Mathematik-Vorkurs. Übungsaufgaben. im Sommersemester 2012

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1 Mathematik-Vorkurs Übungsaufgaben im Sommersemester 2012 Goethe Universität-Frankfurt am Main Prof. Dr. Heinz D. Mathes Professur für Produktionswirtschaft 1

2 Aufgaben zu Thema 1 Aufgabe 1.1: Lesen Sie die folgenden mathematischen Aussagen, wobei x eine reelle Zahl sei: (a) x < 4 x 0 (b) x x 2 = 4 (c) 2x + 3 = 7 x = 2 (d) x < 0 : x 2 > 0 (e) x > 0 x 2 + x = 6 (f) x x 2 x = 2 (g) x x 2 = 4 (h) x > 0 y > 0 : x < y x 2 < y 2 Welche der vorstehenden Aussagen ist richtig und welche falsch? Aufgabe 1.2: Benutzen Sie mathematische Symbole, um die folgenden Aussagen in abgekürzter Form darzustellen. (a) Für jede reelle Zahl x gilt: Aus x größer als 2 folgt, dass x nichtnegativ ist. (b) Es existiert mindestens eine reelle Zahl y mit der Eigenschaft, dass die Quadratwurzel aus y kleiner gleich 1 ist. (c) Die Aussage, dass das Produkt einer reellen Zahl z mit sich selbst gleich 9 ist, ist gleichwertig mit der Aussage: z ist gleich +3 oder z ist gleich 3. (d) Für jede positive reelle Zahl x existiert genau eine negative Zahl y, so dass minus x gleich y ist. (e) Für alle negativen reellen Zahlen a gilt: Es gibt keine reelle Zahl x, deren Produkt mit sich selbst gleich a ist. Aufgabe 1.3 Bestimmen Sie die Summen: (a) 4 (i 2 2) (b) i=1 9 i (i + 1) i=4 (c) 6 i 1 i+1 (d) i=1 6 i=3 ( 1) i i Aufgabe 1.4: Berechnen Sie den Absolutbetrag: (a) (b) 4 (2 6) 2 ( 2) 3 2

3 Aufgabe 1.5: Lösen Sie den Betrag auf: (a) 3x 2 (b) x 4 x (c) 3x 2 2x+1 3

4 Aufgaben zum Thema 2 Aufgabe 2.1: Vereinfachen bzw. berechnen Sie folgende Ausdrücke: (a) e x e y e x e y (b) a 2 a 3 2 a 1 a 3 Aufgabe 2.2: Berechnen Sie: (c) e 2x (d) e y x x e x x+y e x/2 (a) a 1 6 a 1 5 a 1 4 (b) (a 1 8 ) 4 (c) 4 z 8 (d) am a 1 2 (e) ( 8 27 ) 1 3 (f) 10log 5 10 log 3 (g) e ln 1 (h) log 7,67 23, 7 (i) 6 81 (j) eln 10 e ln x (k) ax a y a x a z (l) x 3 2 Aufgabe 2.3: Vereinfachen bzw. berechnen Sie folgende Ausdrücke: (a) log(x 2 y 2 ) (b) log ln(e x+1 ) (c) log(100 x+y ) (d) e ln x y (e) ln x 2 + x 4 Aufgabe 2.4: Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: (a) (x + 1) (y + 1) (x 1) (y 1) (b) x+2 x 1 + 2x 1 x+1 + x+2 x+1 (c) 2x+2 x 2 1 x 1 x+1 (d) 5x x 2 + 3x+1 x+1 + 2x+1 x 2 x 2 Aufgabe 2.5: Bestimmen Sie die folgenden Werte (ohne Taschenrechner!): (a) log 4 16 (b) log 2 8 (c) log 7 49 (d) log (e) log 2 ( 1 4 ) (f) 1 2 (log log 2 8 log 2 3) 4

5 Aufgabe 2.6: Jemand hat einen Betrag von 1000 Euro zu einem festen Zinssatz angelegt. Die Zinsen werden nachschüssig gezahlt. Nach 10 Jahren ist der Betrag auf 1500 Euro angewachsen. Zu welchem Zinssatz wurde das Geld angelegt? Aufgabe 2.7: Jemand legt einen Betrag von 1000 Euro zu einem Zinssatz von 5 Prozent an. Die Zinsen werden nachschüssig gezahlt. Nach welcher Zeit ist der Betrag auf 1500 Euro angewachsen? Aufgabe 2.8: Welche der folgenden Ausdrücke sind gleich? (a) log(π n i=1 ab i i ) (b) log(πn i=1 a ib i ) (c) n i=1 b i log a i (d) n log a + n log b (e) n i=1 log a i + n i=1 log b i (f)log(a n b n ) (g) n log ab (h) n log a i + n log b i (i) n i=1 b i + n i=1 log a i Aufgabe 2.9: Welche der folgenden Aussagen sind wahr? (a) log 1 = 0 (b) log 1 = 1 (c) a x = e x ln a (d) log n x = 1 n log x (e) log 1 n = log n 5

6 Aufgaben zu Thema 3: Aufgabe 3.1: Lösen Sie folgende Gleichungen: (a) x + 18 = 14x 21 (b) 3 5 x + 7 = 16 (c) 4x + 2(x 4) 3 = 2(3x 5) 1 (d) x = 2x (e) 2x (1 2x) 9 = 8 9 Aufgabe 3.2: Lösen Sie folgende Gleichungen durch quadratische Ergänzung: (a) x 2 10x + 21 = 0 (b) x 2 4x 32 = 0 (c) 3x 2 + 2x 8 = 0 Aufgabe 3.3: Lösen Sie die folgenden Gleichungen mit der p-q-formel. Zeigen Sie, wenn möglich, bei jeder Aufgabe die Existenz des Satzes von Vieta und geben Sie jede Gleichung auch in/als Linearfaktordarstellung an. (a) x 2 + 2x x 2 + 4x + 3 = 12 (b) x x + 4 = 0 (c) 7x 2 11x + 6 = x 2 + x (d) 2x 2 4x + 16 = 0 (e) 2x + 3 = 3x x 2 4x (f) 4x x + 9 = 0 (g) x x (x 1) 3 + x 5 = 0 (h) x = (3 2x) x 6

7 Aufgabe 3.4: Bestimmen Sie die Lösung(en) folgender Gleichungen: (a) x 3 + 3x 2 10x = 0 (b) 2x 3 3x 2 = 0 (c) x 3 4x = 0 (d) 2x = 0 (e) x 4 5x = 0 Aufgabe 3.5: Lösen Sie die folgenden Gleichungen: (a) 2x 10 = 6 (b) 2 e 2x 3 = e x (c) ln(5x 2 ) = 4 ln( x) + 3, x > 0 (d) (e x 1) (e 2x 2) = 0 (e) ln(x) (ln(x) 3) = 0 Aufgabe 3.6: Lösen Sie die Gleichung 4x = 4 rechnerisch und zeichnerisch und geben Sie die Lösung in Intervallschreibweise an. Aufgabe 3.7: (a) x+2 2 = x (b) x = 2x 3 2x (c) x 2 x+2 = x 5 x+5 (d) 4x 8 x 2 3 = x+1 3x (e) 2x2 4 x+2 = 6 (f) x 4 = 6 2x+1 7

8 Aufgabe 3.8: Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme mit dem Gauss-Algorithmus: (a) x 4y = 5 3x + 4y = 1 (b) 1 2 x y = 0 x y = 1 (c) 6x + 2y = 8 9x 3y = 12 (d) 3x y + 4z = 12 x y + z = 4 6x 4y + 5z = 20 (e) 2x 4y + 6z = 10 3x + 6y 9z = 10 8x 5y + z = 6 (f) 3x 2y + 6z = 9 6x + 4y 12z = 18 x 2 3 y + 2z = 3 Aufgabe 3.9: Lösen Sie folgende Gleichungen nach x auf: (a) y = , 99 (x 20) 0, 23 (b) 6x 2 + x (x 3) = 28 3x (c) x+3 x+1 x = 3 x 2 4 (d) x2 4 x 2 9 = 2 x+2 x 3 (e) x y = 14x + 2y + 5 8

9 Aufgabe 3.10: Für den Druck von Übungsblättern (ein Blatt pro Student) bieten sich zwei Alternativen: Druckerei A berechnet 20 e Grundtarif pro Vorlage und 0,10 e pro Blatt. Druckerei B verlangt 45 e Stundenlohn (anteilig) zuzüglich Materialkosten von 0,08 e pro Blatt, wobei pro Stunde 1000 Blatt bedruckt werden können. (a) Wem soll der Auftrag erteilt werden, wenn jeder der 700 Studierenden, die an der Veranstaltung teilnehmen, ein Übungsblatt erhalten soll? (b) Bei welcher Stückzahl ist es gleichgültig, wer den Auftrag erhält? Aufgabe 3.11: Ein Verlag plant die Herausgabe eines Buches und kalkuliert die durch den Satz, Graphik, Werbung usw. entstehenden Fixkosten mit e. Für Papier, Druck, Binden, Autorenhonorar etc. fallen variable Kosten in Höhe von 14,40 e je Exemplar an. Die Differenz aus Erlös und variablen Kosten steht je verkauftem Exemplar zur Deckung der Fixkosten zur Verfügung (Deckungsbeitrag). (a) Zu welchem Preis muss das Buch verkauft werden, damit bei einer Auflage von Stück gerade die Fixkosten gedeckt sind? (b) Welcher Gewinn ergibt sich beim Verkauf von Exemplaren? Aufgabe 3.12: Die Flugzeit von Frankfurt nach New York (ca km) ist wegen des ständigen Westwindes über dem Nordatlantik im Durchschnitt ca. 20% länger als die Flugzeit in umgekehrter Richtung. Welche Windgeschwindigkeit herrscht im Mittel in Flughöhe über dem Nordatlantik, wenn das Flugzeug bei Windstille mit 890 km/h fliegen würde? Aufgabe 3.13: Ein älterer PC benötigt zur Lösung einer bestimmten Aufgabe 6 Stunden, ein anderer, neuerer für dieselbe Aufgabe 4 Stunden. Wann ist die Aufgabe gelöst, wenn beide PC unabhängig voneinander an der Aufgabe arbeiten können, wobei der langsamere zunächst 1 Stunde alleine und dann beide zusammen rechnen. Wie lange rechnen beide noch zusammen? 9

10 Aufgaben zu Thema 4: Aufgabe 4.1: Lösen Sie folgende Ungleichungen: (a) 7x + 7 < x (b) 2x + 10 > 9x 2 3x (c) 22x x x (d) 7x x 24x x Aufgabe 4.2: Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichungen: (a) (x 2) (x 3) > 0 (b) (x 1) (x 4) < 0 (c) 4x 2 8x 0 (d) x (e) (3x 4) 2 (x + 2) 2 (f) (x 2) 2 > (2x 13) 2 Aufgabe 4.3: Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichungen: (a) 8x+2x 1 x < 12x 6x+7 x (b) 5x 3 2x+1 4 (c) 3x+3 5 x 3x 10

11 Aufgabe 4.4: Ermitteln Sie graphisch die Lösungen des folgenden Gleichungs-/Ungleichungssystems: 2x y 2 2x + 5y = 10 5x + 3y 15 Aufgabe 4.5: Lösen Sie die Unleichung 2x 8 rechnerisch und zeichnerisch und geben Sie die Lösung in Intervallschreibweise an. Aufgabe 4.6: Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichungen: (a) 3x 8 9 (b) 2 5x 2 (c) 2x+4 5 2x + 1 (d) 2x x (e) 13x 12 2x

12 Aufgaben zu Thema 5: Thema 5 ist nur ein einleitendes Kapitel zu den folgenden Inhalten, daher gibt es hierfür keine Übungsaufgaben. 12

13 Aufgaben zu Thema 6: Aufgabe 6.1: Skizzieren Sie folgende Gleichungen in einem rechtwinkligen (kartesischen) Koordinatensystem: (a) 2x 2 + 3x 1 = 12 (b) y = 2x + 5 (c) y = x 2 4 (d) y = (x 2) 2 3 (e) y = x 2 + 2x + 2 (nach quadratischer Ergänzung) Aufgabe 6.2: Berechnen Sie die Nullstellen von: (a) f(x) = 4x 2 8x 12 (c) f(x) = (x 1) (x + 2) (x + 1) (b) f(x) = x2 5x x 2 +4 (d) f(x) = e 2x 1 Aufgabe 6.3: Berechnen Sie: (a) (x 3 + x 2 3x + 1) (x 1) (b) (x 5 + 3x 3 x 2 4x + 1) (x 2 1) (c) (x 4 3x 3 + x 2 5) (x + 1) Aufgabe 6.4: Das Polynom p 4 (x) = x 4 2x 3 9x 2 + 2x + 8 hat jeweils eine Nullstelle für x = 1 und x = 1. Wie lauten die übrigen Nullstellen? Aufgabe 6.5: (a) Zeigen Sie, dass das Polynom y = x 4 + 8x nur zwei reele Nullstellen besitzt. Ermitteln Sie diese! (b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktion y = ln(x + 3) mit der x- und der y-achse. 13

14 Aufgabe 6.6: Wie lautet die Gleichung des Polynoms 2. Grades p 2 (x) = a x 2 + b x + c, für das gilt: (a) p 2 (2) = 4, p 2 (1) = 3 2, p 2( 2) = 6 (b) p 2 (3) = 16, p 2 ( 1) = 8, p 2 ( 1 2 ) = 4 Aufgabe 6.7: Skizzieren Sie folgende Polynome, nachdem Sie ihre Nullstellen bestimmt und sich überlegt haben, wie sich die Polynome für große x (positive wie negative) verhalten: (a) p 1 (x) = 3x + 6 (b) p 2 (x) = x 2 + 2x 2 (c) p 3 (x) = 2x 2 + 4x + 2 (d) p 4 (x) = 3x 3 + 2x 2 x 4 14

15 Aufgaben zu Thema 7: Aufgabe 7.1: Differenzieren Sie folgende Funktionen: (a) y = 3x 3 + 6x 4 (b) y = 5e 1 x (c) y = x x + sin x (d) y = x 3 ln x (e) y = sin x e x+2 (f) y = x ln x (g) y = 4 x 2 5 (h) y = a x+b c x+d (i) y = sin 2x cos x (j) y = tan x = sin x cos x (k) y = cos 2 (x + 1) (l) y = ln(a x + b) (m) y = x 8,4 (n) y = x 2 log x Aufgabe 7.2: Berechnen Sie unter (a) alle und unter (b) bis (d) jeweils die ersten beiden Ableitungen: (a) f(x) = 5x 3 6x 2 12 (c) f(x) = e k x (b) f(x) = x (d) f(x) = x 2 e x Aufgabe 7.3: Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung der nachstehenden Funktionen: (a) y = e x x (b) y = e 1 ln x (c) y = ln x x+1 Aufgabe 7.4: Bestimmen Sie die erste Ableitung von: (a) y = cos x (b) y = e x2 +log x 2 (c) y = log 7 3x 2 Wie lauten die erste und die zweite Ableitungen von: (d) y = x sin 2x (e) y = ex x 15

16 Aufgabe 7.5: Bestimmen Sie die Steigung und Krümmung der folgenden Funktionen an den angegebenen Stellen: (a) y = ln(x + 1) 2 an den Stellen x = 1 und x = 10 (b) y = [ln(x + 1)] 2 an der Stelle x = 0 Aufgabe 7.6: Bestimmen Sie für die Funktion y = x (3 x) 2 Stetigkeit Nullstellen Extremwerte (Lage und Typ) Wendepunkte (Lage mit Nachweis durch 3. Ableitung) Skizze Aufgabe 7.7: Untersuchen Sie die Funktion y = 2 3 x3 4x 2 + 6x auf Nullstellen Lage möglicher Extrema Wendepunkte Typen der Extrema Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion. Aufgabe 7.8: Untersuchen Sie die Funktion y = x 4 8x 2 9 auf Nullstellen Lage möglicher Extrema Wendepunkte Typen der Extrema Monotonie Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion. 16

17 Aufgabe 7.9: Bestimmen Sie folgende Grenzwerte: (a) lim n (1 1 n ) 100 (b) lim x 1 + x 1 x (c) lim 2 4 x 2 x 2 (d) lim n ( 1)n 1 n e x x (e) lim x! (f) lim n n 3 +n 5 2 n Aufgabe 7.10: Berechnen Sie die nachfolgenden Grenzwerte. Falls diese nicht existieren, berechnen Sie die einseitigen und/oder uneigentlichen Grenzwerte x 1 x (a) lim x 0 2 x x 2 (c) lim x 2 2x 4 x 2 x 2 (b) lim x 3 2x 2 2x 12 (x 3)(x 1) (d) lim x 1 (x 1) ln x x 2 2x

18 Aufgaben zu Thema 8: Aufgabe 8.1: Bestimmen Sie folgende Integrale: (a) 5dx (b) 3dx (c) 3 4 dx Aufgabe 8.2: Bestimmen Sie folgende Integrale: (a) x 4 dx (b) x 3 dx (c) 5 xdx (d) x 2 xdx (e) 1 x 4 dx (f) 1 3 x 2 dx Aufgabe 8.3: (a) sin(x)dx (b) cos(x)dx Aufgabe 8.4: Bestimmen Sie folgende Integrale: (a) 3 x dx (b) 2 x dx (c) e 4x (d) e 5x+7 dx Aufgabe 8.5: Bestimmen Sie folgende Integrale: (a) (c) 2x+3 (x 2 +3x) ln 5 dx (b) cos(x) sin(x) ln 3 dx 6x 4 3x 2 4x dx (d) 4 e 2x e 2x dx 18