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- Jacob Steinmann
- vor 6 Jahren
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1 Ihlsübersich A. Eiführug A B C D E F Eiführug Fizmhemische Grudlge Zisrechuge Reerechuge Tilgugsrechuge Besimmug vo Kurs ud Redie Fizmhemik ls rdiioelles ud bewähres Isrume der Beriebswirschfslehre im Berufslebe ud i der Privsphäre 2 A. Eiführug Lierurhiweise A. Eiführug Iformioe zur Vorlesug Skrip + Aufgbesmmlug Grob/Everdig: Fizmhemik mi dem PC Kobel/Schule: Fizmhemik Web-Agebo der Fchbereichsbibliohek hp:// /bibliohek/sudiere/fim.hml Lierur uer der Sigur R VIII 3 4
2 A. Eiführug Didkisches Kozep Vorbereiug der ächse Vorlesug (Skrip) 2 Besuch der Vorlesug - Chrkerisierug vo Problemsellug ud Lösug, - Lösugshiweise zu de Husufgbe, - Beworug vo Frge. 3 Nchbereiug der Vorlesug (Skrip) 4 Lösug usgewähler Aufgbe (Aufgbesmmlug) 5 Veriefug ud Wiederholug des Soffes hd weierer Aufgbe (Aufgbesmmlug) Gegesd der Fizmhemik 2 Folge- ud Reiherechug ls Bsis der Fizmhemik 3 Reche mi Logrihme 4 Aufgbe zu Fizmhemische Grudlge 6 Vorbereiug uf die Klusur hd ler Klusurufgbe 5 6. Gegesd Gegesd der Fizmhemik Hergbe, Verzisug ud Rückgbe vo Geld Fizmhemisch releve Größe: Eizhluge ud Auszhluge bzw. Eihme ud Ausgbe. Gegesd Zeisrhl eier Ivesiio Uerehmug Eizhluge > Geldmielzufluss > posiive Zhlugsgröße Auszhluge > Geldmielbfluss > egive Zhlugsgröße Legede Geldmielbfluss (-) Geldmielzufluss (+) 7 8
3 . Gegesd Zeisrhl eier Ivesiio Uerehmug. Gegesd Zeisrhl eier Fizierug Uerehmug Legede Geldmielbfluss (-) Geldmielzufluss (+) Legede Geldmielbfluss (-) Geldmielzufluss (+) 9 0. Gegesd Escheidugskrierium für Ivesiio. Gegesd Escheidugskrierium für Fizierug Riolprizip Riolprizip Mximumvrie Miimumvrie Mximumvrie Miimumvrie Wähle diejeige Ivesiio, die bei gegebee Auszhluge die höchse Eizhluge erwirschfe! Wähle diejeige Ivesiio, die bei gegebee Eizhluge die gerigse Auszhluge verursch! Wähle diejeige Fizierug, die bei gegebee Auszhluge die höchse Eizhluge erbrig! Wähle diejeige Fizierug, die bei gegebee Eizhluge die gerigse Auszhluge verursch! 2
4 . Gegesd Grudlegede Probleme der Fizmhemik: Progose der releve Zhlugsgröße (Usicherhei) Besimmug des zusezede Zisszes Begriffe: Zise Egel für die Überlssug vo Kpil Zissz Prozesz vom Kpil, der für die Überlssug des Kpils zu eriche is (wird uch ls Zisfuß bezeiche) Zisperiode Zeirum, für de die Zise fällig werde. Gegesd Aufgbe des Zisszes Gegesd Aufgbe des Zisszes , Begriffsdefiiioe ud erläueruge 22. Fizmhemisch releve Folge ud Reihe 22. Arihmeische Folge ud Reihe 222. Geomerische Folge ud Reihe 23. Abschreibuge ls Awedugsbeispiel 23. Begriff, Fukioe ud Are vo Abschreibuge 232. Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf 232. Liere Abschreibug Arihmeisch-degressive Abschreibug Geomerisch-degressive Abschreibug 5 6
5 2.. Begriffsdefiiio ud -erläueruge Folge edliche oder uedliche Aeiderreihug vo Zhle, 2, K, i, K, Symbole: i i-es Eleme der Zhlefolge, mi i,..., * * Azhl der Elemee der Zhlefolge * uedliche Zhlefolge * N N N edliche Zhlefolge, flls N edlich viele Elemee umfss 2.. Begriffsdefiiio ud -erläueruge Reihe Summe der Glieder eie (Zhle-) Folge Symbole: S K + S * Summe der Elemee eier Zhlefolge * uedliche Zhlereihe * N N N edliche Zhlereihe, flls N edlich viele Elemee umfss i i Fizmhemisch releve Folge ud Reihe Arihmeische Folge ud Reihe 2.2. Fizmhemisch releve Folge ud Reihe Arihmeische Folge ud Reihe Jhr Provisio Äderug (bsolu) Äderug (reliv) % + 9,09% + 8,33% + 7,96% Bildugsgesez: wobei i i- d ud vorgegebe sowie i 2,, * i i- + d, 9 20
6 2.2. Fizmhemisch releve Folge ud Reihe Arihmeische Folge ud Reihe Besimmug des llgemeie Gliedes i : i i- + d + (i-) d Besimmug des -e Gliedes * : * + ( * -) d 2.2. Fizmhemisch releve Folge ud Reihe Arihmeische Folge ud Reihe Rechevereifchug durch zweisufige Vorgehesweise:. lle Glieder der Reihe mi Hilfe des llgemeie Ausdrucks formuliere 2. die Reihe zweiml uereider ufschreibe ud dbei die Reihefolge beim zweie Ml umkehre Fizmhemisch releve Folge ud Reihe Arihmeische Folge ud Reihe 2.2. Fizmhemisch releve Folge ud Reihe Geomerische Folge ud Reihe Formel: S K+ i i + 2 Jhr Provisio ,0 Äderug (bsolu) Äderug (reliv) ,0 + 0% + 0% + 0% + 0% 23 24
7 2.2. Fizmhemisch releve Folge ud Reihe Geomerische Folge ud Reihe Bildugsgesez: i i sowie i q i wobei i, q 2, K, ud vorgegebe 2.2. Fizmhemisch releve Folge ud Reihe Geomerische Folge ud Reihe Besimmug des llgemeie Gliedes i : i i q Besimmug des -e Gliedes * : q q i Fizmhemisch releve Folge ud Reihe Geomerische Folge ud Reihe Rechevereifchug durch drei-sufige Vorgehesweise:. lle Glieder der Reihe mi Hilfe des llgemeie Ausdrucks formuliere 2. Summegleichug mi q * mulipliziere 3. Ausggsgleichug vo der mi q * mulipliziere Gleichug bziehe 2.2. Fizmhemisch releve Folge ud Reihe Geomerische Folge ud Reihe Formel: S q mi q > 0udq q 27 28
8 2.3.. Begriff, Fukioe ud Are vo Abschreibuge Abschreibuge Begriff, Fukioe ud Are vo Abschreibuge Abschreibugsverläufe: exeres Rechugswese gesezliche Besimmuge hisorische Aschffugs- bzw. Hersellugskose bilzielle Abschreibuge ieres Rechugswese keie Besimmuge je ch Zweck der Rechug z.b. Wiederbeschffugswer klkulorische Abschreibuge Liere Abschreibug Arihmeisch-degressive Abschreibug Geomerisch-degressive Abschreibug Geomerisch-degressive Abschreibug mi Übergg zur liere Abschreibug Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Liere Abschreibug Prämisse: koser, klederzeibhägiger Wereverzehr des Ivesiiosobjekes S A, wobei A A kos Symbole: A Abschreibugsberg der Periode S Abschreibugsusggsberg Nuzugsduer Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Liere Abschreibug S 0 A ( ) L E L Symbole: 0 Aschffugsuszhlug (oder Wiederbeschffugswer) L E Eizhluge bei Liquidio des Ivesiiosobjekes L A Auszhluge bei Liquidio des Ivesiiosobjekes 3 32
9 Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Liere Abschreibug Beispiel: Aschffugsuszhlug Nuzugsduer 5 Jhre Liquidioseoerlös A Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Liere Abschreibug Abschreibuge Kumuliere Res-Buchwer Abschreibuge ,- A , , ,- 2 A , , ,- 3 A , , ,- 4 A , , ,- 5 A , , , Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Arihmeisch-degressive Abschreibug Prämisse: Wereverzehr i fllede Re, wobei die Differez des Wereverluses zwische zwei Periode kos is Spezilfll: digile Abschreibug, d.h. die leze Abschreibugsre A esprich der Abschreibugsdifferez D Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Arihmeisch-degressive Abschreibug Beispiel: Leze Abschreibugsre A D Aschffugsuszhlug Nuzugsduer 4 Jhre Liquidioseoerlös
10 Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Arihmeisch-degressive Abschreibug Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Arihmeisch-degressive Abschreibug Problem: Wie läss sich D besimme, so dss der Resbuchwer m Ede der Nuzugsduer gerde dem Liquidioseoerlös esprich? Formel: 2 S D ( + ) A Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Arihmeisch-degressive Abschreibug D ( 4 + ) leriv: D Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Arihmeisch-degressive Abschreibug Abschreibuge Kumuliere Res-Buchwer Abschreibuge ,- A , , ,- 2 A , , ,- 3 A , , ,- 4 A , , ,
11 Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Geomerisch-degressive Abschreibug Prämisse: Wereverlus i kose Re vom Resbuchwer Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Geomerisch-degressive Abschreibug Abschreibugsberg ls koser Prozesz p vom Resbuchwer der Vorperiode Abschreibug im Flle eier edliche Nuzugsduer uf Null ich möglich ber uf eie posiive Resbuchwer RBW bzw. Liquidioseoerlös L L E -L A Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Geomerisch-degressive Abschreibug Problem: Wie besimm m de Prozesz p, der bei geomerisch-degressiver Abschreibug über (z.b. 5) Jhre usgehed vo der Aschffugsuszhlug (z.b ) zum Liquidioseoerlös (z.b. RBW ) führ? Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Geomerisch-degressive Abschreibug Allgemei gil: RBW p ( p) 0 RBW
12 Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Geomerisch-degressive Abschreibug Auf die Problemsellug gewd: p 5 30,2% Vereilug des Abschreibugsusggsberges uf Geomerisch-degressive Abschreibug Abschreibuge Kumuliere Res-Buchwer Abschreibuge ,00 A 36.40, , ,25 2 A , , ,2 3 A , ,45 4 A , , ,38 5 A , , , Reche mi Logrihme 3.. Fizmhemisch releve Logrihme 3. Reche mi Logrihme 3.. Fizmhemisch releve Logrihme Wichige Eigeschfe vo Logrihme: ) log 4) log 5) log 2) log 3) log 0 ( U V ) U V log log U log V ( U ) V log U U + log V V Wichig: Durch Logrihmiere lsse sich besimme ichliere Problemselluge lierisiere! 47 48
13 3. Reche mi Logrihme 3.2. Awedugsbeispiele seige Verzisugsprozesse seige Wchsumsprozesse Besimmug der Nuzugsduer vo Ivesiioe bzw. der Lufzei vo Fizierugsobjeke 3. Reche mi Logrihme 3.2. Awedugsbeispiele Beispiel: Kpil Verzisug 6 % W überseig ds Koo ersmls de Berg vo 5.000? 0.000,06 lg lg,06 lg ,9585 Jhre
1 * B. Finanzmathematische Grundlagen 4 Aufgaben Aufgabe B/4
Fizmhemik Them: Fizmhemische Grudlge A Eiführug B Fizmhemische Grudlge Gegesd der Fizmhemik Folge- ud Reiherechug ls Bsis der Fizmhemik 3 Reche mi Logrihme 4 Aufgbe - Lösuge Dr. Alfred Brik Fizmhemik Dr.
Einführung Finanzmathematische Grundlagen Zinsrechnungen Rentenrechnungen Tilgungsrechnungen Bestimmung von Kurs und Rendite
Inhltsübersicht A B C D E F Einführung Finnzmthemtische Grundlgen Zinsrechnungen Rentenrechnungen Tilgungsrechnungen Bestimmung von Kurs und Rendite Dr. A. Brink Dr. A. Brink 1 1 A. Einführung Finnzmthemtik
Einführung Finanzmathematische Grundlagen Zinsrechnungen Rentenrechnungen Tilgungsrechnungen Bestimmung von Kurs und Rendite
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(Grob-) Gliederung. B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen F Kurs und Rendite
(Grob-) Gliederung A Einführung Them: Einführung B Finnzmthemtische Grundlgen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen F Kurs und Rendite Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut für Wirtschfts-
ALGEBRA. Potenzen und Wurzeln. Grundlagen. Manuskript zur Wiederholung. Datei Nr Dezember Friedrich W. Buckel
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ZAHLENFOLGEN Teil 2. Geometrische Folgen. Stand: November 2005 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben
ZAHLENFOLGEN Teil Geomerische Folge Auch Wchsumsfolge Viele Aufgbe Dei Nr. 00 Friedrich Buckel Sd: November 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 00 Geomerische Folge. Defiiio ud erse Beispiele Geomerische
Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit
Uiversität Regesburg Nturwisseschftliche Fkultät I Didktik der Mthetik Dr. Güter Rotheier WS 008/09 Privte Vorlesugsufzeichuge Kei Aspruch uf Vollstädigkeit 5 7 Eleetrthetik (LH) ud Fehlerfreiheit. Zhlebereiche.5.
Folgen, Reihen und Grenzwert. Vorlesung zur Didaktik der Analysis
Folge, Reihe ud Grezwert Vorlesug zur Didktik der Alysis Ihlt Motivtio Folge Spezielle Folge Grezwertdefiitio Wichtige Zusmmehäge ud Strtegie der Kovergezutersuchug Fuktioegrezwert Reihe Prdoxie ud Zusmmefssug
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für 0 9 3 3 9 * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid
von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer
vo Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: (
Logarithmus - Übungsaufgaben. I. Allgemeines
Eie Gleichug höhere Grdes wie z. B. Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 I. Allgemeies k ch ufgelöst werde, idem m die Wurzel zieht. Tritt die Uekte jedoch im Epoete eier Potez uf, spricht
n 1 E. Tilgungsrechnungen 5 Aufgaben Aufgabe E/2
Thema: Tilgugsrechuge Dr. Alfred Brik A Eiführug B Fiazmahemaische Grudlage C Zisrechuge D Reerechuge E Tilgugsrechuge ysemaisierug der Tilgugsare Raeilgug 3 Auiäeilgug 4 Aufgabe F Kurs ud Redie Dr. A.
Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1) WiSe 2010/11 - Curilla/Koch/Ziegenhagen
Fchbereich Mthemtik Algebr ud Zhletheorie Christi Curill Grudlge der Mthemtik LPSI/LS-M) Lösuge Bltt WiSe 00/ - Curill/Koch/Ziegehge Präsezufgbe P3)-d) Für jede der vier Mege gilt, dss die dri ethltee
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für
5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen
5.7. Aufgbe zu Folge ud Reihe Aufgbe : Lieres ud beschrätes Wchstum Aus eiem Qudrt mit der Seiteläge dm gehe uf die rechts gedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt gefügte Qudrte sid jeweils
Taylor Formel: f(x)p(x)dx = f(c)
Tylor Formel Die Tylorsche Formel liefert eie Approximtio eier Fuktio durch ei Polyom, gemeism mit eier Abschätzug des Fehlerterms. Zwischewertstz: Eie stetige Fuktio f : [, b] R immt jede Wert γ zwische
Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2 1
Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 1 Reche mit Poteze N bezeichet die Mege der türliche Zhle, Q die Mege der rtiole Zhle ud R die Mege der reelle Zhle. N bedeutet: ist eie türliche Zhl.
4.1 G sei Gruppe (mit multiplikativ geschriebener Verknüpfung) und a G. Dann heißt. falls a k 1 G k 1 ord(a) := k 1 a k = 1 G sonst
15 Wichtige Sätze ud Defiitioe zu 4: Ds qudrtische Rezirozitätsgesetz us der Vorlesug: LV-NR 150 39 Verstltug Diskrete Mthemtik II, 4.0 std Dozet Holtkm, R. 4.1 G sei Grue (mit multiliktiv geschriebeer
f) n n 2 x x 4 für n gerade; x für n ungerade
R. Brik http://brik-du.de Seite 7.09.0 Lösuge Poteze I Ergebisse: E E E Ergebisse ( ) = 9 ; ( ) = 7 ; ( ) = 8 ; = ; 7 = ; = 7 ; = 9 ; ( ) = 7 9 Ergebisse x x x x x x ) ( + ) = + ( + ) = + c) x + x = (
Investitionsund Finanzierungsplanung mittels Kapitalwertmethode, Interner Zinsfuß
Ivesiiosud Fiazierugsplaug miels Kapialwermehode, Ierer Zisfuß Bearbeie vo Fraka Frid, Chrisi Klegel WI. Aufgabe: Eie geplae Ivesiio mi Aschaffugsausgabe vo.,- läss jeweils zum Jahresede die folgede Eiahme
Gegebenenfalls heisst die Zahl s. der Reihe, und man schreibt
Prof. Dr. Berd Dreseler 6 Reihe 6.1 Kovergez vo Reihe Gegebe sei eie Folge s 1 1, 2 1 2 3 1 2 3... s s, s..., 1 2 1, wird der Folge eie weitere Folge omplexer Zhle. Durch s zugeordet. www.berd-dreseler.de
- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB 2004 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis... Folge ud Grezwerte... 2 Aäherug eie Grezwert... 2 Die Fläche des 5 Ecks... 3 Nährugsweise Berechug vo Pi... 4 Die Folge... 5 Defiitio der Folge... 5 Beispiele
8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
Die Logarithmusfunktion
Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis...1 Die Logrithusfuktio...2 Eiführug...2 Eiige Beispiele...2 Spezielle Logrithe...3 Die Ukehrfuktio der Epoetilfuktio...3 Die Eigeschfte der Logrithusfuktio...4 Defiitiosereich
Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen
Techikerschule Aufge für Klusure ud Aschlussprüfuge Epoetilgleichuge, Logrithmusgleichuge Grudlgewisse: Recheregel zur Epoetil- ud Logrithmusrechug. Hiweise ud Formelsmmlug siehe Seite - 5. Bereche Sie.
Teilfolgen aus und fragen nach deren Rekursionsformel. Die Ideen gehen auf Édouard Lucas zurück.
Hs Wlser, [0090331] Teilfolge der Fibocci-Folge 1 Worum geht es? Wir wähle us der Fibocci-Folge 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 33 377 Teilfolge us ud frge ch dere Rekursiosformel.
ALGEBRA Potenzen Teil 2. Trainingsheft. Alle Regeln Musterbeispiele - Trainingsaufgaben. Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
ALGEBRA Poteze Teil it egtive Expoete Triigsheft Alle Regel Musterbeispiele - Triigsufgbe Dtei Nr. 0 Std 9. Dezeber 0 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.the-cd.de 0 Potezreche
Terme und Formeln Potenzen I
Terme ud Formel Poteze I Die Mrgrit philosophic ist die älteste gedruckte llgemeie Ezyklopädie us dem Jhr 0 i lteiischer Sprche. Ds Werk ethält ls Uiversits literrum ds gesmte Wisse des späte Mittellters.
= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel:
E Tilgugsrechug.. Jährliche Raeilgug Ausgagspuk: Bei Raeilgug wird die chuldsumme (Newer des Kredis [Aleihe, Hypohek, Darleh]) i gleiche Teilberäge T geilg. Die Tilgugsrae läss sich ermiel als: T =.. Jährliche
Definition (Supremum und Infimum). s R heißt Supremum der Menge M R, falls s die kleinste obere Schranke von M ist, d.h.
Vorlesug 15 Itegrlrechug 15.1 Supremum ud Ifimum Zuächst ei pr grudlegede, wichtige Defiitioe. Defiitio 15.1.1. Eie Mege M R heißt ch obe beschräkt, we es ei s R gibt, so dss x s für lle x M. M ist ch
Repetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthemtik Repetitiosufge Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Voremerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufge Poteze mit Musterlösuge F) Aufge Potezgleichuge mit Musterlösuge
1 Elementare Zahlentheorie. 0. Grundbegriffe
Elemeare Zahleheorie 0 Grudbegriffe Mi Z bezeiche wir de Rig der gaze Zahle Is x eie reelle Zahl, so sei x die größe gaze Zahl, die kleier oder gleich x is Beache: x is diejeige gaze Zahl z mi z x < z
( 3) k ) = 3) k 2 3 für k gerade
Aufgbe : ( Pute Zeige Sie mithilfe des Biomische Lehrstzes: ( 3 ( 3 ist für lle N eie türliche Zhl Lösug : Nch dem biomische Lehrstz gilt: ( 3 Somit ergibt sich ( 3 ( 3 ( ( 3 bzw ( 3 ( ( 3 ( ( 3 ( ( 3
7 Ungleichungen und Intervalle
Mthemtik. Klsse 7 Ugleichuge ud Itervlle Aufgbe 0 Löse Sie folgede Ugleichuge > + 8 < 5 + + 7. Itervlle Um gze Bereiche vo reelle Zhle zugebe, wird die Schreibweise mit Itervlle verwedet. Beispiele [,
Analysis I SS Zusammenfassung Stephan Weller, Juli 2002
Alysis I SS 2 Zusmmefssug Steph Weller, Juli 22 Ihlt. Vollstädige Idutio ud Ugleichuge 2. Folge ud Reihe 3. Kovergez ud Stetigeit 4. Differetitio, lole Extrem, Kovexität 5. Itegrtio, Sustitutiosregel ud
Analysis I Probeklausur 2
WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch
Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung
Herzlich willkomme zur der Aufgbesmmlug Um sich schell ierhlb der c. 0.000 Mthemtikufgbe zu orietiere, beutze Sie ubedigt ds Lesezeiche Ihres Acrobt Reders: Ds Ico fide Sie i der liks stehede Leiste. Bitte
Aufgaben: 1. Gib eine Gleichung der Ebene E an, die durch A in Richtung von u und v verläuft.
Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene Die Lge einer Ebene E im Rum is durch drei Größen eindeuig fesgeleg: X. Einen Punk A, durch den die Ebene verläuf..
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Klasse 10 Graphen von ganzrationalen Funktionen skizzieren
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Quadratwurzeln Armin P. Barth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH. Skript. Quadratwurzeln
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Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik, WS07 0.0.07. Zhlefolge.. Wozu IformtikerIe Folge bruche Kovergez vo Folge ist die Grudlge der Alysis (Differetil- ud Itegrlrechug) Trszedete Gleichuge wie x l x 50 k m äherugsweise
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Mathematik Vorlesug im Bachelor-Studiegag Busiess Admiistratio (Modul BWL A) a der FH Düsseldorf im Witersemester 2008/09 Dozet: Dr. Christia Kölle Teil I Fiazmathematik, Lieare Algebra, Lieare Optimierug
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Numerisches Itegriere Ac I der Prxis werde Itegrle i der Regel umerisch, lso pproximtiv, bestimmt. Dzu solle hier verschiedee Algorithme betrchtet werde ( Rechteck, Mitterechteck, Trpez, Simpso, Romberg
118 7 Potenzreihen. eine Folge von (reellen) Funktionen mit Definitionsgebieten D(f j), j N, und. = M D(f j ) R. j=1
8 7 Potezreihe 7 Potezreihe 7. Fuktioefolge ud -reihe Puktweise ud gleichmäßige Kovergez vo Fuktioefolge Sei f j ) j= eie Folge vo reelle) Fuktioe mit Defiitiosgebiete Df j), j N, ud = Df j ) R. j= D bilde
2.1.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten
.. Poteze mit türliche Expoete Eie Potez (gelese: hoch ) ist eie bgekürzte Schreibweise für ds Produkt us gleiche Fktore : = wobei > eie türliche Zhl ist heisst Bsis, Expoet der Potez. Beispiele: 5 = =
Jetzt ändert sich die dritte Stelle nach dem Komma nicht mehr, man hat also vier zählende Stellen
9. M setze = ud bereche mit Hilfe der Folge (9.5) die dritte Wurzel us uf vier zählede Stelle geu. = + + =,, =,, =.75, 4 =,48889, =,449, =,4478 Jetzt ädert sich die dritte Stelle ch dem Komm icht mehr,
MATRIZENRECHNUNG A = Matrix: m Zeilen, n Spalten. Allgemein: A = heißt Komponente der Matrix (Element der Matrix) aij:
MATRIZENRECHNUNG Mtri: 3 5 4 5 A = 3 5 5 7 8 3 8 Allgeei: A = 3 3 3 Zeile, Splte ij: heißt Kopoete der Mtri (Eleet der Mtri) ij ist Kopoete der i-te Zeile, j-te Splte Mtri der Ordug, ( -Mtri): A(,) oder
Vektorrechnung. Ronny Harbich, 2003
Vektorrechug Ro Hrich, 2003 Eiführug Ihlt Defiitio Betrg Sklrmultipliktio Nullvektor Gegevektor Eiheitsvektor Additio Sutrktio Gesetze Defiitio Ei Vektor ist eie Mege vo Pfeile, die gleichlg (kogruet),
Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12
Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls
SS 2017 Torsten Schreiber
SS 07 Torste Schreier e Wert eier etermite köe wir is zu eiem Formt vo mittels dem Verfhre vo Srrusestimme. Für Mtrize, die ei höheres Formt he, köe wir die etermite mit dem estimme. zu sollte Sie im erste
Inhalt 1. Zahlenbereiche / Zahlenmengen 2. Terme
Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG Ihlt. Zhlebereiche / Zhlemege. Terme.. Grudbegriffe.. Summe ud Differeze.. Produkte.. Auflöse vo Klmmer.. Ausklmmer ud Ausmultipliziere... Ausklmmer... Ausmultipliziere...
Marek Kubica, Diskrete Strukturen Übungsblatt 13 Gruppe 11
Mrek Kubic, kubic@i.tum.de Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe Pukteverteilug: Σ Aufgbe () 8 () 7 Der Grph B ht de Prüfer-Code,,,,, der zustde kommt, we m de kleiste Kote vom Grd streicht ud de dere, übrig
Leseprobe. Wolfgang Eichholz, Eberhard Vilkner. Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik ISBN:
Leseprobe Wolfgag Eichholz, Eberhard Vilker Taschebuch der Wirtschaftsmathematik ISN: 978-3-446-41775-5 Weitere Iformatioe oder estelluge uter http://www.haser.de/978-3-446-41775-5 sowie im uchhadel. Carl
10. Stetigkeit Definition (Stetigkeit) Beispiele. Wir übertragen den Stetigkeitsbegriff für reelle Funktionen auf metrische Räume.
10 Stetigkeit Wir übertrge de Stetigkeitsbegriff für reelle Fuktioe uf metrische Räume 101 Defiitio (Stetigkeit) Seie (X, d x ), (Y,d y ) metrische Räume, f : X Y eie Abbildug Wir sge f ist stetig im Pukt
2.3. ZAHLENREIHEN 109. Eine Reihe ist also per Definitionem genau dann konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert.
2.3. ZAHLENREIHEN 109 2.3 Zhlereihe 2.3.1 Reihe Für IN, 0 sei IR. D ist die Reihe defiiert ls die = 0 m Folge (S m ) der Prtil- oder Teilsumme S m :=. = 0 Eie Reihe ist lso per Defiitioem geu d koverget,
Carmichaelzahlen und andere Pseudoprimzahlen
Crmichelzhle ud dere Pseudoprimzhle Christi Glus 26.05.2008 1 Der fermtsche Primzhltest Erierug 1 (Kleier Stz vo Fermt). Für p prim, Z, ggt(, p) 1 gilt: p 1 1 (mod p) Algorithmus 2 (Fermtscher Primzhltest).
Ausgangspunkt: Über einen endlichen Zeitraum wird aus einem Kapital (Rentenbarwert RBW v n,i
1.1. Jährliche Retezahluge 111 1.1.1. Vorschüssige Retezahluge Ausgagspukt: Über eie edliche Zeitraum wird aus eiem Kapital (Retebarwert RBW v,i ), das ziseszislich agelegt ist, jeweils zu Begi eies Jahres
Bericht zur Prüfung im Oktober 2006 über Finanzmathematik und Investmentmanagement
Berich zur Prüfung im Okober 006 über Finnzmhemik und Invesmenmngemen Grundwissen Peer Albrech Mnnheim Am 07. Okober 006 wurde zum ersen Ml eine Prüfung im Fch Finnzmhemik und Invesmenmngemen nch PO III
ÜBUNGEN ZINSRECHNUNG POTENZEN WURZELN LOGARITHMEN. Jens Möller
ÜBUNGEN ZU ZINSRECHNUNG POTENZEN WURZELN LOGARITHMEN Jes Möller jmoellerowige@ol.com ÜBUNGEN q p q q ( ) q. p = %, p = %, p = 6,%, bestimme jeweils de Zisfktor q.. q =,7, q =,, q =,, bestimme jeweils de
Analysis II für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fchbereich Mthemtik der Uiversität Hmburg SoSe 2015 Dr. K. Rothe Alysis II für Studierede der Igeieurwisseschfte Hörslübug mit Beispielufgbe zu Bltt 3 Recheregel für Potezreihe Stz: Die Potezreihe g(z
Komplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
Repetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthetik Repetitiosufgbe Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Vorbeerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufgbe Poteze it Musterlösuge F) Aufgbe Potezgleichuge it Musterlösuge
x mit Hilfe eines linearen, zeitinvarianten
Übug &Prktiku zu Digitle Sigle ud Systee The: Fltug Diskrete Fltug Wird ei zeitdiskretes Sigl ( T ) x it Hile eies liere, zeitivrite Siglverrbeitugssystes verrbeitet, so lässt sich ds Verhlte des verrbeitede
Teilbarkeit. Christoph Dohmen. Judith Coenen. 17. Mai Christoph Dohmen, Diskrete Mathematik Teilbarkeit. Judith Coenen
Diskrete Mthemtik Teilrkeit Christoph Dohme 7. Mi 2006 Diskrete Mthemtik Teilrkeit Ihltsverzeichis. Eileitug 2. Der größte gemeisme Teiler 3. Divisio mit Rest 4. Der Eukli sche Algorithmus 5. Ds kleiste,
Funktion: Grundbegriffe A 8_01
Fuktio: Grudegriffe A 8_ Eie Fuktio ist eie eideutige Zuordug: Jede Wert us der Defiitiosege wird geu ei Wert us der Werteege zugeordet. Ist f eie Fuktio ud sid ud y eider zugeordete Werte, d schreit kurz:
Aufgaben aus Zentralen Klassenarbeiten Mathematik (Baden-Württemberg) zu Logarithmen und Wachstum
www.mhe-ufgben.com Aufgben us Zenrlen Klssenrbeien Mhemik 96-99 (Bden-Würemberg) zu Logrihmen und Wchsum ZK 96 ) Besimme mi Hilfe der Definiion des Logrihmus : ) 6 b) c) d) 0 000 ) Es is 0, 6. Berechne
In jeder noch so kleinen Umgebung von 2 liegen fast alle Folgenglieder. Die Folge hat den Grenzwert 2 und wir schreiben dafür: lim a = 2
0. Kovergez vo Folge ud Reihe Der i de Aschitte geometrische Folge ud Reihe eigeführte Grezwertegriff ist für die Alysis (Ifiitesimlrechug) grudleged. Im Folgede werde Grezwerte ei elieige Folge ud Fuktioe
Formelsammlung. Mathematik I - III
Formelsmmlug zu de Vorlesuge Mhemik I - III i de Sudiegäge Techische Iformik ud Nchricheechik der FHTE Vorwor zur. Auflge Diese Formel- ud Verfhressmmlug is esde us de Vorlesuge vo Prof. Dr.-Ig. Berhrd
2. Zehnerpotenzen 2.1 Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten 2.2 Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten 2.3 Zusammenfassung von 2.
Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG -502- Zusmmefssug: Poteze / Wurzel Potez 1 Ws ist eie Potez? 2 Poteze mit positivem Expoete 3 Poteze mit egtivem Expoete 4 Zusmmefssug vo 2. Zeherpoteze
Ausgangspunkt: Über einen endlichen Zeitraum wird aus einem Kapital (Rentenbarwert RBW v n,i
D. Reterechug 1.1. Jährliche Retezahluge 1.1.1. Vorschüssige Retezahluge Ausgagspukt: Über eie edliche Zeitraum wird aus eiem Kapital (Retebarwert RBW v,i ), das ziseszislich agelegt ist, jeweils zu Begi
Exponentialgleichungen 70 Exponentialgleichungen mit Ergebnissen und ausführlichen Lösungsweg
Übungen zum Kurs Eponentilgleichungen Eponentilgleichungen 70 Eponentilgleichungen mit Ergebnissen und usführlichen Lösungsweg 7.technisch verbesserte Auflge vom.09.007 (Sonderzeichen wurden teilweise
Tutorium Mathematik in der gymnasialen Oberstufe 3. Veranstaltung: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 16. November 2016
Tutorium Mthemti i der gymsile Oerstufe 3. Verstltug: Berechug vo Whrscheilicheite 6. ovemer 6. Komitori Permuttio: Elemete werde i eie Reihefolge gestellt Vritio: us Elemete werde usgewählt ud i eie Reihefolge
War Benjamin Franklin Magier?
Wr Bejmi Frkli Mgier? Zusmmefssug Es wird eie Methode etwickelt, ei (fst) mgisches Qudrt der Ordug 8 k ( k ) mit fsziierede Eigeschfte herzustelle. Eileitug I seiem überus leseswerte ud bwechslugsreiche
c) Wir betrachten alle möglichen Potenzen der natürlichen Zahlen. In welchen Fällen endet das Ergebnis einer Potenz immer auf eine 1?
Aufge : Poteze ) We die Zhl elieig oft mit sich selst multipliziert wird, d edet ds Ergeis immer uf eie. Git es och mehr Zhle, die diese Eigeschft esitze? ) Welche Edziffer esitzt die ute stehede Summe?
Kommutativgesetz 1.) a + b = b + a Entsprechende Umformungen gelten. Assoziativgesetz 3.) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
03.05.0 Elemetre Termumformuge Kommuttivgesetz. + + Etsprehede Umformuge gelte... für Sutrktio ud Divisio iht. Assozitivgesetz 3. ( + + + ( + + + 4. (... (... 5. ( + - + ( - + - 6. (. :. ( :. : Etsprehede
STUDIUM. Mathematische Grundlagen für Betriebswirte
STUDIUM Mthetische Grudlge für Betrieswirte Mit de folgede Aufge köe Sie i eie Selsttest üerprüfe, o Sie och eiigerße die Grudlge der Alger eherrsche. Diese hdwerkliche Fertigkeite sid wesetlich, we es
Thema 8 Konvergenz von Funktionen-Folgen und - Reihen
Them 8 Kovergez vo Fuktioe-Folge ud - Reihe Defiitio Sei (f ) eie Folge vo Fuktioe vo D R i R. Wir sge, dß f puktweise gege eie Fuktio f kovergiert, flls gilt: f () f() für jedes D. Dies ist der türliche
Finanzierung: Übungsserie IV Aussenfinanzierung
Them Dokumetrt Fizierug: Übugsserie IV Aussefizierug Lösuge Theorie im Buch "Itegrle Betriebswirtschftslehre" Teil: pitel: D Fizmgemet 2.4 Aussefizierug Fizierug: Übugsserie IV Aussefizierug Aufgbe Eie
Die gleichen Verhältnisse, wenn wir Faktor 1 festhalten. Diese Überlegungen geben uns eine Vorstellung über das Ertragsgebirge.
Pro. Dr. Friedel Bolle Vorlesug "Miroöoomie" WS 008/009 II. Teorie der Uteremug/ 36 Pro. Dr. Friedel Bolle Vorlesug "Miroöoomie" WS 008/009 II. Teorie der Uteremug/ 37 7. Frge: Welce Eigescte be Produtiosutioe
Indizieren Sie die folgenden Summen und Produkte gemäß der Vorgabe um und schreiben Sie sie einmal explizit aus: 5
FU Berli: WiSe 13-14 (Aalysis 1 - Lehr.) Übugsaufgabe Zettel 9 Aufgabe 37 Idiziere Sie die folgede Summe ud Produte gemäß der Vorgabe um ud schreibe Sie sie eimal explizit aus: 5 (a) + 1) 0( Lösug. Die
Aufgaben zur Übung und Vertiefung
Aufgabe zur Übug ud Vertiefug ARITHMETISCHE ZAHLENFOLGEN Berufliches Gymasium / Uterstufe () Stelle Sie fest, welche der gegebee Folge arithmetisch sid: Bestimme Sie zuächst die erste füf Folgeglieder,
Abb. 1: Woher kommen die schwarzen Quadrate?
Has Walser, [0160916], [0161009] Umögliche pythagoreische Dreiecke Idee: Chr. Z., B. 1 Schwarze Quadrate Woher komme die beide schwarze Quadrate? Abb. 1: Woher komme die schwarze Quadrate? Sachverhalt
Regressionsverfahren haben viele praktische Anwendungen. Die meisten Anwendungen fallen in eine der folgenden beiden Kategorien:
Regressoslse De Regressoslse st ee Slug vo sttstshe Alseverfhre. Zel e de häufgste egesetzte Alseverfhre st es Bezehuge zwshe eer hägge ud eer oder ehrere uhägge rle festzustelle. Se wrd sesodere verwedet
Investitionsrechnungen in der Wohnungswirtschaft
Wohugswirschafliche Theorie I Vorlesug vom 28. 1. 24 Folie Ivesiiosrechuge i der Wohugswirschaf Dr. Joachim Kircher Isiu Wohe ud Umwel GmbH (IWU) Theoreische Grudlage Eiführug 1. Ivesoregruppe 2. Besoderheie
Komplexe Zahlen. Gauss (1831) stellte eine strenge Theorie zur Begründung der komplexen Zahlen auf.
Komplexe Zahle Problem: x 2 + 1 = 0 ist i R icht lösbar. Zur Geschichte: Cardao 1501-1576: Auflösug quadratischer ud kubischer Gleichuge. Empfehlug: Reche z.b. mit 1 wie mit gewöhliche Zahle. Descartes
3.2) Die Spar-Armutsfalle 3.2.1) Das Grundmodell
3.2 Die Spar-Armusfalle 3.2.1 Das Grudmodell We EL eifach eie iedrigere Sparquoe wähle ud deshalb ärmer bleibe, lieg ei Ewiclugsladproblem vor. => Aber spare EL freiwillig weiger? Arme Mesche öe ers spare,
Bericht zur Prüfung im Oktober 2014 über Mathematik der Personenversicherung (Grundwissen)
UTSCH KTURVRIIGUG e.v. Berich ur rüfug im Okober 24 über hemik der eroevericherug (Grudwie Jürge Srobel (Köl m..24 wurde i Köl die viere rüfug über hemik der eroevericherug (Grudwie ch der rüfugordug der
9. Jahrgangsstufe Mathematik Unterrichtsskript
. Jhrggsstufe Mthetik Uterrichtsskript. Die ioische Forel Beispiel: Auftrg: Bereche die Gestfläche der oe stehede Figur uf zwei verschiedee Arte!. Möglichkeit. Möglichkeit: Teilflächeerechug Mit Zhleeispiel
Lösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:
Aufgbe : ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch uf: = kein Problem einfch die Wurel iehen und ds ± nicht vergessen.. = = ±, b) + 5 = 0 Hier hben wir bei jedem Ausdruck ein, lso können wir usklmmern:
Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze
R. Brik http://rik-du.de Seite 9.0.00 Poteze, Wurzel ud ihre Rechegesetze Der Potezegriff Defiitio: Eie Potez ist eie Multipliktio gleicher Fktore (Bsis), ei der der Epoet die Azhl der Fktore git. : =...
Musterlösung zur Musterprüfung 1 in Mathematik
Musterlösug zur Musterprüfug i Mthemtik Diese Musterlösug ethält usführliche Lösuge zu lle Aufgbe der Musterprüfug i Mthemtik sowie Hiweise zum Selbstlere. Literturhiweise ) Bosch: Brückekurs Mthemtik,
Zahlenbereiche. Jeder Zahlenbereich ist eine Erweiterung des vorigen und enthält diesen
Mthemtik Ihlt Zhlebereiche Recheopertioe Hierrchie der Recheopertioe Recheregel Brüche Recheregel für Brüche Klmmerreche Potezrechug Potezgesetze Ntürliche Zhle Zhlebereiche Jeder Zhlebereich ist eie Erweiterug
Übersicht Integralrechnung
Vorbemerkug Übersicht Itegrlrechug Diese Übersicht fßt wesetliche Pukte der Vorlesug zusmme. Sie ersetzt icht die usführliche Vorlesugsmitschrift, weil die dort behdelte Beispiele ud Erläuteruge für die
Übungsblatt Nr. 1. Lösungsvorschlag
Istitut für Kryptogrphie ud Sicherheit Prof. Dr. Jör Müller-Qude Dirk Achebch Tobis Nilges Vorlesug Theoretische Grudlge der Iformtik Übugsbltt Nr. 1 svorschlg Aufgbe 1 (K) (4 Pukte): Edliche Automte ud
Methode der kleinsten Quadrate
Methode der kleiste Quadrate KAPITEL 5: REGRESSIONSRECHNUNG Die Methode der kleiste Quadrate (MklQ) ist ei Verfahre zur Apassug eier Fuktio a eie Puktwolke. Agewadt wird sie beispielsweise, um eie Gesetzmäßigkeit