Grundlagen der Informatik" Programmierung in C (Teil 2)

LV Grundlagen der Informatik Programmierung in C (Teil 2) Aufgabekomplex: Programmiere i C (Teil vo ) (Strukturierte Datetype: Felder, Strukture, Zeiger; Fuktioe mit Parameterübergabe; Dateiarbeit) Hiweis: Alle mit * gekezeichete Aufgabe sid zum zusätzliche Übe

Mehr

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche

Mehr

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3 INHALTSVERZEICHNIS AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2 Datefluß ud Programmablauf 2 Vorbedigug 3 Nachbedigug 3 Schleifeivariate 3 KONSTRUKTION 4 ALTERNATIVE ENTWURFSMÖGLICHKEITEN 5 EFFEKTIVE

Mehr

2. Gleichwertige Lösungen

2. Gleichwertige Lösungen 8. Gleichwertige Lösuge Für die Lösug jeder lösbare Aufgabe gibt es eie uedliche Azahl vo (abstrakte ud kokrete) Algorithme. Das folgede Problem illustriert, dass eie Aufgabe eifacher oder kompliziert,

Mehr

Finanzmathematik für HAK

Finanzmathematik für HAK Fiazmathematik für HAK Dr.Mafred Gurter 2008. Kapitalverzisug bei der Bak mit lieare (eifache) Zise währed des Jahres Beispiel : Ei Kapital vo 3000 wird mit 5% für 250 Tage verzist. Wie viel bekommt ma

Mehr

Lerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung

Lerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung Lereiheit 2: Grudlage der Ivestitio ud Fiazierug 1 Abgrezug zu de statische Verfahre Durchschittsbetrachtug wird aufgegebe Zeitpukt der Zahlugsmittelbewegug explizit berücksichtigt exakte Erfassug der

Mehr

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Göttige, de 4. Jauar 01 Abstract Geeral solutios of the -dimesioal Laplace equatio ad its complex

Mehr

Informatik II Dynamische Programmierung

Informatik II Dynamische Programmierung lausthal Iformatik II Dyamische Programmierug. Zachma lausthal Uiversity, ermay zach@i.tu-clausthal.de Zweite Techik für de Algorithmeetwurf Zum Name: "Dyamische " hat ichts mit "Dyamik" zu tu, soder mit

Mehr

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst.

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst. Krytologie: Krytograhie ud Krytoaalyse Krytologie ist die Wisseschaft, die sich mit dem Ver- ud Etschlüssel vo Iformatioe befasst. Beisiel Iteretkommuikatio: Versiegel (Itegrität der Nachricht) Sigiere

Mehr

2 Vollständige Induktion

2 Vollständige Induktion 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes

Mehr

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist.

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist. Erfüllbarkeit, Uerfüllbarkeit, Allgemeigültigkeit Defiitio Eie Belegug β ist passed zu eiem Boolesche Term t, falls β für alle atomare Terme i t defiiert ist. (Wird ab jetzt ageomme.) Ist β(t) = true,

Mehr

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 2

Musterlösung zu Übungsblatt 2 Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.

Mehr

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S Statistik mit Excel 2013 Peter Wies Theme-Special 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S 3 Statistik mit Excel 2013 - Theme-Special 3 Statistische Maßzahle I diesem Kapitel erfahre Sie wie Sie Date klassifiziere

Mehr

15.4 Diskrete Zufallsvariablen

15.4 Diskrete Zufallsvariablen .4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet

Mehr

Linsengesetze und optische Instrumente

Linsengesetze und optische Instrumente Lisegesetze ud optische Istrumete Gruppe X Xxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxx Xxxxxx Mat.-Nr.: XXXXX Mat.-Nr.: XXXXX XX.XX.XX Theorie Im olgede werde wir eie kurze Überblick über die Fuktio, de Aubau ud die Arte vo

Mehr

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Versuch 3/ NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Die Oberfläche vo Lise hat im allgemeie Kugelgestalt. Zur Messug des Krümmugsradius diet das Sphärometer. Bei sehr flacher Krümmug

Mehr

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben Expoetielles Wachstum Höhere Fiazmathematik Sehr ausführliches Themeheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit viele Traiigsaufgabe Es hadelt sich um eie Awedug vo Expoetialfuktioe (Wachstumsfuktioe) Datei

Mehr

Zusammenfassung Wirtschaftsinformatik Stefan Käßmann

Zusammenfassung Wirtschaftsinformatik Stefan Käßmann I. Iformatio ud Nachricht 1. Iformatio ud Nachricht - Nachricht (Sytax), Sigale, Zeiche - Iformatio (Sematik), bit - Rausche 2. digitale Nachrichte - digitale Sigale (Sigalparameter aus edlicher Zeichevorrat)

Mehr

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen:

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen: 61 6.2 Grudlage der mathematische Statistik 6.2.1 Eiführug i die mathematische Statistik I der mathematische Statistik behadel wir Masseerscheiuge. Wir habe es deshalb im Regelfall mit eier große Zahl

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a)

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a) Quatisierug eies skalare Feldes Das Ziel ist eigetlich das elektromagetische Feld zu quatisiere, aber wie ma scho a de MAXWELLsche Gleichuge sehe ka, ist es zu kompliziert, um damit zu begie. Außerdem

Mehr

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I Uiversität des Saarlades Fakultät für Mathematik ud Iformatik Witersemester 2003/04 Prof. Dr. Joachim Weickert Dr. Marti Welk Dr. Berhard Burgeth Lösuge der Aufgabe zur Vorbereitug auf die Klausur Mathematik

Mehr

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110 Name, Vorame Matrikel-Nr. Studiezetrum Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studieleistug Datum 10.11.2001 BW-WMT-S12 011110 Verwede Sie ausschließlich das

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Istitut für tochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math.. Urba Lösugsvorschlag 9. Übugsblatt zur Vorlesug Fiazmathematik I Aufgabe Ei euartiges Derivat) Wir sid i eiem edliche, arbitragefreie Fiazmarkt,

Mehr

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle Kapitel 6: Statistische Qualitätskotrolle 6. Allgemeies Für die Qualitätskotrolle i eiem Uterehme (produzieredes Gewerbe, Diestleistugsuterehme, ) gibt es verschiedee Möglichkeite. Statistische Prozesskotrolle

Mehr

IWW Studienprogramm. Vertiefungsstudium. Modul XI: Volkswirtschaftslehre. Lösungshinweise zur 1. Musterklausur

IWW Studienprogramm. Vertiefungsstudium. Modul XI: Volkswirtschaftslehre. Lösungshinweise zur 1. Musterklausur Istitut für Wirtschaftswisseschaftliche Forschug ud Weiterbildug GmbH Istitut a der FerUiversität i Hage IWW Studieprogramm Vertiefugsstudium Modul XI: Volkswirtschaftslehre Lösugshiweise zur 1. Musterklausur

Mehr

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Ierbetriebliche Leistugsverrechug I der Kostestellerechug bzw. im Betriebsabrechugsboge (BAB ist ach der Erfassug der primäre Kostestellekoste das Ziel, die sekudäre Kostestellekoste, also die Koste der

Mehr

Byzantinische Einigung im Full-Information-Modell in O(log n) Runden

Byzantinische Einigung im Full-Information-Modell in O(log n) Runden Byzatiische Eiigug im Full-Iformatio-Modell i O(log ) Rude Martia Hüllma Uiversität Paderbor (martiah@upb.de) Zusammefassug. Byzatiische Eiigug stellt ei grudlegedes Problem im Bereich verteilter Systeme

Mehr

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Dr. Dakwart Vogel Ui Esse WS 009/10 1 Drei Beispiele Beispiel 1 Bremsweg eies PKW Bremsweg Auto.xls Ui Esse WS 009/10 Für user Modell des Bremsweges gilt a = a + d a =

Mehr

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK Physikalische Prozesse, die eier statistische Gesetzmäßigkeit uterworfe sid, lasse sich mit eier Verteilugsfuktio beschreibe. Die Gauß-Verteilug

Mehr

Modellbasierte Testautomatisierung: Von der Anforderungsanalyse zu automatisierten Testabläufen

Modellbasierte Testautomatisierung: Von der Anforderungsanalyse zu automatisierten Testabläufen Modellbasierte Testautomatisierug: Vo der Aforderugsaalyse zu automatisierte Testabläufe Modellbasierte Testautomatisierug: Vo der Aforderugsaalyse zu automatisierte Testabläufe Das i diesem Artikel beschriebee

Mehr

2. Diophantische Gleichungen

2. Diophantische Gleichungen 2. Diophatische Gleichuge [Teschl05, S. 91f] 2.1. Was ist eie diophatische Gleichug ud wozu braucht ma sie? Def D2-1: Eie diophatische Gleichug ist eie Polyomfuktio i x,y,z,, bei der als Lösuge ur gaze

Mehr

Qualitätskennzahlen für IT-Verfahren in der öffentlichen Verwaltung Lösungsansätze zur Beschreibung von Metriken nach V-Modell XT

Qualitätskennzahlen für IT-Verfahren in der öffentlichen Verwaltung Lösungsansätze zur Beschreibung von Metriken nach V-Modell XT Qualitätskezahle für IT-Verfahre i der öffetliche Verwaltug Lösugsasätze zur Vo Stefa Bregezer Der Autor arbeitet im Bereich Softwaretest ud beschäftigt sich als Qualitätsbeauftragter mit Theme zu Qualitätssicherug

Mehr

Wahrscheinlichkeit & Statistik

Wahrscheinlichkeit & Statistik Wahrscheilichkeit & Statistik created by Versio: 3. Jui 005 www.matheachhilfe.ch ifo@matheachhilfe.ch 079 703 7 08 Mege als Sprache der Wahrscheilichkeitsrechug, Begriffe, Grudregel Ereigisraum: Ω Ω Mege

Mehr

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung Dr. Markus Kuze WS 2013/14 Dipl.-Math. Stefa Roth 11.02.2014 Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitug Gesetz der totale Wahrscheilichkeit ud Satz vo Bayes (Ω, F, P) Wahrscheilichkeitsraum, E 1,..., E F

Mehr

Methodische Grundlagen der Kostenkalkulation

Methodische Grundlagen der Kostenkalkulation Methodische Grudlage der Kostekalkulatio Plaugsebee Gebrauchsgüter Die i der ladwirtschaftliche Produktio eigesetzte Produktiosmittel werde i Gebrauchsgüter ud Verbrauchsgüter uterteilt. Zu de Gebrauchsgüter

Mehr

Bitte schicken Sie mir eine E-mail, wenn Sie einen Fehler gefunden haben 1. Moritz Kaßmann

Bitte schicken Sie mir eine E-mail, wenn Sie einen Fehler gefunden haben 1. Moritz Kaßmann Das folgede Skript zur Vorlesug Spezielle Aspekte der Aalysis für Studierede des Lehramts a Grud, Haupt ud Realschule wird fortlaufed aktualisiert ud verädert werde. Das Skript ethält bei weitem icht alle

Mehr

Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I

Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Model CreditRisk + : The Ecoomic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Semiar: Portfolio Credit Risk Istructor: Rafael Weißbach Speaker: Pablo Kimmig Ageda 1. Asatz ud Ziele Was ist CreditRisk +

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. Tobias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 01 Musterlösug zu Blatt 0 Aufgabe 1. Käpt Schwarzbart,

Mehr

Wiederkehrende XML-Inhalte in Adobe InDesign importieren

Wiederkehrende XML-Inhalte in Adobe InDesign importieren Wiederkehrede XML-Ihalte i Adobe IDesig importiere Dieses Tutorial soll als Quick & Dirty -Kurzaleitug demostriere, wie wiederkehrede XML-Ihalte (z. B. aus Datebake) i Adobe IDesig importiert ud formatiert

Mehr

Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft

Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft Wisseschaftliches Arbeite Studiegag Eergiewirtschaft - Auswerte vo Date - Prof. Dr. Ulrich Hah WS 01/013 icht umerische Date Tet-Date: Datebak: Name, Eigeschafte, Matri-Tabelleform Spalte: übliche Aordug:

Mehr

Lektion II Grundlagen der Kryptologie

Lektion II Grundlagen der Kryptologie Lektio II Grudlage der Kryptologie Klassische Algorithme Ihalt Lektio II Grudbegriffe Kryptologie Kryptographische Systeme Traspositioschiffre Substitutioschiffre Kryptoaalyse Übuge Vorlesug Datesicherheit

Mehr

Versicherungstechnik

Versicherungstechnik Operatios Research ud Wirtschaftsiformati Prof. Dr. P. Recht // Dipl.-Math. Rolf Wedt DOOR Versicherugstechi Übugsblatt 3 Abgabe bis zum Diestag, dem 03..205 um 0 Uhr im Kaste 9 Lösugsvorschlag: Vorbereituge

Mehr

Das FSB Geldkonto. Einfache Abwicklung und attraktive Verzinsung. +++ Verzinsung aktuell bis zu 3,7% p.a. +++

Das FSB Geldkonto. Einfache Abwicklung und attraktive Verzinsung. +++ Verzinsung aktuell bis zu 3,7% p.a. +++ Das FSB Geldkoto Eifache Abwicklug ud attraktive Verzisug +++ Verzisug aktuell bis zu 3,7% p.a. +++ zuverlässig servicestark bequem Kompeteter Parter für Ihr Wertpapiergeschäft Die FodsServiceBak zählt

Mehr

= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel:

= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel: E Tilgugsrechug.. Jährliche Raeilgug Ausgagspuk: Bei Raeilgug wird die chuldsumme (Newer des Kredis [Aleihe, Hypohek, Darleh]) i gleiche Teilberäge T geilg. Die Tilgugsrae läss sich ermiel als: T =.. Jährliche

Mehr

Organisatorische Strukturen und Stammdaten in ERP-Systemen

Organisatorische Strukturen und Stammdaten in ERP-Systemen Attributame Beschreibug Name des Lerobjekts Autor/e Zielgruppe Vorwisse Lerziel Beschreibug Dauer der Bearbeitug Keywords Orgaisatorische Strukture ud Stammdate i ERP-Systeme FH Vorarlberg: Gasser Wirtschaftsiformatik

Mehr

IWW Studienprogramm. Aufbaustudium. Gründungscontrolling. Lösungshinweise zur 3. Musterklausur

IWW Studienprogramm. Aufbaustudium. Gründungscontrolling. Lösungshinweise zur 3. Musterklausur Istitut für Wirtschaftswisseschaftliche Forschug ud Weiterbildug GmbH Istitut a der FerUiversität i Hage IWW Studieprogramm Aufbaustudium Grüdugscotrollig Lösugshiweise zur 3. Musterklausur Lösugshiweise

Mehr

Gliederung. Value-at-Risk

Gliederung. Value-at-Risk Value-at-Risk Dr. Richard Herra Nürberg, 4. Noveber 26 IVS-Foru Gliederug Modell Beispiel aus der betriebliche Altersversorgug Verteilug des Gesatschades Value-at-Risk ud Tail Value-at-Risk Risikobeurteilug

Mehr

Kunde. Kontobewegung

Kunde. Kontobewegung Techische Uiversität Müche WS 2003/04, Fakultät für Iformatik Datebaksysteme I Prof. R. Bayer, Ph.D. Lösugsblatt 4 Dipl.-Iform. Michael Bauer Dr. Gabi Höflig 17.11. 2003 Abbildug E/R ach relatioal - Beispiel:

Mehr

Finanzmathematische Formeln und Tabellen

Finanzmathematische Formeln und Tabellen Jui 2008 Dipl.-Betriebswirt Riccardo Fischer Fiazmathematische Formel ud Tabelle Arbeitshilfe für Ausbildug, Studium ud Prüfug im Fach Fiaz- ud Ivestitiosrechug Dieses Werk, eischließlich aller seier Teile,

Mehr

Lichtquellen Körper die selbst Licht erzeugen, nennt man Lichtquellen. Die meisten Lichtquellen sind glühende Körper mit hoher Temperatur.

Lichtquellen Körper die selbst Licht erzeugen, nennt man Lichtquellen. Die meisten Lichtquellen sind glühende Körper mit hoher Temperatur. PS - OPTIK P. Redulić 2007 LICHT STRAHLENOPTIK LICHT. Lichtquelle ud beleuchtete Körper Sichtbare Körper sede teilweise Licht aus, teilweise reflektiere sie aber auch das auf sie fallede Licht. Lichtquelle

Mehr

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung)

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung) 3 Die Außefiazierug durch Fremdkapital (Kreditfiazierug) 3.1 Die Charakteristika ud Forme der Kreditfiazierug Aufgabe 3.1: Idealtypische Eigeschafte vo Eige- ud Fremdkapital Stelle Sie die idealtypische

Mehr

2. Digitale Codierung und Übertragung

2. Digitale Codierung und Übertragung 2. Digitle Codierug ud Üertrgug 2.1 Iformtiostheoretische Grudlge 2.2 Speicheredrf ud Kompressio 2.3 Digitlisierug, Digitle Medie Weiterführede Litertur zum Them Dtekompressio: Khlid Syood: Itroductio

Mehr

LS Retail. Die Branchenlösung für den Einzelhandel auf Basis von Microsoft Dynamics NAV

LS Retail. Die Branchenlösung für den Einzelhandel auf Basis von Microsoft Dynamics NAV LS Retail Die Brachelösug für de Eizelhadel auf Basis vo Microsoft Dyamics NAV akquiet Focus auf das Wesetliche User Focus liegt immer auf der Wirtschaftlichkeit: So weig wie möglich, soviel wie ötig.

Mehr

Der natürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtungen zum uniaxialen Zugversuch am Beispiel von Furnier

Der natürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtungen zum uniaxialen Zugversuch am Beispiel von Furnier Der atürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtuge zum uiaxiale Zugversuch am Beispiel vo Furier B. Bellair, A. Dietzel, M. Zimmerma, Prof. Dr.-Ig. H. Raßbach Zusammefassug FH Schmalkalde, 98574 Schmalkalde,

Mehr

Gruppe 108: Janina Bär Christian Hörr Robert Rex

Gruppe 108: Janina Bär Christian Hörr Robert Rex TEHNIHE UNIVEITÄT HEMNITZ FAULTÄT FÜ INFOMATI Hardwarepraktikum im W /3 Versuch 3 equetielle ysteme I Gruppe 8: aia Bär hristia Hörr obert ex hemitz, 7. November Hardwarepraktikum equetielle ysteme I Aufgabe

Mehr

Beschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac)

Beschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac) Beschreibede Statistik Kegröße i der Übersicht (Ac) Im folgede wird die Berechugsweise des TI 83 (sowie vo SPSS, s. ute) verwedet. Diese geht auf eie Festlegug vo Moore ud McCabe (00) zurück. I der Literatur

Mehr

Versuch D3: Energiebilanz einer Verbrennung

Versuch D3: Energiebilanz einer Verbrennung Versuch D: Eergiebilaz eier Verbreug 1. Eiführug ud Grudlage 1.1 Eergiebilaz eier Verbreug Die Eergiebilaz eier Verbreug wird am eispiel eier kleie rekammer utersucht, i welcher die bei der Verbreug vo

Mehr

AVANTI Neuerungen. Inhalt. I. Neuerungen Version 16. 1. Pin Funktion. 2. Status für Nachtragspositionen. 3. DBD Baupreise EFB

AVANTI Neuerungen. Inhalt. I. Neuerungen Version 16. 1. Pin Funktion. 2. Status für Nachtragspositionen. 3. DBD Baupreise EFB Neueruge Software Techologie GmbH 67433 Neustadt / Weistraße Ihalt I. Neueruge Versio 16 3 1. Pi Fuktio 3 2. Status für Nachtragspositioe 5 3. DBD Baupreise EFB 6 4. Programm Eistiegs Assistet 8 5. Voreistellugs-Assistet

Mehr

elektr. und magnet. Feld A 7 (1)

elektr. und magnet. Feld A 7 (1) FachHochschule Lausitz Physikalisches Praktikum α- ud β-strahlug im elektr. ud maget. Feld A 7 Name: Matrikel: Datum: Ziel des Versuches Das Verhalte vo α- ud β-strahlug im elektrische ud magetische Feld

Mehr

Arbeitsplätze in SAP R/3 Modul PP

Arbeitsplätze in SAP R/3 Modul PP Arbeitsplätze i SAP R/3 Modul PP Was ist ei Arbeitsplatz? Der Stadort eier Aktioseiheit, sowie dere kokrete räumliche Gestaltug Was ist eie Aktioseiheit? kleiste produktive Eiheit i eiem Produktiosprozess,

Mehr

1. Ein Kapital von 5000 ist zu 6,5% und ein Kapital von 4500 zu 7% auf 12 Jahre angelegt. Wie groß ist der Unterschied der Endkapitalien?

1. Ein Kapital von 5000 ist zu 6,5% und ein Kapital von 4500 zu 7% auf 12 Jahre angelegt. Wie groß ist der Unterschied der Endkapitalien? Fiazmathematik Aufgabesammlug. Ei Kapital vo 5000 ist zu 6,5% ud ei Kapital vo 4500 zu 7% auf 2 Jahre agelegt. Wie groß ist der Uterschied der Edkapitalie? 2. Wa erreicht ei Kapital eie höhere Edwert,

Mehr

1 = 1. 6 Induktionsannahme: Die Formal gelte für n = k. Induktionsschritt: Gültigkeit der Formel für k+1: 1 2 + 2 2 +... + k 2 + (k + 1) 2 = 2 = 6 = 6

1 = 1. 6 Induktionsannahme: Die Formal gelte für n = k. Induktionsschritt: Gültigkeit der Formel für k+1: 1 2 + 2 2 +... + k 2 + (k + 1) 2 = 2 = 6 = 6 65 Eric Müller Vollstädige Iduktio Nach GIUSEPPE PEANO (858-93) ka ma die Mege N der atürliche Zahle durch folgede Axiome defiiere []:. ist eie atürliche Zahl.. Zu jeder atürliche Zahl gibt es geau eie

Mehr

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 1 (aus: K. Hefft Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 1.1: SI-Eiheite: a)

Mehr

A/D UND D/A WANDLER. 1. Einleitung

A/D UND D/A WANDLER. 1. Einleitung A/D UND D/A WANDLER. Eileitug Zur Umwadlug physikalischer Größe, beispielsweise i eie Spaug, werde Wadlerbausteie - auch allgemei Sigalumsetzer geat- beötigt. Ei Sesor liefert ei aaloges Sigal, das i geeigeter

Mehr

Leitfaden zum Photovoltaik Global 30 Index *

Leitfaden zum Photovoltaik Global 30 Index * Lefade zum Photovoltaik Global 30 Idex * Versio.0 * Photovoltaik Global 30 Idex ist ei Idex der ABN AMRO, der vo der Deutsche Börse berechet ud verteilt wird. Deutsche Börse AG Versio.0 Lefade zum Photovoltaik

Mehr

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v Tao De / Pa JiaWei Ihrig/Pflaumer Fiazmathematik Oldeburg Verlag 1999 1..Ei Darlehe vo. DM soll moatlich mit 1% verzist ud i Jahre durch kostate Auitäte getilgt werde. Wie hoch sid a) die Moatsrate? b)

Mehr

Leitfaden zum. Bondm-Index

Leitfaden zum. Bondm-Index Leitfade zum Bodm-Idex Versio 1.0 vom 01. September 2011 1 Ihalt Eiführug 1 Parameter des Idex 1.1 Kürzel ud ISIN 1.2 Startwert 1.3 Verteilug 1.4 Preise ud Berechugsfrequez 1.5 Gewichtug 1.6 Idex-Komitee

Mehr

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung Herzlich willkomme zur der Aufgabesammlug Um sich schell ierhalb der ca. 35. Mathematikaufgabe zu orietiere, beutze Sie ubedigt das Lesezeiche Ihres Acrobat Readers: Das Ico fide Sie i der liks stehede

Mehr

Merge-Sort und Binäres Suchen

Merge-Sort und Binäres Suchen Merge-Sort ud Biäres Suche Ei Bericht vo Daiel Haeh Mediziische Iformatik, Prosemiar WS 05/06 Ihaltsverzeichis I. Eileitug 3 II. III. IV. i. Das Divide-ad-coquer -Verfahre Merge-Sort i. Eileitug ii. Fuktiosweise

Mehr

KASSENBUCH ONLINE Online-Erfassung von Kassenbüchern

KASSENBUCH ONLINE Online-Erfassung von Kassenbüchern KASSENBUCH ONLINE Olie-Erfassug vo Kassebücher Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Ituitive Olie-Erfassug des Kassebuchs... 5 3.2 GoB-sicher

Mehr

Variiert man zusätzlich noch die Saatstärke (z.b. 3 Stärkearten), würde man von einer zweifaktoriellen Varianzanalyse sprechen.

Variiert man zusätzlich noch die Saatstärke (z.b. 3 Stärkearten), würde man von einer zweifaktoriellen Varianzanalyse sprechen. 3. Variazaalyse Die Variazaalyse mit eier quatitative abhägige Variable ud eier oder mehrerer qualitativer uabhägiger Variable wird auch als ANOVA (Aalysis of Variace) bezeichet. Mit eier Variazaalyse

Mehr

10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE

10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE Folge, Reihe, Grezwerte 0. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE 0.. Folge (a) Defiitio Betrachtet ma bei eier Fuktio ur jee Fuktioswerte, die sich durch Eisetze vo Argumete aus de atürliche Zahle ergebe, so erhält

Mehr

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert.

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert. Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 7 3. Etscheidug bei Risiko (subjektive oder objektive) Eitrittswahrscheilichkeite für das Eitrete der mögliche Umweltzustäde köe vom Etscheidugsträger

Mehr

Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 22.12.2007 Betriebswirtschaft BB-WMT-S11-071222

Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 22.12.2007 Betriebswirtschaft BB-WMT-S11-071222 Korrekturrichtliie zur Studieleistug Wirtschaftsmathematik am..007 Betriebswirtschaft BB-WMT-S-07 Für die Bewertug ud Abgabe der Studieleistug sid folgede Hiweise verbidlich: Die Vergabe der Pukte ehme

Mehr

cubus EV als Erweiterung für Oracle Business Intelligence

cubus EV als Erweiterung für Oracle Business Intelligence cubus EV als Erweiterug für Oracle Busiess Itelligece... oder wie Oracle-BI-Aweder mit Essbase-Date vo cubus outperform EV Aalytics (cubus EV) profitiere INHALT 01 cubus EV als Erweiterug für die Oracle

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Studiegag Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistug Studieleistug Klausur-Kz. BW-WMT-S1 040508 Datum 08.05.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede

Mehr

Testumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen

Testumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen Testumfag für die Ermittlug ud Agabe vo Fehlerrate i biometrische Systeme Peter Uruh SRC Security Research & Cosultig GmbH peter.uruh@src-gmbh.de Eileitug Biometrische Systeme werde durch zwei wichtige

Mehr

Physikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme

Physikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme ieser Text ist ür iteressierte Leser gedacht, die sich über die klausur-relevate, physiologische Grudlage hiaus mit der Optik des Auges beschätige wolle! Physikalische Grudlage: Strahlegag durch optische

Mehr

PageRank: Wie Google funktioniert

PageRank: Wie Google funktioniert PageRa: Wie Google futioiert Außermathematische Aweuge im Mathematiuterricht WS 0/ Fraz Embacher, Uiversität Wie Das Erfolgsrezept er Suchmaschie vo Google lag zuächst i er überzeugee Reihug vo reffer.

Mehr

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81 Fiazmathematik 8 FINANZMATHEMATIK. Zise ud Ziseszise Die Zise als Preis für die Zurverfügugstellug vo Geld bilde das zetrale Elemet i der Fiazmathematik. Hierbei sid verschiedee Arte der Verzisug zu uterscheide.

Mehr

Aufgaben zur vollständigen Induktion

Aufgaben zur vollständigen Induktion c 7 by Raier Müller - Aufgabe zur vollstädige Idutio We ichts aderes agegebe ist, da gelte die Behauptuge für IN {; ; ;...}. A) Teilbareit: ) ist gerade (d.h. durch teilbar). ) ist durch teilbar. ) ist

Mehr

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09 Mathematik Vorlesug im Bachelor-Studiegag Busiess Admiistratio (Modul BWL A) a der FH Düsseldorf im Witersemester 2008/09 Dozet: Dr. Christia Kölle Teil I Fiazmathematik, Lieare Algebra, Lieare Optimierug

Mehr

2 Der pn-übergang. 2.1 Der pn-übergang ohne äußere Spannung. Der pn-übergang

2 Der pn-übergang. 2.1 Der pn-übergang ohne äußere Spannung. Der pn-übergang 2 Der -Übergag -Übergag = Grezfläche (Grezschicht) zwische eier -dotierte ud eier -dotierte Zoe ierhalb eies mookristallie Halbleiters. Der -Übergag ist das Grudelemet zahlreicher Halbleiter-Bauelemete:

Mehr

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008 Stochasti ud ihre Didati Refereti: Iris Wiler 10.11.2008 Aufgabe: Führe Sie i der Seudarstufe II die Biomialoeffiziete als ombiatorisches Azahlproblem ei. Erarbeite Sie mit de Schülerie ud Schüler mithilfe

Mehr

Sichtbar im Web! Websites für Handwerksbetriebe. Damit Sie auch online gefunden werden.

Sichtbar im Web! Websites für Handwerksbetriebe. Damit Sie auch online gefunden werden. Sichtbar im Web! Websites für Hadwerksbetriebe. Damit Sie auch olie gefude werde. Professioelles Webdesig für: Hadwerksbetriebe Rudum-sorglos-Pakete Nur für Hadwerksbetriebe Webdesig zu Festpreise - ukompliziert

Mehr

DMS Dokumenten- Management-System

DMS Dokumenten- Management-System DMS Dokumete- Maagemet-System Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Scae, verschlagworte ud archiviere i eiem Arbeitsgag... 5 3.2 Dokumete

Mehr

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12 Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls

Mehr

Aufgabenblatt 4. A1. Definitionen. Lösungen. Zins = Rate Zinskurve = Zinsstruktur Rendite = Yield

Aufgabenblatt 4. A1. Definitionen. Lösungen. Zins = Rate Zinskurve = Zinsstruktur Rendite = Yield Augabeblatt 4 Lösuge A. Deiitioe Zis = Rate Ziskurve = Zisstruktur Redite = Yield A. Deiitioe Zerobod = Nullkupoaleihe = Zero coupo bod Aleihe, die vor Ede der Lauzeit keie Zahluge leistet ud am Ede der

Mehr

1.1 Berechnung des Endwerts einer Einmalanlage bei linearer ganzjähriger Verzinsung nach n Verzinsungsjahren

1.1 Berechnung des Endwerts einer Einmalanlage bei linearer ganzjähriger Verzinsung nach n Verzinsungsjahren Forelsalug zur Fiazatheatik 1. Eifache Zisrechug (lieare Verzisug) 1.1 Berechug des Edwerts eier Eialalage bei liearer gazjähriger Verzisug ach Verzisugsjahre p = 1 + = ( 1+ i ) 1 1.2 Berechug des Gegewartswerts

Mehr

Die Forschungsdatenbank zu Inschriften/Scans/Bildern im. Institut für Urchristentum und Antike

Die Forschungsdatenbank zu Inschriften/Scans/Bildern im. Institut für Urchristentum und Antike Gebhard Dettmar Istitut für Urchristetum ud Atike www2.hu-berli.de/ura Die Forschugsdatebak zu Ischrifte/Scas/Bilder im Istitut für Urchristetum ud Atike Eie Etwurfsdokumetatio zum Datebaketwurf ach dem

Mehr

Wintersemester 2006/2007, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens 24.10.2006, 09:00 Uhr. Aufgabe 1.1: (5 P)

Wintersemester 2006/2007, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens 24.10.2006, 09:00 Uhr. Aufgabe 1.1: (5 P) Serie Abgabetermi: spätestes 24.0.2006, 09:00 Uhr Aufgabe.: 5 P Zeige Sie, dass das geometrische Mittel icht größer ist als das arithmetische Mittel, d.h., dass für alle Zahle a, b R mit a, b 0 gilt ab

Mehr