Danach arithmetische Fragestellungen wie vollkommene Zahlen und Dreieckszahlen der Griechen.

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1 Was ist Zahlentheorie? Ursprünglich ist die Zahlentheorie (auch: Arithmetik) ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich allgemein mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen und insbesondere mit den Lösungen von Gleichungen in den ganzen Zahlen beschäftigt Aus moderner Sicht umfasst sie alle mathematischen Theorien, die sich historisch aus diesen Fragestellungen entwickelt haben Elementare Zahlentheorie Bereich der Zahlentheorie, der ohne andere mathematische Teilgebiete auskommt Ihre einzigen Hilfsmittel waren die Eigenschaften der ganzen Zahlen, insbesondere Primfaktorzerlegung und Teilbarkeit Wichtige Resultate, die sich mit Hilfe elementarer Methoden erzielen lassen, sind der Euklidische Algorithmus, der kleine Satz von Fermat, dessen Verallgemeinerung, und der Chinesische Restsatz Frühe Geschichte: 2000 v Chr Erste schriftliche Nachweise der Zahlentheorie Babylonier kannten Zahlen kleiner einer Million, Quadratzahlen und einige pythagoräische Tripel 300 v Chr Systematische Entwicklung durch Euklid Euklids Elemente war lange Zeit Standardlehrbuch für Zahlentheorie Euklidischer Algorithmus und ggt Existenz unendlich vieler Primzahlen (Satz von Euklid) 250 v Chr Diophantische Gleichungen: Lösung von Gleichungen mit linearen Substitutionen Hauptwerk Arithmetika Danach arithmetische Fragestellungen wie vollkommene Zahlen und Dreieckszahlen der Griechen Weitere wichtige Zahlentheoretiker: Pierre de Fermat Leonhard Euler Carl Friedrich Gauß Wir werden uns mit den ersten Kapiteln der elementaren Zahlentheorie beschäftigen Teilbarkeit Primzahlen ggt (größter gemeinsamer Teiler) Euklidischer Algorithmus 1

2 Definition: Seien n und m 1 zwei Zahlen Dann gibt es genau eine eindeutige Darstellung von n in der Form n = qm + r (*) n mit einem q und einem r { 0,1,2,, m 1} Dabei gilt: q = m Die Zahlen q und r heißen der Quotient bzw der Rest der Zahl n bei Division durch m Ist r = 0, so sagt man, m ist ein Teiler von n (Bezeichnung: m n ), und n ist durch m (restlos) teilbar (Bezeichnung nμ m ) Existenz der Darstellung (*): Betrachten wir die Menge M = { n km : k Z} Diese Menge ist nach unten und nach oben unbeschränkt, sie enthält sowohl negative, als auch positive ganze Zahlen Sei r = n qm M die kleinste nichtnegative Zahl dieser Menge Dann ist r 0 nach Definition Andererseits ist n ( q + 1 ) m = r m < 0 sonst wäre die Zahl r m M ebenfalls nichtnegativ, aber kleiner als r Also ist m r 0,1,2,, m 1 r <, dh { } Eindeutigkeit von (*): Sei qm + r = q' m + r' mit r r' Dann ist r r' = ( q' q) m, also ein Vielfaches von m Da aber 0 r r' r < m ist, erhalten wir r r'= 0, also r = r' Daraus folgt auch q = q' Bemerkung: Wir betrachten hier nur positive Teiler, dh die Zahl m muss eine positive ganze Zahl sein Aufgabe 11: Die Gesamtzahl aller Teiler einer Zahl n 2 ist ungerade, wenn n eine Quadratzahl ist, dh wenn n ist, und sonst gerade Lösung: Sei n keine Quadratzahl Betrachten wir die Menge T ± aller Teiler von n, die größer (bzw kleiner) sind als n Die Menge T aller Teiler von n ist die Vereinigung T = T T+ Nun sind die beiden Mengen T und T + n gleichmächtig, denn die Abbildung a α von T nach T+ ist biektiv Also a ist T = T + T 2T gerade Sei etzt + = n also n eine Quadratzahl Dann ist = T { n} T+ somit T T T = 2T + 1 ungerade = + T, und 2

3 Aufgabe 12: Ein Schrank hat 100 Schließfächer, die am Abend geschlossen sind In der Nacht kommen 100 Geister und treiben ihr Unwesen: Der erste Geist macht alle Schließfächer auf; Der zweite Geist ändert den Zustand edes Schließfaches mit gerader Nummer, dh macht die Schließfächer 2,4,6,, 100 wieder zu Der dritte Geist ändert den Zustand edes Schließfaches, dessen Nummer durch 3 teilbar ist, usw; Der k-te Geist ändert den Zustand edes Schließfaches, dessen Nummer durch k teilbar ist; Der letzte Greift nur die Nummer 100 an Wie viele (und welche) Schließfächer sind am nächsten Morgen auf? Lösung: Betrachten wir das Schließfach Nummer N An diesem Schließfach werden sich genau dieenigen Geisterbetätigen, deren Nummern Teiler von N sind (inklusive der 1) Insgesamt wird der Zustand des Schließfaches also so oft geändert, wie die Zahl N Teiler hat Ist N keine Quadratzahl, so ist die Gesamtzahl ihrer Teiler gerade In diesem Fall bleibt das Schließfach im Endeffekt geschlossen Ist N hingegen eine Quadratzahl, so ist die Gesamtzahl ihrer Teiler ungerade In diesem Fall bleibt das Schließfach also offen Die Antwort lautet also: ausgerechnet die Schließfächer mit den Nummern 1, 4, 16, 25,, 100 (also insgesamt 10 Stück) sind am nächsten morgen offen 3

4 Aufgabe 13: Beweisen Sie: Für ede natürliche Zahl n 2 ist der kleinste von l verschiedene Teiler q von n eine Primzahl Lösung: Sei q der kleinste von l verschiedene Teiler von n Angenommen, q ist eine zusammengesetzte Zahl, d h sei q = pr, wobei 2 p < q und 2 r < q ist Dann ist p (sowie r) auch ein Teiler von n, da n p = n q q p = n q r eine natürliche Zahl ist Das ergibt einen Widerspruch zu der Annahme, dass q der kleinste Teiler von n ist, da p < q ist Aufgabe 14: Jede natürliche Zahl n 2 kann als Produkt n = p1 p 2 pm von Primzahlen dargestellt werden Lösung: Wir beweisen diese Behauptung durch vollständige Induktion Induktionsanfang: n = 2 Da gilt die Darstellung mit m = l, p1= 2 = n Induktionsschritt: Sei eine solche Darstellung für alle natürliche Zahlen n N möglich Betrachten wir nun die Zahl n = N + 1 Ist n eine Primzahl, so setzen wir m = l, p1 = n Ist n zusammengesetzt, so bezeichnen wir mit p1 den kleinsten Teiler von n Wir wissen schon, dass p1 eine Primzahl ist Nun stellen wir die Zahl n1 = n/p1 in der Form n1 = p 2 pm dar (dies ist möglich, weil n1 < n = N + l und damit n1 N ist) Für n gilt dann n = p1 n1 = p 1 p 2 p m 4

5 Aufgabe 15: Beweisen Sie, dass die Darstellung n = p1 p 2 pm (die so genannte Primfaktorzerlegung (PFZ) der Zahl n) mit Primzahlen p1, p2,, pm, die p1 p2 pm erfüllen, eindeutig ist Lösung: (Der Beweis von Zermelo) Wir verfahren nach dem Extremalprinzip: Wenn es Zahlen n gibt, für die die Darstellung n = p1 p 2 pm nicht eindeutig ist, dann gibt es auch eine kleinste solche Zahl n Seien p1 p 2 pm = n = q 1 q 2 ql = n zwei verschiedene Darstellungen dieser Zahl n, wobei p1, p 2,, pn, q1, q2,, qn Primzahlen sind und p1 p 2 pn und q1 q 2 qn gilt Die Gleichung p1 = q1 ist unmöglich, da es sonst für die Zahl n/ p1 < n zwei verschiedene Primfaktorzerlegungen p2 pm = q2 ql = n/ p1 gäbe, was zu der Minimalität von n im Widerspruch stehen würde Also ist p1 q1 OBdA nehmen wir an, dass p1< q1 ist Dann ist q1 = a p1 + r, wobei a und r natürliche Zahlen sind mit l r p1- l < p1 Aus dieser Darstellung folgt also p1 p 2 pm = (a p1 + r) q2 ql = p1 a q 2 q l + r q2 q l, p1 ( p 2 pm a q2 q l ) = rq2 q l Da die Zahl R kleiner ist als n, hat sie nur eine einzige Primfaktorzerlegung R = q l+1 q l +k q2 q l = r Die Primzahl p1 muss also mit einer der Primzahlen q übereinstimmen Dies ist aber unmöglich, weil p1< q ist für = 2,, l und p1 > q ist für = l + 1,, l + k (denn p1 > r) Dieser Widerspruch zeigt, dass es keine Zahl mit mehreren verschiedenen Primfaktorzerlegungen gibt Das heißt, ede natürliche Zahl hat eine einzige Primfaktorzerlegung R 5

6 Definition Die Darstellung n = p1 α 1 p 2 α 2 p m α m mit Primzahlen p, = 1m, wobei p1 < p2 < < pm, und α natürliche Zahlen l sind, heißt kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl n Aufgabe 16: Sei n = p1 α 1 p 2 α 2 p m α m die kanonische Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl n Dann hat n genau (l +α1) (l + α2) (1+αm) verschiedene natürliche Teiler Lösung: Jeder Teiler x von n hat die Primfaktorzerlegung x = p1 β 1 p 2 β 2 p m β m, wobei β {0, l, 2,, α } ist Daher gibt es für edes β genau l + α Wahlmöglichkeiten Insgesamt ergibt das (l +α 1 ) (l + α 2 ) (1+α m ) Möglichkeiten für den Teiler Aufgabe 17: Für zwei teilerfremde Zahlen a und b und für eine weitere natürliche Zahl n gelte Dann ist ab n a n und b n β1 β2 βm γ 1 γ 2 γ m Lösung: Es ist a = p1 p2 Κ p m und b = p1 p2 Κ p m mit 0 β α und 0 γ α Da a und b teilerfremd sind, gilt bei γ 0 zwangsweise β = 0 und umgekehrt folgt aus β 0 unbedingt γ = 0 In diesem Fall ist: β γ = max{ β, γ } Daraus folgt: a b = p Da β + γ = { β, γ } α + erfüllt β 1 + γ 1 β2 + γ 2 βm + γ m 1 p2 Κ p m max ist, ist ab n 6

7 Aufgabe 18: Wie viele Nullen stehen am Ende der zahl 100!? Lösung: Dies ist zu der folgenden Frage äquivalent: Durch welche maximale Potenz von 10 ist 100! teilbar? Sei 100! = 2 a 5 b n wobei n mit 10 teilerfremd ist Dann ist 100! Durch 10 c teilbar mit c = min{ a, b}, aber nicht durch 10 c+1 Es ist a 50, da mindestens 50 Faktoren in 100! gerade Zahlen sind Ferner gibt es unter den Zahlen 1 bis 100 genau 20, die durch 5 teilbar sind, 4 davon sind auch noch durch 5² teilbar (durch 5³ teilbare Faktoren gibt es in diesem Bereich nicht) Insgesamt ergibt das b = = 24 Daher ist c = b = 24 Die Antwort lautet also: 24 Nullen Aufgabe 19: Auf eder der sechs Seitenflächen eines Würfels steht eine positive ganze Zahl angeschrieben Für ede Ecke des Würfels berechnen wir das Produkt der Zahlen auf den drei angrenzenden Flächen Die Summe dieser Produkte beträgt 1001 Welchen Wert hat die Summe der Zahlen auf den sechs Würfelflächen? Lösung: Wir bezeichnen die Würfelflächen mit den Zahlen a 1, a 2, b 1, b 2, c 1, c 2 wobei sich die Zahlen mit gleichen Buchstaben (zb: a 1, a 2 ) gegenüberliegen Die Summe aller acht Produkte beträgt dann genau a + a b + b c + c = 1001 = 7 11 (Primfaktorzerlegung!) ( )( )( ) Da die Zahlen a 1 + a 2, b 1 + b 2 und c 1 + c 2 natürliche Zahlen 2 sind, müssen sie also gleich 7, 11 und 13 sein (evtl in einer anderen Reihenfolge) Somit ist die gesuchte Summe gleich = 31 7

8 Aufgabe 110: Sei p eine Primzahl Beweisen Sie, dass alle Binomialkoeffizienten durch p teilbar sind p mit n { 1,2,, p 1} n Lösung: ( p 1) ( p n + 1) p p pa Es ist = = eine ganze Zahl (nach Definition n n! n! des Binomialkoeffizienten) Also ist pa durch n! teilbar Wir wollen zeigen, dass ist Für n p 1 sind p und n! teilerfremd; daher gibt es n a! natürliche x und y mit px n! y = 1, also mit px = n! y + 1 ( yn! + 1) p xpa a a Das ergibt x = = = ya + n n! n! n! p Daher ist n! a, also und folglich ist durch p teilbar n a! n 8

9 2 Der Euklidische Algorithmus Aufgabe 21: Seien p und q natürliche Zahlen Beweisen Sie die folgenden Aussagen: a) Wir bezeichnen mit MgT(p, q) die Menge aller (positiven) gemeinsamen Teiler von p und q Es ist dann MgT(p, q) = MgT(q, r), wobei der Rest r durch p = sq + r gegeben wird b) Wir bezeichnen mit ggt (p, q) den größten gemeinsamen Teiler von p und q Dann kann ggt (p, q) durch den folgenden Algorithmus, genannt Euklidischer Algorithmus, bestimmt werden: 1 Schritt: Wir bezeichnen p0 = p und p1= q, wobei p q ist Schritt des Euklidischen Algorithmus: Seien pk und pk+1 zwei natürliche Zahlen mit pk pk+1 Man teile pk durch pk+1mit einem Rest, den man mit pk+2 bezeichnet: Es ist dann pk+2 < pk+1 pk = sk pk+1 + pk+2 Man führe diesen Algorithmus solange durch, bis pk = r = 0 auftritt (also höchstens q mal) Es ist pk-1 = ggt (p, q) Lösung: a) Jeder gemeinsame Teiler t von p und q ist auch ein gemeinsamer Teiler von r und q, denn p = s1t und q = s2t impliziert Umgekehrt: Ist r = s3 t und q = s 2t, so ist r = p - sq = s1t ss2t = (s1 - ss2) t p = sq + r = ss2 t + s 3 t = (s 3 + ss2) t 9

10 b) Nach (a) ist MgT( p0 ; p1) = MgT( p1 ; p2) = = MgT( pk-1 ; 0) Daraus folgt ggt( p0 ; p1) = ggt( pk-1 ; 0) = pk-1 Aufgabe 22: Seien a und b zwei natürliche Zahlen 1 Dann gibt es zwei natürliche nichtnegative Zahlen x und y mit ax by = ggt(a,b) Lösung: Wir beweisen es durch vollständige Induktion nach a + b Induktionsanfang: Für a + b = 2, also für a = b = l setzen wir x = l, y = 0 Das ergibt l l - l 0 = 1 Induktionsschritt: Angenommen, die Darstellung ax by = ggt(a,b) existiert für alle a, b mit a + b N Betrachten wir nun a und b mit a + b = N + l Betrachten wir zuerst den Fall a b Dann ist a = qb + r, wobei der Rest r kleiner ist als b Wegen r + b < a + b gibt es natürliche Zahlen x' und y' mit Einsetzen von r = a - qb ergibt rx' - by' = ggt (b, r) = ggt (a, b) ggt (a, b) = (a - qb) x' - by' = ax' - b (qx' + y'), also die nötige Kombination ax by = ggt(a,b) mit x = x ' und y = qx' + y' Kommen wir nun zum Fall a < b Dann ist b = qa + r mit einem r < a Dann gibt es eine Darstellung Das ergibt ax' - ry' = ggt (a, r) = ggt (a, b) ax' -(b- qa) y' = a (x' + qy') - by' = ggt (a, b), also genau die Darstellung ax by = ggt(a,b) mit x = x' + qy' und y = y' Quellen: Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie, Springer Verlag, 2 Auflage Vorlagen von Frau Dr Natalia Grinberg wwwwikipediade Christian Hoffmann, Roxana Herma 10