Algorithmen zur Visualisierung von Graphen
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- Gerda Diefenbach
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1 Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Flussmethoden Knickminimierung in orthogonalen Layouts Vorlesung im Sommersemester 2009 Martin Nöllenburg Lehrstuhl für Algorithmik nstitut für Theoretische nformatik / 00/99
2 Wiederholung: Problemstellung Problem 2: Knickminimierung mit fester Einbettung Gegeben ein Graph G = (V, E) mit Maximalgrad deg max, kombinatorischer Einbettung F und äußerer Facette, finde eine orthogonale Gitterzeichnung, die (F, ) erhält und minimale Anzahl von Knicken hat. Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 2/ 00/99
3 Wiederholung: Orthogonale Beschreibung Eingabe: planarer Graph G = (V, E), Facettenmenge F, äußere Facette Ausgabe: orthogonale Beschreibung H(G) = {H(f) f F} Facettenbeschreibung H(f): im UZS geordnete Folge von Kantenbeschreibungen (e, δ, α) mit e ist Randkante von f δ ist 0--Folge (0 = Rechtsknick, = Linksknick) α ist Winkel { π 2, π, 3π 2, 2π} zwischen e und Nachfolger e Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 3/ 00/99
4 Wiederholung: Beispiel H( ) = ((e,, π ), (e 2 5,, 3π ), (e 2,, π), (e 3,, π), (e 2,, π )) 2 H(f ) = ((e, 00, 3π ), (e 2 2,, π ), (e 2 6, 00, π)) H(f 2 ) = ((, 000, π ), (e 2 6,, π ), (e 2 3,, π), (e,, π )) 2 e e 3 2 f f 2 e e e 0 e 2 e 3 e f 0 f 2 0 Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik / 00/99
5 Problem: Orthogonale Beschreibung Problem 2: Knickminimierung mit fester Einbettung Gegeben ein Graph G = (V, E) mit Maximalgrad deg max, kombinatorischer Einbettung F und äußerer Facette, finde eine orthogonale Gitterzeichnung, die (F, ) erhält und minimale Anzahl von Knicken hat. Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 5/ 00/99
6 Problem: Orthogonale Beschreibung Problem 2 : Orthogonale Beschreibung Gegeben ein Graph G = (V, E) mit Maximalgrad deg max, kombinatorischer Einbettung F und äußerer Facette, finde eine gültige orthogonale Beschreibung H(G), die (F, ) erhält und die Knickanzahl minimiert. Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 5/ 00/99
7 Beispiel Flussnetzwerk v 2 e 3 v 3 f f 2 v e e v 5 v Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 6/ 00/99
8 Beispiel Flussnetzwerk v 2 e 3 v 3 f f 2 v e e v 5 v V F Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 6/ 00/99
9 Beispiel Flussnetzwerk v 2 e 3 v 3 f f 2 v e e v 5 v V F Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 6/ 00/99
10 Beispiel Flussnetzwerk v 2 e 3 v 3 f f 2 v e e v 5 v V F Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 6/ 00/99
11 Beispiel Flussnetzwerk - v 2 e 3 v 3 e 2 f f 2 v -2 - e e v 5 v V F Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 6/ 00/99
12 Beispiel Flussnetzwerk - v 2 e 3 v 3 e 2 f f 2 v -2 - e l/u/c //0 e v 5 v V F Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 6/ 00/99
13 Beispiel Flussnetzwerk - v 2 e 3 v 3 e 2 f f 2 v -2 - e l/u/c //0 e v 5 v V F 0/ / Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 6/ 00/99
14 Beispiel Flussnetzwerk - 3 v 2 v 2 e 3 v 3 e 2 f f 2 e 2-2 v 5-3 e v 3 l/u/c V F //0 0/ / Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 6/ 00/99
15 Korrektheit Satz: Zu einem planar eingebetteten Graphen (G, F, ) existiert genau dann eine zulässige orthogonale Beschreibung H(G) mit k Knicken, wenn es im Flussnetzwerk N(G) einen Fluss x mit Kosten k gibt. Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 7/ 00/99
16 Erinnerung: Korrektheit orthogonale Beschreibung (H) H(G) entspricht F, (H2) für gemeinsame Randkante {u, v} zweier Facetten f und g mit ((u, v), δ, α ) H(f) und ((v, u), δ 2, α 2 ) H(g) gilt δ ist invertierte und umgedrehte Folge δ 2 (H3) Sei δ 0 (bzw. δ ) die Anzahl Nullen (bzw. Einsen) in δ und r = (e, δ, α). Für C(r) := δ 0 δ + 2 2α/π gilt: C(r) = für f und C(r) = r H(f) r H( ) (H) Für jeden Knoten v ist die Summe der anliegenden Winkel gleich 2π Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 8/ 00/99
17 Erinnerung: Flussnetzwerk N(G) Definition Flussnetzwerk N(G) = ((V F, A); l; u; b; cost) A = {(v, f) V F v inzident zu f} {(f, g) F F f, g adjazent via Kante e} b(v) = v V b(f) = 2(d G (f) 2) f F \ { } b( ) = 2(d G (f) + 2) Für Fluss X : A R + 0 muss gelten: (i, j) A l(i, j) X(i, j) u(i, j) () X i V X(i, j) X X(j, i) = b(i) (2) (i,j) A (j,i) A Lehrstuhlfür für Algorithmik nstitut Theoretische nformatik 9/ 00/99
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