Archimedische Spirale 3

Transkript

1 ufgabenblatt-rchimedische Spirale +Lösungen.doc rchimedische Spirale ufgabe Gegeben sind der ol und zwei unkte und wie in der Zeichnung, die olarachse soll durch gehen. y cm cm - - (a) Wie viele archimedische Spiralen mit ol gibt es, die durch und verlaufen? (b) Wie viele archimedische Spiralen mit ol gibt es, die und unmittelbar hintereinander durchlaufen? (c) Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal weitere unkte einer archimedischen Spirale gemäß (b). eschreiben Sie, was Sie auf diese Weise konstruieren können. Können Sie die archimedische Spirale konstruieren? (d) Geben Sie die Gleichung für die archimedische Spirale in olarkoordinaten an. (e) Kann man den Schnittpunkt der Geraden durch die unkte (-/0) und (0/) mit der Spirale aus (c) mit Zirkel und Lineal konstruieren? Erläutern Sie das roblem. (f) Führen Sie diese Konstruktion auch in DynaGeo durch (Datei latt-a Konstruktion-ufgabe.geo als Grundlage). Geben Sie auch die Gleichung für die gesamte Spirale ein und überprüfen Sie, ob die beiden Konstruktionen übereinstimmen (die ngabe der Gleichung der Spirale ist nur dann so einfach, wenn einer der unkte oder auf der olarachse liegt; wenn Sie selbst ein Koordinatensystem wählen dürfen, können Sie diese edingung immer erfüllen).

2 ufgabenblatt-rchimedische Spirale +Lösungen.doc ufgabe Gegeben sind der ol und zwei unkte und gemäß der Zeichnung. Konstruieren Sie weitere unkte derjenigen archimedischen Spirale mit ol, die und unmittelbar hintereinander durchläuft. Geben Sie ihre Gleichung in einem geeigneten olarkoordinatensystem an. Wie muss die olarachse liegen, damit die Gleichung die Form r = a φ annimmt? (a) cm cm (b) cm 0, cm

3 ufgabenblatt-rchimedische Spirale +Lösungen.doc (c) Die unkte und sind dieses Mal durch ihre kartesischen Koordinaten gegeben: ((/), (/)

4 ufgabenblatt-rchimedische Spirale +Lösungen.doc ufgabe Gegeben sind der ol und zwei unkte und wie in der Zeichnung, die olarachse soll durch gehen. y cm (a) Wie viele archimedische Spiralen mit ol gibt es, die durch und verlaufen? Unendlich viele, zwischen dem Durchlaufen der unkte und können beliebig viele Durchläufe erfolgen. (b) Wie viele archimedische Spiralen mit ol gibt es, die und unmittelbar hintereinander durchlaufen? Genau eine. (c) Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal weitere unkte einer archimedischen Spirale gemäß (b). eschreiben Sie, was Sie auf diese Weise konstruieren können. Können Sie die archimedische Spirale konstruieren? Zwischen zwei unkten können weitere unkte konstruiert werden: Winkelhalbierende zeichnen, arithmetisches Mittel der benachbarten Radien vom ol aus darauf abtragen (absoluten Zuwachs von nach halbieren und auf der Winkelhalbierenden zusammen mit der Länge von abtragen). ußerhalb von können weitere unkte konstruiert werden: verdoppeln und auf dem Schenkel zusammen mit dem absoluten Zuwachs von nach abtragen. (d) Geben Sie die Gleichung für die archimedische Spirale in olarkoordinaten an. cm r = cm + ϕ (e) Kann man den Schnittpunkt der Geraden durch die unkte (-/0) und (0/) mit der Spirale aus (c) mit Zirkel und Lineal konstruieren? Erläutern Sie das roblem. cm Nein, man kann zwar beliebige viele, auf der Spirale dicht liegende unkte konstruieren, aber man erhält keine kontinuierliche Linie. Man kann damit zwar Schnittpunkte mit Geraden oder Kreisen beliebig genau annähern, erhält aber im llgemeinen den Schnittpunkt nicht exakt. Könnte man solche Schnittpunkte mit Kreisen mit Zirkel und Lineal konstruieren, dann könnte auch das roblem der Winkeldrittelung mit Zirkel und Lineal gelöst werden. (f) Führen Sie diese Konstruktion auch in DynaGeo durch (Datei latt-a Konstruktion-ufgabe.geo als Grundlage). Geben Sie auch die Gleichung für die gesamte Spirale ein und überprüfen Sie, ob die beiden Konstruktionen übereinstimmen (die ngabe der Gleichung der Spirale ist nur dann so einfach, wenn einer der unkte oder auf der olarachse liegt; wenn Sie selbst ein Koordinatensystem wählen dürfen, können Sie diese edingung immer erfüllen).

5 ufgabenblatt-rchimedische Spirale +Lösungen.doc y -0 phi=-0 80 r = +/0* phi 0 cm 0 außen dazwischen cm Tangente_im_ol - Mit der oben gefundenen Gleichung kann man jetzt auch berechnen, für welchen Wert von φ der Radius r Null wird und damit die mögliche olarachse finden, bezüglich der die Spirale die Gleichung der Form r = a φ hat. Es ist dies dann auch die Tangente an die Spirale im ol

6 ufgabenblatt-rchimedische Spirale +Lösungen.doc ufgabe Gegeben sind der ol und zwei unkte und gemäß der Zeichnung. Konstruieren Sie weitere unkte derjenigen archimedischen Spirale mit ol, die und unmittelbar hintereinander durchläuft. Geben Sie ihre Gleichung in einem geeigneten olarkoordinatensystem an. Wie muss die olarachse liegen, damit die Gleichung die Form r = a φ annimmt? (a) außen r = + /*phi 0 cm cm dazwischen Tangente_im_ol Gleichung: cm = cm + ϕ r olarachse ist dabei die Halbgerade. Um die Gleichung in der Form r = a φ schreiben zu können, bestimmen wir den Winkel, bei dem r=0 wird. Dies ist für φ= - der Fall. Wird eine Halbgerade in unter dem Winkel von - zur Halbgeraden gezeichnet, dann ist diese die gesuchte olarachse (Tangente an die Spirale in ). Die Spirale hat bezüglich dieser olarachse dann die Gleichung cm r = ϕ

7 ufgabenblatt-rchimedische Spirale +Lösungen.doc (b) außen cm dazwischen 0, cm, Tangente_im_ol Gleichung:.cm =.cm + ϕ 0 r olarachse ist dabei die Halbgerade. Um die Gleichung in der Form r = a φ schreiben zu können, bestimmen wir den Winkel, bei dem r=0 wird. Dies ist für φ -, der Fall. Wird eine Halbgerade in unter dem Winkel von -, zur Halbgeraden gezeichnet, dann ist diese die gesuchte olarachse (Tangente an die Spirale in ). Die Spirale hat bezüglich dieser olarachse dann die Gleichung.cm r = ϕ 0

8 ufgabenblatt-rchimedische Spirale +Lösungen.doc 8 (c) Die unkte und sind dieses Mal durch ihre kartesischen Koordinaten gegeben: (/), (/). =, = =, tan ϕ = ϕ. tanϕ = ϕ.. (ist hier zufällig genauso groß wie ϕ ). Gleichung bezüglich ol und olarachse : r = + ϕ. + 0,09 / ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Lage der olarachse so, dass die Gleichung bezüglich ol und dieser olarachse die Form r = a φ annimmt: ϕ ϕ ϕ ϕ. 0 = r = + ϕ ϕ = - = -, ϕ ϕ -, Dieser Winkel ist von im Uhrzeigersinn abzutragen, der Winkel der gesuchten olarachse mit der positiven x- chse beträgt also. -. =.8. Gleichung bezüglich ol und positiver x-chse als olarachse: Für ϕ = ϕ = -, r = + (. ) 0. 8 ϕ ϕ, also ergibt sich die Gleichung r = - 0,8 + 0,09 / ϕ Man kann diese Gleichung systematischer auch sofort hinschreiben in der Form r = + ( ϕ ϕ) -0,8 + 0,09 / ϕ ϕ ϕ y