UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009"

Transkript

1 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz Dr P C Kunstmann Dipl-Math M Uhl Sommersemester 009 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive Komplexe Analysis und Integraltransformationen Lösungsvorschläge zum 6 Übungsblatt Aufgabe a Sei f : R 3 R, fx, y, z xy z 3 e xy z 3, x e y + sin x : f x, y, z, f x, y, z Da die partiellen Ableitungen von f f x x, y, z y z 3 e xy z 3 + xy z 3 e xy z 3 y z 3 y z 3 + xy z 3 e xy z 3, f y x, y, z xyz 3 + xy z 3 e xy z 3, f z x, y, z 3xy z + xy z 3 e xy z 3, f x x, y, z xe y + cos x, f y x, y, z x e y, f z x, y, z 0 auf R 3 stetig sind, ist f stetig partiell differenzierbar und damit auch differenzierbar Für die Ableitung von f ergibt sich f f x, y, z x x, y, z f y x, y, z f z x, y, z f x x, y, z f y x, y, z f z x, y, z y z 3 + xy z 3 e xy z 3 xyz 3 + xy z 3 e xy z 3 3xy z + xy z 3 e xy z 3 xe y + cos x x e y 0 b f : R R 3, fx, y ye x + x sinh y, y 4 + 3x sin y, 4y x 3 Auch hier sind sämtliche partiellen Ableitungen von f stetig, so dass f differenzierbar ist mit ye x + sinh y e x + x cosh y f x, y 6x sin y 4y 3 + 3x cos y, x, y R 3x 4 c f : 0, π, π π/, π/ R 3, fr, ϕ, θ r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ Wiederum ist f stetig partiell differenzierbar und damit differenzierbar Die Ableitung von f lautet cos ϕ cos θ r sin ϕ cos θ r cos ϕ sin θ f r, ϕ, θ sin ϕ cos θ r cos ϕ cos θ r sin ϕ sin θ, r, ϕ, θ 0, π, π π/, π/ sin θ 0 r cos θ Bemerkung: Es gilt det f r, ϕ, θ r cos θ Kugelkoordinaten d f : R 0, R R, fw, x, y, z x y Wegen x y e y ln x gilt f x w, x, y, z e y ln x y/x und f y w, x, y, z e y ln x ln x Folglich ist f w, x, y, z 0 yx y x y ln x 0, w, x, y, z R 0, R

2 Aufgabe a Bei der Funktion f ergibt sich für eine Richtung v v, v R \ {0, 0} wegen f0, 0 0 f0, 0 + tv f0, 0 ftv, tv 0, 0 lim lim v t 0 t t 0 t Ist v so gewählt, dass v v 0 gilt, dann hat man tv tv 0 für alle t 0 und damit nach Definition von f tv 0, 0 lim v v t 0 t Ist dagegen v v < 0, so erhält man tv tv < 0 für alle t 0, also tv + tv 0, 0 lim v t 0 t v + v Für die Funktion f existieren folglich alle Richtungsableitungen im Punkt 0, 0 b Wir bestimmen zunächst f x 0, y 0 Da f in x 0, y 0 differenzierbar ist, gilt f x 0, y 0 u u x 0, y 0 und f x 0, y 0 v v fx 0, y 0 Setzen wir abkürzend α : f x x 0, y 0 und β : f y x 0, y 0, so ist f x 0, y 0 α β, also f x 0, y 0 u α + β und f x 0, y 0 v α + β Obige Gleichungen liefern daher α + β und α + β Hieraus erhält man durch Addieren 3β, also β 3, und damit α 5 3 Folglich ist f x 0, y und aufgrund der Differenzierbarkeit von f in x 0, y 0 ergibt sich w x 0, y 0 f x 0, y 0 w Aufgabe 3 Wie wir aus der Vorlesung wissen, ist die gesuchte Richtung h gegeben durch h grad fx 0, y 0 grad fx 0, y a Die Funktion f ist auf R \ {0, 0} als Komposition stetiger Funktionen stetig; es bleibt noch der Nullpunkt zu prüfen Ist x, y 0, 0 und z : max{ x, y }, so gilt fx, y y 3 x y x + y y3 + x y x + y z3 + z 3 z z max{ x, y }, und damit folgt fx, y 0 f0, 0 für x, y 0, 0 b Für x, y 0, 0 gilt f x x, y xyx + y y 3 x yx x + y 4xy3 x + y, f y x, y 3y x x + y y 3 x yy x + y x4 + 4x y + y 4 x + y Auf R \ {0, 0} haben wir also grad fx, y fx x, y f y x, y x + y 4xy 3 x 4 + 4x y + y 4

3 Nun noch zum Nullpunkt: Definitionsgemäß gilt und f0 + h, 0 f0, f x 0, 0 lim lim 0 f0, 0 + h f0, 0 f0, h f y 0, 0 lim lim lim h Somit ist f auch in 0, 0 partiell differenzierbar mit fx 0, 0 grad f0, 0 f y 0, 0 c Wegen f x x, x 0 4x4 x 0 x + x 0 f x 0, 0, f y x, 0 x x + 0 x 0 f y 0, 0 ist weder f x noch f y im Punkt 0, 0 stetig d Es sei v v, v 0, 0 eine beliebige Richtung Dann gilt f0, 0 + hv f0, 0 fhv, hv 0, 0 lim lim v lim hv 3 hv hv hv + hv Dies soll nun mit verglichen werden Es gilt lim h 0 h 3 v 3 h3 v v h 3 v + v grad f0, 0 v 0 v v lim h 0 v 3 v v v + v v v3 v v v + v v 3 v v v + v v v 3 v v v v + v v v 0 Gleichheit gilt also genau dann, wenn v 0 oder v 0 ist e Nicht für alle Richtungen v gilt die Gleichung v 0, 0 grad f0, 0 v Folglich kann die Funktion f in 0, 0 nicht differenzierbar sein, denn sonst müsste die Gleichung für alle Richtungen gelten Da die partiellen Ableitungen von f auf R \ {0, 0} stetig sind, ist f auf R \ {0, 0} stetig partiell differenzierbar, also auch differenzierbar mit Aufgabe 4 f x, y grad fx, y T x + y 4xy 3 x 4 + 4x y + y 4 a Für die partiellen Ableitungen von f im Punkt 0, 0 gilt ft, 0 f0, 0 t sin t 0 f x 0, 0 lim lim lim t sin t 0, t 0 t t 0 t t 0 weil sin t beschränkt ist, und aufgrund von fx, y fy, x ist f y 0, 0 f x 0, 0 0 Die Funktion f : R R ist genau dann differenzierbar in 0, 0, wenn es eine lineare Abbildung A: R R, also A R, gibt mit fh, f0, 0 A h h 0 0 h

4 Wegen f x 0, 0 0 und f y 0, 0 0 ist A 0 0 unser Kandidat für die Ableitung von f in 0, 0 In der Tat ist für dieses A erfüllt, denn es gilt f0, 0 0 und A h 0 sowie fh, h + h sin h + h sin h b Für die partielle Ableitung von f nach x ergibt sich im Fall x, y 0, 0 h f x x, y x sinx + y / + x + y cosx + y / x + y 3/ x Damit hat man für x 0 x sinx + y / xx + y / cosx + y / f x x, 0 x sin x x x cos x Ist x k : kπ, k N, gesetzt, so strebt x k 0 für k, allerdings konvergiert f x x k, 0 kπ sinkπ coskπ k für k nicht Folglich ist f x in 0, 0 nicht stetig Aus Symmetriegründen fx, y fy, x für alle x, y R gilt dies auch für f y Bemerkung: Die Funktion f ist ein Beispiel für eine Funktion, die differenzierbar ist, jedoch nicht stetig partiell differenzierbar ist Wenn man also weiß, dass eine Funktion nicht stetig partiell differenzierbar ist, dann kann man keine Aussage über Differenzierbarkeit treffen Aufgabe 5 a Auf R \ {0, 0} ist f als Komposition stetiger Funktionen stetig; wir müssen also nur noch die Stetigkeit in 0, 0 nachweisen: Wegen x y x + y x y x + y x + y x + y gilt fx, y xy und damit folgt fx, y 0 f0, 0 für x, y 0, 0 b Für x, y 0, 0 ist f x x, y y x y x + y + xy xx + y x y x x + y yx y x + y x + y + 4x y 3 x + y x4 y + 4x y 3 y 5 x + y, und wegen fx, y fy, x ergibt sich daraus fx, y + h fx, y fy + h, x + fy, x f y x, y lim lim fy + h, x fy, x lim f x y, x y4 x + 4y x 3 x 5 y + x Für x, y 0, 0 gilt also grad fx, y fx x, y f y x, y x + y Für die partiellen Ableitungen von f im Nullpunkt erhalten wir und Somit ist grad f0, 0 0, 0 x 4 y + 4x y 3 y 5 x 5 4x 3 y xy 4 f0 + h, 0 f0, f x 0, 0 lim lim 0 f0, 0 + h f0, 0 f y 0, 0 lim lim 0

5 c Es ist f xy 0, 0 sowie f yx 0, 0 f f y h, 0 f y 0, 0 f y h, 0 0, 0 lim lim lim x y h f f x 0, h f x 0, 0 f x 0, h h 5 0, 0 lim lim lim y x 0 + d Wie wir wissen, gilt grad fx, y x + y x 4 y + 4x y 3 y 5 x 5 4x 3 y xy 4 auf R \ {0, 0} Dort existieren also die partiellen Ableitungen erster Ordnung und sind stetig, d h f ist dort stetig partiell differenzierbar Aus der Vorlesung wissen wir, dass dies die Differenzierbarkeit von f impliziert Die Ableitung ist f x, y grad fx, y T x + y x 4 y + 4x y 3 y 5 x 5 4x 3 y xy 4 Weiter ist bekannt: grad f0, 0 0, 0 Für x, y 0, 0 sei z : max{ x, y } Es gilt f x x, y x4 y + 4x y 3 y 5 x + y z5 + 4z 5 + z 5 z 6z 6 max{ x, y } Damit folgt f x x, y 0 f x 0, 0 für x, y 0, 0 Genauso sieht man ein, dass f y in 0, 0 stetig ist Also ist f in 0, 0 stetig partiell differenzierbar und damit differenzierbar, und es gilt f 0, e Die Funktion f kann nicht zweimal stetig differenzierbar sein, denn sonst müssten f yx und f xy nach dem Satz von Schwarz übereinstimmen, was aber nach c nicht der Fall ist Aufgabe 6 Offensichtlich besitzen alle drei Funktionen stetige partielle Ableitungen und sind damit differenzierbar Für f mit den Komponentenfunktionen f x, y : x und f x, y : y gilt f f x, y x f y x 0, f x f y 0 y und ebenso ergibt sich g y cosxy x cosxy x, y e x+y e x+y und h x, y e x cos y e x sin y cosh x 0 Mit Hilfe der Kettenregel kommen wir dann auf g f x, y g fx, y y f cosx y x cosx y x 0 x, y e x +y e x +y 0 y xy cosx y x y cosx y xe x +y ye x +y Für die Funktion h g erhält man h g x, y h gx, y g x, y e sinxy cose x+y e sinxy sine x+y y cosxy x cosxy coshsinxy 0 e x+y e x+y, 5

6 und Ausmultiplizieren liefert für h g x, y die Matrix y cosxy cose x+y e x+y sine x+y e sinxy x cosxy cose x+y e x+y sine x+y e sinxy y cosxy coshsinxy x cosxy coshsinxy Wegen g fx, y gfx, y gx, y sinx y, e x +y : u x, y, u x, y erhalten wir g f u x, y x u y u x u y xy cosx y x y cosx y xe x +y ye x +y Außerdem ist h gx, y hgx, y h sinxy, e x+y e sinxy cose x+y, sinhsinxy : v x, y, v x, y und für die Ableitung ergibt sich h g v x, y x v y v x v y y cosxy cose x+y e x+y sine x+y e sinxy x cosxy cose x+y e x+y sine x+y e sinxy y cosxy coshsinxy x cosxy coshsinxy Aufgabe 7 a Der Umkehrsatz liefert die Behauptung, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: Die Funktion g muss stetig differenzierbar sein, es muss gln, π 0, 3 4 gelten, und die Matrix g ln, π muss regulär sein Überprüfen wir diese Voraussetzungen: Die stetige Differenzierbarkeit ist offensichtlich Weiter ist gln, π coshln cos π sinhln sin π 0 sinhln denn sinhln eln e ln 3 4 Schließlich gilt g sinh x cos y cosh x sin y x, y, cosh x sin y sinh x cos y und damit ist regulär, denn coshln Nach dem Umkehrsatz gilt g ln, π 0 coshln coshln 0 0, 3/4 g 0, 3 4 g g 0, 3 4 g ln, π 0 5/4 5/4 0 b Die Funktion g ist überall stetig differenzierbar und für alle x, y R ist det g x, y sinh x cos y + cosh x sin y 0 4/5 4/5 0 Diese Determinante wird also nur dann 0, wenn sinh x cos y 0 und cosh x sin y 0 gilt Für x > 0 ist dies gleichbedeutend mit cos y 0 und sin y 0, kann also nie eintreten Folglich ist für x > 0 die Matrix g x, y stets regulär Der Umkehrsatz liefert nun die lokale Invertierbarkeit Die Funktion g ist aber nicht injektiv wegen gx, y + π gx, y 6

7 Aufgabe 8 a Die behauptete Auflösbarkeit folgt mit dem Satz über implizit definierte Funktionen, wenn wir f0, 0, 0 und 0, 0, 0 z für die stetig differenzierbare Funktion f : R 3 R, fx, y, z : z 3 + z 3xyz + x 3 y 3, überprüft haben Es gilt f0, 0, und z x, y, z 3z + 4z 3xy, also womit die Behauptung bereits bewiesen ist Für die Ableitung gilt z 0, 0, , g x, y x, y, gx, y x, y, gx, y z x, y 3ygx, y + 3x 3gx, y 3xgx, y 3y + 4gx, y 3xy b Wir müssen zeigen, dass in der Nähe von 0, 0,, durch die Gleichung x fx, y, u, v 0, mit fx, y, u, v : + y u + v x + y 3u + 4v implizite Funktionen u und v definiert werden Offenbar ist f : R 4 R stetig differenzierbar; zudem sieht man sofort, dass f0, 0,, 0 gilt; die ersten zwei Voraussetzungen des Satzes über implizit definierte Funktionen sind also erfüllt Jetzt müssen wir nur noch prüfen, ob die Matrix u,v und damit 4 0 f x, y, u, v 0, 0,, regulär ist Wegen u,v x y u v x 4y 6u 8v ist x, y, u, v u, v u v 6u 8v 0, 0,, 6 8 Diese Matrix ist tatsächlich regulär, denn det 6 8 Bilden wir in den beiden Gleichungen x + y u + v 0 und x + y 3u + 4v die partielle Ableitung nach x, wobei wir u ux, y und v vx, y jetzt als die implizit definierten Funktionen auffassen, so ergibt sich x uu x + vv x 0 und x 6uu x + 8vv x 0 Einsetzen von x y 0 liefert wegen u0, 0 v0, 0 die Gleichungen u x 0, 0 + v x 0, 0 0 und 6u x 0, 0 + 8v x 0, 0 0 Dieses lineare Gleichungssystem hat als Lösung nur u x 0, 0 v x 0, 0 0 Um die partiellen Ableitungen nach y der implizit definierten Funktionen u ux, y und v vx, y zu berechnen, gehen wir analog wie eben vor Wir bilden in beiden Gleichungen x + y u + v 0 und x + y 3u + 4v die partielle Ableitung nach y und erhalten y uu y + vv y 0 und 4y 6uu y + 8vv y 0 Einsetzen von x y 0 liefert wegen u0, 0 v0, 0 die Gleichungen u y 0, 0 + v y 0, 0 0 und 6u y 0, 0 + 8v y 0, 0 0 Dieses lineare Gleichungssystem hat als Lösung nur u y 0, 0 v y 0, 0 0 7

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang Sommersemester 03 6.06.03 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektrotechnik und Informationstechnik

Mehr

Mathematik II für Inf und WInf

Mathematik II für Inf und WInf Gruppenübung Mathematik II für Inf und WInf 8. Übung Lösungsvorschlag G 28 (Partiell aber nicht total differenzierbar) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x, ) := x. Zeige: f ist stetig und partiell

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 10

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 10 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 2 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt Hausaufgaben Aufgabe. Sei f : R 2 R gegeben durch x 2 y für (x, y)

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Analysis II 2014

Übungen zum Ferienkurs Analysis II 2014 Übungen zum Ferienkurs Analysis II 4 Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar zu begründen. Schreiben

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl WS 008/09 Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4

Mehr

Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik

Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. I. Anapolitanos Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS 7 4.5.7 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Analysis II

Übungen zum Ferienkurs Analysis II Übungen zum Ferienkurs Analysis II Differenzierbarkeit und Taylor-Entwicklung Übungen, die mit einem Stern markiert sind, werden als besonders wichtig erachtet.. Jacobi-Matrix Man bestimme die Jacobi-Matrix

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 12

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 12 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 1 Hausaufgaben Aufgabe 1.1 Sei f : R R gegeben durch f(x 1, x ) = x 3

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 13. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 13. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl WS 8/9 Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum

Mehr

Der metrische Raum (X, d) ist gegeben. Zeigen Sie, dass auch

Der metrische Raum (X, d) ist gegeben. Zeigen Sie, dass auch TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 07 Institut für Mathematik Stand: 3. Juli 007 Ferus / Garcke Lösungsskizzen zur Klausur vom 6.07.07 Analysis II. Aufgabe (5 Punkte Der metrische Raum (X, d ist gegeben.

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 03/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 0. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

Lösung zu Kapitel 5 und 6

Lösung zu Kapitel 5 und 6 Lösung zu Kapitel 5 und 6 (1) Sei f eine total differenzierbare Funktion. Welche Aussagen sind richtig? f ist partiell differenzierbar f kann stetig partiell differenzierbar sein f ist dann immer stetig

Mehr

Analysis III. Teil I. Rückblick auf das letzte Semester. Themen aus dem SS Inhalt der letzten Vorlesung aus dem SS.

Analysis III. Teil I. Rückblick auf das letzte Semester. Themen aus dem SS Inhalt der letzten Vorlesung aus dem SS. Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg Reiner Lauterbach Teil I Rückblick auf das letzte Semester Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning Karlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Analysis.6.3 Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick reuning Aufgabe Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik 9. Übungsblatt Ein Heißluftballon

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 11/1 Blatt 8 3.11.11 Aufgabe 5: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion fx, y 3x 5xy y + 3 und entscheiden Sie, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt

Mehr

Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Klausur Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) I... II...

Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Klausur Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) I... II... ................ Note I II Name Vorname 1 Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik

Mehr

3.2 Implizite Funktionen

3.2 Implizite Funktionen 3.2 Implizite Funktionen Funktionen können explizit als y = f(x 1, x 2,..., x n ) oder implizit als F(x 1, x 2,..., x n ;y) = 0 gegeben sein. Offensichtlich kann man die explizite Form immer in die implizite

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS /3 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt Aufgabe 5 Welche der folgenden Matrizen sind positiv bzw negativ definit? A 8, B 3 7 7 8 9 3, C 7 4 3 3 8 3 3 π 3

Mehr

(x, x + y 2, x y 2 + z 3. = e x sin y. sin y. Nach dem Umkehrsatz besitzt f dann genau auf der Menge

(x, x + y 2, x y 2 + z 3. = e x sin y. sin y. Nach dem Umkehrsatz besitzt f dann genau auf der Menge ÜBUNGSBLATT 0 LÖSUNGEN MAT/MAT3 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 0 PROF DR CAMILLO DE LELLIS Aufgabe Finden Sie für folgende Funktionen jene Punkte im Bildraum, in welchen sie sich lokal umkehren lassen,

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Abschnitt 10.2 Aufgabe 1 (a) Die beiden Funktionen f(x) = 1 und g(y) = y sind auf R definiert und stetig. 1 + x2 Der Definitionsbereich der Differentialgleichung ist

Mehr

1.3 Differenzierbarkeit

1.3 Differenzierbarkeit 1 1.3 Differenzierbarkeit Definition Sei B R n offen, a B, f : B R eine Funktion und v 0 ein beliebiger Vektor im R n. Wenn der Grenzwert D v f(a) := lim t 0 f(a + tv) f(a) t existiert, so bezeichnet man

Mehr

Richtungsableitungen.

Richtungsableitungen. Richtungsableitungen. Definition: Sei f : D R, D R n offen, x 0 D, und v R n \ {0} ein Vektor. Dann heißt D v f(x 0 f(x 0 + tv) f(x 0 ) ) := lim t 0 t die Richtungsableitung (Gateaux-Ableitung) von f(x)

Mehr

i j m f(y )h i h j h m

i j m f(y )h i h j h m 10 HÖHERE ABLEITUNGEN UND ANWENDUNGEN 56 Speziell für k = 2 ist also f(x 0 + H) = f(x 0 ) + f(x 0 ), H + 1 2 i j f(x 0 )h i h j + R(X 0 ; H) mit R(X 0 ; H) = 1 6 i,j,m=1 i j m f(y )h i h j h m und passendem

Mehr

Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler

Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Bei der Bestimmung der Extrema von (differenzierbaren) Funktionen f : R n R ist es sinnvoll, zuerst jene Stellen zu bestimmen, an denen überhaupt ein

Mehr

2 x x 2 y 2 vol(a) = d(x, y, z) = 4 3 x3 dx = [ 1

2 x x 2 y 2 vol(a) = d(x, y, z) = 4 3 x3 dx = [ 1 UNIVERSITÄT ARLSRUHE Institut für Analsis HDoz Dr P C unstmann Dipl-Math M Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Phsik und Geodäsie inklusive omplexe Analsis

Mehr

Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen

Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir die Invertierbarkeit von glatten Abbildungen bzw. die Auflösbarkeit von impliziten Gleichungen.

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x + e x xe x, f x) = e x e x

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl WS 2008/09 Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge

Mehr

Tutorium Mathematik II, M Lösungen

Tutorium Mathematik II, M Lösungen Tutorium Mathematik II, M Lösungen 24. Mai 2013 *Aufgabe 1. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die Gleichung der Tangentialebene für alle Punkte auf der Fläche. Wann ist die Tangentialebene

Mehr

Abbildung 10.1: Das Bild zu Beispiel 10.1

Abbildung 10.1: Das Bild zu Beispiel 10.1 Analysis 3, Woche Mannigfaltigkeiten I. Definition einer Mannigfaltigkeit Die Definition einer Mannigfaltigkeit braucht den Begriff Diffeomorphismus, den wir in Definition 9.5 festgelegt haben. Seien U,

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Karlsruher Insiu für Technologie Insiu für Analysis Dr. Chrisoph Schmoeger Dipl.-Mah. Sebasian Schwarz SS 015 17.05.015 Höhere Mahemaik II für die Fachrichung Physik Lösungsvorschläge zum 6. Übungsbla

Mehr

1 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen

1 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen Mathematik für Physiker III WS 2012/2013 Freitag 211 $Id: implizittexv 18 2012/11/01 20:18:36 hk Exp $ $Id: lagrangetexv 13 2012/11/01 1:24:3 hk Exp hk $ 1 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen 13

Mehr

Implizite Funktionen. Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n. so lässt sich das Gleichungssystem

Implizite Funktionen. Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n. so lässt sich das Gleichungssystem Implizite Funktionen Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n f (x, y ) = (0,..., 0) t, det f x (x, y ) 0, so lässt sich das Gleichungssystem f k (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = 0,

Mehr

Differentialrechnung

Differentialrechnung KAPITEL 4 Differentialrechnung. Eigenschaften der Ableitung und Differentationsregeln.. Definition der Ableitung. Definition 4.. Ableitung. Die Funktion f sei auf dem Intervall I R deniert und x 0 I. )

Mehr

Musterlösungen Aufgabenblatt 1

Musterlösungen Aufgabenblatt 1 Jonas Kindervater Ferienkurs - Höhere Mathematik III für Phsiker Musterlösungen Aufgabenblatt Montag 6. Februar 9 Aufgabe (Vivianische Kurve) x = (sin t cos t, sin t, cos t), t π, ist wegen x + + z = eine

Mehr

f(x, y) = 0 Anschaulich bedeutet das, dass der im Rechteck I J = {(x, y) x I, y J}

f(x, y) = 0 Anschaulich bedeutet das, dass der im Rechteck I J = {(x, y) x I, y J} 9 Der Satz über implizite Funktionen 41 9 Der Satz über implizite Funktionen Wir haben bisher Funktionen g( von einer reellen Variablen immer durch Formelausdrücke g( dargestellt Der Zusammenhang zwischen

Mehr

1.6 Implizite Funktionen

1.6 Implizite Funktionen 1 1.6 Implizite Funktionen Wir werden uns jetzt mit nichtlinearen Gleichungen beschäftigen, f(x) = 0, wobei f = (f 1,..., f m ) stetig differenzierbar auf einem Gebiet G R n und m < n ist. Dann hat man

Mehr

Stetigkeit und Dierenzierbarkeit im R n

Stetigkeit und Dierenzierbarkeit im R n Stetigkeit und Dierenzierbarkeit im R n 1 Stetigkeit Wir übertragen den Stetigkeitsbegri auf mehrstellige reellwertige Funktionen. Denition 1. Sei M R n. Eine Funktion f : M R heiÿt stetig in a M gdw.

Mehr

f(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0

f(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0 5.10 Zwischenwertsatz. Es sei [a, b] ein Intervall, a < b und f : [a, b] R stetig. Ist f(a) < 0 und f(b) > 0, so existiert ein x 0 ]a, b[ mit f(x 0 ) = 0. Wichtig: Intervall, reellwertig, stetig Beweis.

Mehr

ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS

ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS Aufgabe 1. a) Gegeben sei die Gleichung 2x 2 4xy +y 2 3x+4y = 0. Verifizieren Sie, dass diese Gleichung

Mehr

Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2

Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2 Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II Wiederholungsblatt: Analysis Sommersemester 2011 W. Werner, F. Springer erstellt von: Max Brinkmann Aufgabe 1: Untersuchen Sie, ob die

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 203/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

Extremwertrechnung in mehreren Veränderlichen

Extremwertrechnung in mehreren Veränderlichen KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann SS 2014 14.05.2014 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik 3. Saalübung (14.05.2014) Extremwertrechnung

Mehr

e x e x x e x + e x (falls die Grenzwerte existieren), e x e x 1 e 2x = lim x 1

e x e x x e x + e x (falls die Grenzwerte existieren), e x e x 1 e 2x = lim x 1 Aufgabe a Hier kann man die Regel von de l Hospital zweimal anwenden (jeweils und die Ableitung des Nenners ist für hinreichend große x ungleich. Dies führt auf e x e x e x + e x e x + e x e x e x e x

Mehr

Klausur zu Analysis II - Lösungen

Klausur zu Analysis II - Lösungen Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Dr. Axel Grünrock WS 1/11 11..11 Klausur zu Analysis II - Lösungen 1. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.

Mehr

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 NWF I - Mathematik 9..9 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Frage 1 Vervollständigen Sie die folgenden

Mehr

Musterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:

Musterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist: Musterlösung Aufgabe a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [, ] R, die folgendermaßen definiert ist: f(x) := { für x R \ Q für x Q f ist offensichtlich beschränkt. Wir zeigen,

Mehr

f(x) f(a) f (a) := lim x a Es existiert ein Polynom ersten Grades l(x) = f(a) + c (x a) derart, dass gilt lim x a x a lim

f(x) f(a) f (a) := lim x a Es existiert ein Polynom ersten Grades l(x) = f(a) + c (x a) derart, dass gilt lim x a x a lim A Analysis, Woche 8 Partielle Ableitungen A 8. Partielle Ableitungen Wir haben vorhin Existenzkriterien für Extrema betrachtet, aber wo liegen sie genau? Anders gesagt, wie berechnet man sie? In einer

Mehr

Bemerkungen. f (x 1,..., x i + x i,..., x n ) f (x 1,..., x n ) lim. f xi (x 1,..., x n ) =

Bemerkungen. f (x 1,..., x i + x i,..., x n ) f (x 1,..., x n ) lim. f xi (x 1,..., x n ) = Bemerkungen Die Erweiterung der Definition von partiellen Ableitungen 1. Ordnung für Funktionen u = f (x 1,..., x n ) mit n > 2 Veränderlichen ist offensichtlich: f xi (x 1,..., x n ) = f (x 1,..., x i

Mehr

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel 8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a

Mehr

Lösungsvorschläge zum 14. Übungsblatt.

Lösungsvorschläge zum 14. Übungsblatt. Übung zur Analysis III WS / Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt. Aufgabe 54 Sei a R\{}. Ziel ist die Berechnung des Reihenwertes k a + k. Definiere dazu f : [ π, π] R, x coshax. Wir entwickeln f in eine

Mehr

Implizite Funktionen, der Umkehrsatz und Extrema unter Nebenbedingungen

Implizite Funktionen, der Umkehrsatz und Extrema unter Nebenbedingungen Kapitel XII Implizite Funktionen, der Umkehrsatz und Extrema unter Nebenbedingungen 53 Implizite Funktionen und allgemeine partielle Differenzierbarkeit 54 Der Umkehrsatz 55 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen,

Mehr

Lösung zur Klausur zur Analysis II

Lösung zur Klausur zur Analysis II Otto von Guericke Universität Magdeburg 9.7.4 Fakultät für Mathematik Lösung zur Klausur zur Analysis II Vorlesung von Prof. L. Tobiska, Sommersemester 4 Bitte benutzen Sie für jede Aufgabe ein eigenes

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8 8.1 (Herbst 2012, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (

Mehr

Totale Ableitung und Jacobi-Matrix

Totale Ableitung und Jacobi-Matrix Totale Ableitung und Jacobi-Matrix Eine reelle Funktion f : R n R m ist in einem Punkt x differenzierbar, wenn f (x + h) = f (x) + f (x)h + o( h ) für h 0. Totale Ableitung 1-1 Totale Ableitung und Jacobi-Matrix

Mehr

Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras

Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 3 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras 9..3 Oktober Klausur Analysis II für Ingenieure Rechenteil. Aufgabe Punkte i) Wir berechnen zunächst

Mehr

Tutorium Mathematik II, M Lösungen

Tutorium Mathematik II, M Lösungen Tutorium Mathematik II, M Lösungen 7. Juni 201 *Aufgabe 1. Gegeben seien fx, y = xy 2 8e x+y und P = 1, 2. Der Gradient von f ist genau an der Stelle P Null. a Untersuchen Sie mit Hilfe der Hesse-Matrix,

Mehr

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 3. Übung

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 3. Übung Michael Winkler Johannes Lankeit 22.4.204 Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 3. Übung Hausaufgabe : 2 Punkte Bei welchen der folgenden Funktionen u: G R kann es sich um den Realteil einer in G holomorphen

Mehr

Thema 12 Differentialrechnung, Partielle Ableitungen, Differenzierbarkeit, Taylor-Formel, Lokale Extrema

Thema 12 Differentialrechnung, Partielle Ableitungen, Differenzierbarkeit, Taylor-Formel, Lokale Extrema Thema 12 Differentialrechnung, Partielle Ableitungen, Differenzierbarkeit, Taylor-Formel, Lokale Extrema In diesem Kapitel befassen wir uns mit der Ableitung von Funktionen f : R m R n. Allein die Schreibweise

Mehr

Differential- und Integralrechnung

Differential- und Integralrechnung Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Differential- und Integralrechnung Schwerpunkte: Differentiation Integration Eigenschaften und Anwendungen Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwarz WS 5/6 8..6 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Bachelor-Modulprüfung Aufgabe

Mehr

Analysis II. Vorlesung 44. Partielle Ableitungen

Analysis II. Vorlesung 44. Partielle Ableitungen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2015 Analysis II Vorlesung 44 Sei f: K n K eine durch Partielle Ableitungen (x 1,...,x n ) f(x 1,...,x n ) gegebene Abbildung. Betrachtet man für einen fixierten Index

Mehr

Musterlösungen Aufgabenblatt 2

Musterlösungen Aufgabenblatt 2 Jonas Kindervater Ferienkurs - Höhere Mathematik III für Physiker Musterlösungen Aufgabenblatt Dienstag 17. Februar 009 Aufgabe 1 (Implizite Funktionen) f(x, y) = x 1 xy 1 y4 = 0 Man bestimme die lokale

Mehr

18.2 Implizit definierte Funktionen

18.2 Implizit definierte Funktionen 18.2 Implizit definierte Funktionen Ziel: Untersuche Lösungsmengen von nichtlinearen Gleichungssystemen g(x) = 0 mit g : D R m, D R n, d.h. betrachte m Gleichungen für n Unbekannte mit m < n, d.h. wir

Mehr

Aufgabe 2 (5 Punkte) y = 1 x. y + 3e 3x+2 x. von f. (ii) Für welches u in R 2 gilt f(u) = [3, 3, 4] T? x 2 + a x 3 x 1 4x 2 + a x 3 2x 4

Aufgabe 2 (5 Punkte) y = 1 x. y + 3e 3x+2 x. von f. (ii) Für welches u in R 2 gilt f(u) = [3, 3, 4] T? x 2 + a x 3 x 1 4x 2 + a x 3 2x 4 Prof. Dr. B. Billhardt Wintersemester 4/5 Klausur zur Vorlesung Höhere Mathematik II (BNUW) 4.3.5 Aufgabe (a) Ermitteln Sie die Nullstellen des Polynoms p(z) = z 4 4z 3 + 3z + 8z. Tipp: p( + i) =. (b)

Mehr

Analysis II 14. Übungsblatt

Analysis II 14. Übungsblatt Jun.-Prof. PD Dr. D. Mugnolo Wintersemester 01/13 F. Stoffers 04. Februar 013 Analysis II 14. Übungsblatt 1. Aufgabe (8 Punkte Man beweise: Die Gleichung z 3 + z + xy = 1 besitzt für jedes (x, y R genau

Mehr

B Lösungen. Aufgabe 1 (Begriffe zur Differenziation) Sei (x, y) R 2 Berechnen Sie zur Abbildung. f(x, y) := x sin(xy) f : R 2 R,

B Lösungen. Aufgabe 1 (Begriffe zur Differenziation) Sei (x, y) R 2 Berechnen Sie zur Abbildung. f(x, y) := x sin(xy) f : R 2 R, B en Aufgabe 1 (Begriffe zur Differenziation) Sei (x, y) R Berechnen Sie zur Abbildung f : R R, f(x, y) : x sin(xy) das totale Differenzial f df, die Jacobi-Matrix J f (x, y) und den Gradienten ( f)(x,

Mehr

TU Dresden Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1. Dr. M. Herrich SS 2017

TU Dresden Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1. Dr. M. Herrich SS 2017 TU Dresden Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1 Prof. Dr. K. Eppler Institut für Numerische Mathematik Dr. M. Herrich SS 2017 Aufgabe 1 Übungen zur Vorlesung Mathematik II 4. Übung,

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik. Modulprüfung

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik. Modulprüfung Institut für Analysis SS7 PD Dr. Peer Christian Kunstmann 8.9.7 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Modulprüfung Aufgabe [5+5= Punkte] (a) Zeigen Sie, dass die Matrix α A α =, α. genau dann

Mehr

Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I. f(x) := e x + x.

Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I. f(x) := e x + x. Technische Universität München WS 009/0 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. J. Edenhofer Dipl.-Ing. W. Schultz Übung Lösungsvorschlag Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I Aufgabe

Mehr

Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA

Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Florian Franzmann 5. Oktober 004 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme Reihen und Folgen 3. Reihen...................................... 3. Potenzreihen..................................

Mehr

13. Übungsblatt zur Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss

13. Übungsblatt zur Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss Fachbereich Mathematik Prof. Dr. H.-D. Alber Dr. N. Kraynyukova Dipl.-Ing. A. Böttcher WS / 3. Januar 3. Übungsblatt zur Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss Gruppenübung Aufgabe

Mehr

Übungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom

Übungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom Prof. Dr. M. Kaßmann Fakultät für Mathematik Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld Übungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom 27.10.2011 Aufgabe III.1 (4 Punkte) Sei Ω R

Mehr

3 Funktionen in mehreren Variablen

3 Funktionen in mehreren Variablen 3 Funktionen in mehreren Variablen Funktionen in mehreren Variablen Wir betrachten nun Abbildungen / Funktionen in mehreren Variablen. Dies sind Funktionen von einer Teilmenge des R d nach R. f : D f R,

Mehr

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0. Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ

Mehr

, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3

, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3 Prof. Dr. Eck Höhere Mathematik 3 9.3.9 Aufgabe ( Punkte) Gegeben ist der Körper K mit der Parametrisierung x r cos ϕ cos ϑ K : x = Φ(r,ϕ,ϑ) = r sin ϕ cos ϑ, r [, ], ϕ [,π/], ϑ [,π/6]. x 3 r sin ϑ a) Berechnen

Mehr

f(x) = 2 3 x3 + 3x 2 + 4x. Stellen Sie fest ob es sich jeweils um ein lokales Maximum oder Minimum handelt. ( 9 4 ) 8 4

f(x) = 2 3 x3 + 3x 2 + 4x. Stellen Sie fest ob es sich jeweils um ein lokales Maximum oder Minimum handelt. ( 9 4 ) 8 4 Übungen zur Mathematik II für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Analysis und Lineare Algebra) im Sommersemester 017 Fachbereich Mathematik, Stefan Geschke, Mathias Schacht A: Präsenzaufgaben

Mehr

8. Übungsblatt zur Mathematik I für Chemiker

8. Übungsblatt zur Mathematik I für Chemiker Fachbereich Mathematik PD Dr. P. Ne WS 007/008 6.1.007 8. Übungsblatt zur Mathematik I für Chemiker Zur Erinnerung, die Formel für die Taylorreihe um die Stelle x 0 lautet f(x) n0 f (n) (x 0 ) (x x 0 )

Mehr

e. Für zwei reelle Zahlen x,y R gelten die Additionstheoreme sin(x+y) = cos(x) sin(y)+sin(x) cos(y). und f. Für eine reelle Zahl x R gilt e ix = 1.

e. Für zwei reelle Zahlen x,y R gelten die Additionstheoreme sin(x+y) = cos(x) sin(y)+sin(x) cos(y). und f. Für eine reelle Zahl x R gilt e ix = 1. 8. GRENZWERTE UND STETIGKEIT VON FUNKTIONEN 51 e. Für zwei reelle Zahlen x,y R gelten die Additionstheoreme cos(x+y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) und sin(x+y) = cos(x) sin(y)+sin(x) cos(y). f. Für eine

Mehr

4.4 Lokale Extrema und die Hessesche Form

4.4 Lokale Extrema und die Hessesche Form 74 Kapitel 4 Differentialrechnung in mehreren Variablen 44 Lokale Extrema und die Hessesche Form Sei jetzt wieder U R n offen und f:u R eine Funktion Unter einem lokalen Extremum der Funktion f verstehen

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Probestudium der Physik 2011/12

Probestudium der Physik 2011/12 Probestudium der Physik 2011/12 1 Schwingungen und Wellen: Einführung in die mathematischen Grundlagen 1.1 Die Sinus- und die Kosinusfunktion Die Sinusfunktion lässt sich genauso wie die Kosinusfunktion

Mehr

Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II

Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2011 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total Vollständigkeit

Mehr

Prof. Dr. Rolf Linn

Prof. Dr. Rolf Linn Prof. Dr. Rolf Linn 6.4.5 Übungsaufgaben zu Mathematik Analysis. Einführung. Gegeben seien die Punkte P=(;) und Q=(5;5). a) Berechnen Sie den Anstieg m der Verbindungsgeraden von P und Q. b) Berechnen

Mehr

4.5 Lokale Extrema und die Hessesche Form

4.5 Lokale Extrema und die Hessesche Form 80 Kapitel 4. Differentialrechnung in mehreren Variablen 4.5 Lokale Extrema und die Hessesche Form Sei ab jetzt U R n offen und f:u R eine Funktion. Unter einem lokalen Extremum der Funktion f verstehen

Mehr

Übungen zu Grundlagen der Mathematik 2 Lösungen Blatt 12 SS 14. Aufgabe 44. Bestimmen Sie die Taylor-Polynome der Funktion.

Übungen zu Grundlagen der Mathematik 2 Lösungen Blatt 12 SS 14. Aufgabe 44. Bestimmen Sie die Taylor-Polynome der Funktion. Übungen zu Grundlagen der Mathematik Lösungen Blatt 1 SS 14 Prof. Dr. W. Decker Dr. M. Pleger Aufgabe 44. Bestimmen Sie die Taylor-Polynome der Funktion f : U R, (x, y) x y x + y, im Punkt (1, 1) bis einschließlich.

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 4: Konvergenz und Stetigkeit Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. November 2007) Folgen Eine Folge

Mehr

18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1

18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive

Mehr

Mathematik n 1

Mathematik n 1 Prof. Dr. Matthias Gerdts Dr. Sven-Joachim Kimmerle Wintertrimester 0 Mathematik + Übung 6 Besprechung der Aufgaben ) - ) des Übungsblatts am jeweils ersten Übungstermin zwischen Montag, 7..0 und Donnerstag,

Mehr

Technische Universität Berlin. Klausur Analysis I

Technische Universität Berlin. Klausur Analysis I SS 2008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Klausur Analysis I 4.07.2008 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 4

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 4 TUM, Zentrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 3/4 Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weidner Tutoraufgaben: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als

Mehr

Lösungen zu Mathematik I/II

Lösungen zu Mathematik I/II Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 11 D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben 1. 1 Punkte a Wir berechnen lim x x + x + 1 x + x 3 + x = 1. b Wir benutzen L Hôpital e x e x lim x sinx

Mehr

Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test

Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Wintersemester 2012/2013 Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test Aufgabe 1: Bruchrechnung Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf (a) x x 2 1

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 11

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 11 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 11 Hausaufgaben Aufgabe 11.1 Berechnen Sie jeweils die Jacobi-Matrix folgender

Mehr

9 Höhere partielle Ableitungen und die Taylorformel

9 Höhere partielle Ableitungen und die Taylorformel Vorlesung SS 29 Analsis 2 Prof Dr Siegfried Echterhoff 9 Höhere partielle Ableitungen und die Talorformel Definition 91 Sei U R n offen, f : U R m eine Funktion Dann heißt f 2-mal partiell differenzierbar,

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 18 8. Januar 2010 Kapitel 5. Funktionen mehrerer Veränderlicher, Stetigkeit und partielle Ableitungen 5.2. Partielle Ableitungen von Funktionen

Mehr

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3 Analysis I Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni 1 Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3 zu 3.1 3.1.1 Bestimmen Sie den Abschluss, den offenen Kern und den Rand folgender Teilmengen

Mehr