Experimental-Physik Semester 1 WS04/05 - Kowarschik Lösungen zu den Übungsaufgaben

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1 Experimental-Physik Semester 1 WS04/05 - Kowarschik Lösungen zu den Übungsaufgaben Inhaltsverzeichnis 1 Übung Schiefer Wurf Sichtweite am Horizont Flugzeug Rücken- und Gegenwind Übung Mittlere Geschwindigkeit eines PKW Begegnung zweier Fahrzeuge Verspätung an einer Baustelle Übung Raketengleichung Geschwindigkeiten nach dem Stoß Proton stößt Deuteron Übung Rollende Hohl- und Vollzylinder Fluchtgeschwindigkeit Erde/Mond Rollbewegung der unartigen Garnrolle Übung Rotierende Scheibe mit Drehmoment Massenträgheitsmoment eines Kegels Drehschemelversuch Übung Luftgewehrkugel Winkelgeschwindigkeit der Nutation Präzessionsgeschwindigkeit Übung Schwingender Balken Zugspannung in x-richtung Maximale Länge eines Stahlseils

2 8 Übung Druckverlauf in einem Strömungskanal Krümmungsdruck einer Seifenblase Magdeburger Halbkugeln Übung Behälter mit ausfließendem Wasser Luftwiderstand eines LKW Dynamischer Auftrieb an einer Tragfläche Übung Schwingendes System mit zwei Massen Schwingung im U-Rohr Schwebung zweier Stimmgabeln Übung Schiefer Wurf Wurfweite bestimmen in Abhängigkeit von h, v 0 und α r(0) = r 0 = (0, 0, h) v(0) = v 0 = v 0 (cos α, 0, sin α) a = (0, 0, g) Es ergibt sich damit eine Höhenfunktion z(x) in Abhängigkeit von der Weite x: z(x) = h + v 0 sin α v 0 cos α Als Wurfweite ergibt sich für z(x W ) = 0 bei Betrachtung der positiven Lösung: x W = v 0 2 sin 2α 1 + (1 + 2gh 2g v 02 sin 2 α 1.2 Sichtweite am Horizont 1.3 Flugzeug Rücken- und Gegenwind Flugzeuggeschwindigkeit v 0 (Zeit ohne Wind t ow = 2s v 0 ), Windgeschwindigkeit w, es ergibt sich für den Hinflug v hin = v 0 + w und Rückflug v ruck = v 0 w. t ges = t hin + t ruck 2

3 = = s v 0 + w + s v 0 w 2v 0 s v0 2 w 2s 2 v 0 2 Übung Mittlere Geschwindigkeit eines PKW Falsche Schätzung wäre: v = v 1 + v 2 = s 1 s ges v 1 + s 2 v 2 = 300 s ges km/h km/h = 123, 3 km/h 360 Reisezeiten sind für die mittleren Geschwindigkeiten entscheidend: t ges = t 1 + t 2 t 1 = s 1 v 1 = = 3 h t 2 = s 2 v = 60 = 0, 25 h 240 t ges = 3, 25 h v = s ges t ges = 110, 77 km/h 2.2 Begegnung zweier Fahrzeuge 2.3 Verspätung an einer Baustelle 3 Übung Raketengleichung Herleitung der Raketengeschwindigkeit v(t) bei gegebener Strahlgeschwindigkeit v s, Massenverlust linear m(t) = m 0 mt T B t Gewichts- und Rückstoßkraft gleichsetzen: m(t)g = m(t) dv dt v dm s dr = dv dm/dt = g + v s dt m(t) v(t) = dv dt dt = gt + v s ln m T T B t

4 Die Funktion des Ortes ergibt sich wiederum durch Integration (mit Substitution) von v(t), mit z(0) = 0 z(t) = 1 2 gt2 + [ v st B m 0 m T v s t] ln(1 m T T B m 0 t) + v s t 3.2 Geschwindigkeiten nach dem Stoß 3.3 Proton stößt Deuteron Abbildung 1: Proton stößt Deuteron, Stoßkreis (Ueb 3.1) Impuls- und Energieerhaltung (reduzierte Masse µ = m 1m 2 m 1 +m 2 ): p 2 1 p 1 = p 1 + p 2 = p p2 2 2m 1 2m 1 2m 2 = y2 + (p 1 x) 2 + x2 + y 2 2m 1 2m 1 2m 2 (µv 1 ) 2 = (x µv 1 ) 2 + y 2 p1 1 Der Winkel α ergibt sich zu tan α = µv 1 p 1 µv 1 = 4 mu m 1 µ 63, 4

5 4 Übung Rollende Hohl- und Vollzylinder Abbildung 2: Kräfte am Zylinder auf schiefer Ebene (Ueb 4.1) Trägheitsmoment eines Zylinders: I hohl = 1 2 m(r2 a + r 2 i ) mr 2 I voll = 1 2 mr2 Energieumwandlung von potentieller Energie in Translation und Rotation (I s Trägheitsmoment bezüglich Schwereachse). E pot = E trans + E rot mgh = 1 2 mv I sω 2 mgh = 1 2 m sin2 (α)g 2 t I v 2 s r 2 t = Es ergibt sich das Zeitverhältnis t hohl 3 2 2s g sin α (1 + t voll = 2 I s r 2 m ) 4.2 Fluchtgeschwindigkeit Erde/Mond 3, für die Geschwindigkeiten v hohl v voll = Masse der Erde M, Masse des Mondes m, Umlaufzeit des Mondes ω m mit v = ω r: F z = mv2 r = γ mm r 2 5 = F grav

6 mω 2 r = γ M r 2 γm ω m = Erdsatellit (1. kosmische Geschwindigkeit) F z = mv2 r v 1kosm = = γ mm r 2 γm r r 3 = F grav 7, 9 km/s Fluchtgeschwindigkeit (2. kosmische Geschwindigkeit) E kin = 1 2 mv2 2kosm γ Mm = E grav r 2γM v 2kosm 11, 2 km/s r 4.3 Rollbewegung der unartigen Garnrolle Abbildung 3: Drehmoment an einer Garnrolle(Ueb 4.3) 5 Übung Rotierende Scheibe mit Drehmoment M = r F, M = dl dt = I s ω, L = Mdt 6

7 Ansatz: Drehimpuls L = Mdt L wirk = Mdt = t t 0 D o e a(t t 0) dt = = D 0 a e a(t t 0) + D 0 a [ ] t D0 a e a(t t 0) t 0 Für den Gesamtdrehimpuls ergibt sich: Diskussion für a: L ges = I s ω(t) = I s ω 0 + D [ 0 ] 1 e a(t t 0 ) a ω(t) = ω 0 + D [ 0 ] 1 e a(t t 0 ) ai s a = 0: geradlinige Beschleunigung durch konstant wirkendes Drehmoment. a > 0: begrenztes Wachstum der Geschwindigkeit a < 0: exponentielle Geschwindigkeitszunahme Abbildung 4: Rotierende Scheibe mit wirkendem Drehmoment (Ueb 5.1) Verlauf für ω 0 ω 0 = D 0 D 0 : Die Scheibe wird vollständig gebremst für ω 0 = D 0 I sa und t 5.2 Massenträgheitsmoment eines Kegels Massenträgheitsmoment einer Kreisscheibe mit M = πr 2 h I Kreisscheibe = r 2 dm = ρ R r 2 dv = 2ρ r 2 (πrhdr) 0 = π 2 ρhr4 = 1 2 MR2 7

8 Der Kegel (M = ρ 1 3 πr2 H) besitzte eine Gesamthöhe H sowie eine Grundfläche mit dem Radius R. Er lässt sich durch Kreisscheiben zusammenbauen, jeweils mit dem aktuellen Radius r und der aktuellen Höhe h. Es ergibt sich das Verhältnis r R = h H r = R H h I Kegel = H 5.3 Drehschemelversuch ρπr4 dh = 1 R4 H ρπ h 4 dh 2 H 4 0 = 1 R4 ρπ 2 H 4 H 0 = 1 2 ρπr4 H 1 5 = 3 10 MR2 h 4 dh Der Drehimpuls L = Iω = const des Stuhles ändert sich nicht, durch das Ausstrecken der Arme vergrößert sich das Trägheitsmoment I, sodass ω kleiner werden muss. 6 Übung Luftgewehrkugel Coriolis-Beschleunigung auf Kugel mit der Geschwindigkeit v s = v 0 gt: Es ergibt sich eine Ablenkung s c von: a c = 2(v s ω h ) = 2v s ω e cos φ v c = adt = 2ω E cos(φ)t[v 0 g 2 t] s c = vdt = 4 v 3 0 ω E cos φ 3 g 2 Die Ablenkung am Äquator beträgt s Aqu = 0, 216 m, bei 51 Grad nur noch s 51 = 0, 136 m 8

9 Abbildung 5: Coriolis-Kräfte auf Gewehrkugel, Zerlegung der Winkelgeschwindigkeit (Ueb 6.1) 6.2 Winkelgeschwindigkeit der Nutation 6.3 Präzessionsgeschwindigkeit 7 Übung Schwingender Balken Flächenträgheitsmoment: Θ = z 2 dzdy In diesem Fall also: Θ hochkant = 1 2 a 1 2 a z 2 dz 1 2 b 1 2 b dy = 1 12 a3 b Θ quer = 1 12 b3 a Biegepfeil x = F l3 3EΘ 9

10 Über die Schwingungsgleichungen ergibt sich das Verhältnis ω h ω q x = r cos ωt v = rω sin ωt a = rω 2 cos ωt = a = ω 2 x = ω 2 = a3eθ F l 3 = a b 7.2 Zugspannung in x-richtung 7.3 Maximale Länge eines Stahlseils Maximale Zugspannung σ max = ρgl, es ergibt sich L < σmax ρg = 1000m 8 Übung Druckverlauf in einem Strömungskanal Abbildung 6: Strömungskanal durch zwei Halbkreise verjüngt (Ueb 8.1) Verjüngung durch zwei Halbkreise (x R) 2 + y 2 = R 2 = y = 2xR x 2 10

11 Die Durchflusshöhe D(x) ergibt sich für den Bereich 0 x 2R: Druckbetrachtung ergibt: D(x) = D 0 2y = D 0 2 2xR x 2 v 0 A 0 = v 1 A 1 = v 0 LD 0 = v(x)ld(x) = v(x) = v 0D 0 D(x) Über die Bernoulli-Gleichung ergibt sich der Druckverlauf: p ges = ρgh ρ[v(x)]2 + p(x) p(x) = p ges 1 2 ρ[v(x)]2 = p ges ρv 2 0d 2 0 2(D 0 2 2xR x 2 ) Krümmungsdruck einer Seifenblase 8.3 Magdeburger Halbkugeln 9 Übung Behälter mit ausfließendem Wasser 9.2 Luftwiderstand eines LKW 9.3 Dynamischer Auftrieb an einer Tragfläche 10 Übung Schwingendes System mit zwei Massen 10.2 Schwingung im U-Rohr Wenn die Flüssigkeit aus der Ruhelage ausgelenkt wird, wird ihr Schwerpunkt nach oben verschoben. Man kann dies so verstehen, dass ein Flüssigkeitsabschnitt der Länge x von einen Schenkel in den anderen verschoben wird. Dessen Gewichtskraft wirkt nun als rücktreibende Kraft und bewirkt eine harmonische Schwingung. Sei A der Rohrquerschnitt, ρ die Dichte der Flüssigkeit und g die Fallbeschleunigung. Dann ist die Masse der verschobenen Flüssigkeit 2xAρ. Die Gewichtskraft beträgt F = 2xAρ. Diese ist als rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung, weshalb sich eine harmonische Schwingung ergibt. Die 11

12 Abbildung 7: Schwingung in einem U-Rohr (Ueb 10.1) beschleunigte Masse m ist die Gesamtmasse der Flüssigkeit. Daraus ergibt sich ω 2 = 2Aρg m = 2Ag V = 2g l wenn V das Flüssigkeitsvolumen und l die Länge der Flüssigkeitssäule sind Schwebung zweier Stimmgabeln Kommt es zur Interferenz zweier Wellen mit fast gleicher Frequenz, so bezeichnet man die periodische Erscheinung mit dem Begriff Schwebung. Der Ton wird abwechselnd lauter und leiser. p 1 = p 0 sin ω 1 t p 2 = p 0 sin ω 2 t p = p 1 + p 2 = 2p 0 cos 1 2 (ω 1 ω 2 )t sin 1 over2(ω 1 + ω 2 )t Mit dem Ohr vernehmt man die mittlere Frequenz ν = 1(ν 2 1 +ν 2 ). Die Amplitude 2p 0 cos(2π 1 νt) oszilliert also mit der Frequenz 1 ν = 1(ν ν 2 ). Die Intensität ist zum Quadrat der Amplitude proportional. Die Schwebungsfrequenz ist also ν Schwebung = ν = (ν 1 ν 2 ) In 10 Sekunden sind 45 Schwebungen zu hören: ν Schwebung = 45 = 4, 5Hz 10s wodurch sich ν 2 ergibt: ν 2 = ν 1 ν Schwebung = 440Hz 4, 5Hz = 435, 5Hz 12