Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Koordinatensysteme, klassische Differentialoperatoren

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1 Vorlesung: Analsis II für Ingenieure Wintersemester 07/08 Michael Karow Themen: Koordinatenssteme, klassische Differentialoperatoren

2 Polarkoordinaten = cos() = sin() = =(,) tan() = für 0. Winkel nur bis auf Vielfache on 2π bestimmt. =(,) Üblich: ] π, π] Dann: arctan( ) > 0 π + arctan( ) < 0, > 0 π + arctan( ) < 0, < 0 π = 2 = 0, > 0 π 2 = 0, < 0 π < 0, = 0 0 = = 0. =(,) =(,)

3 Erläuterung zur Winkelberechnung aus den kartesichen Koordinaten Wie auf der origen Seite dargestellt, erfordert die Berechnung des Winkels aus den kartesischen Koordinaten, einige Fallunterscheidungen. Der Grund dafür ist folgender: Der Schluss tan() = = arctan( ) gilt nur, wenn ] π/2, π/2[. Die Bedingung ] π/2, π/2[ ist aber nur dann erfüllt, wenn der Punkt (, ) in der rechten Halbebene liegt, wenn also > 0. Anderenfalls muss man überlegen. Wenn z.b. < 0, < 0, dann (siehe Bild) argumentiert man so: = π + α = π + arctan( ) = π + arctan( ) α =(,)

4 Eine Formel für den Winkel, die (fast) ohne Fallunterscheidung auskommt Diese Formel lautet ( ) = 2 arctan, = Die Formel ist nur dann nicht anwendbar, wenn der Nenner 0 ist, wenn also = 0, 0. Herleitung der Formel: Wenn der Punkt (, ) (0,0) nicht auf der negatien -Achse liegt, dann liegt der Punkt (, ȳ) = 1 ((, ) + (,0)) in der rechten Halbebene und es 2 ist tan(ȳ/ ) = /2 (siehe Bild). Also = 2 (ȳ ) ( ) 2 = 2arctan = 2arctan + (,) (,) /2 (,0)

5 Partielle Ableitungen und Polarkoordinaten 1 ( cos()) = ( sin()) = ( cos()) = ( sin()) = = cos() = = sin() = = sin() = = cos() = = = = 2 = = = 2 = arctan(/) = (/) 2 = = 2 = arctan(/) = (/) 2 = = 2

6 Partielle Ableitungen und Polarkoordinaten 2 Mit den partiellen Ableitungen auf der origen Seite kann man z.b. eine Funktion on kartesischen Koordinaten nach Polarkoordinaten ableiten, ohne sie orher in Polarkoordinaten umzurechen. Beispiel: Sei f(, ) = 2 3. Dann ist f = f + f = = f f ( ) + = 23 ( ) = Zum Vergleich die Rechnung in Polarkoordinaten: f(, ) = 2 3 = ( cos()) 2 ( sin()) 3 = 5 cos() 2 sin() 3 f = 5 2sin()cos()sin() sin() 2 3cos() 2 sin() 2 =

7 Zlinderkoordinaten Beziehung zwischen kartesischen z und Zlinderkoordinaten (,, z): = cos() = (,,z) = sin() z = z = ist der Abstand on der z-achse sin( ) cos( )

8 Kugelkoordinaten z Beziehung zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten: X = (,,z) = sin(θ) cos() = sin(θ) sin() z = cos(θ) θ = z 2

9 Kugelkoordinaten z Beziehung zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten: X = (,,z) = sin(θ) cos() = sin(θ) sin() z = cos(θ) cos( θ ) θ = z 2

10 Kugelkoordinaten Beziehung zwischen kartesischen z sin( ) θ und Kugelkoordinaten: X = (,,z) = sin(θ) cos() = sin(θ) sin() z = cos(θ) θ = z 2

11 Kugelkoordinaten Beziehung zwischen kartesischen z sin( ) θ und Kugelkoordinaten: X = (,,z) = sin(θ)cos() = sin(θ)sin() z = cos(θ) sin( θ ) sin( ) θ = z 2 sin( θ) cos( )

12 Klassiche Differentialoperatoren sind 1. der Gradient (eines skalaren Feldes): grad f = f = [ f 1, f 2,... f n ]. 2. die Diergenz (eines Vektorfeldes): di = = n k=1 k k. 3. die Rotation (eines Vektorfeldes in R 3 ): rot = = der Laplace-Operator (eines Skalar- oder eines Vektorfeldes): n 2 = 2 k=1 k (Summe aller zweiten partiellen Ableitungen) Für skalare Felder hat man f = di grad f.

13 Anwendung der Differentialoperatoren: Mawell-Gleichungen Die Mawell-Gleichungen beschreiben alle (nicht quantenmechanischen) elektrodnamischen Phänomene. Sie lauten rot H = t D + J rot E = t B Hinzu kommen Materialgesetze: di D = di B = 0 D = ɛ 0 E + P, B = µ0 H + M. Dabei ist E=elektrische Feldstärke, D = Verschiebungsstromdichte, H=magnetische Feldstärke, B = magnetische Induktion, J =Stromdichte, =elektrische Ladungsdichte, P=Polarisationsdichte, M=Magnetisierungsdichte. ɛ 0 =elektrische Feldkonstante, µ 0 =magnetische Feldkonstante. Durch Kombination dieser Gleichungen bekommt man im einfachsten Fall, d.h. wenn P = M = J = 0, = 0) die Wellengleichungen E 1 2 E = 0, B 1 2 B = 0, c 2 t 2 c 2 t 2 (c=lichtgeschwindigkeit) 1 c 2 = ɛ 0µ 0

14 Vektorfelder als Geschwindigkeitsfelder, Fluss durch eine Fläche Ein Vektorfeld : R n G R n kann man im Fall n 3 anschaulich als Geschwindigkeitsfeld interpretieren: ( ) = Geschwindigkeit des materiellen Punktes, der sich am Ort befindet Sei n = 3, F eine ebene kleine Fläche im Gebiet G und e ein Einheitektor, der senkrecht zur Fläche steht. Dann ist das Materieolumen, das pro Zeiteinheit durch die (gedachte) Fläche F strömt, näherungsweise: Volumenstrom(fluss) ( e) ( Flächeninhalt on F). e Flaeche F

15 Geometrische Bedeutung der Diergenz: Fluss eines Vektorfeldes durch die Oberfläche eines kleinen Würfels (Zentrum:, Kantenlänge: 2t) Fluss 3 ( ek ( + t e k )(2t) 2 e k ( t e k )(2t) 2) k=1 3 ( ek ( ( ) + t ( ) e k )(2t) 2 e k ( ( ) t ( ) e k )(2t) 2) k=1 = (8 t 3 ) 3 k=1 e k ( ( )e k ) = Würfelolumen 3 k=1 = Würfelolumen di k k ( ) e 3 (+t e 3 ) (+t e 1 ) 2 ( t e 1 ) e 1 e1 e e 2 ( t e 3 ) 2t e 3

16 Zur geometrisch/phsikalischen Bedeutung der Rotation Um die Bedeutung der Rotation eines Vektorfeldes zu erstehen, braucht man einige Tatsachen aus der linearen Algebra. Tatsache 1: Jede quadratische Matri A R n n lässt sich eindeutig als Summe einer smmtrischen Matri A + und einer schiefsmmetrischen Matri A schreiben. Genauer: wobei A = A + + A, A + = 1 2 (A + A ), A = 1 2 (A A ).

17 Tatsache 2: Die Multiplikation eines 3-dimensionalen Vektors mit einer schiefsmmetrischen Matri lässt sich als Kreuzprodukt schreiben. Genauer: Sei A R 3 3 schiefsmmetrisch. Dann ist Es ist A = A = 0 a 3 a 2 a 3 0 a 1 a 2 a a 3 a 2 a 3 0 a 1 a 2 a = 3, a 2 3 a 3 2 a 3 1 a 1 3 a 1 2 a 2 1 mit a 1, a 2, a 3 R = a 1 1 a 2 2 a 3 3 = a. Terminologie: a heisst aialer Vektor on A.

18 Phsikalische Interpretation des aialen Vektors Das Vektorfeld ( ) = A = a ist das Geschwindigkeitsfeld eines starren Körpers, der mit der Winkelgeschwindigkeit a um die durch a gegebene Achse rotiert. Begründung: ( ) steht senkrecht zu und a. Sei der Winkel zwischen und der Drehachse, und sei der Abstand on und der Drehachse. Dann ist ( ) = a = a sin() }{{} = a 0 () Eine direkte Rechnung ergibt, dass für alle R 3 : rot = 2 a

19 Die Rotation als aialer Vektor des doppelten schiefsmmetrischen Anteils der Jacobi-Matri Sei : R 3 G R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann ist die Ableitung : R 3 G R 3 3 ein stetiges Matrifeld. Es gilt für alle u R 3 : ( ( ) ( ( )) ) u = rot u Für die Talor-Entwicklung on bis zur ersten Ordnung um einen Punkt G gilt daher ( + ) ( ) + ( ) = ( ) + ( ( ) + + ( ) ) wobei = ( ) + ( ) + + ( ), }{{} = 1 2 rot ( ) + = 1 2 ( ( ) + ( ( )) ), ( ) = 1 2 ( ( ) ( ( )) )

20 Rotation und Drehmoment Drehmoment, das eine Strömung auf ein kleines Rad mit Mittelpunkt und Radius ausübt, das sich um die b 3 -Achse drehen kann: 2π D = 0 T ( ) d 2π det(rot, b 1, b 2 ) = 2π rot b 3 Dabei ist b 1, b 2, b 3 = b 1 b 2 eine Orthonormalbasis und T ( ) die tangentiale Komponente on an der Stelle = (cos() b 1 + sin() b 2 ), siehe Bild. b 3 T T b 2 T T T b 1 Die obige Behauptung wird auf den nächsten Seiten bewiesen. Zunächst braucht man eine Hilfsaussage.

21 Tatsache 3: Seien A R 3 3, u, w R 3. Sei ausserdem a R 3 der aiale Vektor on A. Dann gilt w A u u A w = det(2 a, u, w) = 2 a ( u w). Begründung: Sei B R n n. Dann gilt Es folgt w B u = { (B w) u = u (B w) wenn B smmetrisch (B w) u = u (B w) wenn B schiefsmmetrisch w A u u A w = w (A + + A ) u u (A + + A ) w = w (A + u) u (A + w) }{{} =0 + w (A u) u (A w) }{{} = w (A u) = 2 w (A u) = 2 w ( a u) = 2 det( w, a, u) = 2 det( a, u, w) = det(2 a, u, w) = 2 a ( u w). Folgerung: Setze A = ( ) (Jacobi-Matri). Dann w ( ) u u ( ) w = rot ( u w) ( )

22 Beweis der Drehmoment-Formel Sei e = cos() b 1 + sin() b 2, e = sin() b 1 + cos() b 2. Dann gilt und = e,, e e = 0, e e = b 3, T ( ) = e ( ) = e ( + e ) e ( ( ) + ( )( e )) (Talorentwicklung) = e ( ) + e ( ) e = e ( ) + rot ( e e ) }{{} = b 3 (wegen (**), origen Seite) Integrieren ergibt: D = 2π 0 T ( ) d 2π e ( ) d+ } 0 {{ } =0 2π 0 rot b 3 d = 2π rot b 3.